廣西專版2023-2024學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)綜合檢測A卷新人教版選擇性必修第三冊

綜合檢測(A卷)(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若X的分布列為X01P1a則E(X)=()A.45 B.1C.25 D.答案:A解析:由15+a=1,得a=45,則E(X)=0×15+12.某社區(qū)為了解本社區(qū)居民的受教育程度與年收入的關(guān)系,隨機(jī)調(diào)查了105戶居民,得到的2×2列聯(lián)表如下表所示:單位:戶文化程度年收入合計(jì)年收入5萬元以下年收入5萬元及以上高中文化以上104555高中文化及以下203050合計(jì)3075105若推斷“受教育程度與年收入有關(guān)系”,則這種推斷犯錯誤的概率不超過()A.5% B.1% C.0.5% D.0.1%答案:A解析:由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得χ2=105×(10×30-20×45)255×50×30×75≈6.3.若x+1xn展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,A.10 B.20 C.30 D.120答案:B解析:∵Cn0+Cn1+…+Cnn=Tk+1=C6kx6-kx-k=C6kx6令6-2k=0,得k=3,常數(shù)項(xiàng)T4=C63=20,故選4.6位選手依次演講,其中選手甲不在第一個也不在最后一個演講,則不同的演講次序共有()A.240種 B.360種 C.480種 D.720種答案:C解析:先排甲,有4種方法,剩余5人全排列有A55=120種,所以不同的演講次序有4×120=480故選C.5.在某次國際圍棋比賽中,甲、乙兩人進(jìn)入最后決賽.比賽采取五局三勝制,即先勝三局的一方獲得比賽冠軍,比賽結(jié)束.假設(shè)每局比賽甲勝乙的概率都為23,且各局比賽的勝負(fù)互不影響,則在不超過4局的比賽中甲獲得冠軍的概率為(A.19 B.8C.1627 D.答案:C解析:甲以3∶0獲勝為事件A,甲以3∶1獲勝為事件B,則A,B互斥,且P(A)=233=827,P(所以在不超過4局的比賽中甲獲得冠軍的概率為P=827故選C.6.小趙、小錢、小孫、小李到4個景點(diǎn)旅游,每人只去一個景點(diǎn),設(shè)事件A=“4個人去的景點(diǎn)彼此互不相同”,事件B=“小趙獨(dú)自去一個景點(diǎn)”,則P(A|B)=()A.59 B.4C.13 D.答案:D解析:若小趙獨(dú)自去一個景點(diǎn),則還有3個景點(diǎn)可選,其余3人只能在小趙剩下的3個景點(diǎn)中選擇,可能情況有3×3×3=27種,所以小趙獨(dú)自去一個景點(diǎn)的可能情況有4×27=108種.因?yàn)?個人去的景點(diǎn)不相同的可能性為4×3×2×1=24種,所以P(A|B)=241087.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),且P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,若μ=4,σ=1,則P(5<X<6)等于()A.0.6827 B.0.1359 C.0.2716 D.0.9545答案:B解析:由題意知,P(5<X<6)=12[P(2≤X≤6)-P(3≤X≤5)]=0.9545-08.某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率為p,這名射手進(jìn)行了10次射擊,設(shè)X為擊中目標(biāo)的次數(shù),D(X)=1.6,P(X=3)<P(X=7),則p=()A.0.8 B.0.6 C.0.4 D.0.2答案:A解析:由題可得隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(10,p).由D(X)=1.6,P(X=3)<P(X=7)可得10解得p=0.8.二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.5G技術(shù)的運(yùn)營不僅提高了網(wǎng)絡(luò)傳輸速度,更拓寬了網(wǎng)絡(luò)資源的服務(wù)范圍.目前,我國加速了5G技術(shù)的融合與創(chuàng)新,前景美好!某手機(jī)商城統(tǒng)計(jì)了5個月的5G手機(jī)銷量,如表所示:月份6月7月8月9月10月月份編號x12345銷量y/部5295a185227若y與x線性相關(guān),由上表數(shù)據(jù)求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y^=44x+10,則下列說法正確的是(A.5G手機(jī)的銷量逐月增加,平均每個月增加約10部B.a=151C.y與x正相關(guān)D.預(yù)計(jì)12月份該手機(jī)商城的5G手機(jī)銷量約為318部答案:BCD解析:經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y^=44x+10,5G手機(jī)的銷量逐月增加,平均每個月增加約44臺,故A不正確根據(jù)表中數(shù)據(jù),可得x=1+2+3+4+55=3,則y=44×3+10于是,52+95+a+185+227=142×5=710,即a=151,故B正確;由經(jīng)驗(yàn)回歸方程中x的系數(shù)大于0,可知y與x正相關(guān),且樣本相關(guān)系數(shù)r>0,故C正確;12月份時,x=7,y^=44×7+10=318(部),故D正確10.下列說法正確的是()A.已知隨機(jī)變量X,Y滿足X+2Y=4,且X服從正態(tài)分布N(3,1),則E(Y)=1B.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B5,13,則P(X=C.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(4,1),且P(X≥5)=0.1587,則P(3<X<5)=0.6826D.已知隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,且P(X=0)=0.6,P(X=1)=0.4,令Y=3X-2,則P(Y=-2)=0.6答案:ACD解析:對于A,已知隨機(jī)變量X,Y滿足X+2Y=4,X~N(3,1),所以Y=2-X2,且Y~N12,14,則E(Y)=1對于B,已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B5,13,則P(X=3)=C53對于C,已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(4,1),且P(X≥5)=0.1587,則P(3<X<5)=1-2×0.1587=0.6826,故C正確;對于D,已知隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,且P(X=0)=0.6,P(X=1)=0.4,令Y=3X-2,則P(Y=-2)=P(3X-2=-2)=P(X=0)=0.6,故D正確.故選ACD.11.設(shè)(2-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,那么()A.a0+a2+a4=122 B.a0+a1+a2+a3+a4+a5=1C.a1+a3+a5=-121 D.a1+a3=20答案:ABC解析:令x=1,可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=1,再令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+a4-a5=35.兩式相加除以2求得a0+a2+a4=122,兩式相減除以2可得a1+a3+a5=-121.又由條件可知a5=-1,故a1+a3=-120.12.兩個分類變量X和Y,值域分別為{x1,x2}和{y1,y2},其樣本頻數(shù)分別是a=10,b=21,c+d=35.若依據(jù)小概率值α的獨(dú)立性檢驗(yàn),X與Y有關(guān)系,且小概率值α不大于0.01,則c等于()臨界值參考:α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828(參考公式:χ2=n(ad-bcA.1 B.2 C.3 D.4答案:AB解析:列2×2列聯(lián)表如下:YX合計(jì)X=x1X=x2Y=y1102131Y=y2cd35合計(jì)10+c21+d66根據(jù)列聯(lián)表計(jì)算得χ2=66×[10(35-c)-21把選項(xiàng)A,B,C,D代入驗(yàn)證可知選AB.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.請把正確答案填在題中的橫線上.13.已知P(A)=0.6,P(B|A)=0.4,P(B|A)=0.3,則P(B)的值為.

答案:0.34解析:由P(A)=0.6,得P(A)=0.4,P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=0.4×0.4+0.6×0.3=0.16+0.18=0.34.14.二項(xiàng)式x2-1x6的展開式中x6項(xiàng)的系數(shù)為答案:1515解析:由題得Tk+1=C6k(x2)6-k-1xk=C6k(令12-3k=6,解得k=2,所以二項(xiàng)式x2-1x6的展開式中x6的系數(shù)為C62·令12-3k=0,得k=4,所以常數(shù)項(xiàng)為T4+1=C64(-1)4x0=15.某航空母艦將進(jìn)行一次編隊(duì)配置科學(xué)試驗(yàn),要求2艘攻擊型核潛艇一前一后,2艘驅(qū)逐艦和2艘護(hù)衛(wèi)艦分列左、右,同側(cè)不能都是同種艦艇,則艦艇分配方案的方法種數(shù)為.

答案:32解析:由題意,2艘攻擊型核潛艇一前一后,有A222艘驅(qū)逐艦和2艘護(hù)衛(wèi)艦分列左、右,同側(cè)不能都是同種艦艇,有C21則根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得艦艇分配方案的方法種數(shù)為A22C16.已知經(jīng)驗(yàn)回歸方程y^=b^x+0.6相應(yīng)于點(diǎn)(3,6.5)的殘差為-0.1,則b答案:2解析:由經(jīng)驗(yàn)回歸方程y^=b^x+0.6相應(yīng)于點(diǎn)(3,6.5)的殘差為可得當(dāng)x=3時,y^=6.把(3,6.6)代入y^=b^x+0.6,得6.6=3b即b^=2四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)某大學(xué)的2名教授帶領(lǐng)4名實(shí)習(xí)學(xué)生外出實(shí)習(xí),實(shí)習(xí)前在學(xué)院門口合影留念,實(shí)習(xí)結(jié)束后4名實(shí)習(xí)生就被安排在3所中學(xué)任教,請回答以下問題.(用數(shù)字作答)(1)若站成兩排合影,2名教授站在前排,4名實(shí)習(xí)學(xué)生在后排,則共有多少種不同的排法?(2)若站成一排合影,2名教授必須相鄰,則共有多少種不同的排法?(3)實(shí)習(xí)結(jié)束后,4名實(shí)習(xí)生被安排在3所中學(xué)任教,若每個中學(xué)至少一人去,則共有多少種不同的安排方法?解(1)根據(jù)題意,將2名教授全排列,安排在第一排,4名實(shí)習(xí)學(xué)生全排列,安排在第二排,有A22A4(2)根據(jù)題意,將2名教授看成一個整體,在4名學(xué)生中全排列,有A22A5(3)根據(jù)題意,先將4名實(shí)習(xí)生分三組,再將分好的三組安排到3所學(xué)校,共有C42A318.(12分)在二項(xiàng)式3x-12xn的展開式中,恰好第(1)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和;(2)展開式中所有的有理項(xiàng).解:(1)∵恰好第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,∴展開式有9項(xiàng),∴n=8,∴在二項(xiàng)式3x-12x8中,(2)通項(xiàng)為Tk+1=C8k(3x)8-k-1當(dāng)8-4k3為整數(shù),即k=2,5,8時,展開式是有理項(xiàng),即T3=-122·CT6=-125·C85·x-T9=-128·C88·x-19.(12分)隨著科技的發(fā)展,網(wǎng)絡(luò)已逐漸融入了人們的生活.網(wǎng)購是非常方便的購物方式,為了解網(wǎng)購在甲市的普及情況,某調(diào)查機(jī)構(gòu)進(jìn)行了有關(guān)網(wǎng)購的調(diào)查問卷,并從參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取了男、女各100人進(jìn)行分析,從而得到列聯(lián)表如下表所示:單位:人性別網(wǎng)購情況合計(jì)經(jīng)常網(wǎng)購偶爾或不用網(wǎng)購男性50100女性70100合計(jì)(1)完成上表,根據(jù)小概率值α=0.01的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn),能否推斷甲市市民網(wǎng)購與性別有關(guān)?(2)①現(xiàn)從所抽取的女性市民中利用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取10人,再從這10人中隨機(jī)選取3人贈送優(yōu)惠券,求選取的3人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購的概率;②將頻率視為概率,從甲市所有參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取10人贈送禮品,記其中經(jīng)常網(wǎng)購的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的均值和方差.解(1)完成列聯(lián)表:單位:人性別網(wǎng)購情況合計(jì)經(jīng)常網(wǎng)購偶爾或不用網(wǎng)購男性5050100女性7030100合計(jì)12080200零假設(shè)為H0:甲市市民網(wǎng)購與性別無關(guān).由列聯(lián)表,得χ2=200×(50×30-50×70)2100×根據(jù)小概率值α=0.01的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn),有充分證據(jù)推斷H0不成立,即甲市市民網(wǎng)購與性別有關(guān),此推斷犯錯誤的概率不大于0.01.(2)①由題意所抽取的10名女性市民中,經(jīng)常網(wǎng)購的有10×70100=7人偶爾或不用網(wǎng)購的有10×30100=3人因此選取的3人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購的概率為P=C7②由2×2列聯(lián)表可知,抽到經(jīng)常網(wǎng)購的市民的頻率為120200=0.將頻率視為概率,故從甲市市民中任意抽取一人,恰好抽到經(jīng)常網(wǎng)購市民的概率為0.6.由題意得X~B(10,0.6),可求得隨機(jī)變量X的均值E(X)=10×0.6=6,方差D(X)=10×0.6×0.4=2.4.20.(12分)某創(chuàng)業(yè)者計(jì)劃在某旅游景區(qū)附近租賃一套農(nóng)房發(fā)展成特色“農(nóng)家樂”,為了確定未來發(fā)展方向,此創(chuàng)業(yè)者對該景區(qū)附近五家“農(nóng)家樂”跟蹤調(diào)查了100天,這五家“農(nóng)家樂”的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)互不相同,得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示.x為收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)(單位:元/日),t為入住天數(shù)(單位:天),以頻率作為各自的“入住率”,收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)x與“入住率”y的散點(diǎn)圖如圖所示.x100150200300450t9065453020(1)若從以上五家“農(nóng)家樂”中隨機(jī)抽取兩家深入調(diào)查,記X為“入住率”超過0.6的農(nóng)家樂的個數(shù),求X的分布列;(2)設(shè)z=lnx,由散點(diǎn)圖判斷y^=b^x+a^與y^=b^z+a^(3)根據(jù)第(2)問所求的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,試求收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為多少時,100天銷售額L最大?(L=100×入住率×收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn))參考公式及數(shù)據(jù):b^=∑i=1nxi2=365000,∑i=1nxiyi=457.5,z≈5.35,z∑i=15ziyi≈12.72,e5≈150,e5.4解(1)由題圖可知X的所有可能取值為0,1,2,則P(X=0)=C3P(X=1)=C2P(X=2)=C2故X的分布列是X012P331(2)由散點(diǎn)圖可知y^=b^依題意,y=15×(0.9+0.65+0.45+0.3+0.2)=則b^=12.72-5×5.a^=y-b^z=0.5+0.47×故所求的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y^=-0.5lnx+3.0(3)依題意,L(x)=100(-0.5lnx+3.0)x=-50xlnx+300x,則L'(x)=-50lnx+250,由L'(x)>0,得lnx<5,0<x<e5.由L'(x)<0,得lnx>5,x>e5,故L(x)在區(qū)間(0,e5)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(e5,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.當(dāng)x=e5≈150時,L(x)取最大值,因此當(dāng)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)約為150元/日時,100天銷售額L最大.21.(12分)某商場舉行有獎促銷活動,顧客購買一定金額的商品后即可抽獎,每次抽獎都是從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中,各隨機(jī)摸出1個球.在摸出的2個球中,若都是紅球,則獲一等獎;若只有1個紅球,則獲二等獎;若沒有紅球,則未獲獎.(1)求顧客抽獎1次能獲獎的概率;(2)若某顧客有3次抽獎機(jī)會,記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為X,求X的分布列和均值.解(1)記事件A1={從甲箱中摸出的1個球是紅球},A2={從乙箱中摸出的1個球是紅球},B1={顧客抽獎1次獲一等獎},B2={顧客抽獎1次獲二等獎},C={顧客抽獎1次能獲獎}.由題意,A1與A2相互獨(dú)立,A1A2與A1A2互斥,B1與且B1=A1A2,B2=A1A2+A1A2,C=B因?yàn)镻(A1)=410=25,P(A2所以P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=25P(B2)=P(A1A2+A1A2)=P(A1A2)+P(A1A2)=P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2)=P(A1)(1-P(A2))+(1-P(A1))故所求概率為P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=15(2)顧客抽獎3次可視為3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),由(1)知,顧客抽獎1次獲一等獎的概率為15,由題意得獲一等獎的次數(shù)X可以為所以X~B3,于是P(X=0)=C3P(X=1)=C3P(X=2)=C3P(X=3)=C3故X的分布列為X0123P6448121X的均值為E(X)=3×1522.(12分)某機(jī)器生產(chǎn)商,對一次性購買兩臺機(jī)器的客戶推出兩種超過質(zhì)保期后兩年內(nèi)的延保維修方案:方案一,交納延保金6000元,在延保的兩年內(nèi)可免費(fèi)維修2次,超過2次每次收取維修費(fèi)1500元;方案二,交納延保金7740元,在延保的兩年內(nèi)可免費(fèi)維修4次,超過4次每次收取維修費(fèi)a元.某工廠準(zhǔn)備一次性購買兩臺這種機(jī)器,現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時應(yīng)購買哪種延保方案,為此搜集并整理了100臺這種機(jī)器超過質(zhì)保期后延保兩年內(nèi)維修的次數(shù),統(tǒng)計(jì)得下表:維修次數(shù)0123機(jī)器臺數(shù)20104030以這100臺機(jī)器維修次數(shù)的頻率代替一臺機(jī)器維修次數(shù)發(fā)生的概率.記X表示這兩臺機(jī)器超過質(zhì)保期后延保的兩年內(nèi)共需維修的次數(shù).(1)