黑龍江省齊齊哈爾市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期10月期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1黑龍江省齊齊哈爾市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期10月期中數(shù)學(xué)試題考生注意：1．本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚．3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將〖答案〗答在答題卡上．選擇題每小題選出〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽宇筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的〖答案〗無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，則（）A.-19 B.-20 C.20 D.19〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以，則，故選：D.2.直線的一個(gè)方向向量是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗直線的斜率，直線的一個(gè)方向向量為.故選：C.3.已知橢圓，則橢圓的長軸長為（）A.1 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由橢圓得：，所以，解得，所以長軸長，故選：A.4.若圓關(guān)于直線對(duì)稱，則等于（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗∵圓的方程可化為，∴圓心為，∵圓關(guān)于直線對(duì)稱，∴圓心在直線上，∴，∴．故選：C.5.已知空間三點(diǎn)，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知可得，，所以.又，所以．故選：C.6.空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)，且法向量為的平面方程為，經(jīng)過點(diǎn)且一個(gè)方向向量為的直線的方程為，閱讀上面的內(nèi)容并解決下面問題：現(xiàn)給出平面的方程為，經(jīng)過的直線的方程為，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意得，直線的方向向量為，平面的法向量為，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則故選：A.7.已知直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗曲線表示圓在x軸的上半部分，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，，解得，當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，，可得，所以實(shí)數(shù)取值范圍為.故選：A.8.已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，直線AF與E相交的另一點(diǎn)為M，點(diǎn)M在x軸的射影為點(diǎn)N，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則E的離心率是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，，則，，故，即，解得（舍去負(fù)值），故選：B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.關(guān)于直線，下列說法正確的有（）A.過點(diǎn) B.斜率為C.傾斜角為60° D.在軸上的截距為1〖答案〗BC〖解析〗A.當(dāng)時(shí)，，所以直線不經(jīng)過點(diǎn)，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.由題得，所以直線的斜率為，所以該選項(xiàng)正確；C.由于直線的斜率為，所以直線的傾斜角為60°，所以該選項(xiàng)正確；D.當(dāng)時(shí)，，所以直線在軸上的截距不為1，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知圓心為的圓與點(diǎn)，則（）A.圓的半徑為2B.點(diǎn)在圓外C.點(diǎn)與圓上任一點(diǎn)距離的最大值為D.點(diǎn)與圓上任一點(diǎn)距離的最小值為〖答案〗BCD〖解析〗依題意，圓：，則圓心，半徑，A不正確；因點(diǎn)，則，點(diǎn)在圓外，B正確；因點(diǎn)在圓外，在圓上任取點(diǎn)P，則，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P，C，A共線，且P在線段AC延長線上時(shí)取“=”，C正確；在圓上任取點(diǎn)M，則，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C，M，A共線，且M在線段CA上時(shí)取“=”，C正確.故選：BCD.11.已知點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則下列說法正確的是（）A.的面積為B.若點(diǎn)M是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為9C.點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為D.內(nèi)切圓的面積為〖答案〗AD〖解析〗對(duì)A，根據(jù)橢圓定義可得，則①，在中，由余弦定理②，由①②可得，所以的面積為，故A正確；對(duì)B，設(shè)，則，，，則當(dāng)時(shí)，取得最大值為5，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，由A，的面積為，則，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，因?yàn)榈拿娣e為，所以，即，解得，所以內(nèi)切圓的面積為，故D正確.故選：AD.12.《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.如圖，在陽馬中，側(cè)棱底面，且分別為的中點(diǎn)，則（）A.若的中點(diǎn)為M，則四面體是鱉臑B.與所成角的余弦值是C.點(diǎn)S是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若，則動(dòng)點(diǎn)S的軌跡是圓D.過點(diǎn)E，F(xiàn)，G的平面與四棱錐表面交線的周長是〖答案〗ABC〖解析〗連接，因?yàn)榈酌?，面，所以，又，面，面，，所以面，又面，所以，所以面MCB為直角三角形，所以，又由勾股定理知，所以面MBD為直角三角形，又面BCD，面DCM均為直角三角形，所以四面體是鱉臑，所以A正確；以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為正半軸建系如圖，則，故，，.故與所成角的余弦值，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因，，所以的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢球面，又，，，又面，面，，所以面，即面垂直于橢球的長軸，故面截橢球的截面為圓，所以動(dòng)點(diǎn)S的軌跡是圓，所以C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：設(shè)平面的法向量為，由可取，設(shè)過點(diǎn)E，F(xiàn)，G的平面與交于，與交于，設(shè)，故，又因?yàn)槠矫?，所以，解得，，又，由幾何體的對(duì)稱性知，所以截面周長為，故D錯(cuò)誤，故選：ABC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若直線與直線平行，則實(shí)數(shù)的值為__________.〖答案〗〖解析〗由直線與不相交，得，解得或，當(dāng)時(shí)，直線的縱截距為，直線的縱截距為，則，當(dāng)時(shí)，直線的縱截距為，直線的縱截距為，則直線重合，所以實(shí)數(shù)的值為.故〖答案〗為：14.已知直線的方向向量為，平面的法向量為，且，則__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，所以，所以有，故〖答案〗為?15.已知圓與圓只有一條公切線，則__________.〖答案〗16〖解析〗圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，因?yàn)閳A與圓只有一條公切線，所以兩圓相內(nèi)切，所以，即，所以.故〖答案〗為：.16.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別是，，斜率為的直線經(jīng)過左焦點(diǎn)且交C于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，的內(nèi)切圓半徑為，若，則橢圓的離心率___________．〖答案〗〖解析〗如圖所示，由橢圓定義可得，，設(shè)的面積為，的面積為，因?yàn)?，所以，即，設(shè)直線，則聯(lián)立橢圓方程與直線，可得，由韋達(dá)定理得：，，又，即，化簡可得，即，即時(shí)，有.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知直線經(jīng)過點(diǎn)．（1）求直線的一般式方程；（2）若直線與直線垂直，且在軸上的截距為2，求直線的方程．解：（1）∵直線的斜率為，∴直線的方程為，∴直線的一般式方程為．（2）∵直線與直線垂直，由（1）知：直線的斜率為2，∴直線存在斜率，設(shè)直線的方程為，且，即，∴直線的方程為，即．18.已知橢圓，點(diǎn)．（1）若橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，求點(diǎn)到直線的距離；（2）若點(diǎn)是橢圓的弦的中點(diǎn)，求直線的方程．解：（1）如圖，∵橢圓方程為，點(diǎn)，∴橢圓的左焦點(diǎn)是，上頂點(diǎn)，則直線在軸、軸截距為和，∴直線的截距式方程為，可化為，∴點(diǎn)到直線的距離．（2）如圖，設(shè)，則，兩式相減得：，∴直線的斜率①，又∵點(diǎn)是橢圓的弦的中點(diǎn)，∴，，∴代入①式得：，∴直線的方程為，即．19.如圖，四棱錐中，面，底面為菱形，，M是中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值．解：（1）∵面，面，∴，又，∴平面.（2）取的中點(diǎn)為N，則兩兩垂直，∴以分別為x軸，y軸，z軸建立直角坐標(biāo)系如圖，則，設(shè)面的法向量為，則令，則，．又面，∴面的法向量，∴，又二面角的平面角為銳角，∴余弦值為．20.已知圓經(jīng)過，且圓心在直線上.（1）求圓的方程；（2）若從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過直線反射后恰好平分圓的圓周，求反射光線所在直線的方程.解：（1）由題知中點(diǎn)為，，所以的垂直平分線方程為，即，聯(lián)立，解得，即圓心為，所以圓的半徑為，故圓的方程為.（2）設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則直線與垂直，且的中點(diǎn)在直線上，則，解得，由題意知反射光線過圓心，故，即.21.在如圖所示的幾何體中，四邊形為矩形，平面，，，，點(diǎn)為棱上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)）．（1）當(dāng)為何值時(shí)，；（2）求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）由題意，∵四邊形為矩形，∴，∵直線平面，平面，∴，，即兩兩垂直，∴以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖，∵，，，∴，∴，，設(shè)，因點(diǎn)為棱上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），故，則，可得，∴，∵，∴，即，解得：或（舍去），∴，又因點(diǎn)為棱上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），∴．（2）設(shè)平面法向量，則，，∴，即令，解得：，，則，，∵，∴，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直