專題16 模型構(gòu)建專題：相似三角形中的六大基本模型（原卷版）

專題16模型構(gòu)建專題：相似三角形中的六大基本模型【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)一（雙）A字型相似】 1【考點(diǎn)二（雙）8字型相似】 7【考點(diǎn)三母子型相似】 16【考點(diǎn)四手拉手型相似】 21【考點(diǎn)五K字型相似】 26【考點(diǎn)六三角形內(nèi)接矩形】 30【典型例題】【考點(diǎn)一（雙）A字型相似】【基本模型】①如圖，在中，點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上，，則，．②模型拓展1：斜交A字型條件：，圖2結(jié)論：；③模型拓展2：如圖，∠ACD＝∠B?△ADC∽△ACB?．例題：如圖，在中，點(diǎn)分別在上，且．（1）求證：；（2）若點(diǎn)在上，與交于點(diǎn)，求證：．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·山西大同·九年級(jí)大同一中校考期末）如圖所示，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，點(diǎn)在邊上，下列判斷錯(cuò)誤的是（）

A． B．C． D．2．（2023·云南昭通·校考三模）如圖，在中，、分別是、上的點(diǎn)，且，，若的面積為1，則四邊形的面積為．

3．（2023春·山東泰安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，小明欲測(cè)量一座信號(hào)發(fā)射塔的高度．他站在該塔的影子上前后移動(dòng)，直到他自己影子的頂端正好與塔的影子的頂端重合，此時(shí)他距離該塔20米．已知小明的身高是1.8米，他的影長(zhǎng)是2米．

(1)圖中與△ADE是否相似？為什么？(2)求信號(hào)發(fā)射塔的高度．4．（2023春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，點(diǎn)，分別在邊，上，，射線分別交線段，于點(diǎn)，，且．求證：．5．（2023秋·江蘇淮安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，D是的邊AC上的一點(diǎn)，連接BD，使．(1)說明．(2)，，求線段AC的長(zhǎng)．6．（2023·湖北武漢·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，中，已知，點(diǎn)D、F是分別為垂足，．(1)求證：；(2)若，直接寫出和的周長(zhǎng)比．【考點(diǎn)二（雙）8字型相似】【基本模型】①如圖1，AB∥CD?△AOB∽△COD?；②如圖2，∠A＝∠D?△AOB∽△DOC?．③模型拓展：如圖，∠A＝∠C?△AJB∽△CJD?．例題：（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是的中位線，點(diǎn)在上，．連接并延長(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)．若，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B．7 C． D．8【變式訓(xùn)練】1．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，是的對(duì)角線，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，連接分別交，于點(diǎn)，，則下列式子一定正確的是（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·甘肅白銀·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，D、E分別是的邊上的點(diǎn)，，若，則的值為（）

A． B． C． D．3．（2023春·福建福州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）小孔成像的示意圖如圖所示，光線經(jīng)過小孔O，物體在幕布前形成倒立的實(shí)像(點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是C，D)．若物體的高為，小孔O到物體和實(shí)像的水平距離，分別為，則實(shí)像的高度為．

4．（2023·山西呂梁·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)在邊上，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，則．

5．（2023秋·湖南益陽·九年級(jí)校考期末）如圖，與交于點(diǎn)，，，求的度數(shù)．

6．（2023春·廣西南寧·九年級(jí)南寧市天桃實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）【模型啟迪】（1）如圖1，在中，為邊的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，則與的數(shù)量關(guān)系為______，位置關(guān)系為______；

【模型探索】（2）如圖2，在中，為邊的中點(diǎn)，連接，為邊上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，且．求證：；【模型應(yīng)用】（3）如圖3，在(2)的條件下，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，，，求線段的長(zhǎng)．【考點(diǎn)三母子型相似】【基本模型】如圖為斜“A”字型基本圖形．當(dāng)時(shí)，，則有．．如圖所示，當(dāng)E點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，為其常見的一個(gè)變形，即子母型．當(dāng)時(shí)，，則有．例題：如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，AD＝BD．(1)求證：△ABC∽△BDC．(2)若∠C＝90°，BC＝2，求AB的長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，D是AB邊上的點(diǎn)，，，則AC的長(zhǎng)為（

）

A．1.5 B．2 C．2.5 D．2．如圖，在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求證：AC2＝BC?CD；（2）若AD是△ABC的中線，求的值．3．（2023春·山東泰安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）小軍在學(xué)習(xí)相似三角形時(shí)，遇到這樣一個(gè)問題：

(1)如圖1，在中，是邊上一點(diǎn)，連接，若，求證：；(2)如圖2，已知，，，求的度數(shù)．4.在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D．（1）如圖（1），若AB＝3，AC＝5，求AD的長(zhǎng)；（2）如圖（2），過點(diǎn)A分別作AC，BD的垂線，分別交BC，BD于點(diǎn)E，F(xiàn)．①求證：∠ABC＝∠EAF；②求的值．【考點(diǎn)四手拉手型相似】【基本模型】①如圖，若△ABC∽△ADE，則△ABD∽△ACE.[來源:Zxxk.Com]②如圖所示，和都是等腰直角三角形，的延長(zhǎng)線與相交于點(diǎn)P，則，且相似比為，與的夾角為．總結(jié)：旋轉(zhuǎn)相似型中由公共旋轉(zhuǎn)頂點(diǎn)、一點(diǎn)及其旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成的三角形與由公共旋轉(zhuǎn)頂點(diǎn)、另一點(diǎn)及其旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成的三角形相似．③如圖所示，，則，，且．例題：如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，C，F(xiàn)，G三點(diǎn)在一直線上，連接AF并延長(zhǎng)交邊CD于點(diǎn)M．（1）求證：△MFC∽△MCA；（2）求證△ACF∽△ABE；（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的邊長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練】1.如圖，AB＝3，AC＝2，BC＝4，AE＝3，AD＝4.5，DE＝6，∠BAD＝20°，則∠CAE的度數(shù)為（）A．10° B．20° C．40° D．無法確定2．（2023春·山東菏澤·九年級(jí)統(tǒng)考期中）【問題呈現(xiàn)】（1）如圖1，和△ADE都是等邊三角形，連接．求證：．【類比探究】（2）如圖2，和△ADE都是等腰直角三角形，，連接．請(qǐng)直接寫出的值．【拓展提升】（3）如圖3，和△ADE都是直角三角形，，且．連接．

①求的值；②延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．求的值．【考點(diǎn)五K字型相似】【基本模型】(1)“三垂直”模型：如圖1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，則△ABC∽△CDE.(2)“一線三等角”模型：如圖2，∠B＝∠ACE＝∠D，則△ABC∽△CDE.特別地，連接AE，若C為BD的中點(diǎn)，則△ACE∽△ABC∽△CDE.補(bǔ)充：其他常見的一線三等角圖形例題：如圖，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一點(diǎn)，使得AE⊥DE．(1)求證：△ABE∽△ECD；(2)若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·湖南株洲·九年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，已知矩形，點(diǎn)在邊上，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．

(1)求證：．(2)若，，，求的長(zhǎng)．2．（1）問題如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求證：．（2）探究若將90°角改為銳角或鈍角（如圖2），其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說明理由．（3）應(yīng)用如圖3，在中，，，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作等腰．點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在BC上，且，若，求CD的長(zhǎng)．【考點(diǎn)六三角形內(nèi)接矩形】【基本模型】由之前的基本模型（A型或AX型）推導(dǎo)出來的。結(jié)論：AH⊥GF，△AGF∽△ABC，例題：如圖1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，正方形DEFG的頂點(diǎn)D、G分別在AB、AC上，EF在BC上．（1）求正方形DEFG的邊長(zhǎng)；（2）如圖2，在BC邊上放兩個(gè)小正方形DEFG、FGMN，則DE=