2023-2024學(xué)年四川省成都市高三下冊(cè)第二次月考數(shù)學(xué)（理）質(zhì)量檢測(cè)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年四川省成都市高三下冊(cè)第二次月考數(shù)學(xué)（理）質(zhì)量檢測(cè)模擬試題一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，是虛數(shù)單位，若與互為共軛復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.3.采購(gòu)經(jīng)理指數(shù)（PMI），是通過對(duì)企業(yè)采購(gòu)經(jīng)理的月度調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)匯總、編制而成的指數(shù)，它涵蓋了企業(yè)采購(gòu)、生產(chǎn)、流通等各個(gè)環(huán)節(jié)，包括制造業(yè)和非制造業(yè)領(lǐng)域，是國(guó)際上通用的檢測(cè)宏觀經(jīng)濟(jì)走勢(shì)的先行指數(shù)之一，具有較強(qiáng)的預(yù)測(cè)、預(yù)警作用．制造業(yè)PMI高于時(shí)，反映制造業(yè)較上月擴(kuò)張；低于，則反映制造業(yè)較上月收縮．下圖為我國(guó)2021年1月—2022年6月制造業(yè)采購(gòu)經(jīng)理指數(shù)（PMI）統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖分析，下列結(jié)論最恰當(dāng)?shù)囊豁?xiàng)為（）A.2021年第二、三季度各月制造業(yè)在逐月收縮B.2021年第四季度各月制造業(yè)在逐月擴(kuò)張C.2022年1月至4月制造業(yè)逐月收縮D.2022年6月PMI重回臨界點(diǎn)以上，制造業(yè)景氣水平呈恢復(fù)性擴(kuò)張4.已知函數(shù)，則的圖象（）A關(guān)于直線對(duì)稱 B.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 C.關(guān)于直線對(duì)稱 D.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱5.黨的二十大報(bào)告既鼓舞人心，又催人奮進(jìn)．為學(xué)習(xí)貫徹黨的二十大精神，某宣講小分隊(duì)將5名宣講員分配到4個(gè)社區(qū)，每個(gè)宣講員只分配到1個(gè)社區(qū)，每個(gè)社區(qū)至少分配1名宣講員，則不同的分配方案共有（）A.480種 B.240種 C.120種 D.60種6.函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為（）A. B. C. D.7.已知，則的值為（）A B. C. D.8.如圖所示的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，…．如圖所示的程序框圖，輸出的S即為小球總數(shù)，則（）A.35 B.56 C.84 D.1209.過拋物線的焦點(diǎn)F且傾斜角為銳角的直線與C交于兩點(diǎn)A，B（橫坐標(biāo)分別為，，點(diǎn)A在第一象限），為C的準(zhǔn)線，過點(diǎn)A與垂直的直線與相交于點(diǎn)M．若，則（）A.3 B.6 C.9 D.1210.如圖，在長(zhǎng)方體中，底面ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為，CD的中點(diǎn)，直線BE與平面所成角為，給出下列結(jié)論：①平面；②；③異面直線BE與所成角為；④三棱錐的體積為長(zhǎng)方體體積的．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④11.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率為，直線與C交于點(diǎn)M，N，且，．當(dāng)取最小值時(shí)，橢圓C的離心率為（）A. B. C. D.12.設(shè)，，，則a，b，c大小關(guān)系是（）A. B. C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若x，y滿足約束條件，則的最大值為______．14.已知向量，，則向量與向量的夾角為______．15.若函數(shù)的最小正周期為，則滿足條件“是偶函數(shù)”的的一個(gè)值為______（寫出一個(gè)滿足條件的即可）．16.已知O是邊長(zhǎng)為3的正三角形ABC的中心，點(diǎn)P是平面ABC外一點(diǎn)，平面ABC，二面角的大小為60°，則三棱錐外接球的表面積為______．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.某企業(yè)為改進(jìn)生產(chǎn)，現(xiàn)某產(chǎn)品及成本相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)．現(xiàn)收集了該產(chǎn)品的成本費(fèi)y（單位：萬元/噸）及同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量x（單位：噸）的20組數(shù)據(jù)．現(xiàn)分別用兩種模型①，②進(jìn)行擬合，據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到如下值：14.50.086650.04-4504表中，．若用刻畫回歸效果，得到模型①、②的值分別為，．（1）利用和比較模型①、②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個(gè)模型？并說明理由；（2）根據(jù)（1）中所選擇模型，求y關(guān)于x的回歸方程；并求同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量為25（噸）時(shí)y的預(yù)報(bào)值．附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為，．18.已知為等差數(shù)列，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足：，求前n項(xiàng)和．19.已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c從下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)并解答問題：①；②；③．（1）求角A的大??；（2）若，且的面積為，求的周長(zhǎng)．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．20.如圖，四棱錐的底面是矩形，底面ABCD，．（1）試在棱BC上確定一點(diǎn)M，使得平面平面，并說明理由．（2）在第（1）問的條件下，求二面角的余弦值．21.已知函數(shù)．（1）若是的極小值點(diǎn)，求a的取值范圍；（2）若，，求a的取值范圍．（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）22.在直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為，直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，．（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）若，求直線l的斜率．[選修4-5：不等式選講]（10分）23.已知，，且．（1）證明：；（2）若不等式對(duì)任意恒成立，求m的取值范圍．2023-2024學(xué)年四川省成都市高三下學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)（理）質(zhì)量檢測(cè)模擬試卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，是虛數(shù)單位，若與互為共軛復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念可求得的值，進(jìn)而根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可求得結(jié)果.【詳解】由已知可得，所以.故選：C.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】求出集合，根據(jù)并集的運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】解可得，，所以，所以.故選：A.3.采購(gòu)經(jīng)理指數(shù)（PMI），是通過對(duì)企業(yè)采購(gòu)經(jīng)理的月度調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)匯總、編制而成的指數(shù)，它涵蓋了企業(yè)采購(gòu)、生產(chǎn)、流通等各個(gè)環(huán)節(jié)，包括制造業(yè)和非制造業(yè)領(lǐng)域，是國(guó)際上通用的檢測(cè)宏觀經(jīng)濟(jì)走勢(shì)的先行指數(shù)之一，具有較強(qiáng)的預(yù)測(cè)、預(yù)警作用．制造業(yè)PMI高于時(shí)，反映制造業(yè)較上月擴(kuò)張；低于，則反映制造業(yè)較上月收縮．下圖為我國(guó)2021年1月—2022年6月制造業(yè)采購(gòu)經(jīng)理指數(shù)（PMI）統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖分析，下列結(jié)論最恰當(dāng)?shù)囊豁?xiàng)為（）A.2021年第二、三季度的各月制造業(yè)在逐月收縮B.2021年第四季度各月制造業(yè)在逐月擴(kuò)張C.2022年1月至4月制造業(yè)逐月收縮D.2022年6月PMI重回臨界點(diǎn)以上，制造業(yè)景氣水平呈恢復(fù)性擴(kuò)張【正確答案】D【分析】根據(jù)題意，將各個(gè)月的制造業(yè)指數(shù)與比較，即可得到答案.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可以得到，只有9月份的制造業(yè)指數(shù)低于，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可以得到，10月份的制造業(yè)指數(shù)低于，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可以得到，1、2月份的制造業(yè)指數(shù)高于，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可以得到，從4月份的制造業(yè)指數(shù)呈現(xiàn)上升趨勢(shì)，且在2022年6月PMI超過，故D項(xiàng)正確.故選：D.4.已知函數(shù)，則的圖象（）A.關(guān)于直線對(duì)稱 B.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 C.關(guān)于直線對(duì)稱 D.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱【正確答案】A【分析】求出以及的表達(dá)式，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性，即可判斷各項(xiàng)，得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由已知可得，，所以圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)?，則，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)?，則，故D錯(cuò)誤.故選:A.設(shè)的定義域?yàn)?對(duì)于，若恒成立，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；對(duì)于，若恒成立，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.5.黨的二十大報(bào)告既鼓舞人心，又催人奮進(jìn)．為學(xué)習(xí)貫徹黨的二十大精神，某宣講小分隊(duì)將5名宣講員分配到4個(gè)社區(qū)，每個(gè)宣講員只分配到1個(gè)社區(qū)，每個(gè)社區(qū)至少分配1名宣講員，則不同的分配方案共有（）A.480種 B.240種 C.120種 D.60種【正確答案】B【分析】先選出2人為1組有種，再將4組人員分配到4個(gè)社區(qū)有，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，即可求出結(jié)果.【詳解】5名宣講員分配到4個(gè)社區(qū)，每個(gè)社區(qū)至少1人，則分配方式為1，1，1，2，先選出2人為1組有種，再將4組人員分配到4個(gè)社區(qū)有，所以不同的分配方案共有.故選：B.6.函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)值的符號(hào)分析判斷.【詳解】∵，∴為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，C、D錯(cuò)誤；又∵若時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，A錯(cuò)誤，B正確；故選：B.7.已知，則的值為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】以為整體，利用誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦公式運(yùn)算求解.【詳解】∵，故選：D.8.如圖所示的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，…．如圖所示的程序框圖，輸出的S即為小球總數(shù)，則（）A.35 B.56 C.84 D.120【正確答案】B【分析】設(shè)第層小球個(gè)數(shù)為，根據(jù)程序框圖可知，輸出的，求出各個(gè)數(shù)即可得到.【詳解】設(shè)第層小球個(gè)數(shù)為，由題意可知，.根據(jù)程序框圖可知，輸出的，又，，，，，，所以.故選：B.9.過拋物線的焦點(diǎn)F且傾斜角為銳角的直線與C交于兩點(diǎn)A，B（橫坐標(biāo)分別為，，點(diǎn)A在第一象限），為C的準(zhǔn)線，過點(diǎn)A與垂直的直線與相交于點(diǎn)M．若，則（）A.3 B.6 C.9 D.12【正確答案】C【分析】由已知可求得直線的斜率為，則直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程，可求出，，即可解得結(jié)果.【詳解】設(shè)直線的斜率為，傾斜角為，.由拋物線的定義知，，又，所以為等邊三角形，且軸，所以，則.，則直線方程為，聯(lián)立直線的方程與拋物線的方程，可得，解得，，顯然，所以，，所以，.故選：C.10.如圖，在長(zhǎng)方體中，底面ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為，CD的中點(diǎn)，直線BE與平面所成角為，給出下列結(jié)論：①平面；②；③異面直線BE與所成角為；④三棱錐的體積為長(zhǎng)方體體積的．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④【正確答案】D【分析】取中點(diǎn)為，可證明平面平面，根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可判斷①；可證明平面，即可判斷②；可證明四邊形是平行四邊形，即可得到，進(jìn)而可得即等于所求角，求出該角即可判斷③；以為底，即可求出三棱錐的體積，進(jìn)而判斷④.【詳解】取中點(diǎn)為，連結(jié).對(duì)于①，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理，平?因?yàn)椋矫?，平面，，所以平面平面，又平面，所以平面，所以①正確；對(duì)于②，由已知可得四邊形是正方形，，又平面，平面，所以，因?yàn)槠矫?，平面，，所以平面，又平面，所以，故②正確；對(duì)于③，取中點(diǎn)為，連結(jié).因?yàn)?，，，，所以，所以且，所以四邊形是平行四邊形，則，所以異面直線BE與所成角即等于直線與所成角，因?yàn)橹本€BE與平面所成角為，平面，所以，所以，設(shè)，則，則，所以為等邊三角形，所以，故③正確；對(duì)于④，設(shè)長(zhǎng)方體體積為，則.因?yàn)槠矫?，則，故④正確.故①②③④正確.故選：D.11.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率為，直線與C交于點(diǎn)M，N，且，．當(dāng)取最小值時(shí)，橢圓C的離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)直線和橢圓的對(duì)稱性可得為平行四邊形,再由及向量的數(shù)量積可求,再應(yīng)用基本不等式,取等條件計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)橹本€與C交于點(diǎn)M，N，設(shè)為的中點(diǎn),由為的中點(diǎn),故四邊形為平行四邊形.則,由橢圓定義得設(shè)因?yàn)?所以,又因所以,,在中,，應(yīng)用余弦定理所以,又因?yàn)?所以當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取最小值,此時(shí),則故選:.12.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】構(gòu)建，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可證，再構(gòu)建，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可證，再證，即可得.【詳解】構(gòu)建，則，當(dāng)時(shí)，則，故在上單調(diào)遞增，∵，則，即，∴，即，構(gòu)建，則，當(dāng)時(shí)，則，故在上單調(diào)遞減，∵，則，即，∴，又∵，則，∴，故，即，綜上所述.故選：D.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：①若證，構(gòu)建，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析判斷；②若證，構(gòu)建，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析判斷，并根據(jù)題意適當(dāng)放縮證明.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若x，y滿足約束條件，則的最大值為______．【正確答案】8【分析】作出可行域，通過平行確定的最大值.【詳解】如圖，作出不等式組所表示的平面區(qū)域，聯(lián)立方程，解得，即，由，即表示斜率，橫截距為的直線，通過平移可得當(dāng)直線過點(diǎn)C時(shí)，橫截距最大，即最大，故.故8.14.已知向量，，則向量與向量的夾角為______．【正確答案】##【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示求夾角即可得到.【詳解】由已知可得，，，，則由可得，，所以，向量與向量的夾角為.故答案為.15.若函數(shù)的最小正周期為，則滿足條件“是偶函數(shù)”的的一個(gè)值為______（寫出一個(gè)滿足條件的即可）．【正確答案】（答案不唯一，也可以寫，，符合，即可）【分析】化簡(jiǎn)可得，又根據(jù)周期可得，即可得到，根據(jù)偶函數(shù)可得，.【詳解】，又的最小正周期為，所以，則，所以，所以.又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以應(yīng)滿足，，所以有，.故答案為.16.已知O是邊長(zhǎng)為3的正三角形ABC的中心，點(diǎn)P是平面ABC外一點(diǎn)，平面ABC，二面角的大小為60°，則三棱錐外接球的表面積為______．【正確答案】【分析】根據(jù)題意分析可得二面角的平面角為，進(jìn)而可得相關(guān)長(zhǎng)度，再結(jié)合球的性質(zhì)可得，可得球的半徑，即可得結(jié)果.【詳解】∵O是正三角形ABC的中心，則，∴，取的中點(diǎn)，連接，則，即二面角的平面角為，由正三角形ABC的邊長(zhǎng)為3，則，三棱錐為正三棱錐，則三棱錐的外接球的球心在直線上，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，∵，則，解得，∴三棱錐外接球的表面積.故答案為.結(jié)論點(diǎn)睛：球的相關(guān)性質(zhì)：①球的截面均為圓面；②球心與截面圓心的連線垂直于該截面.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.某企業(yè)為改進(jìn)生產(chǎn)，現(xiàn)某產(chǎn)品及成本相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)．現(xiàn)收集了該產(chǎn)品的成本費(fèi)y（單位：萬元/噸）及同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量x（單位：噸）的20組數(shù)據(jù)．現(xiàn)分別用兩種模型①，②進(jìn)行擬合，據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到如下值：14.50.086650.04-4504表中，．若用刻畫回歸效果，得到模型①、②的值分別為，．（1）利用和比較模型①、②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個(gè)模型？并說明理由；（2）根據(jù)（1）中所選擇的模型，求y關(guān)于x的回歸方程；并求同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量為25（噸）時(shí)y的預(yù)報(bào)值．附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為，．【正確答案】（1）選擇模型②，理由見解析；（2）6.【分析】（1）根據(jù)已知，根據(jù)的意義，即可得出模型②的擬合效果好，選擇模型②；（2）與可用線性回歸來擬合，有，求出系數(shù)，得到回歸方程，即可得到成本費(fèi)與同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量的回歸方程為，代入，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】應(yīng)該選擇模型②.由題意可知，，則模型②中樣本數(shù)據(jù)的殘差平方和比模型①中樣本數(shù)據(jù)的殘差平方和小，即模型②擬合效果好.【小問2詳解】由已知，成本費(fèi)與可用線性回歸來擬合，有.由已知可得，，所以，則關(guān)于的線性回歸方程為.成本費(fèi)與同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量的回歸方程為，當(dāng)（噸）時(shí)，（萬元/噸）.所以，同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量為25（噸）時(shí)y的預(yù)報(bào)值為6萬元/噸.18.已知為等差數(shù)列，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足：，求前n項(xiàng)和．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式運(yùn)算求解；（2）先根據(jù)前n項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的關(guān)系求得，可得為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式運(yùn)算求解.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，∵，則，即，∴，故數(shù)列的通項(xiàng)公式.【小問2詳解】∵，當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則，兩式相減得，則；綜上所述.又∵，故數(shù)列是以首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，∴數(shù)列的前n項(xiàng)和.19.已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c從下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)并解答問題：①；②；③．（1）求角A的大??；（2）若，且的面積為，求的周長(zhǎng)．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）如選擇①，由已知可得，根據(jù)正弦定理以及兩角和的正弦公式的逆用，即可得出，進(jìn)而求出；如選擇②，由已知可得，根據(jù)正弦定理以及兩角和的正弦公式，即可得出，利用輔助角公式可得，根據(jù)角的范圍即可求出；如選擇③，由余弦定理可得，，化簡(jiǎn)即有，進(jìn)而求出，即可求出；（2）根據(jù)三角形的面積公式即可求出，根據(jù)余弦定理即可求出，進(jìn)而即可得到的周長(zhǎng)．【小問1詳解】如選擇①，有，即，由正弦定理可得，，又，所以，因?yàn)?，所?如選擇②，由可得，，由正弦定理可得，，又，所以，又，所以，即，所以.因?yàn)?，所以，所以，解?如選擇③，.由余弦定理可得，，整理可得，，所以.因?yàn)?，所?【小問2詳解】由（1）知，，又，且的面積為，所以有，解得，由余弦定理可得，，所以，所以的周長(zhǎng).20.如圖，四棱錐的底面是矩形，底面ABCD，．（1）試在棱BC上確定一點(diǎn)M，使得平面平面，并說明理由．（2）在第（1）問的條件下，求二面角的余弦值．【正確答案】（1）答案見詳解；（2）.【分析】（1）當(dāng)為棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，根據(jù)三角形相似，可推出，即，進(jìn)而證明平面，從而得到面面垂直；（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求得各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的法向量以及平面的法向量，再根據(jù)圖形判斷二面角為銳角，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】當(dāng)為棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，平面平面.證明：若為棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，，所以.又，，所以∽.所以.又，所以，所以.因?yàn)榈酌鍭BCD，平面ABCD，所以.因?yàn)槠矫?，平面，，所以平?又平面，所以平面平面.【小問2詳解】由（1），連結(jié)，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，.，，.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則.則，顯然二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.21.已知函數(shù)．（1）若是的極小值點(diǎn)，求a的取值范圍；（2）若，，求a的取值范圍．【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）求導(dǎo)可得，然后分為、進(jìn)行分類討論，當(dāng)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)解，對(duì)兩個(gè)解大小關(guān)系進(jìn)行討論，即可得到a的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，可知恒成立，則單調(diào)遞增，只需即可，代入得到的范圍.當(dāng)時(shí)，由（1）知，當(dāng)時(shí)，取得極小值，也即為最小值.根據(jù)題意，只需滿足，整理即可得到關(guān)于的不等式，求解即可得到.【小問1詳解】由已知可得，定義域?yàn)镽..①當(dāng)，則恒成立，解可得，解，可得；解，可得.顯然是的極小值點(diǎn)，滿足條件.②當(dāng)時(shí)，解可得，.（?。┊?dāng)，即時(shí)，解，可得或；解，可