高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)6 第6講　雙曲線

第6講雙曲線課標(biāo)要求考情分析1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及它們的簡單幾何性質(zhì)．2．通過圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想.主要側(cè)重雙曲線的方程及以雙曲線方程為載體，研究參數(shù)a，b，c及與漸近線有關(guān)的問題，其中離心率和漸近線是重點(diǎn)．以選擇題、填空題為主，難度為中低檔．核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理1．雙曲線的定義條件結(jié)論1結(jié)論2平面內(nèi)的動點(diǎn)M與平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2點(diǎn)M的軌跡為雙曲線F1，F(xiàn)2為雙曲線的焦點(diǎn)|F1F2|為雙曲線的焦距||MF1|－|MF2||＝2a2a<|F1F2|2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸，對稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)實(shí)、虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)3.等軸雙曲線實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，其漸近線方程為y＝±x，離心率為e＝eq\r(2).常用結(jié)論1．雙曲線中的幾個(gè)常用結(jié)論(1)雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b.(2)若P是雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.(3)同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑(過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦)，其長為eq\f(2b2,a)，異支的弦中最短的為實(shí)軸，其長為2a.(4)設(shè)P，A，B是雙曲線上的三個(gè)不同的點(diǎn)，其中A，B關(guān)于原點(diǎn)對稱，直線PA，PB斜率存在且不為0，則直線PA與PB的斜率之積為eq\f(b2,a2).2．巧設(shè)雙曲線方程(1)與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同漸近線的方程可表示為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝t(t≠0)．(2)過已知兩個(gè)點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為mx2＋ny2＝1(mn<0)．【小題自測】1．判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0，4)，F(xiàn)2(0，－4)距離之差的絕對值等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線．()(2)橢圓的離心率e∈(0，1)，雙曲線的離心率e∈(1，＋∞)．()(3)方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線．()(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于eq\r(2).()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．(教材改編)雙曲線eq\f(x2,3)－y2＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A．(－eq\r(2)，0)，(eq\r(2)，0) B．(－2，0)，(2，0)C．(0，－eq\r(2))，(0，eq\r(2)) D．(0，－2)，(0，2)解析：選B.由題意得a2＝3，b2＝1，且雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，所以c＝eq\r(a2＋b2)＝2，得該雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，0)，(2，0)．3．(2021·高考全國卷甲)點(diǎn)(3，0)到雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的一條漸近線的距離為()A.eq\f(9,5)B.eq\f(8,5)C.eq\f(6,5)D.eq\f(4,5)解析：選A.由雙曲線的方程知，a＝4，b＝3，焦點(diǎn)在x軸上，所以雙曲線的一條漸近線方程為y＝eq\f(3,4)x，即3x－4y＝0，由點(diǎn)到直線的距離公式得，點(diǎn)(3，0)到雙曲線的一條漸近線的距離為eq\f(|3×3－4×0|,\r(32＋（－4）2))＝eq\f(9,5).故選A.4．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2，其右焦點(diǎn)為F2(2eq\r(3)，0)，則雙曲線C的方程為________．解析：由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝2，,c＝2\r(3)，))解得a＝eq\r(3).又c2＝a2＋b2，且b>0，所以b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(12－3)＝3.所以雙曲線C的方程為eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1.答案：eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1考點(diǎn)一雙曲線的定義及應(yīng)用(師生共研)(1)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,9)＝1(a>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，一條漸近線與直線4x＋3y＝0垂直，點(diǎn)M在C上，且|MF2|＝6，則|MF1|＝()A．2或14B．2C．14D．2或10(2)已知點(diǎn)P在曲線C1：eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1上，點(diǎn)Q在曲線C2：(x－5)2＋y2＝1上，點(diǎn)R在曲線C3：(x＋5)2＋y2＝1上，則|PQ|－|PR|的最大值是()A．6B．8C．10D．12【解析】(1)由題意知eq\f(3,a)＝eq\f(3,4)，故a＝4，則c＝5.由|MF2|＝6<a＋c＝9，知點(diǎn)M在C的右支上，由雙曲線的定義知|MF1|－|MF2|＝2a＝8，所以|MF1|＝14.(2)由題意可知C3，C2的圓心分別是雙曲線C1：eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的左、右焦點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的左支上，則|PC2|－|PC3|＝8.又|PQ|max＝|PC2|＋1，|PR|min＝|PC3|－1，所以|PQ|－|PR|的最大值為(|PC2|＋1)－(|PC3|－1)＝|PC2|－|PC3|＋2＝8＋2＝10.【答案】(1)C(2)C雙曲線定義應(yīng)用的技巧(1)在應(yīng)用雙曲線定義時(shí)，要注意定義中的條件，搞清所求軌跡是雙曲線，還是雙曲線的一支，若是雙曲線的一支，則需確定是哪一支．(2)在“焦點(diǎn)三角形”中，正弦定理、余弦定理、雙曲線的定義是經(jīng)常使用的知識點(diǎn)．另外，還經(jīng)常結(jié)合||PF1|－|PF2||＝2a，運(yùn)用平方的方法，建立它與|PF1||PF2|的聯(lián)系．【對點(diǎn)訓(xùn)練】1．雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，在左支上過點(diǎn)F1的弦AB的長為5，那么△ABF2的周長是()A．12B．16C．21D．26解析：選D.依題意知|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，所以(|AF2|－|AF1|)＋(|BF2|－|BF1|)＝16，又|AB|＝5，所以|AF2|＋|BF2|＝16＋(|AF1|＋|BF1|)＝16＋|AB|＝16＋5＝21.所以|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26.即△ABF2的周長是26.故選D.2．(2022·大同市調(diào)研測試)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：eq\f(x2,3)－y2＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠F1PF2＝60°，則△PF1F2的面積為()A.eq\r(3)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(3),2)D．2eq\r(3)解析：選A.根據(jù)雙曲線C的方程可得a＝eq\r(3)，b＝1，c＝2，不妨設(shè)P為雙曲線C右支上的一點(diǎn)，則由雙曲線的定義可得|PF1|－|PF2|＝2a＝2eq\r(3).在△PF1F2中，由余弦定理得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2＝|F1F2|2＝4c2＝16，即(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1||PF2|＝12＋|PF1||PF2|＝16，解得|PF1||PF2|＝4，所以△PF1F2的面積S＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝eq\f(1,2)×4×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，故選A.考點(diǎn)二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(師生共研)(1)(2022·成都摸底測試)已知離心率為2的雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)與橢圓eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1有公共焦點(diǎn)，則雙曲線的方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 B.eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1C．x2－eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(x2,3)－y2＝1(2)(2022·云南第一次統(tǒng)一檢測)已知雙曲線M的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，點(diǎn)P(eq\r(2)，1)在雙曲線M的一條漸近線上．若以雙曲線M的實(shí)軸為直徑作圓，該圓經(jīng)過點(diǎn)P，則雙曲線M的方程為()A.eq\f(x2,3)－eq\f(2y2,3)＝1 B.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1C.eq\f(y2,3)－eq\f(2x2,3)＝1 D.eq\f(y2,3)－eq\f(x2,6)＝1【解析】(1)由雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1與橢圓eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1有公共焦點(diǎn)，得c2＝a2＋b2＝8－4＝4，又e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(4,a2)＝4，解得a2＝1，所以b2＝3，所以雙曲線的方程為x2－eq\f(y2,3)＝1.(2)如圖所示，設(shè)雙曲線M的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則點(diǎn)P(eq\r(2)，1)在漸近線y＝eq\f(b,a)x上，即eq\f(b,a)＝eq\f(\r(2),2)，而圓的半徑r＝a＝|OP|＝eq\r(3)，故b＝eq\f(\r(2),2)a＝eq\f(\r(6),2)，所以雙曲線M的方程為eq\f(x2,3)－eq\f(2y2,3)＝1.【答案】(1)C(2)A求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的2種方法待定系數(shù)法設(shè)出雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)已知條件，列出參數(shù)a，b，c的方程并求出a，b，c的值定義法依定義得出距離之差的等量關(guān)系式，求出a的值，由定點(diǎn)位置確定c的值[提醒]求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，若焦點(diǎn)位置不確定，要注意分類討論．也可以設(shè)雙曲線方程為mx2＋ny2＝1(mn<0)求解．【對點(diǎn)訓(xùn)練】1．(2022·洛陽第一次統(tǒng)考)已知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，焦距為4，且一條漸近線方程為y＝eq\r(3)x，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.eq\f(x2,3)－y2＝1 B.eq\f(y2,3)－x2＝1C．x2－eq\f(y2,3)＝1 D．y2－eq\f(x2,3)＝1解析：選C.由題意設(shè)雙曲線的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則eq\f(b,a)＝eq\r(3)，又c2＝a2＋b2，c＝2，所以a2＝1，b2＝3，故選C.2．已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，動圓M同時(shí)與圓C1和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為()A．x2－eq\f(y2,8)＝1 B.eq\f(x2,8)－y2＝1C．x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1) D．x2－eq\f(y2,8)＝1(x≥1)解析：選C.設(shè)動圓M的半徑為r，由動圓M同時(shí)與圓C1和圓C2相外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|－|MC1|＝2<6，所以點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)C1(－3，0)和C2(3，0)為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且2a＝2，所以a＝1，c＝3，則b2＝c2－a2＝8，所以點(diǎn)M的軌跡方程為x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1)．考點(diǎn)三雙曲線的幾何性質(zhì)(多維探究)考向1求雙曲線的離心率(1)已知點(diǎn)(1，2)是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上一點(diǎn)，則其離心率的取值范圍是()A．(1，eq\r(5)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(5),2)))C．(eq\r(5)，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，＋∞))(2)(2021·高考全國卷甲)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，則C的離心率為()A.eq\f(\r(7),2)B.eq\f(\r(13),2)C.eq\r(7)D.eq\r(13)【解析】(1)由題意得eq\f(1,a2)－eq\f(4,b2)＝1，即eq\f(b2,a2)＝b2＋4，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(b2＋5)>eq\r(5)，所以e>eq\r(5).(2)設(shè)|PF2|＝m，|PF1|＝3m，則|F1F2|＝eq\r(m2＋9m2－2×3m×m×cos60°)＝eq\r(7)m，所以C的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|F1F2|,|PF1|－|PF2|)＝eq\f(\r(7)m,2m)＝eq\f(\r(7),2).【答案】(1)C(2)A求雙曲線離心率或其取值范圍的方法(1)由eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)可求e；(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助b2＝c2－a2消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解．考向2雙曲線的漸近線問題(1)(2022·東北三校第二次考試)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是雙曲線C上一點(diǎn)，PF2⊥x軸，tan∠PF1F2＝eq\f(3,4)，則雙曲線的漸近線方程為()A．x±2y＝0 B．2x±y＝0C.eq\r(3)x±y＝0 D．x±eq\r(3)y＝0(2)(2021·高考全國卷乙)已知雙曲線C：eq\f(x2,m)－y2＝1(m>0)的一條漸近線為eq\r(3)x＋my＝0，則C的焦距為________．【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線上，且PF2⊥x軸，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為c，代入雙曲線的方程可得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，±\f(b2,a)))，則|PF2|＝eq\f(b2,a)，|F1F2|＝2c，所以tan∠PF1F2＝eq\f(|PF2|,|F1F2|)＝eq\f(\f(b2,a),2c)＝eq\f(b2,2ac)＝eq\f(3,4)，整理得2b2＝3ac，則4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up12(4)－9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up12(2)－9＝0，解得eq\f(b,a)＝eq\r(3)，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\r(3)x，即eq\r(3)x±y＝0.(2)雙曲線eq\f(x2,m)－y2＝1(m>0)的漸近線為y＝±eq\f(1,\r(m))x，即x±eq\r(m)y＝0，又雙曲線的一條漸近線為eq\r(3)x＋my＝0，即x＋eq\f(m,\r(3))y＝0，對比兩式可得，m＝3.設(shè)雙曲線的實(shí)半軸長為a，虛半軸長為b，半焦距為c，則有a2＝m＝3，b2＝1，所以雙曲線的焦距2c＝2eq\r(a2＋b2)＝4.【答案】(1)C(2)4求雙曲線漸近線方程的方法(1)求雙曲線中a，b的值，進(jìn)而得出雙曲線的漸近線方程．(2)求a與b的比值，進(jìn)而得出雙曲線的漸近線方程．(3)令雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程右側(cè)為0，將所得代數(shù)式化為一次式即為漸近線方程．[提醒]兩條漸近線的傾斜角互補(bǔ)，斜率互為相反數(shù)，且兩條漸近線關(guān)于x軸，y軸對稱．考向3雙曲線幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用已知M(x0，y0)是雙曲線C：eq\f(x2,2)－y2＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＜0，則y0的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),6)，\f(\r(3),6)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(2),3)，\f(2\r(2),3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))【解析】因?yàn)镕1(－eq\r(3)，0)，F(xiàn)2(eq\r(3)，0)，eq\f(xeq\o\al(2,0),2)－yeq\o\al(2,0)＝1，所以eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)－x0，－y0)·(eq\r(3)－x0，－y0)＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－3＜0，即3yeq\o\al(2,0)－1＜0，解得－eq\f(\r(3),3)＜y0＜eq\f(\r(3),3).【答案】A(1)雙曲線幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用涉及知識較寬，如雙曲線定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、對稱性、漸近線、離心率等多方面的知識，在解決此類問題時(shí)要注意與平面幾何知識的聯(lián)系．(2)與雙曲線有關(guān)的取值范圍問題的解題思路①若條件中存在不等關(guān)系，則借助此關(guān)系直接變換轉(zhuǎn)化求解．②若條件中沒有不等關(guān)系，要善于發(fā)現(xiàn)隱含的不等關(guān)系或借助曲線中的不等關(guān)系來解決．【對點(diǎn)訓(xùn)練】1．(2022·青島市統(tǒng)一質(zhì)量檢測)已知雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線的傾斜角為eq\f(π,3)，則該雙曲線的離心率為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(3,2)C.eq\f(2\r(3),3)D．2解析：選C.由題意得eq\f(a,b)＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3)，即eq\f(b,a)＝eq\f(1,\r(3))，則雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋\f(1,3))＝eq\f(2\r(3),3).2．(2022·開封市第一次模擬考試)已知雙曲線eq\f(x2,m)－y2＝1(m>0)的離心率與橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,3m)＝1的離心率互為倒數(shù)，則該雙曲線的漸近線方程為()A．y＝±eq\r(2)x B．y＝±eq\f(\r(2),2)xC．y＝±eq\f(\r(3),3)x D．y＝±eq\f(\r(10),5)x解析：選B.由題意知，橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,3m)＝1的離心率e1＝eq\f(\r(2m),\r(3m))＝eq\f(\r(6),3)，所以雙曲線eq\f(x2,m)－y2＝1(m>0)的離心率e2＝eq\f(\r(m＋1),\r(m))＝eq\f(3,\r(6))＝eq\f(\r(6),2)，解得m＝2，所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(1,\r(2))x＝±eq\f(\r(2),2)x，故選B.[A級基礎(chǔ)練]1．已知雙曲線的方程為eq\f(y2,4)－eq\f(x2,9)＝1，則下列關(guān)于雙曲線說法正確的是()A．虛軸長為4B．焦距為2eq\r(5)C．離心率為eq\f(\r(13),3)D．漸近線方程為2x±3y＝0解析：選D.由題意知，雙曲線eq\f(y2,4)－eq\f(x2,9)＝1的焦點(diǎn)在y軸上，且a2＝4，b2＝9，故c2＝13，所以2b＝6，2c＝2eq\r(13)，故選項(xiàng)A，B均不對；離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(13),2)，故選項(xiàng)C不對；由雙曲線的漸近線知選項(xiàng)D正確．故選D.2．“k<9”是“方程eq\f(x2,25－k)＋eq\f(y2,k－9)＝1表示雙曲線”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A.因?yàn)榉匠蘣q\f(x2,25－k)＋eq\f(y2,k－9)＝1表示雙曲線，所以(25－k)(k－9)<0，所以k<9或k>25，所以“k<9”是“方程eq\f(x2,25－k)＋eq\f(y2,k－9)＝1表示雙曲線”的充分不必要條件，故選A.3．(2022·濟(jì)南市模擬考試)已知雙曲線eq\f(x2,m＋1)－eq\f(y2,m)＝1(m>0)的漸近線方程為x±eq\r(3)y＝0，則m＝()A.eq\f(1,2)B.eq\r(3)－1C.eq\f(\r(3)＋1,2)D．2解析：選A.由題意，知雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(m),\r(m＋1))x.x±eq\r(3)y＝0可化為y＝±eq\f(1,\r(3))x，所以eq\f(\r(m),\r(m＋1))＝eq\f(1,\r(3))，解得m＝eq\f(1,2)，故選A.4．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的實(shí)軸長為4，離心率為eq\r(5)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1 B．x2－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,3)＝1 D．x2－eq\f(y2,6)＝1解析：選A.由題意得2a＝4，所以a＝2，由離心率為eq\r(5)，可得eq\f(c,a)＝eq\r(5)，c＝2eq\r(5)，所以b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(20－4)＝4，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1.5．(2022·東北五校聯(lián)合模擬考試)過點(diǎn)P(2，0)作圓x2＋y2＝1的切線，切點(diǎn)A，B恰好在雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線上，則雙曲線的離心率為()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C．2D.eq\r(5)解析：選C.如圖，連接OA，由題意可得|OA|＝1，|OP|＝2，且OA⊥AP，所以∠POA＝eq\f(π,3).又A在雙曲線的漸近線y＝eq\f(b,a)x上，于是taneq\f(π,3)＝eq\r(3)＝eq\f(b,a)，即b＝eq\r(3)a，所以雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝2，故選C.6．(2022·海濱區(qū)第一學(xué)期期末練習(xí))已知雙曲線x2－eq\f(y2,2)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)M(－3，4)，則該雙曲線的漸近線方程為________；|MF1|－|MF2|＝________．解析：由題意，知a＝1，b＝eq\r(2)，所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(2)x，即eq\r(2)x±y＝0.易知點(diǎn)M(－3，4)為該雙曲線左支上一點(diǎn)，所以|MF1|－|MF2|＝－2a＝－2.答案：eq\r(2)x±y＝0－27．(2022·南通市第一次調(diào)研測試)已知雙曲線C的漸近線方程為y＝±2x，寫出雙曲線C的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程________．解析：可設(shè)雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，由題意知b＝2a，可令a＝1，則b＝2，故雙曲線C的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－eq\f(y2,4)＝1.答案：x2－eq\f(y2,4)＝1(答案不唯一)8．(2022·濰坊市聯(lián)考)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為P，△OPF的面積為eq\r(2)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則該雙曲線的離心率為________．解析：設(shè)F(c，0)，雙曲線的一條漸近線的方程為y＝eq\f(b,a)x，即bx－ay＝0，則點(diǎn)F到漸近線bx－ay＝0的距離|FP|＝eq\f(bc,\r(b2＋（－a）2))＝eq\f(bc,c)＝b.在△OPF中，因?yàn)镕P⊥OP，且|OF|＝c，|FP|＝b＝1，所以|OP|＝eq\r(|OF|2－|FP|2)＝a，則S△OFP＝eq\f(1,2)ab＝eq\f(1,2)a＝eq\r(2)，所以a＝2eq\r(2)，則c＝eq\r(a2＋b2)＝3，所以該雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,2\r(2))＝eq\f(3\r(2),4).答案：eq\f(3\r(2),4)9．(2021·上海春季高考節(jié)選)某團(tuán)隊(duì)在基地O點(diǎn)西側(cè)、東側(cè)20千米處分別設(shè)有A，B兩站點(diǎn)，測量距離發(fā)現(xiàn)一點(diǎn)P滿足|PA|－|PB|＝20千米，可知P在以點(diǎn)A，B為焦點(diǎn)的雙曲線上．以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸正半軸方向，正北方向?yàn)閥軸正半軸方向，建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)P在基地O點(diǎn)北偏東60°處，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和P點(diǎn)的坐標(biāo)．解：設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，則a＝10，c＝20，所以b2＝c2－a2＝300，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,100)－eq\f(y2,300)＝1.由題意可得直線OP：y＝eq\f(\r(3),3)x，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,100)－\f(y2,300)＝1，,y＝\f(\r(3),3)x))可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(15\r(2),2)，,y＝\f(5\r(6),2)，))所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15\r(2),2)，\f(5\r(6),2))).10．在①m>0，且C的左支上任意一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的最小值為3＋eq\r(3)，②C的焦距為6，③C上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之差的絕對值為4.這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中并解答．問題：已知雙曲線C：eq\f(x2,m)－eq\f(y2,2m)＝1，________，求C的方程．解：若選①，因?yàn)閙>0，所以a2＝m，b2＝2m，c2＝a2＋b2＝3m，所以a＝eq\r(m)，c＝eq\r(3m).因?yàn)镃的左支上任意一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的最小值為a＋c，所以eq\r(m)＋eq\r(3m)＝(1＋eq\r(3))eq\r(m)＝3＋eq\r(3)，解得m＝3，故C的方程為eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1.若選②，若m>0，則a2＝m，b2＝2m，c2＝a2＋b2＝3m，所以c＝eq\r(3m)＝3，解得m＝3，則C的方程為eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1；若m<0，則a2＝－2m，b2＝－m，c2＝a2＋b2＝－3m，所以c＝eq\r(－3m)＝3，解得m＝－3，則C的方程為eq\f(y2,6)－eq\f(x2,3)＝1.若選③，由題意得2a＝4，即a＝2.若m>0，則a2＝m，所以a＝eq\r(m)＝2，解得m＝4，則C的方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1；若m<0，則a2＝－2m，所以a＝eq\r(－2m)＝2，解得m＝－2，則C的方程為eq\f(y2,4)－eq\f(x2,2)＝1.[B級綜合練]11．設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線右支上存在點(diǎn)P，滿足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直線PF1的距離等于2a，則該雙曲線的漸近線方程為()A．3x±4y＝0 B．4x±3y＝0C．3x±5y＝0 D．5x±4y＝0解析：選B.由|PF2|＝|F1F2|＝2c及雙曲線的定義，得|PF1|＝|PF2|＋2a＝2c＋2a.如圖，過點(diǎn)F2作F2Q⊥PF1于點(diǎn)Q，則|F2Q|＝2a，在等腰三角形PF1F2中，|PQ|＝eq\f(1,2)|PF1|＝c＋a，所以|PF2|2＝|PQ|2＋|QF2|2，即(2c)2＝(c＋a)2＋(2a)2，解得a＝eq\f(3,5)c，則b＝eq\r(c2－a2)＝eq\f(4,5)c，所以eq\f(b,a)＝eq\f(4,3)，所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(4,3)x，即4x±3y＝0.12．(2022·河南省高考適應(yīng)性測試)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線上．若△PF1F2為直角三角形，且tan∠PF1F2＝eq\f(5,12)，則雙曲線的離心率為________．解析：在Rt△PF1F2中，當(dāng)F2為直角頂點(diǎn)時(shí)，|PF2|＝eq\f(b2,a)，|F1F2|＝2c，tan∠PF1F2＝eq\f(|PF2|,|F1F2|)＝eq\f(\f(b2,a),2c)＝eq\f(b2,2ac)＝eq\f(5,12)，又a2＋b2＝c2，所以6a2＋5ac＝6c2，得離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,2)；當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，由題意及雙曲線的定義知|PF1|－|PF2|＝2a，tan∠PF1F2＝eq\f(|PF2|,|PF1|)＝eq\f(5,12)，所以|PF1|＝eq\f(24,7)a，|PF2|＝eq\f(10,7)a，又|F1F2|＝2c，所以由勾股定理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(24,7)a))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc