2024屆江蘇省淮安市五校聯(lián)盟高三上學(xué)期10月學(xué)情調(diào)查測試數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat16頁2024屆江蘇省淮安市五校聯(lián)盟高三上學(xué)期10月學(xué)情調(diào)查測試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一元二次不等式化簡集合，即可由交集運算求解.【詳解】由可得又，所以，故選：A2．已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法的運算法則進行求解即可.【詳解】由，故選：D3．已知，命題，命題，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)一元二次不等式恒成立，利用判別式即可求解，利用集合間的關(guān)系即可求解.【詳解】為真命題，則，故，由于，所以是的必要不充分條件，故選：B4．數(shù)學(xué)家楊輝在其專著《詳解九章算術(shù)法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的高階等差數(shù)列.其中二階等差數(shù)列是一個常見的高階等差數(shù)列，如數(shù)列從第二項起，每一項與前一項的差組成的新數(shù)列是等差數(shù)列，則稱數(shù)列為二階等差數(shù)列.現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前六項分別為，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】先得出遞推公式，疊加法求通項公式，再用基本不等式求最小值即可.【詳解】數(shù)列前六項分別為，依題知，疊加可得：，得，當時，，滿足，所以，所以，當且僅當時，即時，等號成立，又，所以等號取不了，所以最小值在取得，當時，，所以最小值為.故選：C5．已知為銳角，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二倍角公式以及誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】由于，所以，，故選：D6．已知函數(shù)，則使不等式成立的的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性即可列不等式求解.【詳解】由于的定義域為，關(guān)于原點對稱，且故為偶函數(shù)，而當為單調(diào)遞增函數(shù)，故當，單調(diào)遞減，由可得，平方得，解得或，故的取值范圍是，故選：C7．已知等差數(shù)列和等差數(shù)列的前項和分別為和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)可得，進而可求解.【詳解】由于所以，要使為整數(shù)，則為24的因數(shù)，由于，故可以為，故滿足條件的正整數(shù)的個數(shù)為7個，故選：B8．已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對數(shù)和指數(shù)的互化關(guān)系可得均滿足方程，進而根據(jù)一元二次方程的解，即可結(jié)合的單調(diào)性求解.【詳解】令，則，由可得，進而可得故，同理可得，令或，故均為方程的實數(shù)根，故，，由于函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，，故選:B二、多選題9．已知為等比數(shù)列，是其前項和.若與的等差中項為20，則（

）A． B．公比C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)等比數(shù)列基本量的計算即可求解公比和首項，進而由求和公式以及通項公式即可求解.【詳解】由得，又與的等差中項為20，則，所以公比為，故，故，故ACD正確，B錯誤，故選:ACD10．已知正數(shù)滿足，則（

）A．的最大值為 B．的最小值為9C．的最小值為 D．的最小值為【答案】BD【分析】運用基本不等式逐一判斷即可.【詳解】A：因為是正數(shù)，所以，當且僅當時取等號，即當時，有最大值為，因此本選項不正確；B：因為是正數(shù)，，所以，當且僅當時取等號，即當取等號，故本選項正確；C：因為是正數(shù)，，所以，當且僅當時取等號，即當時，有最小值，因此本選項不正確；D：因為是正數(shù)，，所以，當且僅當時取等號，即當時，的最小值為因此本選項正確，故選：BD三、單選題11．已知函數(shù)，則（

）A．的圖象關(guān)于原點中心對稱B．在區(qū)間上的最小值為C．過點有且僅有1條直線與曲線相切D．若過點存在3條直線與曲線相切，則實數(shù)的取值范圍是【答案】AD【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可判斷A，求導(dǎo)得函數(shù)的單調(diào)性，即可求解函數(shù)的最值，進而判斷B，求解切點處的切線方程，將經(jīng)過的點代入，利用方程的根即可判斷DC.【詳解】的定義域為，且，所以為奇函數(shù)，故圖象關(guān)于原點對稱，故A正確，，令得或，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故在區(qū)間單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，最小值為，故B錯誤，設(shè)切點為，則切點處切線方程為，若切線經(jīng)過，則將代入可得，所以或，故經(jīng)過會有兩條切線，C錯誤，若切線經(jīng)過，則將代入得，令，則當因此在單調(diào)遞增，在和單調(diào)遞減，作出的圖象如下：，要使過點存在3條直線與曲線相切，則直線過點與的圖象有三個不同的交點，故，D正確，故選：AD四、多選題12．已知函數(shù)，則（

）A．是方程的兩個不等實根，且最小值為，則B．若在上有且僅有4個零點，則C．若在上單調(diào)遞增，則在上的零點最多有3個D．若的圖象與直線連續(xù)的三個公共點從左到右依次為，若，則【答案】ABD【分析】根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)和周期公式可判斷A；函數(shù)由小到大的第4個零點在區(qū)間內(nèi)，第5個零點大于求解可判斷B；根據(jù)單調(diào)性和第3個零點在區(qū)間內(nèi)分別求出范圍即可判斷C；數(shù)形結(jié)合可得，然后可得，即可求出m，可判斷D.【詳解】A選項：由題可知，所以，A正確；B選項：若，令得，即，所以，函數(shù)由小到大的第4個零點為，第5個零點為，由題知，，解得，B正確；C選項：由得，因為在上單調(diào)遞增，所以，解得，若在上有3個零點，則，解得，因為，所以C錯誤；D選項：由圖可知，，又，所以，即，因為，所以，所以，D正確.故選：ABD.五、填空題13．數(shù)列滿足，則.【答案】/【分析】根據(jù)遞推式得到數(shù)列的周期，應(yīng)用周期性求對應(yīng)項.【詳解】由題設(shè)，所以是周期為3的數(shù)列，則.故答案為：14．已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】由導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，即可列不等式求解.【詳解】由得，由于函數(shù)的定義域為，故令,解得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得，故答案為：15．在中，角的對邊分別為為邊中點，若，則面積的最大值為.【答案】【分析】根據(jù)向量模長公式即可，結(jié)合基本不等式即可求解，進而根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合面積公式即可求解.【詳解】由于為邊中點,所以,平方,因此,由于，所以，當且僅當時等號成立，故，由于在單調(diào)遞減，故當時，最小，且為鈍角，,由于在單調(diào)遞增，故當取最小值時，此時面積最大，故當時，此時最小，進而最小，故面積最大，由可得，故面積的最大值為，故答案為：16．已知函數(shù)，若恒成立，則滿足條件的所有整數(shù)的取值集合為.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，討論、研究單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為極小值恒成立，構(gòu)造中間函數(shù)研究使對應(yīng)a的區(qū)間，即得答案.【詳解】由題意且，當時，即在上遞減，又，所以，定義域內(nèi)存在，不符合題意；當時，時，遞減；時，遞增；所以，要使恒成立，只需，令且，則，所以，時，遞增；時，遞減；由，所以在各有一個零點，且取兩個零點之間的值（含零點）時，故整數(shù)時恒成立.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，特殊值判斷是否能使恒成立，對于求的極小值，構(gòu)造中間函數(shù)研究極小值恒大于等于0的情況.六、解答題17．已知函數(shù)，且的最大值為3，最小正周期為.(1)求的解析式；(2)求在上的值域，并指出取得最大值時自變量的值.【答案】(1)(2)值域為，取最大值時自變量的值為【分析】（1）由輔助角公式化簡，即可由周期公式求解，根據(jù)最值可得，（2）由得，即可結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】（1），所以的最小正周期，則；且的最大值，則.所以.（2）因為，所以，則，則，所以的值域為.當取得最大值時，，所以自變量的值為.18．已知是等差數(shù)列的前項和，且.(1)求數(shù)列的通項公式與前項和；(2)若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量的計算可得公差和首項，進而根據(jù)公式即可求解，（2）根據(jù)當時，，；當時，，，即可分類求解，結(jié)合等差數(shù)列求和公式即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得.所以數(shù)列的通項公式為，數(shù)列的前項和.（2）由得，所以當時，，；由得，所以當時，，.所以，當時，；當時，.所以，.19．已知函數(shù).(1)若在處取得極值，求的極值；(2)若在上的最小值為，求的取值范圍.【答案】(1)極大值為，極小值為(2)【分析】（1）根據(jù)極值點可得，進而可得，利用導(dǎo)數(shù)即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而可求解極值，（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合分類討論即可求解.【詳解】（1），，.因為在處取得極值，所以，則.所以，，令得或1，列表得1+0-0+↗極大值↘極小值↗所以的極大值為，極小值為.（2）.①當時，，所以在上單調(diào)遞增，的最小值為，滿足題意；②當時，令，則或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時，的最小值為，不滿足題意；③當時，在上單調(diào)遞減，的最小值為，不滿足題意.綜上可知，實數(shù)的取值范圍時.20．已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求證：數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系可得，進而可得為等比數(shù)列，即可求解，（2）利用放縮法，結(jié)合等比數(shù)列求和公式即可求證.【詳解】（1）因為，所以①當時，，所以；當時，②①-②得，即，則，所以數(shù)列構(gòu)成以為首項，3為公比的等比數(shù)列，則，所以.（2）因為，所以，所以.21．中，角的對邊為.(1)求角的大?。?2)若內(nèi)切圓的半徑，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理的角邊化及降冪公式，結(jié)合余弦定理的推論及三角函數(shù)的特殊值對應(yīng)的特殊角即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及三角形的面積公式即可求解.【詳解】（1）由正弦定理得，因為，所以，則，即，由余弦定理得，又，所以.（2）由（1）知，因為，所以（*）.又的面積，即，則，代入（*）式得，即，所以，則，所以的面積.22．已知函數(shù).(1)若函數(shù)在點處的切線與函數(shù)的圖象有公共點，求實數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)和函數(shù)的圖象沒有公共點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)，即可根據(jù)點斜式求解切線方程，聯(lián)立方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用判別式即可求解,（2）將問題轉(zhuǎn)化為沒有實數(shù)根，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性,分類討論，進而結(jié)合零點存在性定理即可求解.【詳解】（1）因為，所以，則在點處的切線斜率為，所以切線方程為，即.由得，即.因為函數(shù)定義域為，所以方程有非零實數(shù)根，當時，，符合題意，當時，則，即，且，所以實數(shù)a的取值范圍是.（2）因為函數(shù)和函數(shù)的圖象沒有公共點，所以，即無實根，所以當時，無實根，因為，即是偶函數(shù)，所以在上無實根.，記則，.①當時，，又，則，所以，滿足在上無實根.②當時，在上有實根，不合題意，舍去.③當時，，所以在單調(diào)遞增，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，滿足在上無實根.④當時，因為在單調(diào)遞增，且，，則存在唯一的，使，列表得-0+↘極小值↗所以當時，，則在單調(diào)遞減，則，又因為，且在上連續(xù)，所以在上有實根，不合題意.綜上可知，實數(shù)的取值范圍是.【點睛