專題22成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計問題（教師版）

專題22成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計問題成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計問題主要通過成對樣本數(shù)據(jù)（二維數(shù)據(jù)）研究兩個變量之間的關(guān)系，學(xué)習(xí)成對數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)處理方法，并根據(jù)樣本估計總體的思想，通過成對樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特征推斷兩個變量（二維總體）的統(tǒng)計特征，具體體現(xiàn)在了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計含義，了解一元線性回歸模型和2×2成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計問題主要通過成對樣本數(shù)據(jù)（二維數(shù)據(jù)）研究兩個變量之間的關(guān)系，學(xué)習(xí)成對數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)處理方法，并根據(jù)樣本估計總體的思想，通過成對樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特征推斷兩個變量（二維總體）的統(tǒng)計特征，具體體現(xiàn)在了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計含義，了解一元線性回歸模型和2×2列聯(lián)表及獨立性檢驗，會應(yīng)用這些方法解決簡單的實際問題。本專題的探究一主要包含成對數(shù)據(jù)相關(guān)性的判斷依據(jù)—樣本相關(guān)系數(shù)的理解，一元線性回歸模型和可以轉(zhuǎn)化為一元線性回歸模型的計算，以及利用這個模型進(jìn)行預(yù)測。探究二主要是考查一對分類變量是否具有關(guān)聯(lián)性，而獨立性檢驗為我們提供了解決這類問題的辦法，可借助例2梳理獨立性檢驗的步驟.探究三是概率與統(tǒng)計案例的綜合應(yīng)用，常涉及相互獨立事件同時發(fā)生的概率、頻率分布直方圖的識別與應(yīng)用、數(shù)字特征、獨立性檢驗，回歸方程等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的閱讀理解能力、數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力及應(yīng)用意識，綜合性強，要善于把問題分解成我們熟悉的問題進(jìn)而利用所學(xué)知識進(jìn)行求解?！戏拾酥懈呒壗處煼叫裉骄?：成對數(shù)據(jù)的分析【典例剖析】例1.(2022·浙江省模擬)創(chuàng)新是民族的靈魂，某大型企業(yè)對其產(chǎn)品進(jìn)行研發(fā)與創(chuàng)新，根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到研發(fā)投入x(億元)與研發(fā)創(chuàng)新的直接收益y(億元)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：x2346810132122232425y1322314250565868.56867.56666當(dāng)0<x≤17時，建立了y與z的兩個回歸模型：模型=1\*GB3①：y=4.1x+11.8；模型=2\*GB3②：y=21.3x-14.4；當(dāng)x>17時，確定y與x滿足的線性回歸方程為：y=-0.7x+a(1)根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當(dāng)0<x≤17時模型=1\*GB3①、=2\*GB3②的決定系數(shù)R2，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測該企業(yè)對產(chǎn)品創(chuàng)新改造的投入為17億元時的直接收益．回歸模型模型=1\*GB3①模型=2\*GB3②回歸方程yyi=1182.479.2(附：刻畫回歸效果的決定系數(shù)R2=1-i=1n(2)為鼓勵科技創(chuàng)新，當(dāng)研發(fā)的投入不少于20億元時，國家給予公司補貼收益10億元，以回歸方程為預(yù)測依據(jù)，比較研發(fā)改造投入17億元與20億元時公司實際收益的大小．(附：b=i=1(3)研發(fā)改造后，該公司F產(chǎn)品的效率X大幅提高，X服從正態(tài)分布N(0.52,0.012)，公司對研發(fā)團(tuán)隊的獎勵方案如下：若F產(chǎn)品的效率不超過50％，不予獎勵；若F產(chǎn)品的效率超過50％但不超過53％，每件F產(chǎn)品獎勵2萬元；若F產(chǎn)品的效率超過53％(附：隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則選題意圖:選題意圖:成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性及一元線性回歸模型，常以解答題的形式考查簡單的實際問題，難度一般.試題具有圖表豐富、數(shù)據(jù)與閱讀信息量大的特點,考查數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).例1綜合考查模型的選擇與應(yīng)用及正態(tài)分布，對分析問題的能力、運算能力要求較高.思維引導(dǎo)：第（1）問計算R2的值，選擇合適的模型；第（2）問利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測；第（3）問利用正態(tài)分布的特點求出獎勵Y分別取0、2、5時的概率，從而求出E【解析】(1)由表格中的數(shù)據(jù)，有182.4>79.2，即182.4i=17(yi-y)2>79.2i=17(yi-y)2，

所以模型=1\*GB3①的R2小于模型=2\*GB3②，說明回歸模型=2\*GB3②刻畫的擬合效果更好，

所以當(dāng)x=17億元時，研發(fā)改造直接收益的預(yù)測值為

y=21.3×17-14.4≈21.3×4.1-14.4=72.93(億元)，

(2)由已知可得：x-20=1+2+3+4+55=3?x=23，

y-60=8.5+8+7.5+6+65=7.2?y=67.2，

所以a=y+0.7x=67.2+0.7×23=83.3，

所以當(dāng)x>17億元時，y與x滿足的線性回歸方程為y=-0.7x+83.3，

當(dāng)x=20億元時，研發(fā)改造直接收益的預(yù)測值為y=-0.7×20+83.3=69.3；

當(dāng)x=20億元時，實際收益的預(yù)測值為69.3+10=79.3億元>72.93

Y

0

2

5

P

0.0228

0.8185

0.1587所以每件F產(chǎn)品獲得獎勵的期望值為：

E(Y)=0×0.0228+2×0.8185+5×0.1587=2.4305(萬元)．

【變式訓(xùn)練】練11(2022·福建省模擬·多選)某班級學(xué)生開展課外數(shù)學(xué)探究活動，將一杯冷水從冰箱中取出后靜置，在25℃的室溫下測量水溫y(單位：℃)隨時間x(單位：min)的變化關(guān)系，在測量了15個數(shù)據(jù)后，根據(jù)這些實驗數(shù)據(jù)(xi,y現(xiàn)需要選擇合適的回歸方程進(jìn)行回歸分析，則根據(jù)散點圖，合適的回歸方程類型有(

)A.y=25-c1e-c2【解析】散點圖的特點是單調(diào)遞增，增長速度越來越慢，且水溫y<?25．

對A選項，符合散點圖的特點；

對B選項，y=25+c1x+c2≥25不符合散點圖的特點；

對C選項，符合散點圖的特點；

對D練12(2022·湖北省武漢市聯(lián)考)2018年9月10日，全國教育大會在北京召開，習(xí)近平總書記在會上提出“培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的社會主義建設(shè)者和接班人”.某學(xué)校貫徹大會精神，為學(xué)生開設(shè)了一門模具加工課，經(jīng)過一段時間的學(xué)習(xí)，擬舉行一次模具加工大賽，學(xué)生小明、小紅打算報名參加大賽．(1)賽前，小明進(jìn)行了一段時間的強化訓(xùn)練，加工完成一個模具的平均速度y(秒)與訓(xùn)練天數(shù)x(天)有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計得到如下表數(shù)據(jù)：x(天)1234567y(秒)990990450320300240210經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，可用y=a+bx作為回歸方程模型，請利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程，并預(yù)測小明經(jīng)過50天訓(xùn)練后，加工完成一個模具的平均速度(2)小明和小紅擬先舉行一次模擬賽，每局比賽各加工一個模具，先加工完成模具的人獲勝，兩人約定先勝4局者贏得比賽．若小明每局獲勝的概率為35，已知在前3局中小明勝2局，小紅勝1局．若每局不存在平局，請你估計小明最終贏得比賽的概率，參考數(shù)據(jù)：(其中i=1ti=118450.370.55參考公式：對于一組數(shù)據(jù)(u1,v1)，(u2,v2【解析】(1)由題意，y=17(990+990+450+320+300+240+210)=500，

令t=1x，設(shè)y關(guān)于t的線性回歸方程為y=bt+a，則

b=i=17tiyi-7t?yi=17ti2-7t2=1845-7×0.37×5000.55=1000，

則a=500-1000×0.37=130，

∴y=1000t+130，又t=1x，

∴y關(guān)于x的回歸方程為y=1000x+130，

故x=50時，y=150，

∴經(jīng)過50天訓(xùn)練后，加工完成一個模具的平均速度y約為150秒;

【規(guī)律方法】1.判斷相關(guān)關(guān)系的兩種方法=1\*GB3①散點圖法：如果樣本點的分布從整體上看大致在某一曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系；如果樣本點的分布從整體上看大致在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系.=2\*GB3②決定系數(shù)法：利用決定系數(shù)判定，R2越趨近1，擬合效果越好，相關(guān)性越強.2.求經(jīng)驗回歸方程：=1\*GB3①利用公式b=i=1nxiyi-nxy=2\*GB3②經(jīng)驗回歸方程的擬合效果，可以利用相關(guān)系數(shù)|r|判斷，當(dāng)|r|R2判斷，R2越大，擬合效果越好.3.非線性經(jīng)驗回歸方程轉(zhuǎn)化為線性經(jīng)驗回歸方程：①若y=a+bx②若滿足對數(shù)式：y=a+blnx③若滿足指數(shù)式：y=c1ec2x，兩邊取對數(shù)探究2：獨立性檢驗【典例剖析】例2.(2022·湖北省聯(lián)考)為了檢測某種抗病毒疫苗的免疫效果，需要進(jìn)行動物與人體試驗.研究人員將疫苗注射到200只小白鼠體內(nèi)，一段時間后測量小白鼠的某項指標(biāo)值，按[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]分組，繪制頻率分布直方圖如圖所示.試驗發(fā)現(xiàn)小白鼠體內(nèi)產(chǎn)生抗體的共有160只，其中該項指標(biāo)值不小于60的有110只．

假設(shè)小白鼠注射疫苗后是否產(chǎn)生抗體相互獨立．

(1)填寫下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表及α=0.05的獨立性檢驗，判斷能否認(rèn)為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60有關(guān)．

單位：只指標(biāo)值抗體小于60不小于60合計有抗體沒有抗體合計

(2)為檢驗疫苗二次接種的免疫抗體性，對第一次注射疫苗后沒有產(chǎn)生抗體的40只小白鼠進(jìn)行第二次注射疫苗，結(jié)果又有20只小白鼠產(chǎn)生抗體．

(i)用頻率估計概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率p;

(ii)以(i)中確定的概率p作為人體注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率，進(jìn)行人體接種試驗，記n個人注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的數(shù)量為隨機變量X.試驗后統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，當(dāng)X=99時，P(X)取最大值，求參加人體接種試驗的人數(shù)n及E(X)．

參考公式：χ2=n(ad-bc)P(0.500.400.250.150.1000.0500.025k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024選題意圖選題意圖：獨立性檢驗可以單獨考查，也可與概率、隨機變量的分布列、期望等交匯考查，通過對統(tǒng)計案例的分析，掌握獨立性檢驗的方法，體會獨立性檢驗的基本思想在解決實際問題中的應(yīng)用，借助例2梳理獨立性檢驗的步驟.思維引導(dǎo)：第（1）問分析頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)，填寫2×2列聯(lián)表，計算χ2的值，從而判斷犯錯概率不大于0.05；第（=1\*romani）問利用正難則反的思想，先求2次疫苗后均未產(chǎn)生抗體的概率，再求其對立事件的概率;第（=2\*romanii）問中，Χ~Bn,0.9，將PΧ=9最大，轉(zhuǎn)化為PΧ=9≥PΧ=8,PΧ=9≥P【解析】(1)由頻率分布直方圖，知200只小白鼠按指標(biāo)值分布為：

在[0,20)內(nèi)有0.0025×20×200=10(只);

在[20,40)內(nèi)有0.00625×20×200=25(只):

在[40,60)內(nèi)有0.00875×20×200=35(只):

在[60,80)內(nèi)有0.025×20×200=100(只):

在[80,100]內(nèi)有0.0075×20×200=30(只)．

由題意，有抗體且指標(biāo)值小于60的有50只；而指標(biāo)值小于60的小白鼠共有10+25+35=70只，所以指標(biāo)值小于60且沒有抗體的小白鼠有20只，同理，指標(biāo)值不小于60且沒有抗體的小白鼠有20只，故列聯(lián)表如下：

單位：只抗體指標(biāo)值合計小于60不小于60有抗體50110160沒有抗體202040合計70130200

零假設(shè)為H0:注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60無關(guān)聯(lián)．

根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，得χ2=200×(50×20-20×110)2160×40×70×130≈4.945>3.841=x0.05．

根據(jù)α=0.05的獨立性檢驗，推斷H0不成立，即認(rèn)為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05．

(2)(i)令事件A=“小白鼠第一次注射疫苗產(chǎn)生抗體”，事件B=“小白鼠第二次注射疫苗

產(chǎn)生抗體”，事件C=“小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體”．

記事件A，B，C發(fā)生的概率分別為P(A)，P(B)，P(C)，

則P(A)=160200=0.8，P(B)=2040=0.5，P(C)=1-P(A)P(B)=1-0.2×0.5=0.9．

所以一只小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率p=0.9．

(ii)由題意，知隨機變量=1\*GB3①當(dāng)接種人數(shù)為109時，EX=np=109×0.9=98.1;=2\*GB3②當(dāng)接種人數(shù)為110時，E(X)=np=110×0.9=99．【變式訓(xùn)練】練21(2022·湖北省黃石市月考·多選)為了增強學(xué)生體育鍛煉的積極性，某中學(xué)需要了解性別因素與學(xué)生對體育鍛煉的喜好是否有影響，為此對學(xué)生是否喜歡體育鍛煉的情況進(jìn)行普查.得到下表：性別合計男性女性喜歡280p280+p不喜歡q120120+q合計280+q120+p400+p+q附：K2=nP0.150.100.050.0250.0100.00lk2.0722.7063.8415.0246.63510.828已知男生喜歡該項運動的人數(shù)占男生人數(shù)的710，女生喜歡該項運動的人數(shù)占女生人數(shù)的35A.列聯(lián)表中q的值為120，p的值為180

B.隨機對一名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，此學(xué)生有90％的可能喜歡該項運動

C.有99％的把握認(rèn)為學(xué)生的性別與其對該項運動的喜好有關(guān)系

D.沒有【解析】男生喜歡該項運動的人數(shù)占男生人數(shù)的280280+q=710，解得q=120，

女生喜歡該項運動的人數(shù)占女生人數(shù)的p120+p=35，解得p=180，故A正確；性別合計男性女性喜歡280180460不喜歡120120240合計400300700所以χ2=700(280×120-120×180)2400×300×460×240≈7.609>6.635，

所以有99％的把握認(rèn)為學(xué)生的性別與其對該項運動的喜好有關(guān)系，故C正確；

而χ2練22(2022·山東省濰坊市模擬)根據(jù)以往的經(jīng)驗，某工程施工期間的降水量X(單位：mm)對工期的影響如下表：降水量X[0,300)[300,600)[600,900)[900,+∞)工期延誤天數(shù)Y0258歷史氣象資料表明：該工程施工期間降水量X小于300，600，900的概率分別為0.3，0.7，0.9．(1)求工期延誤天數(shù)Y的均值與方差；(2)求在降水量X至少是300的條件下，工期延誤不超過5天的概率；(3)由于該工程在7～8月施工，故當(dāng)氣溫較高時，工人可能無法按時完成當(dāng)日計劃工作量．已知在某個40天的施工周期內(nèi)，有30天的最高氣溫不低于35℃，這其中僅有12天完成了當(dāng)日的工作量；剩余10天中，有8天完成了當(dāng)日的工作量．依據(jù)小概率值α=0.005的χ2附：χ2=n【解析】(1)由已知條件和概率的加法公式有：P(X<300)=0.3，P(300≤X<600)=P(X<600)-P(X<300)=0.4，

P(600≤X<900)=P(X<900)-P(X<600)=0.2，P(X≥900)=1-P(X<900)=0.1，

所以Y的分布列為：y0258p0.30.40.20.1

于是，E(Y)=0×0.3+2×0.4+5×0.2+8×0.1=2.6，

D(Y)=(0-2.6)2×0.3+(2-2.6)2×0.4+(5-2.6)2×0.2+(8-2.6)2×0.1=6.24．

故工期延誤天數(shù)Y的均值為2.6，方差為6.24;

(2)由對立事件的概率公式可得P(X≥300)=1-P(X<300)=0.7，

又P(300≤X<900)=P(X<900)-P(X<300)=0.6，

由條件概率得P(Y≤5|X≥300)=P(300≤X<900)P(X≥300)=0.60.7=67，

故在降水量X至少是300mm的條件下，工期延誤不超過5【規(guī)律方法】2×2列聯(lián)表中，如果兩個變量沒有關(guān)系，則應(yīng)滿足ad－bc≈0.|ad－2.解決獨立性檢驗的應(yīng)用問題，一定要按照獨立性檢驗的步驟得出結(jié)論.獨立性檢驗的一般步驟：(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表：(2)根據(jù)公式χ2=n(3)通過比較χ2與臨界值的大小關(guān)系來作統(tǒng)計推斷.探究3：概率與統(tǒng)計的綜合問題【典例剖析】例3.(2022·江西省景德鎮(zhèn)市模擬)十三屆全國人大四次會議3月11日表決通過了《關(guān)于國民經(jīng)濟(jì)和社會發(fā)展第十四個五年規(guī)劃和2035年遠(yuǎn)景目標(biāo)綱要的決議》，綱要指出：“加強原創(chuàng)性引領(lǐng)性科技攻關(guān)”.某企業(yè)集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技術(shù)，已成功實現(xiàn)離子注入機全譜系產(chǎn)品國產(chǎn)化，包括中束流、大束流、高能特種應(yīng)用及第三代半導(dǎo)體等離子注入機，工藝段覆蓋至28nm，為我國芯片制造產(chǎn)業(yè)鏈補上重要一環(huán)，為全球芯片制造企業(yè)提供離子注入機一站式解決方案.此次技術(shù)的突破可以說為國產(chǎn)芯片的制造做出了重大貢獻(xiàn)，該企業(yè)使用新技術(shù)對某款芯片進(jìn)行試生產(chǎn)，該款芯片的性能以某項指標(biāo)值k70≤k<100性能指標(biāo)值k90≤k<10085≤k<9080≤k<8575≤k<8070≤k<75等級ABCDE為了解該款芯片的生產(chǎn)效益，該企業(yè)從試生產(chǎn)的產(chǎn)品進(jìn)行隨機抽樣并測量了每件產(chǎn)品的指標(biāo)值，若以組距為5畫頻率分布直方圖時，發(fā)現(xiàn)Y(設(shè)“頻率組距=Y”)滿足：(1)試確定n的所有取值，并求a；(2)從樣本性能指標(biāo)值不小于85的產(chǎn)品中釆用分層抽樣的方法抽取5件產(chǎn)品，求樣本中等級A產(chǎn)品與等級B產(chǎn)品的件數(shù).然后從這5件產(chǎn)品中一次性隨機抽取2件產(chǎn)品，并求出2件都是A級品的概率．選題意圖選題意圖：概率統(tǒng)計試題具有應(yīng)用性、情境性、綜合性的特點，試題注重基本概念的理解，著眼于知識在理解的基礎(chǔ)上應(yīng)用，考查常規(guī)的、熟悉的知識內(nèi)容.例3難度一般，考查概率與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).思維引導(dǎo)：第（1）問分析數(shù)據(jù)，利用頻率之和為1，求出a；第（2）問考查古典概型求概率，列舉出所有的樣本點，從而求出事件“所求2件都是A級品”的概率.【解析】(1)根據(jù)題意，70≤k<100，按組距為5可分成6個區(qū)間，

分別是70,75、75,80、80,85、85,90、90,95、95,100,

因為70≤k<100，由5n≤k<5n+1，n∈N*，可知n的取值集合為14,15,16,17,18,19，

每個小區(qū)間對應(yīng)的頻率值為5Y=2n-2560,n∈14,15,16,175a?220-n,n∈18,19．

所以，3+5+7+960+5a×22+2=30a+25=1，解得a=150．

(2)等級A產(chǎn)品的頻率為5×150×22+2=35，等級B產(chǎn)品的頻率為2×17-2560=320，

所以，等級A產(chǎn)品和等級B產(chǎn)品的頻率之比為35:320=4:1，

所以，從樣本性能指標(biāo)值不小于85的產(chǎn)品中釆用分層抽樣的方法抽取5件產(chǎn)品，

等級A產(chǎn)品的件數(shù)為4，分別記為a1、a2、a3、a4，等級B產(chǎn)品的件數(shù)為1，記為b，

從這5件產(chǎn)品中任意抽取【變式訓(xùn)練】練31(2022·廣東省東莞市月考)足球是一項大眾喜愛的運動．2022卡塔爾世界杯揭幕戰(zhàn)將在2022年11月21日打響，決賽定于12月18日晚進(jìn)行，全程為期28天．

(1)為了解喜愛足球運動是否與性別有關(guān)，隨機抽取了男性和女性各100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，得到2×2列聯(lián)表如下：喜愛足球運動不喜愛足球運動合計男性6040100女性2080100合計80120200依據(jù)小概率值α=0.001的獨立性檢驗，能否認(rèn)為喜愛足球運動與性別有關(guān)？(2)校足球隊中的甲、乙、丙、丁四名球員將進(jìn)行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能的將球傳給另外三個人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到．記開始傳球的人為第1次觸球者，第n次觸球者是甲的概率記為Pn，即P1=1．

(i)求P3(直接寫出結(jié)果即可)；

(ii)證明：數(shù)列{α0.1000.0500.0250.0100.001x2.7063.8415.0246.63510.828【解析】(1)假設(shè)H0：喜愛足球運動與性別獨立，即喜愛足球運動與性別無關(guān)，

X2=200×(60×80-20×40)280×120×100×100≈33.3>10.828，

根據(jù)小概