微積分三大中值定理詳解

§4.1 微分中值定理§4.2 洛必達(dá)法那么§4.3 用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、和最值§4.4 函數(shù)曲線的凹向及拐點(diǎn)§4.5曲線的漸近線與函數(shù)作圖§4.6導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用第四章中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1整理ppt§4.1微分中值定理一、引言二、微分中值定理

1、羅爾(Rolle)定理

2、拉格朗日(Lagrange)定理

3、柯西(Cauchy)定理三、小結(jié)2整理ppt一、引言(Introduction)導(dǎo)數(shù)刻劃函數(shù)在一點(diǎn)處的變化率，它反映函數(shù)在一點(diǎn)處的局部變化性態(tài)；但在理論研究和實(shí)際應(yīng)用中，還需要把握函數(shù)在某區(qū)間上的整體變化性態(tài)。中值定理揭示了函數(shù)在某區(qū)間上的整體性質(zhì)與該區(qū)間內(nèi)某一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。中值定理既是利用微分學(xué)解決應(yīng)用問題的模型，又是解決微分學(xué)自身開展的理論基石。3整理ppt二、微分中值定理TheMeanValueTheorem

在微分中值定理的三個定理中，拉格朗日(Lagrange)中值定理是核心定理，羅爾中值定理是它的特例，柯西中值定理是它的推廣。下面我們逐一介紹微分中值定理。4整理ppt1、羅爾(Rolle)定理(R-Th)1)在閉區(qū)間上連續(xù);

2)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo);有一點(diǎn)則在內(nèi)至少使若函數(shù)滿足：3)aboyABx5整理ppt幾何意義:在兩端點(diǎn)高度相同的連續(xù)光滑的曲線弧上,假設(shè)除端點(diǎn)外處處有不垂直于x軸的切線,那么此曲線弧上至少有一點(diǎn)處的切線是水平的.或者說切線與端點(diǎn)的連線AB平行.aboyABx6整理ppt證明xaboyAB1)若即恒為常數(shù),可取(a,b)內(nèi)任一點(diǎn)作為2)若由知,M,m至少有一個要在內(nèi)取得.不妨設(shè)M在內(nèi)點(diǎn)處取得,即所以,證畢.7整理ppt注意：羅爾定理的條件組是結(jié)論成立的充分條件，任一條都不是必要條件。假設(shè)函數(shù)不滿足條件組，那么不一定有羅爾定理的結(jié)論。8整理pptxyo1

11再如,在右端點(diǎn)不連續(xù),但·9整理ppt然而,注意：零值定理求函數(shù)的零點(diǎn)(函數(shù)方程的實(shí)根)，羅爾定理求導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)(導(dǎo)數(shù)方程的實(shí)根)。題型1：驗(yàn)證定理的正確性。定理結(jié)論中的客觀存在，且可能不唯一，但未給出其具體位置。令導(dǎo)數(shù)為零，求解方程的根，可確定其具體位置。題型2：找區(qū)間(比較復(fù)雜)；題型3：找函數(shù)(由結(jié)論入手，求解微分方程)在x=0處不可導(dǎo),也不存在結(jié)論中的點(diǎn)10整理ppt11整理ppt12整理ppt13整理ppt注：本例中，應(yīng)用定理的關(guān)鍵是主動找區(qū)間。14整理ppt15整理ppt16整理ppt例4設(shè)f(x)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=0，試證在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使f()+f'()=0證明：構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)ex那么F(a)=f(a)ea=0F(b)=f(b)eb=0由于F(x)在[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且F'(x)=f'(x)ex+f(x)ex所以，在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，有F'()=0即ef'()+ef()=0∴f()+f'()=017整理ppt例5f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)，a<x1<x2<x3<b，且f(x1)=f(x2)=f(x3)，試證明在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使f"()=0證明：∵f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo)∴f(x)在區(qū)間[x1,x2]，[x2,x3]內(nèi)連續(xù)可導(dǎo)∵f(x1)=f(x2)=f(x3)由羅爾定理，存在1∈(x1,x2)，2∈(x2,x3)使得f'(1)=0，f'(2)=0∴再由羅爾定理得，18整理ppt解答19整理ppt20整理ppt練一練解答21整理ppt練一練解答2〕唯一性由零點(diǎn)定理即為方程的正實(shí)根.矛盾,1〕存在性注意：在后面，此題還將用其他方法加以證明。22整理ppt2、拉格朗日(Lagrange)定理(L-Th)或1)在閉區(qū)間上連續(xù);

2)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo);至少有一點(diǎn)若函數(shù)滿足：aboyABxC則在內(nèi)定理23整理ppt幾何意義：在連續(xù)、光滑的曲線弧上，除端點(diǎn)外處處有不垂直于x軸的切線，那么在曲線弧上至少存在一點(diǎn)C，在該點(diǎn)處的切線與連接兩端點(diǎn)的弦平行.aboyABxC24整理ppt分析要證即證即證令只須證只須證在上滿足羅爾定理?xiàng)l件.25整理ppt證明易見在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且即根據(jù)羅爾定理知，使即即構(gòu)造輔助函數(shù)26整理ppt2)定理結(jié)論肯定中間值的客觀存在,但未指明確切位置,可通過求解導(dǎo)數(shù)方程確定。(題型1：驗(yàn)證定理的正確性)1)定理的條件組是充分條件。.注意3)題型2：找區(qū)間；4)題型3：找函數(shù)；5)題型4：證明等式；6)題型5：證明不等式。27整理ppt1)(1)或(2)式對于時也成立.拉格朗日中值公式.2)若令則,于是拉格朗日公式可寫成:(3)3)若令那么得有限增量公式:(4)說明（2）注式中的可能不止一個,這并不影響它在理論上的應(yīng)用28整理ppt4〕是函數(shù)增量的近似表達(dá)式是函數(shù)增量的精確表達(dá)式29整理ppt證明不妨設(shè)在上應(yīng)用中值定理,使所以,,由的任意性知,對30整理ppt31整理ppt例8函數(shù)f(x)在(,+)內(nèi)滿足關(guān)系式f'(x)=f(x)，且f(0)=1,證明：f(x)=ex。證明：構(gòu)造函數(shù)32整理ppt證明由推論1知即33整理ppt解在閉區(qū)間[0，1]上連續(xù),在開區(qū)間(0,1)內(nèi)可導(dǎo),滿足拉格朗日中值定理的條件,即即確實(shí)在(0,1)內(nèi)找到使定理成立.應(yīng)用定理知例9

驗(yàn)證拉格朗日中值定理對函數(shù)在區(qū)間[0,1]上的正確性,并求34整理ppt解答35整理ppt時,例10

證明:

當(dāng)證

設(shè)對在上應(yīng)用拉氏中值定理,,使即因

所以即36整理ppt37整理ppt38整理ppt證明39整理ppt40整理ppt證明41整理ppt42整理ppt若函數(shù)滿足:則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得1)在閉區(qū)間上連續(xù);

2)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo);且3、柯西(Cauchy)中值定理(C-Th)定理43整理ppt44整理ppt45整理ppt

思考2、證明46整理ppt解答2o對f(x)在[b,a]上用拉格朗日公式,即2、證明1o由所要證明的不等式選定一函數(shù)f(x)及定義區(qū)間:令

f(x)=lnx,x∈[b,a].1、B.點(diǎn)c不能為任意，因?yàn)楹瘮?shù)和區(qū)間確定時，L-TH結(jié)論中的c的位置是客觀確定的。47整理ppt例17：設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，證明：在(a,b)內(nèi)存在一點(diǎn)ξ，η,使得f(x)，g(x)在[a,b]上滿足柯西中值定理，在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)η，使得48整理ppt左邊分母有理化又因?yàn)閒(x)在[a,b]上滿足拉格朗日中值定理，所以在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得49整理ppt小結(jié)：羅爾定理

如果函數(shù)y

f(x)在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù)

在開區(qū)間(a

b)內(nèi)可導(dǎo)

且有f(a)

f(b)

那么至少存在一點(diǎn)x

(a

b)

使得f

(x)

0

如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù)

在開區(qū)間(a

b)內(nèi)可導(dǎo)

那么在(a

b)內(nèi)至少有一點(diǎn)x

使得f(b)

f(a)

f

(x)(b

a)

拉格朗日中值定理1.三個中值定理50整理ppt柯西中值定理

函數(shù)f(x)及F(x)在閉區(qū)間[a