結(jié)構(gòu)力學(xué)課件：結(jié)構(gòu)穩(wěn)定

第16章結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算兩類穩(wěn)定問題概述兩類穩(wěn)定問題計(jì)算簡例有限自由度體系的穩(wěn)定——靜力法和能量法無限自由度體系的穩(wěn)定——靜力法§16-1兩類穩(wěn)定問題概述一．概念結(jié)構(gòu)平衡的三種形式——穩(wěn)定平衡狀態(tài)結(jié)構(gòu)原來處于某個(gè)平衡狀態(tài),由于受到輕微干擾而偏離其原來位置，當(dāng)干擾消失后，結(jié)構(gòu)能夠回到原來位置。穩(wěn)定平衡狀態(tài)時(shí)小球的勢能為極小。在擾動作用下擾動除去后，能夠恢復(fù)到原有平衡狀態(tài)結(jié)構(gòu)原來處于某個(gè)平衡狀態(tài),由于受到輕微干擾而偏離其原來位置，當(dāng)干擾消失后，結(jié)構(gòu)不能回到原來位置。臨界平衡狀態(tài)（隨遇平衡）結(jié)構(gòu)由穩(wěn)定平衡到不穩(wěn)定平衡過渡的中間狀態(tài)。臨界平衡狀態(tài)不穩(wěn)定平衡狀態(tài)時(shí)小球的勢能為極大。臨界狀態(tài)的能量特征是勢能不變(勢能駐值)。不穩(wěn)定平衡狀態(tài)（失穩(wěn)）在擾動作用下擾動除去后，不能恢復(fù)到原有平衡狀態(tài)失穩(wěn)結(jié)構(gòu)在不穩(wěn)定平衡狀態(tài)下，受到任意微小外界擾動而失去穩(wěn)定稱為“失穩(wěn)”(“屈曲”)。壓桿的理想完善體系桿件軸線是理想的直線(沒有初曲率），荷載沒有偏心。壓桿的非完善體系具有初曲率或承受偏心荷載的壓桿。結(jié)構(gòu)失穩(wěn)現(xiàn)象分為兩類：分支點(diǎn)失穩(wěn)

極值點(diǎn)失穩(wěn)---臨界荷載穩(wěn)定平衡臨界平衡不穩(wěn)定平衡二．兩類失穩(wěn)１．分支點(diǎn)失穩(wěn)例如軸心受壓的柱子lEIFPΔ完善體系lEIFPΔ完善體系OB段：壓桿“原來的直線”平衡是穩(wěn)定的,受到“干擾”發(fā)生彎曲,“干擾”消失后,壓桿能夠復(fù)原（直線路徑Ⅰ）。BC段：壓桿“原來的直線”平衡是不穩(wěn)定的,“干擾”消失后,壓桿不能復(fù)原,繼續(xù)彎曲。壓桿存在直線路徑Ⅰ或彎曲路徑Ⅱ兩種不同的平衡狀態(tài)（取決于是否受到“干擾”）。B點(diǎn)：分支點(diǎn)，荷載達(dá)到臨界值，壓桿可以在原始直線形式下和微彎曲的形式下處于平衡,稱“臨界狀態(tài)平衡二重性”。o2．極值點(diǎn)失穩(wěn)：oB點(diǎn):臨界荷載是荷載的極大值。在極值點(diǎn)，平衡由穩(wěn)定轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定（OB段；BC段），這種失穩(wěn)形式稱為極值點(diǎn)失穩(wěn)。偏心受壓FPFP有初曲率非完善體系ΔΔ不論是分支點(diǎn)失穩(wěn)或是極值點(diǎn)失穩(wěn)，對于工程實(shí)際來說都是不允許的。這都將使結(jié)構(gòu)不能維持原來的工作狀態(tài)?！?6-2穩(wěn)定問題計(jì)算簡例結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定自由度（重點(diǎn)）:

當(dāng)結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時(shí)為了確定其變形形狀所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)數(shù)目。如受壓直桿：P單自由度P無限自由度yP2個(gè)自由度y1y2設(shè)失穩(wěn)變形圖:1、運(yùn)用大撓度理論分析：根據(jù)：因平衡路徑I平衡路徑II一．單自由度分支點(diǎn)失穩(wěn)計(jì)算簡例2、運(yùn)用小撓度理論分析：平衡路徑I平衡路徑II小撓度、小位移情況下：解為:ⅠⅠACⅡθ0失穩(wěn)變形：穩(wěn)定計(jì)算的中心內(nèi)容——確定結(jié)構(gòu)的臨界荷載。結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的兩種基本形式——分支點(diǎn)失穩(wěn)、極值點(diǎn)失穩(wěn)。分支點(diǎn)失穩(wěn)的特征——存在不同平衡路徑的交叉，在交叉點(diǎn)處出現(xiàn)平衡形式的二重性。極值點(diǎn)失穩(wěn)的特征——只存在一個(gè)平衡路徑，平衡路徑上出現(xiàn)極值點(diǎn)。結(jié)構(gòu)穩(wěn)定問題只有根據(jù)大撓度理論才能得出精確的結(jié)論。但小撓度理論也有實(shí)用的優(yōu)點(diǎn)，在分支點(diǎn)失穩(wěn)問題中通常也能得出臨界荷載的正確值。二.幾點(diǎn)認(rèn)識§16-３有限自由度體系的穩(wěn)定—靜力法和能量法確定臨界荷載的兩種/基本方法：靜力法—根據(jù)臨界狀態(tài)的靜力特征而提出的方法。能量法—根據(jù)臨界狀態(tài)的能量特征而提出的方法。一．靜力法定義:

假定體系處于失穩(wěn)的臨界狀態(tài)，列平衡方程求解臨界荷載。步驟：1.取隔離體,畫受力圖；

2.列平衡方程,n自由度體系能建立n個(gè)獨(dú)立的平衡方程；

3.利用位移有非零解,得到穩(wěn)定方程；

4.解穩(wěn)定方程,n自由度有n個(gè)實(shí)根，其中最小的為臨界荷載。ABθB’λ設(shè)新的平衡形式:

形式Ⅱ平衡方程為：代入算例——靜力法確定臨界荷載kk為轉(zhuǎn)動彈簧轉(zhuǎn)動剛度AB(運(yùn)用小撓度理論)—特征方程、穩(wěn)定方程臨界荷載：根據(jù)臨界狀態(tài)平衡二重性,位移θ應(yīng)具有非零解。2自由度體系:---穩(wěn)定方程失穩(wěn)形式P11.618lAPlCBP體系的總勢能EP＝彈簧變形能

+外力勢能VP二．能量法臨界狀態(tài)的能量特征是體系勢能不變,為駐值（即勢能的一階微分為零），據(jù)此求臨界荷載。ABθB’λ圖Ⅱ圖ⅠkAB外力勢能：負(fù)的“荷載做的功”。勢能駐值原理：體系勢能不變?yōu)轳v值（即勢能的一階微分為零）。臨界荷載：ABθB’λ圖Ⅱ具有非零解,算例——能量法確定臨界荷載【例】

試用兩種方法求圖示結(jié)構(gòu)的臨界荷載FPcr，剛度系數(shù)為k。分析：結(jié)構(gòu)有一個(gè)穩(wěn)定自由度，失穩(wěn)變形如圖所示。ABCFPEI=∞失穩(wěn)變形圖ABCFPyθθ一、靜力法：可解得臨界荷載為：解：失穩(wěn)變形圖ABCFPyθθkyFP二、能量法：總勢能為：彈簧變形能為：外力勢能為：由駐值條件有：臨界荷載為：右端的水平位移:ABCFPyθθkFP【例】試用兩種方法求圖示結(jié)構(gòu)的臨界荷載qcr，設(shè)剛度系數(shù)為k。分析：結(jié)構(gòu)只有一個(gè)穩(wěn)定自由度，失穩(wěn)變形如圖所示。2aaFP=2qaEI=∞EI=∞qθ失穩(wěn)變形圖FP=2qaq·2a一、靜力法：可解得臨界荷載為：解：通過對A點(diǎn)求矩有：a·θ2a·θkAθ失穩(wěn)變形圖FP=2qaq·2a二、能量法：結(jié)構(gòu)總勢能為：變形能為：外力勢能為：由駐值條件有：可解得臨界荷載為：a·θ2a·θkAθ失穩(wěn)變形圖FP=2qaq·2a【例】圖示是具有兩個(gè)自由度的體系，其中AB、BC、CD各桿為剛性桿，試求臨界荷載Fpcr

。kkABCD解：體系失穩(wěn)變形如圖所示，支座反力為：靜力法kkABCD(b)C′λy1y2B′鉸B′以右隔離體的平衡條件為：鉸C′以左隔離體的平衡條件為：方程有非零解，系數(shù)行列式等于0，得到穩(wěn)定方程：【例】

試用兩種方法求圖示結(jié)構(gòu)的臨界荷載FPcr，設(shè)各桿

EI=∞，彈簧鉸轉(zhuǎn)動剛度系數(shù)為k。分析：上述結(jié)構(gòu)有兩個(gè)穩(wěn)定自由度，失穩(wěn)變形如圖所示失穩(wěn)變形圖ABCDFPy1y2M1M2kkABCDFP轉(zhuǎn)動彈簧鉸一、靜力法：解：取AC′隔離體,對C′取矩：取B′D隔離體,對B′取矩：其中：計(jì)算支座反力如圖所示。kk失穩(wěn)變形圖ABCDFPy1y2M1M2整理，可得：再由系數(shù)行列式為零，可解得：二、能量法：結(jié)構(gòu)總勢能為：外力勢能為：計(jì)算變形能:λkkABCDFPy1y2M1M2由駐值條件有：再由系數(shù)行列式為零,可解得:λkkABCDFPy1y2M1M2【例】試求圖示結(jié)構(gòu)的臨界荷載。解：ABDCEA=∞EI=∞EI橫梁和右側(cè)柱的作用可以等效為圖中彈簧ABkEI=∞AΔ臨界狀態(tài)k①簡化模型如圖，一個(gè)穩(wěn)定自由度。②靜力法求解。③臨界荷載:彈簧剛度相當(dāng)于使CD柱頂產(chǎn)生單位側(cè)移所需要的力:

DCEI在某些結(jié)構(gòu)中,不受軸向壓力的部分可視為壓桿的彈性支撐，將結(jié)構(gòu)簡化為具有彈性支撐的壓桿計(jì)算。彈性支撐的剛度系數(shù)k是非受壓部分發(fā)生單位位移時(shí)所需施加的力（或力矩）?！纠壳髨D示結(jié)構(gòu)的臨界荷載。AΔ臨界狀態(tài)kBk0①簡化模型如右所示，一個(gè)穩(wěn)定自由度。②靜力法求解。EIACABCEI=∞EIkABEI=∞k0k【例】求圖示結(jié)構(gòu)的臨界荷載。ABDCEAEI=∞EIABEI=∞k0k1EIACAΔ臨界狀態(tài)k1Bk0①簡化模型如右所示，一個(gè)穩(wěn)定自由度。②靜力法求解。【例】試計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)的臨界荷載。解：①簡化模型如右所示，一個(gè)穩(wěn)定自由度.②靜力法求解.③

計(jì)算結(jié)構(gòu)臨界荷載.思路：1.假設(shè)體系失穩(wěn)變形狀態(tài);2.建立坐標(biāo)系,取隔離體,繪受力圖,列寫平衡方程;3.將撓曲線方程代入平衡方程,利用邊界條件、平衡形式二重性建立穩(wěn)定方程；4.解穩(wěn)定方程,最小的根為臨界荷載?！?6-4無限自由度體系的穩(wěn)定—靜力法（重點(diǎn)）xyyxEI2.將撓曲線方程代入平衡方程：令上式改寫為：

二階非齊次微分方程,通解：無限自由度體系的穩(wěn)定問題：1.建立坐標(biāo)系、取隔離體、列寫平衡方程由邊界條件確定A、B及FR,A、B和FR/FP不能全為零，所以：經(jīng)試算：xyyxEI關(guān)于未知常數(shù)A，B和FR的線性齊次代數(shù)方程組y04.493圖解法:【例16.2】求圖示排架的臨界荷載和柱AB的計(jì)算長度。yABΔy臨界狀態(tài)解：彈簧剛度相當(dāng)于使CD柱頂產(chǎn)生單位側(cè)移所需要的力:

ABDC剛性桿A、I=∞ABk簡化模型撓曲線微分方程為：上式通解為：令上式改寫為：

yABΔy臨界狀態(tài)M由邊界條件：yABΔy臨界狀態(tài)x討論兩種情形的解：

幾種常見壓桿的穩(wěn)定方程:ABEIk0EIABkABEIABEI√√【例】試求圖示結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定方程。ABEIk0①簡化模型如圖所示，無限個(gè)穩(wěn)定自由度。②穩(wěn)定方程。ABCEI2EI2EID解：2EIAC2EIAD【例】試求圖示結(jié)構(gòu)的臨界荷載。解：ABDCEI=∞EIEI①簡化模型如右所示，無限個(gè)穩(wěn)定自由度。②穩(wěn)定方程。③結(jié)構(gòu)的臨界荷載:EIAB剛結(jié)點(diǎn)B無轉(zhuǎn)動詳細(xì)解題過程：取壓桿臨界狀態(tài)的平衡形式及坐標(biāo)（如圖），可得撓曲線微分方程通解為：令：則：邊界條件為：穩(wěn)定方程為：可得：臨界荷載：1、求臨界荷載的方法有兩種，即————和————，在原理上，前者依據(jù)是——————，后者依據(jù)是——————。

2、彈性壓桿處于臨界狀態(tài)時(shí)具有平衡二重性，即可以在————形式下和————形式下處于平衡，即滿足平衡方程的解有——————。3、任何兩端彈性支座壓桿的臨界荷載都不會大于對應(yīng)的（即桿長、材料、截面均相同）——————的臨界荷載。答案：靜力法、能量法、臨界狀態(tài)平衡二重性、臨界狀態(tài)體系的勢能為駐值答案：直線、新的彎曲；零解和非零解答案：兩端固定壓桿§結(jié)構(gòu)穩(wěn)定計(jì)算復(fù)習(xí)題概念判斷:5、能量法確定臨界荷載的依據(jù)是勢能駐值原理。1、壓彎桿件喪失穩(wěn)定屬于第一類失穩(wěn)。2、在穩(wěn)定分析中，有n個(gè)穩(wěn)定自由度