專題5.3 走進圖形世界（章節(jié)復習+考點講練）學生版

2023-2024學年蘇科版數(shù)學七年級上冊同步專題熱點難點專項練習專題5.3走進圖形世界（章節(jié)復習+考點講練）知識點01：立體圖形定義：圖形的各部分不都在同一平面內(nèi)，這樣的圖形就是立體圖形，如長方體、圓柱、圓錐、球等．棱柱、棱錐也是常見的立體圖形．知識要點：常見的立體圖形有兩種分類方法：棱柱的相關(guān)概念：在棱柱中，相鄰兩個面的交線叫做棱，相鄰兩個側(cè)面的交線叫做側(cè)棱．通常根據(jù)底面圖形的邊數(shù)將棱柱分為三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它們底面圖形的形狀分別為三角形、四邊形、五邊形、六邊形……（如下圖）知識要點：（1）棱柱所有側(cè)棱長都相等．棱柱的上、下底面的形狀相同，側(cè)面的形狀都是平行四邊形．（2）長方體、正方體都是四棱柱．（3）棱柱可分為直棱柱和斜棱柱．直棱柱的側(cè)面是長方形，斜棱柱的側(cè)面是平行四邊形．3．點、線、面、體：長方體、正方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等都是幾何體,幾何體也簡稱體；包圍著體的是面,面有平的面和曲的面兩種；面和面相交的地方形成線，線也分為直線和曲線兩種；線和線相交的地方形成點．從上面的描述中我們可以看出點、線、面、體之間的關(guān)系．此外，從運動的觀點看：點動成線，線動成面，面動成體．知識點02：展開與折疊有些立體圖形是由一些平面圖形圍成，將它們的表面適當剪開，可以展開成平面圖形，這樣的平面圖形稱為相應立體圖形的展開圖．知識要點：(1)不是所有的立體圖形都可以展成平面圖形．例如，球便不能展成平面圖形．(2)不同的立體圖形可展成不同的平面圖形；同一個立體圖形，沿不同的棱剪開，也可得到不同的平面圖．知識點03：截一個幾何體用一個平面去截一個幾何體，截出的面叫做截面．截面的形狀可能是三角形、四邊形、五邊形、六邊形或圓等等．知識點04：從三個方向看物體的形狀一般是從以下三個方向：(1)從正面看；(2)從左面看；(3)從上面看．（如下圖）【典型例題】（2023?青龍縣模擬）如圖所示，陀螺是由下面哪兩個幾何體組合而成的（）A．長方體和圓錐 B．長方形和三角形 C．圓和三角形 D．圓柱和圓錐【思路點撥】根據(jù)立體圖形的概念和定義對圖進行分析知：該圖上部分是圓柱，下部分是圓錐．【規(guī)范解答】解：由組成幾何體的特征知，上面是圓柱，下面是圓錐．故選：D．【考點再現(xiàn)】本題考查的圓柱和圓錐的定義，關(guān)鍵點在于理解圓柱和圓錐的特征．【變式訓練1-1】（2021秋?高新區(qū)期末）如圖，將一張正方形紙片的4個角剪去4個大小一樣的小正方形，然后折起來就可以制成一個無蓋的長方體紙盒，設(shè)這個正方形紙片的邊長為a，這個無蓋的長方體盒子高為h．（1）若a＝18cm，h＝4cm，則這個無蓋長方體盒子的底面面積為cm2；（2）用含a和h的代數(shù)式表示這個無蓋長方體盒子的容積V＝cm3；（3）若a＝18cm，試探究：當h越大，無蓋長方體盒子的容積V就越大嗎？請舉例說明；當h是正整數(shù)時，這個無蓋長方體盒子的最大容積是cm3．【變式訓練1-2】（2023?京口區(qū)校級一模）一只小螞蟻從如圖所示的正方體的頂點A沿著棱爬向有蜜糖的點B，它只能經(jīng)過三條棱，請你數(shù)一數(shù)，小螞蟻有種爬行路線．【變式訓練1-3】（2021秋?梁溪區(qū)校級期中）如圖，把一張長方形紙板裁去兩個邊長為3cm的小正方形和兩個全等的小長方形，再把剩余部分（陰影部分）四周折起，恰好做成一個有底有蓋的長方體紙盒，紙盒底面長方形的長為3kcm，寬為2kcm，則：（1）裁去的每個小長方形面積為cm2．（用k的代數(shù)式表示）（2）若長方體紙盒的表面積是底面積的正整數(shù)倍，則正整數(shù)k的值為．【典型例題】（2018秋?吳中區(qū)期末）圓柱是由長方形繞著它的一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所得到的，那么下列四個選項繞直線旋轉(zhuǎn)一周可以得到如圖立體圖形的是（）A． B． C． D．【思路點撥】如圖本題是一個平面圖形圍繞一條邊為中心對稱軸旋轉(zhuǎn)一周根據(jù)面動成體的原理即可解．【規(guī)范解答】解：由長方形繞著它的一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周可得到圓柱體，如圖立體圖形是兩個圓柱的組合體，則需要兩個一邊對齊的長方形，繞對齊邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周即可得到，故選：A．【考點再現(xiàn)】本題考查面動成體，需注意可把較復雜的體分解來進行分析．【變式訓練2-1】（2022秋?濱?？h月考）如圖，下面的幾何體是由圖（填寫序號）的平面圖形繞直線l旋轉(zhuǎn)一周得到的．【變式訓練2-2】（2022秋?常州期末）如圖，長方形的相鄰兩邊的長分別為x、y，將它分別繞相鄰兩邊旋轉(zhuǎn)一周．（1）兩次旋轉(zhuǎn)所形成的幾何體都是；（2）若x+y＝a（a是常數(shù)），分別記繞長度為x、y的邊旋轉(zhuǎn)一周的幾何體的體積為Vx、Vy，其中x、Vx、Vy的部分取值如表所示：x123456789VxmVy96πn①通過表格中的數(shù)據(jù)計算：a＝，m＝，n＝；②當x逐漸增大時，Vy的變化情況：；③當x變化時，請直接寫出Vx與Vy的大小關(guān)系．【典型例題】（2020秋?無錫期末）如圖是一個長方體儲水箱和一個長方體水池的側(cè)面示意圖（厚度忽略不計），儲水箱中水深12dm，把一高度為14dm的長方體石柱放置于水池中央后水池中水深2dm．現(xiàn)將儲水箱中的水勻速注入水池．注水4min時水池水面與石柱上底面持平；繼續(xù)注水2min后，儲水箱中的水全部注入水池，此時水池中水深19dm．根據(jù)上述信息，解答下列問題：（1）注水多長時間時，儲水箱和水池中的水的深度相同？（2）若水池底面積為42dm2，求石柱的底面積；（3）若石柱的體積為168dm3，請直接寫出注水前儲水箱中水的體積．【思路點撥】（1）先根據(jù)題意求出儲水箱出水速度和水池注水速度，再設(shè)tmin時深度相同，列方程求解即可；（2）設(shè)石柱底面積S＝adm2，依據(jù)儲水箱出水速度相同列方程求解；（3）先求得石柱的底面積，再通過列方程求出水池底面積，最后列方程求注水前儲水箱中水的體積．【規(guī)范解答】（1）儲水箱出水速度：12÷6＝2（dm/min），水池注水速度：（14﹣2）÷4＝3（dm/min），設(shè)tmin時深度相同，則：12﹣2t＝2+3t，解得：t＝2，答：注水2min時，儲水箱和水池中的水的深度相同．（2）設(shè)石柱底面積S＝adm2，則：（14﹣2）×（42﹣a）＝2×（19﹣14）×42，解得：a＝7，故石柱的底面積為7dm2．（3）∵石柱的體積為168dm3，∴石柱的底面積為：168÷14＝12（dm2），依題意，得：（19﹣14）?S水池÷（6﹣4）＝（14﹣2）?（S水池﹣12）÷4，解得：S水池＝72（dm2），12÷6×4×S儲水箱＝（72﹣12）×（14﹣2），解得：S儲水箱＝90（dm2），∴注水前儲水箱中水的體積V＝S儲水箱?h＝90×12＝1080（dm3）．【考點再現(xiàn)】本題考查了柱體的底面積、體積計算公式，一元一次方程的應用等，題目比較簡單，解題時一定要認真審題，理解題意，找準等量關(guān)系，建立方程求解．【變式訓練3-1】（2022秋?興化市校級期末）如圖，由27個相同的小正方體拼成一個大正方體，從中取出一塊小正方體，剩下的圖形表面積最大的取法為（）取走①號 B．取走②號 C．取走③號 D．取走④號【變式訓練3-2】（2019秋?揚州期末）由5個棱長為1的小正方體組成的幾何體如圖放置，一面著地，兩面靠墻，如果要將露出來的部分涂色，則涂色部分的面積為．【變式訓練3-3】（2019秋?盱眙縣期末）如圖，在平整的地面上，有若干個完全相同的棱長為10cm的小正方體堆成一個幾何體．（1）這個幾何體由個小正方體組成．（2）如果在這個幾何體的表面噴上黃色的漆，則在所有的小正方體中，有個正方體只有一個面是黃色，有2個正方體只有兩個面是黃色，有個正方體只有三個面是黃色．（3）這個幾何體噴漆的面積為cm2．【典型例題】（2022秋?張家港市期中）如圖所示，連接邊長為1的正方形各邊的中點，連接正方形的對角線，則圖中共有三角形（）A．16個 B．32個 C．22個 D．44個【思路點撥】先計算最小的三角形的個數(shù)，然后計算兩個三角形組成的三角形的個數(shù)，再計算四個三角形組成的三角形的個數(shù)，再計算八個三角形組成的三角形的個數(shù)，從而可得出答案．【規(guī)范解答】解：根據(jù)圖形得：最小的三角形有4×4＝16個；兩個三角形組成的三角形有4×4＝16；四個三角形組成的三角形有：8個；八個三角形組成的三角形有：4個．∴共有16+16+8+4＝44個．故選：D．【考點再現(xiàn)】本題考查圖形數(shù)量的確定，難度不大，按一定的順序，按一定的方向查找．【變式訓練4-1】（2013秋?泰興市校級期中）定義：兩個直角三角形，若一個三角形的兩條直角邊分別與另一個三角形的兩條直角邊相等，我們就說這兩個直角三角形是“同胞直角三角形”．如圖，在邊長為10的正方形中有兩個直角三角形，當直角三角形①和直角三角形②是同胞直角三角形時，a的值是1【變式訓練4-2】（2022秋?崇川區(qū)校級月考）如圖，半徑為1個單位長度的圓片上有一點Q與數(shù)軸上的原點重合（提示：圓的周長C＝2πr，π取3.14）（1）把圓片沿數(shù)軸向左滾動1周，點Q到達數(shù)軸上點A的位置，點A表示的數(shù)是；（2）圓片在數(shù)軸上向右滾動的周數(shù)記為正數(shù)，圓片在數(shù)軸上向左滾動的周數(shù)記為負數(shù)，依次運動情況記錄如下：2，﹣1，﹣5，4，3，﹣2．①第幾次滾動后，Q點距離原點最近？第幾次滾動后，Q點距離原點最遠？②當圓片結(jié)束運動時，Q點運動的路程共有多少？此時點Q所表示的數(shù)是多少？【典型例題】（2021秋?興化市月考）如圖所示是一個幾何體的表面展開圖．（1）該幾何體的名稱是圓柱，其底面半徑為1．（2）根據(jù)圖中所給信息，求該幾何體的側(cè)面積和體積．（結(jié)果保留π）【思路點撥】（1）依據(jù)展開圖中有長方形和兩個全等的圓，即可得出結(jié)論；（2）依據(jù)圓柱的側(cè)面積和體積計算公式，即可得到該幾何體的側(cè)面積和體積．【規(guī)范解答】解：（1）該幾何體的名稱是圓柱，其底面半徑為1，故答案為：圓柱；1；（2）該幾何體的側(cè)面積為：2π×1×3＝6π；該幾何體的體積＝π×12×3＝3π．【考點再現(xiàn)】本題主要考查了幾何體的展開圖，從實物出發(fā)，結(jié)合具體的問題，辨析幾何體的展開圖，通過結(jié)合立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化，建立空間觀念，是解決此類問題的關(guān)鍵．【變式訓練5-1】（2022秋?濱海縣月考）如圖是正方體的一種展開圖，表面上的語句為北京2022年冬奧會和冬殘奧會的主題口號“一起向未來!”，那么在正方體的表面與“!”相對的漢字是．【變式訓練5-2】（2023?鹽都區(qū)一模）如圖是一個幾何體的表面展開圖，這個幾何體是（）A． B． C． D．【變式訓練5-3】（2022秋?姑蘇區(qū)校級期末）如圖是一個幾何體的側(cè)面展開圖，則該幾何體是（）A．三棱柱 B．三棱錐 C．五棱柱 D．五棱錐【變式訓練5-4】．（2017秋?連云區(qū)期末）小明在學習了《展開與折疊》這一課后，明白了很多幾何體都能展開成平面圖形．于是他在家用剪刀展開了一個長方體紙盒，可是一不小心多剪了一條棱，把紙盒剪成了兩部分，即圖中的①和②．根據(jù)你所學的知識，回答下列問題：（1）小明總共剪開了條棱．（2）現(xiàn)在小明想將剪斷的②重新粘貼到①上去，而且經(jīng)過折疊以后，仍然可以還原成一個長方體紙盒，你認為他應該將剪斷的紙條粘貼到①中的什么位置？請你幫助小明在①上補全．（3）小明說：他所剪的所有棱中，最長的一條棱是最短的一條棱的5倍．現(xiàn)在已知這個長方體紙盒的底面是一個正方形，并且這個長方體紙盒所有棱長的和是880cm，求這個長方體紙盒的體積．【典型例題】（2016秋?泰興市期末）將如圖所示的圖形剪去一個小正方形，使余下的部分恰好能折成一個正方體，下列編號為1、2、3、6的小正方形中不能剪去的是3（填編號）．【思路點撥】根據(jù)正方體的展開圖中每個面都有唯一的一個對面進行判斷，可得答案．【規(guī)范解答】解：由圖可得，3的唯一對面是5，而4的對面是2或6，7的對面是1或2，所以將如圖所示的圖形剪去一個小正方形，使余下的部分恰好能折成一個正方體，編號為1、2、3、6的小正方形中不能剪去的是3，故答案為：3．【考點再現(xiàn)】本題考查了展開圖折疊成幾何體，利用正方體的展開圖中每個面都有唯一的一個對面是解題關(guān)鍵．【變式訓練6-1】（2022秋?蘇州期末）將如圖所示的圖形剪去一個小正方形，使余下的部分恰好能折成一個正方體，則下列序號中不應剪去的是（）A．3 B．2 C．6 D．1【變式訓練6-2】（2022秋?鼓樓區(qū)校級期末）小明用如圖所示的紙板折成了一個正方體的盒子，里面裝了一瓶墨水，與其他三個空盒子混放在一起，觀察四個選項，可知墨水瓶所在的盒子是（） B． C． D．【變式訓練6-3】（2022秋?太倉市期末）某數(shù)學興趣小組開展了“制作一個盡可能大的無蓋長方體紙盒”的實踐活動，他們利用邊長為a厘米的正方形紙板制作出一個無蓋的長方體紙盒（紙板厚度及接縫處忽略不計）．具體方法如下：如圖，先在紙板四角剪去四個同樣大小的小正方形，再沿虛線折合起來，這樣可制作一個無蓋的長方體紙盒．設(shè)底面邊長為x（x＜a）厘米．（1）這個紙盒的底面積是平方厘米，高是厘米（用含a，x的代數(shù)式表示）．（2）x的部分取值及相應的紙盒容積如表所示：x/厘米2468紙盒容積V/立方厘米m48np①請通過表格中的數(shù)據(jù)，分別計算m，n，p的值；（請詳細寫出求解過程）②請在該紙板上調(diào)整剪去小正方形的尺寸，重新制作一個無蓋長方體紙盒，使得新紙盒的容積大于表格中的四個容積值，則x＝厘米．（寫出一個符合題意的結(jié)果即可）【典型例題】（2021秋?淮陰區(qū)期末）有一個正方體骰子，放在桌面上，將骰子沿如圖所示的順時針方向滾動，每滾動90°算一次，則滾動第2022次后，骰子朝下一面的點數(shù)是（）A．5 B．3 C．4 D．2【思路點撥】先找出正方體相對的面，然后從數(shù)字找規(guī)律即可解答．【規(guī)范解答】解：由圖可知：3和4相對，2和5相對，1和6相對，將骰子沿如圖所示的順時針方向滾動，每滾動90°算一次，骰子朝下一面的點數(shù)依次為2，3，5，4，且依次循環(huán)，∵2022÷4＝505......2，∴滾動第2022次后，骰子朝下一面的點數(shù)是：3，故選：B．【考點再現(xiàn)】本題考查了正方體相對兩個面上的文字，先找出正方體相對的面，然后從數(shù)字找規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式訓練7-1】（2022秋?亭湖區(qū)期末）一個正方體的表面展開圖如圖所示，六個面上各有一字，連起來的意思是“沉著冷靜應考”，把它折成正方體后，與“靜”相對的字是．?【變式訓練7-2】（2022秋?興化市期末）如圖1，邊長為acm的正方形硬紙板的4個角上剪去相同的小正方形，這樣可制作一個無蓋的長方體紙盒，設(shè)底面邊長為xcm．（1）這個紙盒的底面積是cm2，高是（用含a、x的代數(shù)式表示）．（2）若將正方形硬紙板按圖2方式裁剪，亦可制作一個無蓋的長方體紙盒．①若為該紙盒制作一長方形蓋子，則該長方形的兩邊長分別是cm，cm（用含a、y的代數(shù)式表示）；②已知A，B，C，D四個面上分別標有整式2（m+2），m，﹣3，6，且該紙盒的相對兩個面上的整式的和相等，求m的值．【變式訓練7-3】（2021秋?高港區(qū)月考）一個小立方體的六個面分別標有字母A，B，C，D，E，F(xiàn)從三個不同方向看到的情形如圖所示．（1）A對面的字母是，B對面的字母是，E對面的字母是．（請直接填寫答案）（2）若A＝2x﹣1，B＝﹣3x+9，C＝﹣7，D＝1，E＝2x+5，F(xiàn)＝﹣9，且字母E與它對面的字母表示的數(shù)互為相反數(shù)，求A，B的值．【典型例題】（2021秋?蘇州期末）用一個平面去截正方體，截面可能是下列圖形中的（）①三角形；②四邊形；③五邊形；④六邊形；⑤七邊形．A．①②③④ B．①②③⑤ C．③④⑤ D．②④⑤【思路點撥】根據(jù)正方體的截面形狀判斷即可．【規(guī)范解答】解：因為：正方體的截面可能是三角形，四邊形，五邊形，六邊形，不可能是七邊形，所以：用一個平面去截正方體，截面可能是下列圖形中的三角形，四邊形，五邊形，六邊形，故選：A．【考點再現(xiàn)】本題考查了截一個幾何體，熟練掌握正方體的截面形狀是解題的關(guān)鍵．【變式訓練8-1】（2022秋?江寧區(qū)月考）正方體切去一個塊，可得到如圖幾何體，這個幾何體有（）條棱．A．10 B．11 C．12 D．13【變式訓練8-2】（2017秋?廣陵區(qū)校級月考）如圖，有一個立方體，它的表面涂滿了紅色，在它每個面上切兩刀，得到27個小立方體，而且凡是切面都是白色．問：（1）小立方體中三面紅的有幾塊？兩面紅的呢？一面紅的呢？沒有紅色的面呢？（2）如果每面切三刀，情況又怎樣呢？（3）每面切n刀呢？【變式訓練8-3】（2022秋?寧德期末）如圖是一個三棱柱，用平面從中截去一個三棱柱后，剩下的幾何體是（寫出所有可能的結(jié)果）．【典型例題】（2021秋?無錫期末）下列立體圖形中，俯視圖是三角形的是（）A． B． C． D．【思路點撥】俯視圖是從物體上面看所得到的圖形，據(jù)此判斷得出物體的俯視圖．【規(guī)范解答】解：A、圓錐體的俯視圖是圓，故此選項不合題意；B、三棱柱的俯視圖是三角形，故此選項符合題意；C、球的俯視圖是圓，故此選項不合題意；D、圓柱體的俯視圖是圓，故此選項不合題意；故選：B．【考點再現(xiàn)】本題考查了幾何體的三視圖，掌握定義是關(guān)鍵．注意所有的看到的棱都應表現(xiàn)在三視圖中．【變式訓練9-1】（2022秋?丹徒區(qū)月考）如圖所示，水平放置的長方體的底面是長為4cm、寬為2cm的長方形，它的主視圖的面積為12cm2，則長方體的體積等于cm3．【變式訓練9-2】（2021秋?灌云縣校級月考）在如圖所示的幾何體中，主視圖是三角形的是．（填序號）【變式訓練9-3】（2022秋?姑蘇區(qū)校級期末）如圖是由棱長都為1cm的6塊小正方體組成的簡單幾何體．（1）請在方格中畫出該幾何體的三個視圖．（2）如果在這個幾何體上再添加一些小正方體，并保持主視圖和左視圖不變，最多可以再添加塊小正方體，【典型例題】（2020秋?射陽縣校級月考）由6個相同的小正方體搭成的幾何體如圖所示，則它的主視圖是（）A． B． C． D．【思路點撥】根據(jù)從正面看得到的圖形是主視圖，可得答案．【規(guī)范解答】解：從正面看第一層是三個小正方形，第二層左邊是一個小正方形，故選：D．【考點再現(xiàn)】本題考查了簡單組合體的三視圖，從正面看得到的圖形是主視圖．【變式訓練10-1】（2017春?邗江區(qū)校級月考）如圖所示物體的左視圖為（）A． B． C． D．【變式訓練10-2】（2021秋?泰興市期末）如圖幾何體的主視圖為（）A． B． C． D．【變式訓練10-3】（2017秋?高新區(qū)期末）一個幾何體的主視圖和俯視圖如圖所示，若這個幾何體最多有m個小正方體組成，最少有n個小正方體組成，m+n＝．【變式訓