第08講第四章數(shù)列重點(diǎn)題型章末總結(jié)

第08講第四章數(shù)列重點(diǎn)題型章末總結(jié)一、思維導(dǎo)圖二、題型精講題型01等差與等比數(shù)列的基本運(yùn)算1．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，求解下列問題：(1)若，，求；(2)若，，求；(3)若，，，求n．【答案】(1)2(2)1596(3)11【詳解】（1）由題意知數(shù)列為等差數(shù)列，，，設(shè)公差為d，故，解得；（2）數(shù)列為等差數(shù)列，，，設(shè)公差為d，故，解得，則；（3）由題意知數(shù)列為等差數(shù)列，，，設(shè)公差為d，則，解得，由，得，解得或（舍去），故.2．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）在等差數(shù)列中，(1)已知，，，求；(2)已知，，，求；(3)已知，，求；(4)已知，，求．【答案】(1)(2)(3)(4)【詳解】（1）由，，，則．（2）由，，，則，解得．（3）由，，則．（4）由，，則．3．（2023·全國·高二課堂例題）已知數(shù)列是等差數(shù)列．(1)若，，求；(2)若，，求；(3)若，，，求n．【答案】(1)2700(2)(3)．【詳解】（1）因?yàn)?，，根?jù)公式，可得．（2）因?yàn)?，，所以．根?jù)公式，可得．（3）把，，代入，得．整理，得．解得，或（舍去）．所以．4．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）在等差數(shù)列中，(1)已知，，求；(2)已知，，求．【答案】(1)44(2)【詳解】（1）設(shè)，則解得故.（2）設(shè)，則解得故.5．（2023秋·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，則．由，，得，解得，則，則，故．（2）由（1）可知，則是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，故．6．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）已知數(shù)列為等比數(shù)列．(1)若，，求；(2)若，，求和q；(3)若，，求.【答案】(1)(2)(3)或【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，且，，所以，（2）因?yàn)?，，所以，解得，?）因?yàn)?，，所以，由題意可知，所以，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，綜上或7．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）求下列等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．(1)，，；(2)，，；(3)，，；(4)，，．【答案】(1)(2)(3)(4)378【詳解】（1）由，，得（2）由，，得（3）由，，得（4）由，，得8．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）已知數(shù)列為等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為．(1)如果，，求；(2)如果，，求q；(3)如果，，求．【答案】(1)(2)或(3)【詳解】（1）等比數(shù)列中，，，，解得．（2）在等比數(shù)列中，，，顯然公比，，整理得，解得或．（3）因?yàn)椋?，所以公比，所以，，所以，即，所以，所以，則.題型02等差、等比數(shù)列的判定1．（2023春·山東淄博·高二?？茧A段練習(xí)）已知下列數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)判斷該數(shù)列是否為等差數(shù)列，并說明理由.【答案】(1)(2)不是等差數(shù)列，理由見解析【詳解】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，上式不成立，所以；（2）由（1）得，因?yàn)椋詳?shù)列不是等差數(shù)列.2．（2023春·云南曲靖·高一曲靖一中校考期末）數(shù)列滿足，是常數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求及的值；(2)數(shù)列是否可能為等差數(shù)列？若可能，求出它的通項(xiàng)公式；若不可能，說明理由；【答案】(1)，(2)數(shù)列不是等差數(shù)列，理由見解析【詳解】（1）因?yàn)?，又，，解得，所以；?）因?yàn)椋?，假設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，則，則，即，解得，當(dāng)時(shí)，，，，，故，數(shù)列不是等差數(shù)列，故假設(shè)不成立，故數(shù)列不可能為等差數(shù)列3．（2023春·上海嘉定·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求證：數(shù)列是等差數(shù)列.【答案】(1)(2)見解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，令，滿足，所以.（2）由（1）知，，所以數(shù)列是以首項(xiàng)為，公差為等差數(shù)列.4．（2023春·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足，．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及它的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析(2)，【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以?shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）得，所以，所以5．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．證明：數(shù)列為等比數(shù)列；【答案】證明見解析【詳解】（1）由題意，當(dāng)時(shí)，，得，解得．由題意知，①

當(dāng)時(shí)，，②①②得，因?yàn)椋裕畡t，∵，∴所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．6．（2023秋·黑龍江大慶·高三大慶市東風(fēng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在數(shù)列中，，.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析；；(2)【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，；（2）數(shù)列的前項(xiàng)和．7．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在數(shù)列中，已知，且．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列．(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）令，∴，∵，故，∴數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，即數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列．（2）由（1）易知，即，得，即．題型03等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用1．（2023秋·天津河?xùn)|·高三天津市第四十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若數(shù)列滿足，且，則其前17項(xiàng)和（

）A．136 B．119 C．102 D．85【答案】B【詳解】根據(jù)可得，所以數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列性質(zhì)由可得；所以其前17項(xiàng)和.故選：B2．（2023春·新疆伊犁·高二統(tǒng)考期中）記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【詳解】解：因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，，即，解得，所以（為等差數(shù)列的公差）.故選：D.3．（2023秋·吉林白城·高三?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列是遞增數(shù)列，且滿足，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)，，又，解得或，又是遞增數(shù)列，所以，，.故選：C.4．（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考期中）設(shè)等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，，所以．故選：D5．（2023春·新疆·高二八一中學(xué)?？计谀┤魞蓚€(gè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，得.故選：B.6．（2023·河北唐山·開灤第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知等差數(shù)列（）的前n項(xiàng)和為，公差，，則使得的最大整數(shù)n為（

）A．9 B．10 C．17 D．18【答案】C【詳解】解：因?yàn)?，所以異號，因?yàn)?，所以，又有，所以，即，因?yàn)?，，所以的最大整?shù)n為17.故選：C7．（2023秋·云南昆明·高三云南民族大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．8 B．9 C．16 D．17【答案】A【詳解】設(shè)，則，因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以仍成等比數(shù)列.易知，所以,故.故選:A.8．（2023秋·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，若，，則（

）A．90 B．135 C．150 D．180【答案】C【詳解】由題意，在等比數(shù)列中，，由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)可得，，，成等比數(shù)列，∴有，即，整理可得，解得（舍）或，∵，∴有，解得，故選：C.9．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）記等比數(shù)列的前項(xiàng)和為.若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為（），則，解得：，又，所以，故選：C.10．（2023·河南·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則．【答案】【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可知；可得為定值，所以即為等差數(shù)列，又，即是以為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，所以，從而．故答案為：11．（2023秋·福建寧德·高二福建省寧德第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知等差數(shù)列，，其前項(xiàng)和分別為，，且滿足，．【答案】【詳解】運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì),可得即，由等差數(shù)列性質(zhì)可知．故答案為：.12．（2023秋·江西南昌·高三江西師大附中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，則．【答案】【詳解】由為等比數(shù)列，則，又，則，即，所以．故答案為：．13．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，求．【答案】81【詳解】由于等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，故也成等差數(shù)列，即，即，解得.14．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）在由正數(shù)組成的等比數(shù)列中，若，求的值．【答案】【詳解】數(shù)列是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，，，又，故，則.題型04數(shù)列求通項(xiàng)、求和1．（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足(1)若，求數(shù)列的通項(xiàng)；(2)記為數(shù)列的前項(xiàng)之和，若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)或.【詳解】（1）當(dāng),①,②,①②可得,左右同時(shí)乘以可以得出:,即得當(dāng)時(shí),應(yīng)用累加法可得:,當(dāng)時(shí),,,且,（2）由（1）,,,若，則,或.2．（2023·遼寧撫順·?？寄M預(yù)測）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，滿足：，，．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)，；(2)【詳解】（1）由，得，又，所以當(dāng)時(shí)，，所以，又，符合上式，，所以，又，所以．（2）由（1）知，所以，，兩式相減得，所以．3．（2023·湖南永州·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列是公比的等比數(shù)列，前三項(xiàng)和為39，且成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意可得，即得，則，即，可得，由于，故得，則，故；（2）由（1）結(jié)論可得，故的前項(xiàng)和.4．（2023·遼寧撫順·?？寄M預(yù)測）在數(shù)列中，已知，，記．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)記______，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求．在①；②；③三個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在第（2）問中并對其求解．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)證明見解析；(2)答案見解析.【詳解】（1）由，得，則，而，因此，顯然，所以數(shù)列為以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．（2）選擇①：由（1）得，，則所以．選擇②：由（1）得，，則，所以.選擇③：由（1）得，，則，所以.5．（2023·陜西商洛·陜西省丹鳳中學(xué)校考模擬預(yù)測）記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由，得．因?yàn)椋?，整理得，所以，即，解得或．?dāng)時(shí)，，所以，符合題意；當(dāng)時(shí)，，所以，不符合題意，舍去，所以．（2）由（1）知，則，所以，則，兩式相減，得令，則，兩式相減，得，所以，所以，所以．三、數(shù)學(xué)思想與方法函數(shù)方程1．（2023·上海浦東新·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列（是正整數(shù)）的遞推公式為若存在正整數(shù)，使得，則的最大值是．【答案】【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，，令，，即是，公比為3的等比數(shù)列，，，當(dāng)，也成立，；對于，即，令，考察=，其中是對稱軸為，開口向下的拋物線，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

，當(dāng)時(shí)最大，；故答案為：.2．（2023·山東淄博·山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既＃┮阎炔顢?shù)列滿足，成等比數(shù)列，且公差，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．(1)求；(2)若數(shù)列滿足，且，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對任意的，都有，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，，成等比數(shù)列，所以，因?yàn)?，所以，所以．?）因?yàn)?，所以，兩式相減得，所以．所以，所以，所以．因?yàn)閷θ我獾?，都有，所以，所以．令，則，所以當(dāng)時(shí)，遞增，而，所以，所以．3．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考二模）已知等差數(shù)列的公差為2，前項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的最大項(xiàng).【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意知，又因?yàn)?，即，解得，又，所?（2）由（1）知，設(shè)，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)遞減，所以的最大值可能出現(xiàn)在或時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，所以數(shù)列的最大項(xiàng)為.4．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考二模）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足．(1)求首項(xiàng)的值及的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求滿足的最大正整數(shù)n的值．【答案】(1)，(2)11【詳解】（1）解法1：當(dāng)時(shí)，，則，即，因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以公比為2，當(dāng)時(shí)，，即，所以，且滿足題意，所以的通項(xiàng)公式為．解法2：由題知，，即，由①代入②，得，解得或．（舍去），所以的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）得，所以，所以，由得，即，令，則，所以在時(shí)單調(diào)遞增，且，而，所以滿足條件的最大正整數(shù)．分類討論思想1．（2023·河北滄州·?？既＃┰O(shè)公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)為數(shù)列在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列前100項(xiàng)的和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)公比為，由，得，即，得，解得或（舍去），得，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由為數(shù)列在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，可知，，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.∴.∴數(shù)列前100項(xiàng)的和為.2．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，則，兩式相減得：，整理得：，即時(shí)，，所以時(shí)，，又時(shí)，，得，也滿足上式．故．（2）由（1）可知：．記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，綜上：3．（2023·廣東深圳·?？级＃┮阎堑炔顢?shù)列，，，且，，成等比