十年(14-23)高考數(shù)學真題分項匯編專題15 立體幾何多選、填空題（理科）（含解析）

十年（2014－2023）年高考真題分項匯編—立體幾何填空、多選目錄題型一：立體幾何結構特征 1題型二：立體幾何三視圖 6題型三：立體幾何的表面積與體積 8題型四：立體幾何中的球的問題 21題型五：立體幾何線面位置關系 22題型六：立體幾何中的角度與距離 26題型一：立體幾何結構特征1．(2023年全國甲卷理科·第15題)在正方體SKIPIF1<0中，E，F(xiàn)分別為AB，SKIPIF1<0的中點，以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有____________個公共點．【答案】12解析：不妨設正方體棱長為2，SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，側(cè)面SKIPIF1<0的中心為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，如圖，由題意可知，SKIPIF1<0為球心，在正方體中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則球心SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，所以球SKIPIF1<0與棱SKIPIF1<0相切，球面與棱SKIPIF1<0只有1個交點，同理，根據(jù)正方體的對稱性知，其余各棱和球面也只有1個交點，所以以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點總數(shù)為12．故答案為：122．(2020年高考課標Ⅲ卷理科·第15題)已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_________．【答案】SKIPIF1<0解析：易知半徑最大球為圓錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時的軸截面如圖所示，其中SKIPIF1<0，且點M為BC邊上的中點，設內(nèi)切圓的圓心為SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，設內(nèi)切圓半徑為SKIPIF1<0，則：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，其體積：SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．【點睛】與球有關的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關元素間的數(shù)量關系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑．3．(2019·全國Ⅱ·理·第16題)中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖SKIPIF1<0)．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美．圖SKIPIF1<0是一個棱數(shù)為SKIPIF1<0的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為SKIPIF1<0．則該半正多面體共有個面，其棱長為(本題第一空SKIPIF1<0分，第二空SKIPIF1<0分).【答案】SKIPIF1<0共有SKIPIF1<0個面；SKIPIF1<0棱長為SKIPIF1<0.【解析】由圖可知第一層與第三層各有SKIPIF1<0個面，計SKIPIF1<0個面，第二層共有SKIPIF1<0個面，所以該半正多面體共有SKIPIF1<0個面．如圖，設該半正多面體的棱長為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，延長SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，延長SKIPIF1<0交正方體棱于SKIPIF1<0，由半正多面體對稱性可知，SKIPIF1<0為等腰直角三角形，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即該半正多面體棱長為SKIPIF1<0．【點評】第一問可按題目數(shù)出來，第二問需在正方體中簡單還原出物體位置，利用對稱性，平面幾何解決．本題立意新穎，空間想象能力要求高，物體位置還原是關鍵，遇到新題別慌亂，題目其實很簡單，穩(wěn)中求勝是關鍵．立體幾何平面化，無論多難都不怕，強大空間想象能力，快速還原圖形．4．(2017年高考數(shù)學上海（文理科）·第11題)如圖,以長方體的頂點為坐標原點,過的三條棱所在的直線為坐標軸,建立空間直角坐標系,若的坐標為,則的坐標為________．【答案】【解析】,,則．5．(2015高考數(shù)學江蘇文理·第9題)現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5，高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個．若將它們重新制作成總體積和高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個，則新的底面半徑為_______．【答案】SKIPIF1<0解析：由體積相等得：SKIPIF1<0考點：圓柱及圓錐體積二、多選題1．(2023年新課標全國Ⅰ卷·第12題)下列物體中，能夠被整體放入棱長為1(單位：m)的正方體容器(容器壁厚度忽略不計)內(nèi)的有 ()A．直徑為SKIPIF1<0的球體B．所有棱長均為SKIPIF1<0的四面體C．底面直徑為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0的圓柱體D．底面直徑為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0的圓柱體【答案】ABD解析：對于選項A：因為SKIPIF1<0，即球體的直徑小于正方體的棱長，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故A正確；對于選項B：因為正方體的面對角線長為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故B正確；對于選項C：因為正方體的體對角線長為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以不能夠被整體放入正方體內(nèi)，故C不正確；對于選項D：因為SKIPIF1<0，可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓，如圖，過SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故以SKIPIF1<0為軸可能對稱放置底面直徑為SKIPIF1<0圓柱，若底面直徑為SKIPIF1<0的圓柱與正方體的上下底面均相切，設圓柱的底面圓心SKIPIF1<0，與正方體的下底面的切點為SKIPIF1<0，可知：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，根據(jù)對稱性可知圓柱的高為SKIPIF1<0，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故D正確；故選：ABD2．(2021年新高考Ⅰ卷·第12題)在正三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則 ()A．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的周長為定值B．當SKIPIF1<0時，三棱錐SKIPIF1<0的體積為定值C．當SKIPIF1<0時，有且僅有一個點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0D．當SKIPIF1<0時，有且僅有一個點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】BD解析:易知，點SKIPIF1<0在矩形SKIPIF1<0內(nèi)部(含邊界)．對于A，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即此時SKIPIF1<0線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0周長不是定值，故A錯誤；對于B，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故此時SKIPIF1<0點軌跡為線段SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．對于C，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0點軌跡為線段SKIPIF1<0，不妨建系解決，建立空間直角坐標系如圖，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0均滿足，故C錯誤；對于D，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0點軌跡為線段SKIPIF1<0．設SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合，故D正確,故選BD．題型二：立體幾何三視圖1．(2021年高考全國乙卷理科·第16題)以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為_________(寫出符合要求的一組答案即可)．【答案】③④解析：選擇側(cè)視圖為③，俯視圖為④，如圖所示，長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為棱SKIPIF1<0的中點，則正視圖①，側(cè)視圖③，俯視圖④對應的幾何體為三棱錐SKIPIF1<0．故答案為：③④．【點睛】三視圖問題解決的關鍵之處是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關系和數(shù)量關系．2．(2019·北京·理·第11題)某幾何體是由一個正方體去掉一個四棱柱所得，其三視圖如圖所示．如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，那么該幾何體的體積為__________．【答案】SKIPIF1<0．【解析】如圖所示，在棱長為4的正方體中，三視圖對應的幾何體為正方體去掉棱柱SKIPIF1<0之后余下的幾何體，該幾何體的體積SKIPIF1<0．3．(2017年高考數(shù)學上海（文理科）·第8題)已知球的體積為,則該球主視圖的面積等于________．【答案】【解析】．4．(2017年高考數(shù)學山東理科·第13題)由一個長方體和兩個圓柱體構成的幾何體的三視圖如下圖,則該幾何體的體積為__________．【答案】【解析】該幾何體的體積為．題型三：立體幾何的表面積與體積1．(2023年新課標全國Ⅰ卷·第14題)在正四棱臺SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則該棱臺的體積為________．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0解析：如圖，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0為四棱臺SKIPIF1<0的高，因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以所求體積為SKIPIF1<0．故答案：SKIPIF1<0．2．(2023年新課標全國Ⅱ卷·第14題)底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為______．【答案】SKIPIF1<0解析：方法一：由于SKIPIF1<0，而截去的正四棱錐的高為SKIPIF1<0，所以原正四棱錐的高為SKIPIF1<0，所以正四棱錐的體積為SKIPIF1<0，截去的正四棱錐的體積為SKIPIF1<0，所以棱臺的體積為SKIPIF1<0．方法二：棱臺的體積為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．3．(2020年新高考全國Ⅰ卷（山東）·第15題)某中學開展勞動實習，學生加工制作零件，零件的截面如圖所示．O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心，A是圓弧AB與直線AG的切點，B是圓弧AB與直線BC的切點，四邊形DEFG為矩形，BC⊥DG，垂足為C，tan∠ODC=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，EF=12cm，DE=2cm，A到直線DE和EF的距離均為7cm，圓孔半徑為1cm，則圖中陰影部分的面積為________cm2．【答案】SKIPIF1<0解析：設SKIPIF1<0，由題意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0與圓弧SKIPIF1<0相切于SKIPIF1<0點，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0為等腰直角三角形；在直角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；等腰直角SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0；扇形SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0，所以陰影部分的面積為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．4．(2020年新高考全國卷Ⅱ數(shù)學（海南）·第13題)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M、N分別為BB1、AB的中點，則三棱錐A-NMD1的體積為____________【答案】SKIPIF1<0解析：因為正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M、N分別為BB1、AB的中點所以SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<05．(2020天津高考·第15題)如圖，在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則實數(shù)SKIPIF1<0的值為_________，若SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上的動點，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為_________．【答案】(1)．SKIPIF1<0(2)．SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，以點SKIPIF1<0為坐標原點，SKIPIF1<0所在直線為SKIPIF1<0軸建立如下圖所示的平面直角坐標系SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．6．(2020江蘇高考·第9題)如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm，高為2cm，內(nèi)孔半輕為0．5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是____cm．【答案】SKIPIF1<0【解析】正六棱柱體積為SKIPIF1<0,圓柱體積為SKIPIF1<0所求幾何體體積為SKIPIF1<0,故答案為：SKIPIF1<07．(2019·天津·理·第11題)已知四棱錐的底面是邊長為SKIPIF1<0的正方形，側(cè)棱長均為SKIPIF1<0．若圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為．【答案】SKIPIF1<0解析：如圖，正四棱錐SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，四棱錐的高SKIPIF1<0，圓柱的高為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，圓柱的底面半徑SKIPIF1<0，所以圓柱的體積SKIPIF1<0．8．(2019·全國Ⅲ·理·第16題)學生到工廠勞動實踐，利用SKIPIF1<0D打印技術制作模型．如圖，該模型為長方體SKIPIF1<0挖去四棱錐SKIPIF1<0后所得的幾何體，其中SKIPIF1<0為長方體的中心，SKIPIF1<0分別為所在棱的中點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0打印所用原料密度為SKIPIF1<0，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為___________SKIPIF1<0．【答案】118.8【解析】由題意得，四棱錐SKIPIF1<0的底面積為SKIPIF1<0，其高為點SKIPIF1<0到底面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則此四棱錐的體積為SKIPIF1<0．又長方體SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，所以該模型體積為SKIPIF1<0，其質(zhì)量為SKIPIF1<0．【點評】此題牽涉到的是3D打印新時代背景下的幾何體質(zhì)量，忽略問題易致誤，理解題中信息聯(lián)系幾何體的體積和質(zhì)量關系，從而利用公式求解．9．(2019·江蘇·第9題)如圖，長方體SKIPIF1<0的體積是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，則三棱椎SKIPIF1<0的體積是______.SKIPIF1<0【答案】10【解析】因為SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.10．(2018年高考數(shù)學江蘇卷·第10題)如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為．【答案】SKIPIF1<0解析：由圖可知，該多面體為兩個全等正四棱錐的組合體，正四棱錐的高為1，底面正方形的邊長等于SKIPIF1<0，所以該多面體的體積為SKIPIF1<0．11．(2018年高考數(shù)學天津（理）·第11題)已知正方體SKIPIF1<0的棱長為1，除面SKIPIF1<0外，該正方體其余各面的中心分別為點E，F(xiàn)，G，H，M(如圖)，則四棱錐SKIPIF1<0的體積為．【答案】SKIPIF1<0解析：過平面SKIPIF1<0的截面如圖所示，因為正方體的棱長為1，所以正方形SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0，頂點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．12．(2018年高考數(shù)學課標Ⅱ卷（理）·第16題)已知圓錐的頂點為SKIPIF1<0，母線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與圓錐底面所成角為45°，若SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，則該圓錐的側(cè)面積為__________．【答案】SKIPIF1<0解析：因為母線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0，所以母線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0．設母線長為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0與圓錐底面所成角為45°，可得底面半徑SKIPIF1<0，所以該圓錐的側(cè)面積是SKIPIF1<0．13．如圖，在正三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．若二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0解：如圖，在正三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0若二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0過C作CD⊥AB，D為垂足，連接C1D，則C1D⊥AB，∠C1DC=60°，CD=SKIPIF1<0，則C1D=SKIPIF1<0，所以點C1到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0。14．(2014高考數(shù)學天津理科·第10題)已知一個幾何體的三視圖如圖所示(單位:SKIPIF1<0),則該幾何體的體積為_________SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0解析:該幾何體是一個組合體,上半部分是一個圓錐,下半部分是一個圓柱．因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,故該組合體體積SKIPIF1<0SKIPIF1<0．15．(2014高考數(shù)學山東理科·第13題)三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，記三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0解析：設點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以得SKIPIF1<0．16．(2014高考數(shù)學江蘇·第8題)設甲、乙兩個圓柱的底面分別為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，體積分別為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，若它們的側(cè)面積相等，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值是．【答案】SKIPIF1<0解析：設甲、乙兩個圓柱的底面和高分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．17．(2015高考數(shù)學天津理科·第10題)一個幾何體的三視圖如圖所示(單位：)，則該幾何體的體積為．【答案】解析：由三視圖可知，該幾何體是中間為一個底面半徑為，高為的圓柱，兩端是底面半徑為，高為的圓錐，所以該幾何體的體積．18．(2015高考數(shù)學上海理科·第4題)若正三棱柱的所有棱長均為SKIPIF1<0，且其體積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0解析：根據(jù)正三棱柱的體積計算公式SKIPIF1<0．19．(2017年高考數(shù)學江蘇文理科·第6題)如圖,在圓柱內(nèi)有一個球,該球與圓柱的上、下面及母線均相切．記圓柱的體積為,球的體積為,則的值是_______．OOOO1O2(第6題)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【答案】解析:設球半徑為,則．故答案為．OO1OO1O2(第6題)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<020．(2016高考數(shù)學浙江理科·第14題)如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．若平面SKIPIF1<0外的點SKIPIF1<0和線段SKIPIF1<0上的點SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，則四面體SKIPIF1<0的體積的最大值是．【答案】SKIPIF1<0【命題意圖】本題考查空間幾何體及其體積的求法等基礎知識，意在考查學生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．解析：由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，要求四面體SKIPIF1<0的體積，關鍵是尋找底面三角形SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0和點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0．設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時取等號．四面體SKIPIF1<0的體積的最大值是SKIPIF1<0．21．(2016高考數(shù)學浙江理科·第11題)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：SKIPIF1<0)，則該幾何體的表面積是SKIPIF1<0，體積是SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【命題意圖】本題主要考查三視圖、幾何體的體積、表面積的計算等基礎知識，意在考查學生的空間想象能力和運算求解能力．解析：將三視圖還原成直觀圖如圖所示，它由2個長方體組合而成，其體積SKIPIF1<0SKIPIF1<0，表面積為SKIPIF1<0．22．(2016高考數(shù)學天津理科·第11題)已知一個四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所示(單位：SKIPIF1<0)，則該四棱錐的體積為_____________SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0解析：SKIPIF1<023．(2016高考數(shù)學四川理科·第13題)已知三棱錐的四個面都是腰長為SKIPIF1<0的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則三棱錐的體積為_______．【答案】SKIPIF1<0【解析】三棱錐每個面都是腰為2的等腰三角形，由正視圖可得如下俯視圖，且三棱錐高為SKIPIF1<0SKIPIF1<0則面積SKIPIF1<0．二、多選題1．(2022新高考全國II卷·第11題)如圖，四邊形SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，記三棱錐SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的體積分別為SKIPIF1<0，則 () A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】CD解析：設SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，易得四邊形SKIPIF1<0為矩形，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故A、B錯誤；C、D正確．故選：CD．題型四：立體幾何中的球的問題1．(2020年新高考全國Ⅰ卷（山東）·第16題)已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD=60°．以SKIPIF1<0為球心，SKIPIF1<0為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為________．【答案】SKIPIF1<0．解析：如圖：取SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<060°，直四棱柱SKIPIF1<0的棱長均為2，所以△SKIPIF1<0為等邊三角形，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又四棱柱SKIPIF1<0為直四棱柱，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0側(cè)面SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0為側(cè)面SKIPIF1<0與球面的交線上的點，則SKIPIF1<0，因為球的半徑為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以側(cè)面SKIPIF1<0與球面的交線上的點到SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以側(cè)面SKIPIF1<0與球面的交線是扇形SKIPIF1<0的弧SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以根據(jù)弧長公式可得SKIPIF1<02．(2017年高考數(shù)學天津理科·第10題)已知一個正方體的所有頂點在一個球面上,若這個正方體的表面積為,則這個球的體積為____________．【答案】【解析】設正方體邊長為,則,外接球直徑為,．題型五：立體幾何線面位置關系1．(2020年高考課標Ⅱ卷理科·第16題)設有下列四個命題：p1：兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi)．p2：過空間中任意三點有且僅有一個平面．p3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行．p4：若直線lSKIPIF1<0平面α，直線m⊥平面α，則m⊥l．則下述命題中所有真命題的序號是__________．①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0③SKIPIF1<0④SKIPIF1<0【答案】①③④解析：對于命題SKIPIF1<0，可設SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交，這兩條直線確定的平面為SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交，則交點SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內(nèi)，同理，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點SKIPIF1<0也在平面SKIPIF1<0內(nèi)，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，命題SKIPIF1<0為真命題；對于命題SKIPIF1<0，若三點共線，則過這三個點的平面有無數(shù)個，命題SKIPIF1<0為假命題；對于命題SKIPIF1<0，空間中兩條直線相交、平行或異面，命題SKIPIF1<0為假命題；對于命題SKIPIF1<0，若直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0垂直于平面SKIPIF1<0內(nèi)所有直線，SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0，命題SKIPIF1<0為真命題．綜上可知，，為真命題，，為假命題，SKIPIF1<0真命題，SKIPIF1<0為假命題，SKIPIF1<0為真命題，SKIPIF1<0為真命題．故答案為：①③④．【點睛】本題考查復合命題的真假，同時也考查了空間中線面關系有關命題真假的判斷，考查推理能力，屬于中等題．2．(2019·北京·理·第12題)已知l，m是平面SKIPIF1<0外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0．以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題：__________．【答案】如果l⊥α，m∥α，則l⊥m．(答案不唯一)【解析】將所給論斷分別作為條件、結論，得到如下三個命題：(1)如果l⊥α，m∥α，則l⊥m．正確；(2)如果l⊥α，l⊥m，則m∥α．正確；(3)如果l⊥m，m∥α，則l⊥α．不正確，有可能l與α斜交或l∥α．3．(2016高考數(shù)學課標Ⅱ卷理科·第14題)SKIPIF1<0是兩個平面，SKIPIF1<0是兩條直線，有下列四個命題：(1)如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0．(2)如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0．(3)如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0．(4)如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角和SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角相等．其中正確的命題有．(填寫所有正確命題的編號)【答案】②③④【解析】利用正方體模型可得：①錯誤，②正確，③正確，④正確，命題正確的有②③④．二、多選題1．(2021年新高考全國Ⅱ卷·第10題)如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點．則滿足SKIPIF1<0的是 ()A． B．C． D．【答案】BC解析:設正方體的棱長為2，對于A，如圖(1)所示，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0(或其補角)為異面直線SKIPIF1<0所成的角，在直角三角形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0不成立，故A錯誤．對于B，如圖(2)所示，取SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由正方體SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故B正確．對于C，如圖(3)，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由B的判斷可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故C正確．對于D，如圖(4)，取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或其補角為異面直線SKIPIF1<0所成的角，因為正方體的棱長為2，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0不是直角，故SKIPIF1<0不垂直，故D錯誤．故選BC題型六：立體幾何中的角度與距離1．(2014高考數(shù)學上海理科·第6題)若圓錐的側(cè)面積是底面積的3倍，則其母線與底面角的大小為_____________．(結果用反三角函數(shù)值表示)【答案】SKIPIF1<0解析:設圓錐的底面半徑為SKIPIF1<0,母線長為SKIPIF1<0,母線與底面所成角為SKIPIF1<0．由已知得:SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0．2．(2015高考數(shù)學浙江理科·第13題)如圖，三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點，則異面直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所成的角的余弦值是．【答案】SKIPIF1<0．解析：如下圖，連結SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，連結SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則可知SKIPIF1<0即為異面直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所成角(或其補角)易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即異面直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0．3．(2015高考數(shù)學四川理科·第14題)如圖，四邊形SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均為正方形，它們所在的平面相互垂直，動點SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0中點，設異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為________【答案】SKIPIF1<0解析：建立坐標系如圖所示．設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由于異面直線所成角的范圍為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時取等號．所以SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，取得最大值．4．(2015高考數(shù)學上海理科·第6題)若圓錐的側(cè)面積與過軸的截面積面積之比為SKIPIF1<0，則其母線與軸的夾角的大小為．【答案】SKIPIF1<0解析：設這個圓錐的母線長為SKIPIF1<0，底面半徑為SKIPIF1<0，母線與軸的夾角為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而過軸的截面是一個三角形，故SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．5．(2017年高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科·第16題)為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形的直角邊所在直線與都垂直，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結論：①當直線與成角時，與成角；②當直線與成角時，與成角；③直線與所成角的最小值為；④直線與所成角的最大值為．其中正確的是．(填寫所有正確結論的編號)【答案】②③【解析】法一:由題意,是以為軸,為底面半徑的圓錐的母線,由,又圓錐底面,在底面內(nèi)可以過點,作,交底面圓于點,如圖所示,連結,則,,連結,等腰中,,當直線與成角時,,故,又在中,,過點作,交圓于點,連結,由圓的對稱性可知,為等邊三角形,,即與成角,②正確,①錯誤．由最小角定理可知③正確;很明顯,可以滿足平面直線,直線與所成的最大角為,④錯誤．正確的說法為②③．法二:斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),可得一個圓錐,其中相當于母線,并將平移到,經(jīng)過點,依題意易知在圓錐的底面上,如下圖直線不動,讓繞點旋轉(zhuǎn),設直線與直線所成的角為,直線與直線所成角為,則由三余弦公式可得,所以,即直線與直線所成角的最小值為,最大值為,故③正確,④不正確;當時,有,此時直線即與直線所成的角也為,設直線與所成的角為,則有,所以即與成角,故②正確;綜上可知選②③．法三:由題意知,三條直線兩兩相互垂直,畫出圖形如圖．不妨設圖中所示正方體邊長為1,故,,斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),則點保持不變,點的運動軌跡是以為圓心,1為半徑的圓．以為坐標原點,以為軸的正方向,為軸的正方向,為軸的正方向建立空間直角坐標系則,,直線的方向單位向量,．點起始坐標為,直線的方向單位向量,．設點在運動過程中的坐標,其中為與的夾角,．那么在運動過程中的向量,．設與所成夾角為,則．故,所以③正確,④錯誤．設與所成夾角為,．當與夾角為時,即,．∵,∴．∴．∵．∴,此時與夾角為．∴②正確,①錯誤．改進一下法三:由題意知,三條直線兩兩相互垂直,如下圖,設為直線,為直線,不妨設則,,,依題意可設則有,,設直線與成角,直線與成角則有,當直線與成角時,有,由,可得,此