專題5.7二次函數(shù)（章節(jié)復(fù)習(xí)考點(diǎn)講練）學(xué)生版

20232024學(xué)年蘇科版九年級下冊章節(jié)知識講練專題5.7二次函數(shù)（章節(jié)復(fù)習(xí)+考點(diǎn)講練）知識點(diǎn)01：二次函數(shù)的定義一般地，如果是常數(shù)，，那么叫做的二次函數(shù).

要點(diǎn)詮釋：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a≠0)，那么y叫做x的二次函數(shù)．這里，當(dāng)a=0時(shí)就不是二次函數(shù)了，但b、c可分別為零，也可以同時(shí)都為零．a(chǎn)的絕對值越大，拋物線的開口越小.知識點(diǎn)02：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：

①；②；③；④，

其中；⑤.（以上式子a≠0）

幾種特殊的二次函數(shù)的圖象特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)當(dāng)時(shí)

開口向上

當(dāng)時(shí)

開口向下(軸)(0，0)(軸)(0，)(，0)(，)()2.拋物線的三要素：

開口方向、對稱軸、頂點(diǎn).

(1)的符號決定拋物線的開口方向：當(dāng)時(shí)，開口向上；當(dāng)時(shí)，開口向下；相等，拋物線的開口大小、形狀相同.

(2)平行于軸(或重合)的直線記作.特別地，軸記作直線.

3.拋物線中，的作用：

(1)決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣.

(2)和的對稱軸是直線，

故：①時(shí)，對稱軸為軸；②(即、同號)時(shí)，對稱軸在軸左側(cè)；③(即、異號)時(shí)，對稱軸在軸右側(cè).

(3)的大小決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置.

當(dāng)時(shí)，，∴拋物線與軸有且只有一個交點(diǎn)(0，)：

①，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)；②，與軸交于正半軸；③，與軸交于負(fù)半軸.

軸右側(cè)，則.

4.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：

(1)一般式：（a≠0）.已知圖象上三點(diǎn)或三對、的值，通常選擇一般式.

(2)頂點(diǎn)式：（a≠0）.已知圖象的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.

(可以看成的圖象平移后所對應(yīng)的函數(shù).)

(3)“交點(diǎn)式”：已知圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式：

（a≠0）.(由此得根與系數(shù)的關(guān)系：).要點(diǎn)詮釋：求拋物線（a≠0）的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)通常用三種方法：配方法、公式法、代入法，這三種方法都有各自的優(yōu)缺點(diǎn)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際靈活選擇和運(yùn)用．知識點(diǎn)03：二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

函數(shù)，當(dāng)時(shí)，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因此二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況決定一元二次方程根的情況.

(1)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)，這時(shí)，則方程有兩個不相等實(shí)根；

(2)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點(diǎn)，這時(shí)，則方程有兩個相等實(shí)根；

(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，這時(shí)，則方程沒有實(shí)根.

通過下面表格可以直觀地觀察到二次函數(shù)圖象和一元二次方程的關(guān)系：

的圖象

的解方程有兩個不等實(shí)數(shù)解方程有兩個相等實(shí)數(shù)解

方程沒有實(shí)數(shù)解要點(diǎn)詮釋：二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的個數(shù)由的值來確定.(1)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)，這時(shí)，則方程有兩個不相等實(shí)根；

(2)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點(diǎn)，這時(shí)，則方程有兩個相等實(shí)根；

(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，這時(shí)，則方程沒有實(shí)根.

知識點(diǎn)04：利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題，要建立數(shù)學(xué)模型，即把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用題中存在的公式、內(nèi)含的規(guī)律等相等關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)去研究問題.在研究實(shí)際問題時(shí)要注意自變量的取值范圍應(yīng)具有實(shí)際意義.

利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題的一般步驟是：

(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；

(2)把實(shí)際問題中的一些數(shù)據(jù)與點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系起來；

(3)用待定系數(shù)法求出拋物線的關(guān)系式；

(4)利用二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)去分析問題、解決問題.要點(diǎn)詮釋：常見的問題：求最大(小)值(如求最大利潤、最大面積、最小周長等)、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線的模型問題等.解決這些實(shí)際問題關(guān)鍵是找等量關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式.

考點(diǎn)一：二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)【典例精講】（2022?皇姑區(qū)校級模擬）某同學(xué)在用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)y＝ax2+bx+c圖象時(shí)，列出了下面的表格：x…﹣2﹣1012…y…﹣11﹣21﹣2﹣5…由于粗心，他算錯了一個y值，則這個錯誤的數(shù)值是﹣5．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)和二次函數(shù)的性質(zhì)可知x＝0、x＝1、x＝﹣1對應(yīng)的函數(shù)值是正確的，從而可以求得二次函數(shù)的解析式，再將x＝2和x＝﹣2代入解析式，即可判斷哪個y值是錯誤的，本題得以解決．【規(guī)范解答】解：由表格可得，該二次函數(shù)的對稱軸是直線x＝0，經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2），∴，解得，，∴y＝﹣3x2+1，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝﹣11，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝﹣11，故答案為：﹣5．【考點(diǎn)剖析】本題考查二次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出函數(shù)的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．【變式訓(xùn)練11】（2023?濉溪縣模擬）已知二次函數(shù)y＝ax2+（b+1）x+c的圖象如圖所示，則二次函數(shù)y＝ax2+bx+c與正比例函數(shù)y＝﹣x的圖象大致為（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練12】（2019?旌陽區(qū)模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線y1＝x+3與拋物線的圖象如圖所示，點(diǎn)P是y2上的一個動點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y1的最短距離為．【變式訓(xùn)練13】（2019?海曙區(qū)一模）在坐標(biāo)平面內(nèi)，以x軸上的1個單位長為底邊按一定規(guī)律向上畫矩形條．現(xiàn)已知其中幾個矩形條的位置如圖，其相應(yīng)信息如表單位底位置…﹣3～﹣2﹣2～﹣1﹣1～00～11～22～33～4…矩形條高…1…………15…若所有矩形條的左上頂點(diǎn)都在我們已學(xué)的某類函數(shù)圖象上．根據(jù)所給信息，直接寫出這個函數(shù)圖象上的三個點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）求這個函數(shù)解析式；（3）若在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出所有這樣依次排列的矩形條，求這些矩形條中面積最小矩形條的面積．【變式訓(xùn)練14】（2021?乾縣模擬）有這樣一個問題：探究函數(shù)y＝x2+的圖象與性質(zhì)．小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對函數(shù)y＝x2+的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究．下面是小東的探究過程，請補(bǔ)充完整：（1）函數(shù)y＝x2+的自變量x的取值范圍是；（2）下表是y與x的幾組對應(yīng)值，請求出表中m的值；x…﹣3﹣2﹣1﹣﹣123…y…﹣﹣﹣m…（3）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，描出了以上表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，根據(jù)描出的點(diǎn)，畫出了該函數(shù)的圖象，請你結(jié)合函數(shù)的圖象，寫出該函數(shù)的其他性質(zhì)（最少寫出兩條）．考點(diǎn)二：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系【典例精講】（2023?雁江區(qū)校級模擬）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的圖象如圖所示，下面四個結(jié)論，①abc＜0；②a+c＜b；③2a+b＝1；④a+b≥m（am+b），其中全部正確的是①②④【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)圖象開口朝向確定a的符號，由圖象與y軸交點(diǎn)確定c的符號，由對稱軸為直線x＝1確定b的符號與b與a的比值，x＝1時(shí)函數(shù)值y最大．【規(guī)范解答】解：∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵對稱軸在y軸右側(cè)，∴a，b異號，b＞0，∵拋物線與y軸交點(diǎn)在y軸正半軸，∴c＞0，∴abc＜0，①正確．把x＝﹣1代入解析式得y＝a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，②正確．∵圖象對稱軸為直線x＝＝1，∴﹣b＝2a，即2a+b＝0，∴③錯誤．由a+b≥m（am+b）得a+b+c≥am2+bm+c，∵x＝1時(shí)函數(shù)值y＝a+b+c為最大值，∴④正確．故答案為：①②④．【考點(diǎn)剖析】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．【變式訓(xùn)練21】（2023春?灌云縣期中）已知y＝x2+（m﹣1）x+1，當(dāng)0≤x≤5且x為整數(shù)時(shí)，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是（）A．m＜﹣8 B．m≤﹣8 C．m＜﹣9 D．m≤﹣9【變式訓(xùn)練22】（2023春?長沙期中）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c圖象如圖，下列結(jié)論中：①b2＞4ac；②abc＜0；③2a+b﹣c＞0；④a﹣b+c＜0．正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式訓(xùn)練23】（2023?溫江區(qū)校級模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝ax2﹣2ax+a+3（a≠0）和直線y＝﹣x+4．（1）拋物線的對稱軸是；拋物線的頂點(diǎn)M坐標(biāo)為；（2）設(shè)該拋物線與直線y＝﹣x+4的一個交點(diǎn)為A，其橫坐標(biāo)為m，若，求a的取值范圍；（3）我們規(guī)定若函數(shù)圖象上存在一點(diǎn)P（s，t），滿足s+t＝1，則稱點(diǎn)P為函數(shù)圖象上“圓滿點(diǎn)”．例如：直線y＝2x﹣1上存在的“圓滿點(diǎn)”，若拋物線y＝ax2﹣2ax+a+3（a≠0）上存在唯一的“圓滿點(diǎn)”P，求此時(shí)△OPM的面積．考點(diǎn)三：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征【典例精講】（2023?廣州）已知點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）在拋物線y＝x2﹣3上，且0＜x1＜x2，則y1＜y2.（填“＜”或“＞”或“＝”）【思路點(diǎn)撥】依據(jù)題意，求出拋物線y＝x2﹣3的對稱軸x＝0，從而由二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)拋物線開口向下，故當(dāng)x＞0時(shí)y隨x的增大而減小，進(jìn)而判斷得解．【規(guī)范解答】解：由題意得拋物線y＝x2﹣3的對稱軸x＝0，又a＝1＞0，∴拋物線y＝x2﹣3開口向上．∴當(dāng)x＞0時(shí)y隨x的增大而增大．∴對于A、B當(dāng)0＜x1＜x2時(shí)，y1＜y2．故答案為：＜．【考點(diǎn)剖析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題時(shí)要熟練掌握并理解是關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練31】（2023?雁塔區(qū)校級一模）二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax+c（a＞0）的圖象過A（﹣2，y1），B（0，y2），C（3，y3），D（5，y4）四個點(diǎn)，下列說法一定正確的是（）A．若y1y2＞0，則y3y4＞0 B．若y1y4＞0，則y2y3＞0 C．若y2y4＜0，則y1y3＜0 D．若y3y4＜0，則y1y2＜0【變式訓(xùn)練32】（2023秋?荔城區(qū)校級月考）若二次函數(shù)y＝x2﹣6x+9的圖象經(jīng)過A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）三點(diǎn)，則y1，y2，y3大小關(guān)系為．【變式訓(xùn)練33】（2023?西湖區(qū)校級二模）已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x的圖象經(jīng)過A（x1，t），B（x2，t），C（m，n）三點(diǎn)，且x1＜x2．（1）當(dāng)t＝5時(shí)，求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）將點(diǎn)C先向右平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，得點(diǎn)D，若點(diǎn)D恰好落在該二次函數(shù)的圖象上，求n的值；（3）當(dāng)a≤m≤5時(shí)，n的最大值為5，n的最小值是﹣4，直接寫出a的取值范圍．【變式訓(xùn)練34】（2023?西城區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2）都在拋物線y＝ax2﹣2ax+8（a＜0）上，且﹣1＜x1＜2，1﹣m＜x2＜m+7．（1）當(dāng)m＝﹣2時(shí)，比較y1，y2的大小關(guān)系，并說明理由；（2）若存在x1，x2，滿足y1＝y(tǒng)2，求m的取值范圍．考點(diǎn)四：二次函數(shù)圖象與幾何變換【典例精講】（2023春?清河區(qū)校級月考）將拋物線C1：y＝x2﹣2x+3向左平移1個單位長度，得到拋物線C2，拋物線C2與拋物線C3關(guān)于y軸對稱，則拋物線C3的解析式為y＝x2+2．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)拋物線C1的解析式得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)頂點(diǎn)式及平移前后二次項(xiàng)的系數(shù)不變可得拋物線C2的得到坐標(biāo)，而根據(jù)關(guān)于y軸對稱的兩條拋物線的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，由此可得到拋物線C3所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．【規(guī)范解答】解：∵拋物線C1：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴拋物線C1的頂點(diǎn)為（1，2），∵向左平移1個單位長度，得到拋物線C2，∴拋物線C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），∵拋物線C2與拋物線C3關(guān)于y軸對稱，∴拋物線C3的開口方向相同，頂點(diǎn)為（0，2），∴拋物線C3的解析式為y＝x2+2．故答案為：y＝x2+2．【考點(diǎn)剖析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象的平移問題，只需看頂點(diǎn)坐標(biāo)是如何平移得到的即可，關(guān)于y軸對稱的兩條拋物線的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，難度適中．【變式訓(xùn)練41】（2022秋?廣饒縣校級期末）將拋物線y＝先向右平移2個單位，再向下平移3個單位，得到的拋物線所對應(yīng)的函數(shù)式為（）A．y＝（x+2）2+3 B．y＝（x﹣2）2﹣3 C．y＝（x+2）2﹣3 D．y＝（x﹣2）2+3【變式訓(xùn)練42】．（2022秋?法庫縣期末）把函數(shù)y＝（x﹣1）2+2圖象向左平移1個單位長度，平移后圖象的函數(shù)解析式為（）A．y＝x2+2 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x﹣1）2+3【變式訓(xùn)練43】（2023?舒城縣模擬）已知二次函數(shù)y＝x2﹣4mx+4m2+m﹣2（m是常數(shù)）．（1）當(dāng)m＝2時(shí)，求這個二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）隨著m的變化，二次函數(shù)的圖象發(fā)生變化，但它們的頂點(diǎn)都在某條線上，求這條線的函數(shù)解析式；（3）已知點(diǎn)P、Q關(guān)于函數(shù)對稱軸對稱，且P、Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是a﹣1，a+4m+7，求P點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值．考點(diǎn)五：二次函數(shù)的最值【典例精講】（2023?鹽都區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，點(diǎn)E、F分別是邊CD、BC上的動點(diǎn)，且∠AFE＝90°，當(dāng)DE為時(shí)，∠AED最大．【思路點(diǎn)撥】在Rt△ADE中，∠D＝90?，則tan∠AED＝，當(dāng)∠ADE增加時(shí)，tan∠AED＝也增加，因?yàn)锳D＝4，要使tan∠AED＝取最大值，所以DE取最小值，然后證明△ABF∽△FCE，利用二次函數(shù)求得DE的最小值即可．【規(guī)范解答】解：設(shè)DE＝y(tǒng)，CF＝x，∵矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠B＝∠C＝90°，∴CE＝CD﹣DE＝3﹣y，BF＝BC﹣CF＝4﹣x，∵∠AFE＝90°，∴∠AFB+∠CFE＝90?，又∵∠AFB+∠BAF＝90?，∴∠BAF＝∠CFE，∴Rt△ABF∽Rt△FCD，∴，即，整理得：y＝，∵a＝，∴當(dāng)x＝2時(shí)，y取最小值，∵Rt△ADE中，∠D＝90?，∴tan∠AED＝＝，∴要使tan∠AED＝去最大值，即∠AED最大時(shí)，y應(yīng)取最小值，∴y＝，即DE＝，故答案為：．【考點(diǎn)剖析】本題考查二次函的最值、三角形相似的判定和性質(zhì)、正切函數(shù)的性質(zhì)，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化的思想，靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練51】（2023春?樂清市月考）已知函數(shù)y＝ax2+2ax+1在﹣3≤x≤2上有最大值9，則常數(shù)a的值是（）A．1 B． C．或﹣8 D．1或﹣8【變式訓(xùn)練52】（2023?三明二模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，且a≠0）的最大值為a﹣b+c，且該二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)P（2，m2+3）Q（n，2m）兩點(diǎn)，則n的值可能是（）﹣6 B．﹣4 C．0 D．1【變式訓(xùn)練53】（2023?墨玉縣一模）如圖，在△ABC中，AC＝24cm，BC＝7cm，點(diǎn)P在BC上，從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動（不包括點(diǎn)C），速度為2cm/s；點(diǎn)Q在AC上，從點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動（不包括點(diǎn)A），速度為5cm/s．若點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)B，C同時(shí)運(yùn)動，且運(yùn)動時(shí)間記為ts，請解答下面的問題，并寫出探索的主要過程．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，P，Q兩點(diǎn)的距離為？（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PCQ的面積為15cm2？（3）點(diǎn)P運(yùn)動多少時(shí)間時(shí)，四邊形BPQA的面積最?。孔钚∶娣e是多少？考點(diǎn)六：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式【典例精講】（2023?錫山區(qū)校級模擬）寫出一個頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，2）且開口向下的拋物線的解析式y(tǒng)＝﹣（x﹣1）2+2（答案不唯一）．【思路點(diǎn)撥】由題意可以設(shè)函數(shù)解析式為y＝a（x﹣1）2+2，只要a＜0即可．【規(guī)范解答】解：∵拋物線開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），∴a＜0，設(shè)函數(shù)解析式為y＝a（x﹣1）2+2，只要a＜0取值即可；故答案為：y＝﹣（x﹣1）2+2（答案不唯一）．【考點(diǎn)剖析】本題考查二次函數(shù)解析式的求法；熟練掌握二次函數(shù)解析式的頂點(diǎn)式，同時(shí)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練61】（2023秋?江漢區(qū)校級月考）已知拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0）和點(diǎn)C（0，﹣3）．（1）求拋物線解析式；（2）該拋物線的對稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是，當(dāng)x＝時(shí)，y有最值（填大或小）為．【變式訓(xùn)練62】（2023秋?通榆縣月考）設(shè)二次函數(shù)y＝ax2+bx+1（a≠0，b是實(shí)數(shù)）．已知函數(shù)值y和自變量x的部分對應(yīng)取值如表所示：x…﹣10123…y…410mn…（1）求此二次函數(shù)的解析式．（2）m＝，n＝，并在圖中畫出二次函數(shù)的大致圖象．【變式訓(xùn)練63】（2023?南山區(qū)三模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0），且OB＝OC．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如圖，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，求△BCD的面積．考點(diǎn)七：二次函數(shù)的三種形式【典例精講】（2017春?雁塔區(qū)月考）把函數(shù)y＝﹣x2﹣4x﹣5配方得，它的開口方向，頂點(diǎn)坐標(biāo)是，對稱軸是，當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)y有最值為．【思路點(diǎn)撥】運(yùn)用配方法將已知的函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式即可回答問題．【規(guī)范解答】解：y＝﹣x2﹣4x﹣5＝﹣（x2+4x+5）＝﹣（x+2）2﹣1．∵a＝﹣1＜0，∴開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)（﹣2，﹣1），對稱軸為直線x＝﹣2．當(dāng)x＝﹣2時(shí)，函數(shù)y有最大值為﹣1，故答案為：y＝﹣（x+2）2﹣1，下，（﹣2，﹣1），直線x＝﹣2，﹣2，大，﹣1．【考點(diǎn)剖析】此題考查了運(yùn)用配方法把二次函數(shù)的一般式化為頂點(diǎn)式的方法，熟練掌握配方法及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練71】（2017?東安縣模擬）把二次函數(shù)y＝（x﹣2）2+1化為y＝x2+bx+c的形式，其中b、c為常數(shù)，則b+c＝．【變式訓(xùn)練72】（2012?融安縣一模）將二次函數(shù)y＝2x2﹣4x+7配方成y＝a（x+m）2+k的形式為【變式訓(xùn)練73】（2015?青島模擬）請?jiān)谙铝袃蓚€小題中，任選其一完成即可（1）解方程：+2＝；（2）已知二次函數(shù)y＝﹣2x2+8x．用配方法把該函數(shù)化為y＝a（x﹣h）2+k（其中a、h、k都是常數(shù)且a≠0）的形式，并指出函數(shù)圖象的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．考點(diǎn)八：拋物線與x軸的交點(diǎn)【典例精講】（2023?城陽區(qū)校級一模）已知拋物線y＝（x﹣2）2﹣3的部分圖象如圖所示，若y≤0，則x的取值范圍為﹣1≤x≤5．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)解析式，得拋物線的對稱軸為x＝2，開口向上，拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為（5，0），結(jié)合圖形即可求解．【規(guī)范解答】解：∵y＝（x﹣2）2﹣3，∴拋物線的對稱軸為x＝2，開口向上，拋物線與x軸的一個交點(diǎn)為（﹣1，0），則（﹣1，0）關(guān)于x＝2對稱的點(diǎn)為（5，0），即拋物線與x軸另一個交點(diǎn)為（5，0），所以y≤0時(shí)，x的取值范圍是﹣1≤x≤5．故答案為：﹣1≤x≤5．【考點(diǎn)剖析】本題考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練81】（2023?肅州區(qū)三模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，若方程ax2+bx+c＝k有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是．【變式訓(xùn)練82】（2023秋?潮南區(qū)校級月考）如圖，拋物線y＝﹣x2+4交x軸于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)是C．（1）求點(diǎn)A，C的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)P在拋物線上，且S△PAB＝4，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【變式訓(xùn)練83】（2023?香河縣校級三模）如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，﹣1），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）．（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)0≤x≤3時(shí)，y的取值范圍為；（3）直接寫出該二次函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的平移恰好過點(diǎn)（0，﹣4），且與x軸只有一個公共點(diǎn)．考點(diǎn)九：二次函數(shù)與不等式（組）【典例精講】（2023?振興區(qū)校級一模）如圖，已知拋物線y＝ax2+c與直線y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）兩點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式ax2+c≤kx+m的解集是（）A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3【思路點(diǎn)撥】利用數(shù)形結(jié)合思想，把不等式的解集轉(zhuǎn)化為圖象的交點(diǎn)問題求解．【規(guī)范解答】解：如圖所示：∵A（﹣3，y1），B（1，y2），根據(jù)函數(shù)圖象得：不等式ax2+c≤kx+m的解集是x≥1或x≤﹣3，故選：A．【考點(diǎn)剖析】本題考查了二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合的思想，把不等式解集轉(zhuǎn)化為圖象的交點(diǎn)問題是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練91】（2023?洪山區(qū)模擬）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示．對稱軸為x＝1，圖象過點(diǎn)A，且9a+3b+c＝0，以下結(jié)論：①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③關(guān)于x的不等式﹣ax2+2ax﹣c＞0的解集：﹣1＜x＜3；④若，且x1≠x2，則x1+x2＝2；其中正確的結(jié)論是．【變式訓(xùn)練92】（2023?瀘縣校級模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過A（0，﹣2），B（2，0）兩點(diǎn)．（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）若一次函數(shù)y＝mx+n的圖象也經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，結(jié)合圖象，直接寫出不等式x2+bx+c＜mx+n的解集．【變式訓(xùn)練93】（2022?建鄴區(qū)二模）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題：（1）寫出方程ax2+bx+c＝0的兩個根；（2）寫出方程ax2+bx+c＜0時(shí)x的取值范圍；（3）寫出y隨x的增大而減小的自變量x的取值范圍；（4）若方程ax2+bx+c＝k有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍．考點(diǎn)十：二次函數(shù)的應(yīng)用【典例精講】（2023?襄陽）如圖，一位籃球運(yùn)動員投籃時(shí)，球從A點(diǎn)出手后沿拋物線行進(jìn)，籃球出手后距離地面的高度y（m）與籃球距離出手點(diǎn)的水平距離m）之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝﹣（x﹣）2+．下列說法正確的是①（填序號）．?m；m．【思路點(diǎn)撥】先求y＝﹣（x﹣）2+的頂點(diǎn)為（1.5，3.5），再求x＝0時(shí)y的值即可判斷．【規(guī)范解答】解：由y＝﹣（x﹣）2+的頂點(diǎn)為（1.5，3.5），m，即①正確；由y＝﹣（x﹣）2+當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣0.2×2.25+3.5＝3.05，即②不正確；故答案為：①．【考點(diǎn)剖析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的應(yīng)用，充分利用函數(shù)表達(dá)式是關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練101】（2023?鄉(xiāng)寧縣二模）如圖所示的是卡塔爾世界杯足球比賽中某一時(shí)刻的鷹眼系統(tǒng)預(yù)測畫面（圖1）和截面示意圖（圖2），足球的飛行軌跡可看成拋物線，足球離地面的高度h（m）與足球被踢出后經(jīng)過的時(shí)間t（s）之間的關(guān)系的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：則該運(yùn)動員踢出的足球在第8s落地．t/s0123…h(huán)/m0…【變式訓(xùn)練102】（2023秋?黃岡月考）某商店決定購進(jìn)A、B兩種小禮品．若購進(jìn)A種小禮品15件，B種小禮品10件，需要450元；A種小禮品9件，B種小禮品12件，需360元．（1）求A、B兩種小禮品每件進(jìn)價(jià)各多少元？（2）若該商店決定購進(jìn)這兩種小禮品共100件，考慮市場需求和資金周轉(zhuǎn)，用于購買這100件小禮品的資金不少于1800元，但不超過1812元，那么該商店共有哪幾種進(jìn)貨方案？（3）已知該商店出售一件A種小禮品可獲利t元，出售一件B種小禮品可獲利（6﹣t）元，在（2）的條件下，商店采用哪種進(jìn)貨方案獲利最多？（商店出售的小禮品標(biāo)價(jià)均不低于進(jìn)價(jià)）【變式訓(xùn)練103】（2023秋?浙江月考）供銷社作為國家實(shí)施“鄉(xiāng)村振興”戰(zhàn)略的中堅(jiān)力量，可以幫助農(nóng)民分配協(xié)調(diào)農(nóng)產(chǎn)品，推動全國統(tǒng)一大市場盡快構(gòu)建完成，給老百姓帶來真正的實(shí)惠．某供銷社指導(dǎo)農(nóng)民生產(chǎn)和銷售當(dāng)?shù)靥禺a(chǎn)，對該特產(chǎn)的產(chǎn)量與市場需求，成本與售價(jià)進(jìn)行了一系列分析，發(fā)現(xiàn)該特產(chǎn)產(chǎn)量y產(chǎn)量（單位：噸）是關(guān)于售價(jià)x（單位：元/千克）的一次函數(shù)，即y產(chǎn)量＝200x﹣100；而市場需求量y需求（單位：噸）是關(guān)于售價(jià)x（單位：元/千克）的二次函數(shù)，部分對應(yīng)值如表．售價(jià)x（元/千克）…2345…需求量y需