2023-2024學(xué)年吉林省長春市高一上學(xué)期10月期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年吉林省長春市高一上學(xué)期10月期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼粘貼區(qū).2.選擇題必須使用2B鉛筆境涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚.3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效.4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.5.保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄坡，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀.第Ⅰ卷（選擇題共48分）一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題4分，共32分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．已知集合，集合，，則（

）A． B．C． D．或2．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件3．下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（

）A．與 B．與C．與 D．與4．下列四個(gè)命題中，既是全稱量詞命題又是真命題的是（

）A．任一無理數(shù)的平方是無理數(shù) B．至少有一個(gè)實(shí)數(shù)，使C．， D．，使5．已知是定義在[a-1，2a]上的偶函數(shù)，那么a＋b的值是（

）A．－ B． C．－ D．6．定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足條件：①，恒有；②；③，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．7．下列結(jié)論不正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，的最小值是C．當(dāng)時(shí)，的最小值是D．若，，且，則的最小值是8．若函數(shù)與在區(qū)間上都是減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題4分，共16分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得4分，部分選對得2分，有選錯(cuò)或不選得0分）9．下列四個(gè)命題中，正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則10．已知函數(shù)是奇函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的有（

）A． B．在區(qū)間單調(diào)遞減C．的最小值為 D．的最大值為211．下列命題為真命題的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則函數(shù)的最小值是312．已知函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．B．函數(shù)的值域?yàn)镃．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為D．設(shè)，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍是第Ⅱ卷（非選擇題共72分）三、填空題（本題共4小題，每小題4分，共16分）13．不等式的解集是.14．已知，則的值.15．記號表示，中取較大的數(shù)，如.記函數(shù)，則函數(shù)的最小值是.16．已知函數(shù)對任意的，有，設(shè)函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增.若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.四、解答題（本題共6小題，共56分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．已知函數(shù)的定義域?yàn)榧?，集?(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若是的充分不必要條件，求的取值范圍.18．已知，，.(1)若，求的最小值；(2)若，求的最小值.19．已知二次函數(shù).(1)令，若函數(shù)的圖象與軸無交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)，若對任意的，總存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．2021年3月1日，國務(wù)院新聞辦公室舉行新聞發(fā)布會，工業(yè)和信息化部提出了芯片發(fā)展的五項(xiàng)措施，進(jìn)一步激勵(lì)國內(nèi)科技巨頭加大了科技研發(fā)投入的力度.根據(jù)市場調(diào)查某科技公司生產(chǎn)某款電子產(chǎn)品的年固定成本為50萬元，每生產(chǎn)1萬部還需另投入20萬元.若該科技公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款電子產(chǎn)品萬部并能全部銷售完，平均每萬部的銷售收入為萬元，且(1)寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬部）的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬部時(shí)，公司在該款電子產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤.21．設(shè)，，函數(shù).(1)若在上的最大值為，求的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，若，不等式恒成立，求的最大值.22．已知函數(shù)，都是定義在上的函數(shù)，且，在上單調(diào)遞增.在上單調(diào)遞增，，且對，，都有.(1)求的解析式；(2)解不等式.1．A【分析】解二次不等式化簡集合，再利用集合的交集運(yùn)算即可得解.【詳解】由，解得或，所以或，因?yàn)?，所?故選：A.2．B【分析】根據(jù)不等式構(gòu)成的集合，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由不等式構(gòu)成的集合為，不等式的構(gòu)成的集合為，此時(shí)滿足集合是集合的真子集，所以是的必要不充分條件，所以時(shí)的必要不充分條件.故選：B.3．D【分析】利用函數(shù)的概念判斷.【詳解】A.定義域?yàn)榕c定義域?yàn)镽，故不是同一函數(shù)；B.定義域?yàn)镽，定義域?yàn)?，故不是同一函?shù)；C.與，解析式不同，故不是同一函數(shù)；D.因?yàn)椋?，定義域都為R，解析式相同，故是同一函數(shù).故選：D4．C【分析】根據(jù)全稱量詞命題的定義排除BD，舉反例排除A，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷C即可.【詳解】對A，任一無理數(shù)的平方是無理數(shù)為全稱量詞命題，但可舉反例的平方為2是有理數(shù)，故A錯(cuò)誤；對B，“至少有一個(gè)實(shí)數(shù)”表明該命題為存在量詞命題，故B錯(cuò)誤；對C，“，”為全稱量詞命題，且根據(jù)二次函數(shù)的判別式可得該命題為真，故C正確；對D，“”表明該命題為存在量詞命題，故D錯(cuò)誤；故選：C5．B【分析】由偶函數(shù)的定義得且a－1＝－2a求出a、b，然后求a＋b【詳解】∵在[a-1，2a]上是偶函數(shù)∴有：b＝0，且a－1＝－2a∴a＝∴a＋b＝故選：B本題考查了函數(shù)的奇偶性；根據(jù)偶函數(shù)的定義且定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱求參數(shù)值6．A【分析】根據(jù)已知，利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，分類討論解不等式.【詳解】因?yàn)椋阌?，所以在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，即是定義在R上的偶函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，所以，對于不等式，當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)時(shí)，，可得；綜上，不等式的解集是.故選：A7．BC【分析】根據(jù)基本不等式求最值成立的前提條件是“一正、二定，三相等”判斷各選項(xiàng)即可．【詳解】A.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，A正確；B.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，但無實(shí)解，故最小值2取不到，B錯(cuò)誤；C.當(dāng)時(shí)，，最小值顯然不可能是正值，C錯(cuò)誤；D.因?yàn)椋?，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，D正確．故選：BC8．B【分析】先由二次函數(shù)的性質(zhì)得到，再利用分離常數(shù)法與反比例函數(shù)的單調(diào)性得到在上恒成立，進(jìn)而得到，從而得解.【詳解】因?yàn)榈膶ΨQ軸為，開口向下，且在上為減函數(shù)，所以，因?yàn)?，且在上為減函數(shù)，所以在上恒成立，即在上恒成立，可得，綜上，.故選：B.9．BC【分析】舉反例排除AD，利用不等式的性質(zhì)與作差法可判斷BC，從而得解.【詳解】對于A，取，滿足，但，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)?，所以，故，所以，故B正確；對于C，因?yàn)?，則，，，則，所以，故C正確；對于D，取，滿足，但，即不成立，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10．ABC【分析】利用函數(shù)是奇函數(shù)，可得，求出可判斷A；利用函數(shù)的單調(diào)性即可依次判斷B、C、D，從而得解.【詳解】函數(shù)是奇函數(shù)，則，代入可得，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，滿足題意，故A正確；由A得，，對勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，故B正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立；所以，所以，所以，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：ABC.11．ABC【分析】利用基本不等式逐一判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】對于A：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故A正確；對于B：因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，故B正確；對于C：因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，故C正確；對于D：因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以的最小值是，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.12．BD【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式、值域、單調(diào)性、不等式恒成立等知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以函數(shù)的值域?yàn)椋珺選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，不等式在上恒成立，畫出的圖象如下圖所示，由，消去并化簡得，由解得（負(fù)根舍去）.將代入得，結(jié)合圖象可知.故選：BD分段函數(shù)就是將一個(gè)函數(shù)分成幾段，在每段的解析式都不一樣.需要注意的是，分段函數(shù)雖然在不同的區(qū)間內(nèi)函數(shù)的解析式不同，但是分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)而不是多個(gè)函數(shù)，仍然是一個(gè)整體.一個(gè)分段函數(shù)可能涉及到多種類型的基本函數(shù)，增大考查的知識面，也是函數(shù)考查的?？碱}型.13．【分析】利用分式不等式的解法進(jìn)行求解即可.【詳解】，，解得，不等式的解集為.故答案為.14．【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式求得正確答案.【詳解】.故15．【分析】分類討論，與，結(jié)合函數(shù)定義及一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即或時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，；綜上，，即最小值為.故答案為.16．【分析】由及，可得函數(shù)為偶函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性解不等式即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)對任意的，有，，則，所以函數(shù)為偶函數(shù)，又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以由，得，即，則，解得，故答案為.17．(1)(2)【分析】（1）求出定義域，得到，進(jìn)而計(jì)算出或，從而求出結(jié)果；（2）分與，根據(jù)條件列出不等式，即可求出的取值范圍.【詳解】（1）由，得到，所以，當(dāng)時(shí)，，所以或，故或.（2）因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，故，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，得到，滿足題意，時(shí)，由，得到，綜上，的取值范圍為.18．(1)(2)【分析】（1）由題意可得，再利用基本不等式中“1”的妙用即可得解；（2）根據(jù)題意整理可得，結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，則，即，又，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故的最小值為.（2）當(dāng)，則，即，又，，所以，則，又，則，整理得：，解得或（舍去），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故的最小值為.19．(1)(2)【分析】（1）利用二次函數(shù)圖象的特征，得到判別式即可得解；（2）由給定條件可得在上的值域是在值域的子集，再結(jié)合二次函數(shù)與對勾函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又函?shù)的圖像與軸無交點(diǎn)，則一元二次方程無實(shí)根，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）因?yàn)椤皩θ我獾?，總存在，使得”等價(jià)于“在上的值域是在值域的子集”，因?yàn)?，開口向上，對稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，故，，所以在上的值域?yàn)椋鴮τ?，不妨取，則，因?yàn)椋?，所以，即，所以在上單調(diào)遞減，又，，則在上的值域?yàn)?，所以，則有，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.20．(1)(2)當(dāng)產(chǎn)量為萬部時(shí)，利潤最大，最大利潤為萬元【分析】（1）利用銷售收入減去成本，即可求得.（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式求得正確答案.【詳解】（1）依題意.（2）當(dāng)時(shí)，開口向下，對稱軸，萬元.當(dāng)時(shí)，萬元，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.所以當(dāng)產(chǎn)量為萬部時(shí)，利潤最大，最大利潤為萬元.21．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的對稱性、最值求得的取值范圍.（2）通過轉(zhuǎn)換主參變量的方法，結(jié)合一元二次不等式的解法求得的取值范圍，進(jìn)而求得的最大值.【詳解】（1）二次函數(shù)的開口向上，對稱軸為，，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，由于在上的最大值為，則.（2）依題意，，，，不等式，對任意恒成立，即，對任意恒成立，整理得，對任意恒成立，整理得，對任意恒成立，由于，所以只需，即，解得，而，所以，所以的最大值為.22．(1)(2)或【分析】（1）利用反證法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證得，從而得