專(zhuān)題10 圖形變換綜合題探究專(zhuān)題【無(wú)答案】

玩轉(zhuǎn)壓軸題，爭(zhēng)取滿分之備戰(zhàn)2020年中考數(shù)學(xué)解答題高端精品專(zhuān)題十圖形變換綜合題探究專(zhuān)題【考題研究】本專(zhuān)題主要包括圖形的變換和相似形．其中軸對(duì)稱(chēng)圖形、平移、中心對(duì)稱(chēng)圖形的識(shí)別，相似三角形性質(zhì)以填空和選擇題為主，主要是考查對(duì)圖形的識(shí)別和性質(zhì)；圖形的折疊、平移、旋轉(zhuǎn)與幾何圖形面積相關(guān)的計(jì)算問(wèn)題以填空題和解答題為主，主要是考查對(duì)幾何問(wèn)題的綜合運(yùn)用能力；而相似三角形的性質(zhì)及判斷定的應(yīng)用往往還會(huì)結(jié)合圓或者解直角三角形等問(wèn)題一并考查，主要是以解答題為主?！窘忸}攻略】圖形的軸對(duì)稱(chēng)、平移、旋轉(zhuǎn)是近年中考的新題型、熱點(diǎn)題型，它主要考查學(xué)生的觀察與實(shí)驗(yàn)?zāi)芰?，探索與實(shí)踐能力，因此在解題時(shí)應(yīng)注意以下方面：1.熟練掌握?qǐng)D形的軸對(duì)稱(chēng)、圖形的平移、圖形的旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)和基本方法。2.結(jié)合具體問(wèn)題大膽嘗試，動(dòng)手操作平移、旋轉(zhuǎn)，探究發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在規(guī)律是解答操作題的基本方法。3．注重圖形與變換的創(chuàng)新題，弄清其本質(zhì)，掌握其基本的解題方法，尤其是折疊與旋轉(zhuǎn)等?！窘忸}類(lèi)型及其思路】1.變換中求角度注意平移性質(zhì)：平移前后圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線平行且相等．2．變換中求線段長(zhǎng)時(shí)把握折疊的性質(zhì)：折線是對(duì)稱(chēng)軸、折線兩邊圖形全等、對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線垂直對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)應(yīng)邊平行或交點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上．3．變換中求坐標(biāo)時(shí)注意旋轉(zhuǎn)性質(zhì)：對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角的大小不變，對(duì)應(yīng)線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.4．變換中求面積，注意前后圖形的變換性質(zhì)及其位置等情況?！镜淅敢款?lèi)型一【圖形的平移】【典例指引1】1．兩個(gè)三角板ABC，DEF按如圖所示的位置擺放，點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，邊AB與邊DE在同一條直線上(假設(shè)圖形中所有的點(diǎn)、線都在同一平面內(nèi))，其中，∠C＝∠DEF＝90°，∠ABC＝∠F＝30°，AC＝DE＝4cm.現(xiàn)固定三角板DEF，將三角板ABC沿射線DE方向平移，當(dāng)點(diǎn)C落在邊EF上時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)三角板平移的距離為(cm)，兩個(gè)三角板重疊部分的面積為(cm2)．(1)當(dāng)點(diǎn)C落在邊EF上時(shí)，＝________cm；(2)求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍；(3)設(shè)邊BC的中點(diǎn)為點(diǎn)M，邊DF的中點(diǎn)為點(diǎn)N，直接寫(xiě)出在三角板平移過(guò)程中，點(diǎn)M與點(diǎn)N之間距離的最小值．【舉一反三】如圖①，將兩塊全等的三角板拼在一起，其中△ABC的邊BC在直線l上，AC⊥BC且AC=BC；△EFP的邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，EF⊥FP且EF=FP．（1）在圖①中，通過(guò)觀察、測(cè)量，猜想直接寫(xiě)出AB與AP滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，不要說(shuō)明理由；（2）將三角板△EFP沿直線l向左平移到圖②的位置時(shí)，EP交AC于點(diǎn)Q，連接AP、BQ．猜想寫(xiě)出BQ與AP滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．類(lèi)型二【圖形的軸對(duì)稱(chēng)--折疊】【典例指引2】將一個(gè)直角三角形紙片ABO放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A3,0，點(diǎn)B0,4，點(diǎn)O0,0.P是邊AB上的一點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A，B重合)，沿著折疊該紙片，得點(diǎn)B(Ⅰ)如圖①，當(dāng)∠BOP=30°時(shí)，求點(diǎn)B'(Ⅱ)如圖②，當(dāng)點(diǎn)B'落在x軸上時(shí)，求點(diǎn)P(Ⅲ)當(dāng)PB'與坐標(biāo)軸平行時(shí)，求點(diǎn)【舉一反三】如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，將該矩形沿AE折疊，使點(diǎn)D落在邊BC上的點(diǎn)F處，過(guò)點(diǎn)F作FG∥CD，交AE于點(diǎn)G，連接DG．（1）求證：四邊形DEFG為菱形；（2）若CD=8，CF=4，求的值．類(lèi)型三【圖形的旋轉(zhuǎn)】【典例指引3】如圖1，點(diǎn)O是正方形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，分別延長(zhǎng)OD到點(diǎn)G，OC到點(diǎn)E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以O(shè)G、OE為鄰邊作正方形OEFG，連接AG，DE．（1）求證：DE⊥AG；（2）正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如圖2．①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)∠OAG′是直角時(shí)，求α的度數(shù)；②若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，求AF′長(zhǎng)的最大值和此時(shí)α的度數(shù)，直接寫(xiě)出結(jié)果不必說(shuō)明理由．【舉一反三】（1）（問(wèn)題發(fā)現(xiàn)）如圖1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，以CD為一邊作正方形CDEF，點(diǎn)E恰好與點(diǎn)A重合，則線段BE與AF的數(shù)量關(guān)系為（2）（拓展研究）在（1）的條件下，如果正方形CDEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，連接BE，CE，AF，線段BE與AF的數(shù)量關(guān)系有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明；（3）（問(wèn)題發(fā)現(xiàn)）當(dāng)正方形CDEF旋轉(zhuǎn)到B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)候，直接寫(xiě)出線段AF的長(zhǎng)．類(lèi)型四【圖形的位似】【典例指引4】如圖，二次函數(shù)y=x2﹣3x的圖象經(jīng)過(guò)O（0，0），A（4，4），B（3，0）三點(diǎn)，以點(diǎn)O為位似中心，在y軸的右側(cè)將△OAB按相似比2：1放大，得到△OA′B′，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)O，A′，B′三點(diǎn)．（1）畫(huà)出△OA′B′，試求二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P（m，n）在二次函數(shù)y=x2﹣3x的圖象上，m≠0，直線OP與二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象交于點(diǎn)Q（異于點(diǎn)O）．①連接AP，若2AP＞OQ，求m的取值范圍；②當(dāng)點(diǎn)Q在第一象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)Q作QQ′平行于x軸，與二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象交于另一點(diǎn)Q′，與二次函數(shù)y=x2﹣3x的圖象交于點(diǎn)M，N（M在N的左側(cè)），直線OQ′與二次函數(shù)y=x2﹣3x的圖象交于點(diǎn)P′．△Q′P′M∽△QB′N(xiāo)，則線段NQ的長(zhǎng)度等于．【舉一反三】如圖所示，網(wǎng)格紙中的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，我們把以格點(diǎn)間連線為邊的三角形稱(chēng)為“格點(diǎn)三角形”，圖中的△ABC是格點(diǎn)三角形．在建立平面直角坐標(biāo)系后，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－1，－1)．(1)把△ABC向下平移5格后得到△A1B1C1，寫(xiě)出點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo)，并畫(huà)出△A1B1C1；(2)把△ABC繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180°后得到△A2B2C2，寫(xiě)出點(diǎn)A2，B2，C2的坐標(biāo)，并畫(huà)出△A2B2C2；(3)把△ABC以點(diǎn)O為位似中心放大得到△A3B3C3，使放大前后對(duì)應(yīng)線段的比為1∶2，寫(xiě)出點(diǎn)A3，B3，C3的坐標(biāo)，并畫(huà)出△A3B3C3.【新題訓(xùn)練】1．在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn)的三角形）ABC的頂點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為（﹣4，5），（﹣1，3）．（1）請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格平面內(nèi)作出平面直角坐標(biāo)系；（2）寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo)

；（3）將△ABC向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，畫(huà)出平移后的圖形△A′B′C′；（4）計(jì)算△A′B′C′的面積﹒（5）在x軸上存在一點(diǎn)P，使PA+PC最小，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo).2．如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（﹣1，0），（3，0），將線段AB先向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到線段CD，連接AC，BD，構(gòu)成平行四邊形ABDC．（1）請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，S四邊形ABDC；（2）點(diǎn)Q在y軸上，且S△QAB＝S四邊形ABDC，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（3）如圖（2），點(diǎn)P是線段BD上任意一個(gè)點(diǎn)（不與B、D重合），連接PC、PO，試探索∠DCP、∠CPO、∠BOP之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．3．（問(wèn)題情境）在綜合實(shí)踐課上，同學(xué)們以“圖形的平移”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)，如圖①，先將一張長(zhǎng)為4，寬為3的矩形紙片沿對(duì)角線剪開(kāi)，拼成如圖所示的四邊形，，，則拼得的四邊形的周長(zhǎng)是_____.（操作發(fā)現(xiàn)）將圖①中的沿著射線方向平移，連結(jié)、、、，如圖②.當(dāng)?shù)钠揭凭嚯x是的長(zhǎng)度時(shí)，求四邊形的周長(zhǎng).（操作探究）將圖②中的繼續(xù)沿著射線方向平移，其它條件不變，當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，將四邊形沿對(duì)角線剪開(kāi)，用得到的四個(gè)三角形拼成與其面積相等的矩形，直接寫(xiě)出所有可能拼成的矩形周長(zhǎng).4．如圖，在的正方形方格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，頂點(diǎn)都在網(wǎng)格線交點(diǎn)處的三角形，是一個(gè)格點(diǎn)三角形．在圖中，請(qǐng)判斷與是否相似，并說(shuō)明理由；在圖中，以O(shè)為位似中心，再畫(huà)一個(gè)格點(diǎn)三角形，使它與的位似比為2：1在圖中，請(qǐng)畫(huà)出所有滿足條件的格點(diǎn)三角形，它與相似，且有一條公共邊和一個(gè)公共角．5．已知：是的高，且.（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，點(diǎn)E在AD上，連接，將沿折疊得到，與相交于點(diǎn)，若BE=BC，求的大?。唬?）如圖3，在（2）的條件下，連接，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，，求線段的長(zhǎng).圖1.圖2.圖3.6．如圖，長(zhǎng)方形在平面直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)，點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1）求的值及直線的表達(dá)式；（2）現(xiàn)將長(zhǎng)方形沿折疊，使頂點(diǎn)落在平面內(nèi)的點(diǎn)處，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線分別交軸和于點(diǎn)，.①求的坐標(biāo)；②若點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，當(dāng)為等腰三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo).（說(shuō)明：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）7．如圖1，四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，OB=OD，OC=OA+AB，AD=m，BC=n，∠ABD+∠ADB=∠ACB．（1）填空：∠BAD與∠ACB的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_______；（2）求的值；（3）將△ACD沿CD翻折，得到△A′CD（如圖2），連接BA′，與CD相交于點(diǎn)P．若CD=，求PC的長(zhǎng)．8．如圖，直線：y＝﹣+4與x軸、y軸分別別交于點(diǎn)M、點(diǎn)N，等邊△ABC的高為3，邊BC在x軸上，將△ABC沿著x軸的正方向平移，在平移過(guò)程中，得到△A1B1C1，當(dāng)點(diǎn)B1與原點(diǎn)O重合時(shí)，解答下列問(wèn)題：（1）點(diǎn)A1的坐標(biāo)為．（2）求△A1B1C1的邊A1C1所在直線的解析式；（3）若以P、A1、C1、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫(xiě)出P點(diǎn)坐標(biāo)．9．已知：△ABC和△ADE均為等邊三角形，連接BE，CD，點(diǎn)F，G，H分別為DE，BE，CD中點(diǎn)．（1）當(dāng)△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖1，則△FGH的形狀為，說(shuō)明理由；（2）在△ADE旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)B，D，E三點(diǎn)共線時(shí)，如圖2，若AB=3，AD=2，求線段FH的長(zhǎng)；（3）在△ADE旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，若AB=a，AD=b（a＞b＞0），則△FGH的周長(zhǎng)是否存在最大值和最小值，若存在，直接寫(xiě)出最大值和最小值；若不存在，說(shuō)明理由．10．綜合與實(shí)踐問(wèn)題背景折紙是一種許多人熟悉的活動(dòng)，將折紙的一邊二等分、四等分都是比較容易做到的，但將一邊三等分就不是那么容易了，近些年，經(jīng)過(guò)人們的不懈努力，已經(jīng)找到了多種將正方形折紙一邊三等分的精確折法，最著名的是由日本學(xué)者芳賀和夫發(fā)現(xiàn)的三種折法，現(xiàn)在被數(shù)學(xué)界稱(chēng)之為芳賀折紙三定理．其中，芳賀折紙第一定理的操作過(guò)程及內(nèi)容如下（如圖1）：操作1：將正方形ABCD對(duì)折，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合．再將正方形ABCD展開(kāi)，得到折痕EF；操作2：再將正方形紙片的右下角向上翻折，使點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，邊BC翻折至B'E的位置，得到折痕MN，B'E與AB交于點(diǎn)P．則P即為AB的三等分點(diǎn)，即AP：PB=2：1．解決問(wèn)題（1）在圖1中，若EF與MN交于點(diǎn)Q，連接CQ．求證：四邊形EQCM是菱形；（2）請(qǐng)?jiān)趫D1中證明AP：PB=2：l．發(fā)現(xiàn)感悟若E為正方形紙片ABCD的邊AD上的任意一點(diǎn)，重復(fù)“問(wèn)題背景”中操作2的折紙過(guò)程，請(qǐng)你思考并解決如下問(wèn)題：（3）如圖2．若=2．則=；（4）如圖3，若=3，則=；（5）根據(jù)問(wèn)題（2），（3），（4）給你的啟示，你能發(fā)現(xiàn)一個(gè)更加一般化的結(jié)論嗎？請(qǐng)把你的結(jié)論寫(xiě)出來(lái)，不要求證明．11．在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是矩形，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn).以點(diǎn)為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形，得到矩形，點(diǎn)，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，.（Ⅰ）如圖①，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（Ⅱ）如圖②，當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)，與交于點(diǎn).①求證；②求點(diǎn)的坐標(biāo).（Ⅲ）記為矩形對(duì)角線的交點(diǎn)，為的面積，求的取值范圍（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）.12．已知O為直線MN上一點(diǎn)，OP⊥MN，在等腰Rt△ABO中，，AC∥OP交OM于C，D為OB的中點(diǎn)，DE⊥DC交MN于E．(1)如圖1，若點(diǎn)B在OP上，則①ACOE(填“＜”，“＝”或“＞”)；②線段CA、CO、CD滿足的等量關(guān)系式是；(2)將圖1中的等腰Rt△ABO繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)()，如圖2，那么(1)中的結(jié)論②是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)將圖1中的等腰Rt△ABO繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)()，請(qǐng)你在圖3中畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出線段CA、CO、CD滿足的等量關(guān)系式；13．如圖1，在中，，，點(diǎn)，分別在邊，上，，連接，點(diǎn)，，分別為，，的中點(diǎn).（1）觀察猜想圖1中，線段與的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）探究證明把繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2的位置，連接，，，判斷的形狀，并說(shuō)明理由；（3）拓展延伸把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，請(qǐng)直接寫(xiě)出面積的最大值.14．已知∠MAN=135°，正方形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)．（1）當(dāng)正方形ABCD旋轉(zhuǎn)到∠MAN的外部（頂點(diǎn)A除外）時(shí)，AM，AN分別與正方形ABCD的邊CB，CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，N，連接MN．①如圖1，若BM=DN，則線段MN與BM+DN之間的數(shù)量關(guān)系是；②如圖2，若BM≠DN，請(qǐng)判斷①中的數(shù)量關(guān)系是否仍成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）如圖3，當(dāng)正方形ABCD旋轉(zhuǎn)到∠MAN的內(nèi)部（頂點(diǎn)A除外）時(shí)，AM，AN分別與直線BD交于點(diǎn)M，N，探究：以線段BM，MN，DN的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是何種三角形，并說(shuō)明理由．15．已知：如圖，是由一個(gè)等邊△ABE和一個(gè)矩形BCDE拼成的一個(gè)圖形，其點(diǎn)B，C，D的坐標(biāo)分別為(1，2)，(1，1)，(3，1)．(1)直接寫(xiě)出E點(diǎn)和A點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)試以點(diǎn)B為位似中心，作出位似圖形A1B1C1D1E1，使所作的圖形與原圖形的位似比為3∶1；(3)直接寫(xiě)出圖形A1B1C1D1E1的面積．16．如圖1，將長(zhǎng)為10的線段OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°得到OB，點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡為，P是半徑OB上一動(dòng)點(diǎn)，Q是上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PQ.發(fā)現(xiàn)：∠POQ＝________時(shí)，PQ有最大值，最大值為_(kāi)_______；思考：（1）如圖2，若P是OB中點(diǎn)，且QP⊥OB于點(diǎn)P，求的長(zhǎng)；（2）如圖3，將扇形AOB沿折痕AP折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′恰好落在OA的延長(zhǎng)線上，求陰影部分面積；探究：如圖4，將扇形OAB沿PQ折疊，使折疊后的弧QB