不等關(guān)系與不等式一

【文庫獨(dú)家】第三章不等式不等關(guān)系與不等式（一）雙基達(dá)標(biāo)限時(shí)20分鐘1．設(shè)M＝4＋x2，N＝4x，則M與N的大小關(guān)系為()．A．M≥NB．M＝NC．M≤ND．與x有關(guān)解析∵M(jìn)－N＝4＋x2－4x＝(x－2)2≥0.∴M≥N.答案A2．某高速公路對行駛的各種車輛的最大限速為120km/h.行駛過程中，同一車道上的車間距d不得小于10m，用不等式表示為()．A．v≤120(km/h)或d≥10(m.)B.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(v≤120km/h,d≥10m))C．v≤120(km/h)D．d≥10(m)解析最大限速與車距是同時(shí)的，故選B.答案B3．若a∈R，且a2＋a＜0，則a，a2，－a，－a2的大小關(guān)系是()．A．a(chǎn)2＞a＞－a2＞－aB．－a＞a2＞－a2＞aC．－a＞a2＞a＞－a2D．a(chǎn)2＞－a＞a＞－a2解析由a2＋a＜0得－a2＞a可排除A、C、D，故選B.答案B4．若a＞0，b＞0，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)與eq\f(1,a＋b)的大小關(guān)系是________．解析∵eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)－eq\f(1,a＋b)＝eq\f(a＋b2－ab,aba＋b)＝eq\f(a2＋ab＋b2,aba＋b)＞0，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＞eq\f(1,a＋b).答案eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＞eq\f(1,a＋b)5．大橋橋頭豎立的“限重40噸”的警示牌是指示司機(jī)要安全通過該橋，應(yīng)使車和貨的總重量T(噸)滿足的關(guān)系為________．解析由生活常識易知：T≤40.答案T≤40.6．已知a＞0，b＞0，試比較eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))與eq\r(a)＋eq\r(b)的大小．解eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(b))＋\f(b,\r(a))))－(eq\r(a)＋eq\r(b))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(b))－\r(b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,\r(a))－\r(a)))＝eq\f(a－b,\r(b))＋eq\f(b－a,\r(a))＝eq\f(a－b\r(a)－\r(b),\r(ab))＝eq\f(\r(a)－\r(b)2\r(a)＋\r(b),\r(ab))，∵a＞0，b＞0，∴eq\r(a)＋eq\r(b)＞0，eq\r(ab)＞0，(eq\r(a)－eq\r(b))2≥0.∴eq\f(\r(a)－\r(b)2\r(a)＋\r(b),\r(ab))≥0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號成立．∴eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號)．綜合提高（限時(shí)25分鐘）7．完成一項(xiàng)裝修工程，請木工需付工資每人50元，請瓦工需付工資每人40元，現(xiàn)有工人工資預(yù)算2000元，設(shè)木工x人，瓦工y人，則請工人滿足的關(guān)系式是()．A．5x＋4y＜200B．5x＋4y≥200C．5x＋4y＝200D．5x＋4y≤200解析依題意得50x＋40y≤2000，即5x＋4y≤200.答案D8．若a，b，c∈R，a＞b，則下列不等式成立的是()．A.eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)B．a(chǎn)2＞b2C.eq\f(a,c2＋1)＞eq\f(b,c2＋1)D．a(chǎn)|c|＞b|c|解析(1)特值法令a＝1，b＝－2，c＝0，代入A，B，C，D中，可知A，B，D均錯(cuò)．故選C.(2)直接法∵a＞b，c2＋1＞0，∴eq\f(a,c2＋1)＞eq\f(b,c2＋1).答案C9．某工廠八月份的產(chǎn)量比九月份的產(chǎn)量少；甲物體比乙物體重；A容器不小于B容器的容積．若前一個(gè)量用a表示，后一個(gè)量用b表示，則上述事實(shí)可表示為________；________；________.解析由題意易知三個(gè)不等關(guān)系用不等式可分別表示為a＜b，a＞b，a≥b.答案a＜ba＞ba≥b10．下列不等式：①x2＋3＞2x(x∈R)；②a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R)；③a2＋b2≥2(a＋b－1)中正確不等式的序號為________．解析①中，∵x2＋3－2x＝(x－1)2＋2＞0，∴x2＋3＞2x，故①正確．②中，∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)，雖然(a－b)2≥0，但a＋b的正負(fù)無法確定，故②不正確．③中，∵a2＋b2－2(a＋b－1)＝a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故③正確．答案①③11．某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)甲種產(chǎn)品1t需消耗A種礦石10t，B種礦石5t，煤4t；生產(chǎn)乙種產(chǎn)品1t需消耗A種礦石4t，B種礦石4t，煤9t．工廠在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中要求消耗A種礦石不超過300t，B種礦石不超過200t，煤不超過360t．寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式．解設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為xt，yt，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10x＋4y≤300，,5x＋4y≤200，,4x＋9y≤360，,x≥0，,y≥0.))12．(創(chuàng)新拓展)已知－eq\f(1,2)＜a＜0，A＝1＋a2，B＝1－a2，C＝eq\f(1,1＋a)，D＝eq\f(1,1－a).試將A，B，C，D按大小順序排列．解∵－eq\f(1,2)＜a＜0，∴不妨取a＝－eq\f(1,4)，則A＝eq\f(17,16)，B＝eq\f(15,16)，C＝eq\f(4,3)，D＝eq\f(4,5).由此猜想：D＜B＜A＜C.只需證明C－A>0，A－B＞0，B－D＞0即可．∵B－D＝(1－a2)－eq\f(1,1－a)＝eq\f(a3－a2－a,1－a)＝eq\f(a\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2－\f(5,4))),1－a)，又－eq\f(1,2)＜a＜0，∴1－a＞0.又－1＜a－eq\f(1,2)＜－eq\f(1,2)，∴eq\f(1,4)＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＜1，故eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2－eq\f(5,4)<0，∴eq\f(a\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2－\f(5,4))),1－a)＞0，∴B＞D.∵A－B＝(1＋a2)－(1－a2)＝2a2＞0，∴A＞B.∵C－A＝eq\f(1,1＋a)－(1＋a2)＝eq\f(－aa2＋a＋1,1＋a)＝eq\f(－a\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))2＋\f(3,4))),1＋a)，又1＋a＞0，－a＞0，e