專題20 相似三角形問題【有答案】

專題20相似三角形問題一、比例1．成比例線段（簡稱比例線段）：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等，即（或a：b=c：d），那么，這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段。如果作為比例內(nèi)項的是兩條相同的線段，即或a：b=b：c，那么線段b叫做線段a，c的比例中項。2．黃金分割：用一點P將一條線段AB分割成大小兩條線段，若小段與大段的長度之比等于大段與全長之比，則可得出這一比值等于0·618…。這種分割稱為黃金分割，分割點P叫做線段AB的黃金分割點，較長線段叫做較短線段與全線段的比例中項。3．平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例。4．兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例。5．平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應(yīng)線段成比例。二、相似、相似三角形及其基本的理論1.相似：相同形狀的圖形叫相似圖形。相似圖形強調(diào)圖形形狀相同，與它們的位置、大小無關(guān)。2．相似三角形：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比。3．三角形相似的判定方法（1）定義法：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似。（2）平行法：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊延長線）相交，構(gòu)成的三角形與原三角形相似。（3）兩個三角形相似的判定定理判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似，可簡述為兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似。判定定理2：如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應(yīng)相等，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似，可簡述為兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。判定定理3：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似，可簡述為三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似。4．直角三角形相似判定定理:①以上各種判定方法均適用②定理：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似。③垂直法：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似。5．相似三角形的性質(zhì):（1）相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例（2）相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平分線的比都等于相似比（3）相似三角形周長的比等于相似比（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方?！纠}1】（2020?河北）在如圖所示的網(wǎng)格中，以點O為位似中心，四邊形ABCD的位似圖形是（）A．四邊形NPMQ B．四邊形NPMR C．四邊形NHMQ D．四邊形NHMR【答案】A【分析】由以點O為位似中心，確定出點C對應(yīng)點M，設(shè)網(wǎng)格中每個小方格的邊長為1，則OC=5，OM＝25，OD=2，OB=10，OA=13，OR=5，OQ＝22，OP＝210，OH＝35，ON＝213，由OMOC=2，得點D對應(yīng)點Q，點B【解析】∵以點O為位似中心，∴點C對應(yīng)點M，設(shè)網(wǎng)格中每個小方格的邊長為1，則OC=22+12=5，OM=42+22=25，OD=2，OB=32+12=10，OA=32∵OMOC∴點D對應(yīng)點Q，點B對應(yīng)點P，點A對應(yīng)點N，∴以點O為位似中心，四邊形ABCD的位似圖形是四邊形NPMQ?！緦c練習(xí)】（2019廣西北海）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點分別為A（﹣1，1），B（﹣4，1），C（﹣2，3）．（1）畫出△ABC關(guān)于點O成中心對稱的△A1B1C1；（2）以點A為位似中心，將△ABC放大為原來的2倍得到△AB2C2，請在第二象限內(nèi)畫出△AB2C2；（3）直接寫出以點A1，B1，C1為頂點，以A1B1為的平行四邊形的第四個頂點D的坐標(biāo)．【答案】見解析?！窘馕觥浚?）根據(jù)關(guān)于原點對稱的點坐標(biāo)特征寫出A、B、C關(guān)于原點的對稱點A1、B1、C1的坐標(biāo)，然后描點即可.如圖，△A1B1C1為所作.（2）延長AB到B2使AB2＝2AB，延長AC到C2使AC2＝2AC，連接B2C2，則△AB2C2滿足條件.第四個頂點D的坐標(biāo)為（﹣1，﹣3）或（5，﹣3）．（3）另一條平行四邊形的性質(zhì)，把C1點向左或右平移3個單位得到D點坐標(biāo)．第四個頂點D的坐標(biāo)為（﹣1，﹣3）或（5，﹣3）．【例題2】（2019·廣西賀州）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點，DE∥BC，若AD＝2，AB＝3，DE＝4，則BC等于（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形相似得出對應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵．由平行線得出△ADE∽△ABC，得出對應(yīng)邊成比例＝，即可得出結(jié)果．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，即＝，解得：BC＝6【對點練習(xí)】（2019年內(nèi)蒙古赤峰市）如圖，D、E分別是△ABC邊AB，AC上的點，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，則AE的長是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴＝，即＝，解得，AE＝3【點撥】證明△ADE∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可．【例題3】（2020?山東泰安模擬）如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E為AD中點，F(xiàn)為AB上一點，將△AEF沿EF折疊后，點A恰好落到CF上的點G處，則折痕EF的長是．【答案】2．【解析】本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是能夠作出適當(dāng)?shù)妮o助線，連接CE，構(gòu)造相似三角形，最終利用相似的性質(zhì)求出結(jié)果．連接EC，利用矩形的性質(zhì)，求出EG，DE的長度，證明EC平分∠DCF，再證∠FEC＝90°，最后證△FEC∽△EDC，利用相似的性質(zhì)即可求出EF的長度．如圖，連接EC，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠A＝∠D＝90°，BC＝AD＝12，DC＝AB＝3，∵E為AD中點，∴AE＝DE＝AD＝6由翻折知，△AEF≌△GEF，∴AE＝GE＝6，∠AEF＝∠GEF，∠EGF＝∠EAF＝90°＝∠D，∴GE＝DE，∴EC平分∠DCG，∴∠DCE＝∠GCE，∵∠GEC＝90°﹣∠GCE，∠DEC＝90°﹣∠DCE，∴∠GEC＝∠DEC，∴∠FEC＝∠FEG+∠GEC＝×180°＝90°，∴∠FEC＝∠D＝90°，又∵∠DCE＝∠GCE，∴△FEC∽△EDC，∴，∵EC＝＝＝3，∴，∴FE＝2【對點練習(xí)】2019黑龍江省龍東地區(qū)）一張直角三角形紙片ABC，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，點D為BC邊上的任一點，沿過點D的直線折疊，使直角頂點C落在斜邊AB上的點E處，當(dāng)△BDE是直角三角形時，則CD的長為________．【答案】3或.【解析】在△BDE中，∠B是銳角，∴有兩種可能，∠DEB或∠EDB是直角，由此畫出示意圖，逐步求解即可.如下圖，∠DEB是直角時，∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，∴BC==8,設(shè)CD=x，則BD=8-x，由折疊知CD=ED=x，∵∠ACB＝∠DEB=90°，∴△BED∽△BCA，∴，即，解得x=3;如下圖，∠EDB是直角時，ED∥AC，∴△BED∽△BAC，∴,即，解得x=，綜上，CD的長為3或.【點撥】在△BDE中，∠B是銳角，有兩種可能，∠DEB或∠EDB是直角，由此畫出示意圖，逐步求解即可.【例題4】（2020?杭州）如圖，在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別在AB，BC，AC邊上，DE∥AC，EF∥AB．（1）求證：△BDE∽△EFC．（2）設(shè)AFFC①若BC＝12，求線段BE的長；②若△EFC的面積是20，求△ABC的面積．【解析】見解析?！痉治觥浚?）由平行線的性質(zhì)得出∠DEB＝∠FCE，∠DBE＝∠FEC，即可得出結(jié)論；（2）①由平行線的性質(zhì)得出BEEC②先求出FCAC=23，易證△【解答】（1）證明：∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠FCE，∵EF∥AB，∴∠DBE＝∠FEC，∴△BDE∽△EFC；（2）解：①∵EF∥AB，∴BEEC∵EC＝BC﹣BE＝12﹣BE，∴BE12-BE解得：BE＝4；②∵AFFC∴FCAC∵EF∥AB，∴△EFC∽△BAC，∴S△EFCS△ABC=（FCAC）2＝（∴S△ABC=94S△EFC【對點練習(xí)】（2019?四川省涼山州）如圖，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，過點B作BM∥CD交AD于M．連接CM交DB于N．（1）求證：BD2＝AD?CD；（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的長．【答案】見解析?！窘馕觥孔C明：（1）通過證明△ABD∽△BCD，可得，可得結(jié)論；∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB，且∠ABD＝∠BCD＝90°，∴△ABD∽△BCD∴∴BD2＝AD?CD（2）由平行線的性質(zhì)可證∠MBD＝∠BDC，即可證AM＝MD＝MB＝4，由BD2＝AD?CD和勾股定理可求MC的長，通過證明△MNB∽△CND，可得，即可求MN的長．∵BM∥CD∴∠MBD＝∠BDC∴∠ADB＝∠MBD，且∠ABD＝90°∴BM＝MD，∠MAB＝∠MBA∴BM＝MD＝AM＝4∵BD2＝AD?CD，且CD＝6，AD＝8，∴BD2＝48，∴BC2＝BD2﹣CD2＝12∴MC2＝MB2+BC2＝28∴MC＝2∵BM∥CD∴△MNB∽△CND∴，且MC＝2∴MN＝【點撥】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，求MC的長度是本題的關(guān)鍵．一、選擇題1．（2020?重慶）如圖，△ABC與△DEF位似，點O為位似中心．已知OA：OD＝1：2，則△ABC與△DEF的面積比為（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5【答案】C【解析】根據(jù)位似圖形的概念求出△ABC與△DEF的相似比，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算即可．∵△ABC與△DEF是位似圖形，OA：OD＝1：2，∴△ABC與△DEF的位似比是1：2．∴△ABC與△DEF的相似比為1：2，∴△ABC與△DEF的面積比為1：4。2.（2020浙江紹興）如圖，三角板在燈光照射下形成投影，三角板與其投影的相似比為2：5，且三角板的一邊長為8cm．則投影三角板的對應(yīng)邊長為（）A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm【答案】A【分析】根據(jù)對應(yīng)邊的比等于相似比列式進(jìn)行計算即可得解．【解答】解：設(shè)投影三角尺的對應(yīng)邊長為xcm，∵三角尺與投影三角尺相似，∴8：x＝2：5，解得x＝20．3．（2020?遂寧）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AC于點E，交AD于點F，交CD的延長線于點G，若AF＝2FD，則BEEGA．12 B．13 C．2【答案】C【分析】由AF＝2DF，可以假設(shè)DF＝k，則AF＝2k，AD＝3k，證明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用平行線分線段成比例定理即可解決問題．【解析】由AF＝2DF，可以假設(shè)DF＝k，則AF＝2k，AD＝3k，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBG，∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，∴CG＝CD+DG＝3k，∵AB∥DG，∴△ABE∽△CGE，∴BEEG4．（2020?遂寧）如圖，在正方形ABCD中，點E是邊BC的中點，連接AE、DE，分別交BD、AC于點P、Q，過點P作PF⊥AE交CB的延長線于F，下列結(jié)論：①∠AED+∠EAC+∠EDB＝90°，②AP＝FP，③AE=102④若四邊形OPEQ的面積為4，則該正方形ABCD的面積為36，⑤CE?EF＝EQ?DE．其中正確的結(jié)論有（）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【答案】B【分析】①正確．證明∠EOB＝∠EOC＝45°，再利用三角形的外角的性質(zhì)即可解決問題．②正確．利用四點共圓證明∠AFP＝∠ABP＝45°即可．③正確．設(shè)BE＝EC＝a，求出AE，OA即可解決問題．④錯誤，通過計算正方形ABCD的面積為48．⑤正確．利用相似三角形的性質(zhì)證明即可．【解析】如圖，連接OE．∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，∴∠BOC＝90°，∵BE＝EC，∴∠EOB＝∠EOC＝45°，∵∠EOB＝∠EDB+∠OED，∠EOC＝∠EAC+∠AEO，∴∠AED+∠EAC+∠EDO＝∠EAC+∠AEO+∠OED+∠EDB＝90°，故①正確，連接AF．∵PF⊥AE，∴∠APF＝∠ABF＝90°，∴A，P，B，F(xiàn)四點共圓，∴∠AFP＝∠ABP＝45°，∴∠PAF＝∠PFA＝45°，∴PA＝PF，故②正確，設(shè)BE＝EC＝a，則AE=5a，OA＝OC＝OB＝OD=2∴AEAO=5a2根據(jù)對稱性可知，△OPE≌△OQE，∴S△OEQ=12S四邊形∵OB＝OD，BE＝EC，∴CD＝2OE，OE∥CD，∴EQDQ=OECD=∴S△ODQ＝4，S△CDQ＝8，∴S△CDO＝12，∴S正方形ABCD＝48，故④錯誤，∵∠EPF＝∠DCE＝90°，∠PEF＝∠DEC，∴△EPF∽△ECD，∴EFED∵EQ＝PE，∴CE?EF＝EQ?DE，故⑤正確，故選：B．5．（2020?濰坊）如圖，點E是?ABCD的邊AD上的一點，且DEAE=12，連接BE并延長交CD的延長線于點F，若DE＝3，A．21 B．28 C．34 D．42【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AB∥CD，再由平行線得相似三角形，根據(jù)相似三角形求得AB，AE，進(jìn)而根據(jù)平行四邊形的周長公式求得結(jié)果．【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CF，AB＝CD，∴△ABE∽△DFE，∴DEAE∵DE＝3，DF＝4，∴AE＝6，AB＝8，∴AD＝AE+DE＝6+3＝9，∴平行四邊形ABCD的周長為：（8+9）×2＝34．故選：C．6．（2020?天水）如圖所示，某校數(shù)學(xué)興趣小組利用標(biāo)桿BE測量建筑物的高度，已知標(biāo)桿BE高1.5m，測得AB＝1.2m，BC＝12.8m，則建筑物CD的高是（）A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m【答案】A【分析】根據(jù)題意和圖形，利用三角形相似，可以計算出CD的長，從而可以解答本題．【解析】∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，∴ABAC∵BE＝1.5m，AB＝1.2m，BC＝12.8m，∴AC＝AB+BC＝14m，∴1.214解得，DC＝17.5，即建筑物CD的高是17.5m，7.（2019?海南省）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．點P是邊AC上一動點，過點P作PQ∥AB交BC于點Q，D為線段PQ的中點，當(dāng)BD平分∠ABC時，AP的長度為（）A. B． C． D．【答案】B．【解析】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)得到∠QBD＝∠BDQ，得到QB＝QD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可．∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，∴AC＝＝3，∵PQ∥AB，∴∠ABD＝∠BDQ，又∠ABD＝∠QBD，∴∠QBD＝∠BDQ，∴QB＝QD，∴QP＝2QB，∵PQ∥AB，∴△CPQ∽△CAB，∴＝＝，即＝＝，解得，CP＝，∴AP＝CA﹣CP＝二、填空題8．（2020?郴州）在平面直角坐標(biāo)系中，將△AOB以點O為位似中心，23為位似比作位似變換，得到△A1OB1，已知A（2，3），則點A1的坐標(biāo)是【解析】（43【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)進(jìn)而得出對應(yīng)點坐標(biāo)即可．【解析】∵將△AOB以點O為位似中心，23為位似比作位似變換，得到△A1OB1，A∴點A1的坐標(biāo)是：（23×2，即A1（439．（2020?樂山）把兩個含30°角的直角三角板按如圖所示拼接在一起，點E為AD的中點，連結(jié)BE交AC于點F．則AFAC=【解析】35【分析】連接CE，解直角三角形，用AD表示AB，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，用AD表示CE，再證明CE∥AB得△ABF∽△CEF，由相似三角形的性質(zhì)得AFCF，進(jìn)而得AF【解析】連接CE，∵∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，E是AD的中點，∴AC=32AD，CE=12∴∠ACE＝∠CAE＝30°∵∠BAC＝30°，∠ABC＝90°，∴AB=32AC=34AD，∠∴AB∥CE，∴△ABF∽△CEF，∴AFCF∴AF10．（2020?綏化）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC和△A1B1C1的相似比等于12，并且是關(guān)于原點O的位似圖形，若點A的坐標(biāo)為（2，4），則其對應(yīng)點A1的坐標(biāo)是【解析】（4，8）或（﹣4，﹣8）．【分析】利用關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)，把A點橫縱坐標(biāo)分別乘以2或﹣2得到其對應(yīng)點A1的坐標(biāo)．【解析】∵△ABC和△A1B1C1的相似比等于12，并且是關(guān)于原點O而點A的坐標(biāo)為（2，4），∴點A對應(yīng)點A1的坐標(biāo)為（2×2，2×4）或（﹣2×2，﹣2×4），即（4，8）或（﹣4，﹣8）．三、解答題11．（2020?泰安）小明將兩個直角三角形紙片如圖（1）那樣拼放在同一平面上，抽象出如圖（2）的平面圖形，∠ACB與∠ECD恰好為對頂角，∠ABC＝∠CDE＝90°，連接BD，AB＝BD，點F是線段CE上一點．探究發(fā)現(xiàn)：（1）當(dāng)點F為線段CE的中點時，連接DF（如圖（2）），小明經(jīng)過探究，得到結(jié)論：BD⊥DF．你認(rèn)為此結(jié)論是否成立？．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）將（1）中的條件與結(jié)論互換，即：BD⊥DF，則點F為線段CE的中點．請判斷此結(jié)論是否成立．若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．問題解決：（3）若AB＝6，CE＝9，求AD的長．【答案】見解析?！痉治觥浚?）證明∠FDC+∠BDC＝90°可得結(jié)論．（2）結(jié)論成立：利用等角的余角相等證明∠E＝∠EDF，推出EF＝FD，再證明FD＝FC即可解決問題．（3）如圖3中，取EC的中點G，連接GD．則GD⊥BD．利用（1）中即可以及相似三角形的性質(zhì)解決問題即可．【解析】（1）如圖（2）中，∵∠EDC＝90°，EF＝CF，∴DF＝CF，∴∠FCD＝∠FDC，∵∠ABC＝90°，∴∠A+∠ACB＝90°，∵BA＝BD，∴∠A＝∠ADB，∵∠ACB＝∠FCD＝∠FDC，∴∠ADB+∠FDC＝90°，∴∠FDB＝90°，∴BD⊥DF．故答案為是．（2）結(jié)論成立：理由：∵BD⊥DF，ED⊥AD，∴∠BDC+∠CDF＝90°，∠EDF+∠CDF＝90°，∴∠BDC＝∠EDF，∵AB＝BD，∴∠A＝∠BDC，∴∠A＝∠EDF，∵∠A+∠ACB＝90°，∠E+∠ECD＝90°，∠ACB＝∠ECD，∴∠A＝∠E，∴∠E＝∠EDF，∴EF＝FD，∵∠E+∠ECD＝90°，∠EDF+∠FDC＝90°，∴∠FCD＝∠FDC，∴FD＝FC，∴EF＝FC，∴點F是EC的中點．（3）如圖3中，取EC的中點G，連接GD．則GD⊥BD．∴DG=12EC∵BD＝AB＝6，在Rt△BDG中，BG=D∴CB=15在Rt△ABC中，AC=AB2∵∠ACB＝∠ECD，∠ABC＝∠EDC，∴△ABC∽△EDC，∴ACEC∴35∴CD=9∴AD＝AC+CD＝35+12．（2020?達(dá)州）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝6cm，CD＝2cm．P為線段BC上的一動點，且和B、C不重合，連接PA，過點P作PE⊥PA交射線CD于點E．聰聰根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對這個問題進(jìn)行了研究：（1）通過推理，他發(fā)現(xiàn)△ABP∽△PCE，請你幫他完成證明．（2）利用幾何畫板，他改變BC的長度，運動點P，得到不同位置時，CE、BP的長度的對應(yīng)值：當(dāng)BC＝6cm時，得表1：BP/cm…12345…CE/cm…0.831.331.501.330.83…當(dāng)BC＝8cm時，得表2：BP/cm…1234567…CE/cm…1.172.002.502.672.502.001.17…這說明，點P在線段BC上運動時，要保證點E總在線段CD上，BC的長度應(yīng)有一定的限制．①填空：根據(jù)函數(shù)的定義，我們可以確定，在BP和CE的長度這兩個變量中，BP的長度為自變量，EC的長度為因變量；②設(shè)BC＝mcm，當(dāng)點P在線段BC上運動時，點E總在線段CD上，求m的取值范圍．【解析】見解析。【分析】（1）根據(jù)兩角對應(yīng)相等兩三角形相似證明即可．（2）①根據(jù)函數(shù)的定義判斷即可．②設(shè)BP＝xcm，CE＝y(tǒng)cm．利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出y的最大值即可解決問題．【解答】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠B+∠C＝90°，∵∠B＝90°，∴∠B＝∠C＝90°，∵AP⊥PE，∴∠APE＝90°，∴∠APB+∠EPC＝90°，∵∠EPC+∠PEC＝90°，∴∠APB＝∠PEC，∴△ABP∽△PCE．（2）解：①根據(jù)函數(shù)的定義，我們可以確定，在BP和CE的長度這兩個變量中，BP的長度為自變量，EC的長度為因變量，故答案為：BP，EC．②設(shè)BP＝xcm，CE＝y(tǒng)cm．∵△ABP∽△PCE，∴ABPC∴6m-x∴y=-16x2+16mx=-16∵-1∴x=12m時，y有最大值∵點E在線段CD上，CD＝2cm，∴m2∴m≤43，∴0＜m≤43．13．（2020?棗莊）在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中線，AC＝BC，一個以點D為頂點的45°角繞點D旋轉(zhuǎn)，使角的兩邊分別與AC、BC的延長線相交，交點分別為點E、F，DF與AC交于點M，DE與BC交于點N．（1）如圖1，若CE＝CF，求證：DE＝DF；（2）如圖2，在∠EDF繞點D旋轉(zhuǎn)的過程中，試證明CD2＝CE?CF恒成立；（3）若CD＝2，CF=2，求DN【解析】見解析?！痉治觥浚?）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ACD＝∠BCD＝45°，證明△DCF≌△DCE，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等證明結(jié)論；（2）證明△FCD∽△DCE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，整理即可證明結(jié)論；（3）作DG⊥BC，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出DG，由（2）的結(jié)論求出CE，證明△ENC∽△DNG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出NG，根據(jù)勾股定理計算，得到答案．【解答】（1）證明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CD是中線，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∠ACF＝∠BCE＝90°，∴∠DCF＝∠DCE＝135°，在△DCF和△DCE中，CF=CE∠DCF=∠DCE∴△DCF≌△DCE（SAS）∴DE＝DF；（2）證明：∵∠DCF＝135°，∴∠F+∠CDF＝45°，∵∠FDE＝45°，∴∠CDE+∠CDF＝45°，∴∠F＝∠CDE，∵∠DCF＝∠DCE，∠F＝∠CDE，∴△FCD∽△DCE，∴CFCD∴CD2＝CE?CF；（3）解：過點D作DG⊥BC于G，∵∠DCB＝45°，∴GC＝GD=22CD由（2）可知，CD2＝CE?CF，∴CE=CD2∵∠ECN＝∠DGN，∠ENC＝∠DNG，∴△ENC∽△DNG，∴CNNG=CE解得，NG=2由勾股定理得，DN=D14．（2020?上海）已知：如圖，在菱形ABCD中，點E、F分別在邊AB、AD上，BE＝DF，CE的延長線交DA的延長線于點G，CF的延長線交BA的延長線于點H．（1）求證：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2＝AB?AE，求證：AG＝DF．【解析】見解析?！痉治觥浚?）想辦法證明∠BCE＝∠H即可解決問題．（2）利用平行線分線段成比例定理結(jié)合已知條件解決問題即可．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴CD＝CB，∠D＝∠B，CD∥AB，∵DF＝BE，∴△CDF≌CBE（SAS），∴∠DCF＝∠BCE，∵CD∥BH，∴∠H＝∠DCF，∴∠BCE＝∠H，∵∠B＝∠B，∴△BEC∽△BCH．（2）證明：∵BE2＝AB?AE，∴BEAB∵AG∥BC，∴AEBE∴BEAB∵DF＝BE，BC＝AB，∴BE＝AG＝DF，即AG＝DF．15．（2020?甘孜州）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過點C的切線互相垂直，垂足為D．（1）求證：∠CAD＝∠CAB；（2）若ADAB=23，AC＝2【答案】見解析。【分析】（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)，判斷出AD∥OC，再應(yīng)用平行線的性質(zhì)，即可推得AC平分∠DAB；（2）如圖2，連接BC，設(shè)AD＝2x，AB＝3x，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝∠ADC＝90°，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解析】（1）證明：如圖1，連接OC，，∵CD是切線，∴OC⊥CD．∵AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠1＝∠4．∵OA＝OC，∴∠2＝