菲涅耳－基爾霍夫公式

工程光學(xué)EngineeringOptics第10章光的衍射屏幕E

a

S光源(b)b

單縫KabS光源(a)屏幕E一單色強(qiáng)光源（激光）發(fā)出的光波，通過寬度為

且連續(xù)可調(diào)的豎直狹縫上，則在狹縫后的屏上將發(fā)現(xiàn)：當(dāng)

足夠大時(shí)，在屏上看到的是一個(gè)均勻照明的光斑，光斑的大小為狹縫的幾何投影。這與光的直線傳播相一致。

逐漸減狹縫的寬度，屏上亮紋也逐漸減小，當(dāng)狹縫的寬度小到一定程度，亮紋將沿于狹縫垂直的水平方向擴(kuò)展彌漫。同時(shí)出現(xiàn)明暗相間的衍射圖樣，中央亮紋強(qiáng)度最大，兩側(cè)遞減，衍射效應(yīng)明顯，縫寬越窄，對入射光束的波限制越厲害，則衍射圖樣擴(kuò)展的越大，衍射效應(yīng)越顯著。

§10.1概論一、衍射現(xiàn)象波的衍射：當(dāng)波遇到障礙物時(shí)，它將偏離直線傳播，這種現(xiàn)象叫做波的衍射。索末菲（A.Sommerfeld）的定義：“不能用反射，折射來解釋的光線對直線光路的任何偏離?！毖苌洌菏枪鈧鞑ミ^程中的一個(gè)基本現(xiàn)象，對干涉、衍射與偏振等現(xiàn)象的研究，構(gòu)成了波動(dòng)光學(xué)的核心。在日常生活中，光的衍射現(xiàn)象不易為人們所察覺，與此相反，光的直線傳播行為給人們的印象卻很深。這是由于光的波長很短，以及普通光源是不相干的面光源。這兩方面的原因使得在通常條件下，光的衍射現(xiàn)象很不顯著。在滿足一定條件時(shí)，（采用高亮度的相干光或強(qiáng)點(diǎn)光源，并保證幕的距離足夠大）可演示出衍射現(xiàn)象。衍射不僅使物體的幾何陰影失去了清晰的輪廓，而且在邊緣附近還出現(xiàn)一系列的明暗相間的條紋。這些現(xiàn)象表明，衍射不簡單是偏離直線傳播的問題，還與某種復(fù)雜的干涉效應(yīng)有聯(lián)系從實(shí)驗(yàn)上看,衍射現(xiàn)象有如下特點(diǎn)：

1、光束在衍射屏上的什么方位受到限制，則接收屏幕上的衍射圖樣就沿該方向擴(kuò)展；

2、光孔線度越小，對光束限制越厲害，則衍射圖樣的擴(kuò)展越強(qiáng)，即衍射效應(yīng)越強(qiáng)。

3、光的衍射與光的波長有關(guān)。

二、衍射理論光的衍射是光的波動(dòng)性的主要標(biāo)志之一，1818年，菲涅爾最早成功地用波動(dòng)光學(xué)原理解釋了衍射現(xiàn)象，發(fā)展惠更斯原理為惠更斯－菲涅爾原理。1818年，法國巴黎科學(xué)院舉行的以解釋衍射現(xiàn)象為內(nèi)容的有獎(jiǎng)競賽會(huì)上，年青的菲涅耳取得了優(yōu)勝，開始了波動(dòng)說的興旺時(shí)期。目前，實(shí)際所用的衍射理論都是一種近似解法。一般將衍射現(xiàn)象分為兩類來研究：其一為：1818年菲涅耳衍射：觀察屏距衍射屏有限遠(yuǎn)時(shí)的衍射。其二為：1821－1822年，夫瑯和費(fèi)衍射：光源和觀察屏距離衍射屏都相當(dāng)于無限遠(yuǎn)情況的衍射。三、衍射問題：1.現(xiàn)象*S衍射屏觀察屏a

一般a

≯

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衍射屏觀察屏L

LS三、衍射問題：光源障礙物觀察屏SPDLB*（1）菲涅耳（Fresnel）衍射（2）夫瑯禾費(fèi)（Fraunhofer）衍射L和D中至少有一個(gè)是有限值。L和D皆為無限大（也可用透鏡實(shí)現(xiàn)）。衍射現(xiàn)象中包含了三項(xiàng)基本要素1、由光源S發(fā)出的光波。其性質(zhì)可以用光波的波長、波面形狀、復(fù)振幅分布等參量定量描述。2、衍射物（屏），導(dǎo)致衍射發(fā)生的障礙物為衍射屏,其性質(zhì)可由屏的復(fù)振幅透射系數(shù)分布描述。3、觀察屏上的“衍射圖形”，用電場的復(fù)振幅分布描述衍射問題：已知上述兩項(xiàng)時(shí)，求第三項(xiàng)，中心是建立上三項(xiàng)要素之間的定量關(guān)系。§10.2光波的標(biāo)量衍射理論

§10.2.1惠更斯－菲涅爾原理

一、惠更斯原理：

1690年，惠更斯在其著作《論光》中提出假設(shè)：“波前上的每一個(gè)面元都可以看作是一個(gè)次級擾動(dòng)中心，它們能產(chǎn)生球面子波”，并且：“后一時(shí)刻的波前的位置是所有這些子波前的包絡(luò)面?！边@里，“波前”可以理解為：光源在某一時(shí)刻發(fā)出的光波所形成的波面（等相面）?！按渭墧_動(dòng)中心可以看成是一個(gè)點(diǎn)光源”，又稱為“子波源”。二、惠更斯－菲涅耳原理研究衍射現(xiàn)象的理論基礎(chǔ)：

波動(dòng)具有兩個(gè)基本性質(zhì)：1、波動(dòng)是擾動(dòng)的傳播，一點(diǎn)的擾動(dòng)能夠引起其它點(diǎn)的擾動(dòng)，各點(diǎn)的擾動(dòng)相互之間是有聯(lián)系的；2、波動(dòng)具有時(shí)空周期性，能夠相干疊加。在惠更斯原理中，由于缺少對時(shí)空周期性的反映，從而對各次波如何疊加問題就不能給出令人滿意的回答。1818年，在巴黎科學(xué)院舉行的以解釋衍射現(xiàn)象為內(nèi)容的有獎(jiǎng)競賽會(huì)上，年青的菲涅耳出人意料地取得了優(yōu)勝，他吸收了惠更斯提出的次波概念，用“次波相干迭加”的思想將所有衍射情況引到統(tǒng)一的原理中來,這個(gè)原理就是惠更斯－菲涅耳原理。二、惠更斯－菲涅耳原理

波前上任何一個(gè)未受阻擋的點(diǎn)都可以看作是一個(gè)頻率（或波長）與入射波相同的子波源；在其后任何地點(diǎn)的光振動(dòng)，就是這些子波疊加的結(jié)果。

s為點(diǎn)波源，∑為從S發(fā)出的球面波在某時(shí)刻到達(dá)的波面，P為波場中的某個(gè)點(diǎn)。

由惠更斯—菲涅耳原理知：應(yīng)該把∑面分割成無窮多的面元d∑，把每個(gè)面元d∑看成發(fā)射次波的波源，從所有面元發(fā)射的次波將在P點(diǎn)相遇。一般說來，由各面元d∑到P點(diǎn)的光程是不同的，從而在P點(diǎn)引起的振動(dòng)位相不同，P點(diǎn)的總振動(dòng)就是這些次波在這里相干疊加的結(jié)果。以上就是惠更斯－菲涅耳原理的基本思想

P二、惠更斯－菲涅耳原理惠更斯－菲涅耳原理可以表述如下：波前上每一個(gè)面元都可看成是新的振動(dòng)中心，它們發(fā)出次波（頻率與入射波相同）;在空間某一點(diǎn)P的振動(dòng)是所有這些次波在該點(diǎn)的相干迭加。是相干疊加→復(fù)振幅疊加點(diǎn)光源S在波面∑’上任一點(diǎn)Q產(chǎn)生的復(fù)振幅為二、惠更斯－菲涅耳原理式中，A是離點(diǎn)光源單位距離處的振幅，R是波面∑的半徑。在Q點(diǎn)處取面元d

，面元發(fā)出的子波在P點(diǎn)產(chǎn)生的復(fù)振幅與在面元上的復(fù)振幅、面元大小和傾斜因子K(θ)成正比。面元d

在P點(diǎn)產(chǎn)生的復(fù)振幅可以表示為二、惠更斯－菲涅耳原理K(θ)表示子波的振幅隨面元法線與QP的夾角θ的變化。（θ稱為衍射角）C為一常數(shù),r=QP。菲涅耳假設(shè)：當(dāng)時(shí)θ=0，傾斜因子K有最大值，隨著增加θ↑，K減小，當(dāng)θ≥π/2時(shí)，K=0。對P點(diǎn)產(chǎn)生作用的將是波面∑’中界于zz’范圍內(nèi)的波面∑上的面元發(fā)出的子波。二、惠更斯－菲涅耳原理§10.2.2基爾霍夫標(biāo)量衍射理論

1818年菲涅耳提出了惠更斯－菲涅耳原理，并給出了菲涅耳衍射積分公式。最初菲涅耳作的各項(xiàng)假設(shè)時(shí)，只憑樸素的直覺。六十余年后，基爾霍夫（1882年）建立了一個(gè)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論，證明菲涅耳的設(shè)想基本上正確，只是菲涅耳給出的傾斜因子不對，并對其進(jìn)行了修正?；鶢柣舴蚶碚?，只適用于標(biāo)量波的衍射，故又稱標(biāo)量衍射理論。§10.2.2基爾霍夫標(biāo)量衍射理論

1.亥姆霍茲－基爾霍夫積分定理以簡諧標(biāo)量波的波動(dòng)微分方程出發(fā)（此方程在數(shù)學(xué)上稱為“亥姆霍茲”方程）建立了一個(gè)公式，使得空間任意一點(diǎn)的電磁場，可以用包圍該點(diǎn)的任意封閉曲面上的電磁場及其導(dǎo)數(shù)求得”此即為：亥姆霍茲－基爾霍夫積分定理§10.2.2基爾霍夫標(biāo)量衍射理論

此結(jié)果稱為亥姆霍茲－基爾霍夫積分定理,其意義在于：把封閉曲面∑內(nèi)任一點(diǎn)P的電磁場值用曲面上的場值E及表示出來，因而它也可看作惠更斯－菲涅耳原理的一種數(shù)學(xué)表示。事實(shí)上，在上式的被積函數(shù)中，因子

G

可視為由曲面∑上的Q點(diǎn)向內(nèi)空間的P點(diǎn)傳播的波，波源的強(qiáng)弱由Q點(diǎn)上的E和值確定。因此，曲面上每一點(diǎn)可以看作為一個(gè)次級光源，發(fā)射出子波，而曲面內(nèi)空間各點(diǎn)的場值取決于這些子波的疊加。2.菲涅耳－基爾霍夫公式基爾霍夫假定：(1)在孔徑∑上,E和完全取決于入射波性質(zhì),不受衍射光欄影響(2)在不透明屏部分，E和均為零假定（1）（2）稱為基爾霍夫邊界條件2.菲涅耳－基爾霍夫公式2.菲涅耳－基爾霍夫公式2.菲涅耳－基爾霍夫公式表明，子波源的振動(dòng)位相超前于入射波90度。2.菲涅耳－基爾霍夫公式基爾霍夫給出了傾斜因子的具體形式：若：入射波為垂直入射到孔徑的平面波。則

顯然：θ=0時(shí)，K(θ)=1

θ=π時(shí)，K(θ)=0§10.2.3基爾霍夫衍射公式的近似傍軸近似菲涅耳近似夫瑯和費(fèi)近似§10.2.3基爾霍夫衍射公式的近似一、傍軸近似（初步近似）應(yīng)用基爾霍夫公式來計(jì)算衍射問題，由于被積函數(shù)的形式比較復(fù)雜，因此，一般對其作一些近似處理。光源離孔徑足夠遠(yuǎn)，入射光可看成垂直入射于無限大不透明屏上孔徑∑上的單色平面波§10.2.3基爾霍夫衍射公式的近似一、傍軸近似（初步近似）若衍射孔徑的線度比觀察屏到孔徑的距離小得多，且觀察屏上的考察范圍也比觀察屏到孔徑的距離小得多，則有傍軸近似：（1）取則傾斜因子（2）由于上述條件，使孔徑范圍內(nèi)的任一點(diǎn)Q,到觀察屏上考察點(diǎn)P的距離r變化不大，則可取§10.2.3基爾霍夫衍射公式的近似一、傍軸近似（初步近似）二、菲涅爾近似對于具體的衍射問題，還可作更精確近似：r可近似寫為

式中(x1,y1)、(x,y)分別是孔徑上任一點(diǎn)Q和觀察屏上考察點(diǎn)P的坐標(biāo)值。對于上式作二項(xiàng)式展開，得：二、菲涅爾近似當(dāng)z1大到使第三項(xiàng)以后各項(xiàng)對位相k·r的作用遠(yuǎn)小于π時(shí)，第三項(xiàng)以后各項(xiàng)即可忽略?？芍蝗∏皟身?xiàng)表示r即此為菲涅耳近似。菲涅耳衍射條件二、菲涅爾近似將此r表達(dá)式代入傍軸近