2022屆新高考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí) 數(shù)列的相關(guān)問(wèn)題

2022屆新高考數(shù)學(xué)沖刺精品復(fù)習(xí)

熬列的相關(guān)間駁

?知識(shí)鏈接?

知識(shí)鏈接01證明數(shù)列｛““｝單調(diào)性的方法：根據(jù)與0的關(guān)系判斷出數(shù)列的單調(diào)性（當(dāng)｛《,｝

恒為正或者負(fù)時(shí)，可以考慮利用爭(zhēng)與1的大小關(guān)系判斷數(shù)列單調(diào)性）.

給出S,與的遞推關(guān)系，求知的《用思路是：一是轉(zhuǎn)化為知的遞推關(guān)系，再求其

知識(shí)鏈接02

通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為S,的遞推關(guān)系，先求出S,與"之間的關(guān)系，再求知.

知識(shí)鏈接03數(shù)列的周期性，此類(lèi)問(wèn)題的解法是由定義求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，然后歸納出周期性.

知識(shí)鏈接04當(dāng)出現(xiàn)與年份有關(guān)的數(shù)列選擇題，題目本身難度比較大的時(shí)候，比如：出現(xiàn)2019、

2020、2021類(lèi)似這樣的數(shù)字，我們完全可以通過(guò)逐個(gè)分析選項(xiàng)，通過(guò)選項(xiàng)找規(guī)律后

判斷是否符合題意，來(lái)決定哪個(gè)選項(xiàng)正確.比如求S?⑼，可以令2021=〃，將選項(xiàng)中

的所有數(shù)字用”來(lái)表示，然后通過(guò)外邑來(lái)驗(yàn)證哪個(gè)選項(xiàng)正確.如果題目問(wèn)的是

S2O2O.5258之類(lèi)的偶數(shù)年份，最好是通過(guò)邑、S’這樣的偶數(shù)項(xiàng)來(lái)驗(yàn)證?

知識(shí)鏈接05函數(shù)與數(shù)列的綜合問(wèn)題，解決該問(wèn)題應(yīng)該注意的事項(xiàng)：

（1）數(shù)列是一類(lèi)特殊的函數(shù)，它的圖象是一群孤立的點(diǎn)：

（2）轉(zhuǎn)化以函數(shù)為背景的條件時(shí)，應(yīng)該注意題中的限制條件，如函數(shù)的定義域，這

往往是很容易被忽視的問(wèn)題；

（3）利用函數(shù)的方法研究數(shù)列中的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)準(zhǔn)確構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，注意數(shù)列

中相關(guān)限制條件的轉(zhuǎn)化.

知識(shí)鏈接06在利用放縮法證明數(shù)列不等式時(shí)，要注意放縮的方向，在放縮方向明確之后，放大

得太多，或者縮小得太多，可以適當(dāng)進(jìn)行調(diào)整，比如從第二項(xiàng)開(kāi)始放縮或者第三項(xiàng)

開(kāi)始放縮.

知識(shí)鏈接07數(shù)列中的探究性問(wèn)題實(shí)際上就是不定方程解的問(wèn)題，對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題的求解，通常有

以下三種常用的方法：

①利用等式兩邊的整數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)的方法來(lái)加以判斷是否存在；

②利用尋找整數(shù)的因數(shù)的方法來(lái)進(jìn)行求解，本題的解題思路就是來(lái)源于此；

③通過(guò)求出變量的取值范圍，從而對(duì)范圍內(nèi)的整數(shù)值進(jìn)行試根的方法來(lái)加以求解.

對(duì)于研究不定方程的解的問(wèn)題，也可以運(yùn)用反證法.

知識(shí)鏈接08概率統(tǒng)計(jì)中的遞推關(guān)系：（1）一階遞推關(guān)系a”.=/3.）：

（2）二階遞推關(guān)系=，%）.

?典例剖析?

典例剖析01若[幻表示不超過(guò)X的最大整數(shù)，如[2.3]=2,[4]=4,[-2.3]=-3.

2

已知.=[-xlO"].瓦=%,d,〃..2),則時(shí)19等于()

A.2B.5C.7D.8

典例剖析02已知數(shù)列｛〃.｝的通項(xiàng)公式為4=------F-7=（nGN*）,其前〃項(xiàng)和為S”,

（7?4-1）。〃+小/〃+1

則在數(shù)列5，S2,S如9中，有理數(shù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為（）

A.42B.43C.44D.45

典例剖析03數(shù)列｛4｝中，4=',+1）。“+]=￡N*），若不等式:■+,+（-1）〃口..0對(duì)

2nan+1nn

所有的正奇數(shù)〃恒成立，則實(shí)數(shù)/的取值范圍為（）

A.（一，]B.（-co,9JC.（一8,10JD.[9,+oo）

4〃一4—

典例剖析04已知數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足q=4,an=————(〃..2,〃eN*),若b“=4)°”?(na“-6),且

%

存在“eN*,使得4。+%-6M..0成立，則實(shí)數(shù)，〃的取值范圍是（）

,,1-^971+質(zhì)]

A.[---.---]B.[l->/37,l+x/37]

D-[44]

典例剖析05已知數(shù)列｛七｝的前〃項(xiàng)的和為5“，且q=-l,4=2，%=7.又已知當(dāng)〃>2時(shí)，

11172

=3S“-3S,i+S?_2+2恒成立?則使得2（-----+------+...+-----一成立

ak+1%]+1a2+155

的正整數(shù)人的取值集合為（）

A.伙伙..9,kwN｝B.伙|Z..1O,keN｝

C.伙keN]D.伙IZ..12,keN｝

典例剖析06已知數(shù)列僅〃｝滿(mǎn)足：an+l=atl+ln(2-alt).則下列說(shuō)法正確的是()

3311

A.彳<。202。<2B,1<6Z<—C,5<〃202。<1D?0<a<—

，2O2ONN20204

典例剖析07設(shè)數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足：。用=%+1-:一47+1，4=〃，則一定存在。，是數(shù)列中（）

A.存在nsN*，有（+。+2<°

B.存在neN*，有（4+1-1）（。〃+2-1）<。

C.存在neN*,有5用-：）（a,,+2<0

D.存在nwN,有（?！?]—/）（?！?2一2）v。

已知數(shù)列滿(mǎn)足|?？蓔=（；）",〃€*,｛%是遞增數(shù)列，｛%,｝是遞

典例剖析084=1，1-“_J

減數(shù)列，則數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式為—.

設(shè)數(shù)列｛。"｝滿(mǎn)足q=2,a?,?+a_=；(a,?+%,)+〃?-"，其中m，"旺M九."，數(shù)列

典例剖析09+mn2

｛么｝滿(mǎn)足：bn=an+l-an.

(1)求〃0,a2；

(2)當(dāng)〃￡N*時(shí)，求證：數(shù)列｛"｝為等差數(shù)列；

(3)設(shè)q=——~~~(HwN*),令S“=q+J+…+%，

求證：—4-...+-^-<—(Z?GN")?

23s2S3s“+]2

典例剖析10已知數(shù)列｛%｝中，4=3,出=5，且滿(mǎn)足S“+S,-2=2S,I+2"T（"..3）.

（1）試求數(shù)列｛a,｝的通項(xiàng)公式；

（2）令一一，7；是數(shù)列也,｝的前〃項(xiàng)和，證明：?；,<-;

6

（3）證明：對(duì)任意給定的小e（0,1），均存在%eN*,

6

使得當(dāng)凡.小時(shí)，（2）中的7；>"恒成立.

?小試牛刀?

小試牛刀01已知數(shù)列｛應(yīng)｝與電｝前〃項(xiàng)和分別為S,，T?,且a.>0,2S?=a；+a?,

2"+1

bn=——汨=------，對(duì)任意的〃cN*,左>7；恒成立，則2的最小值是.

（2"+為）（2向+。川）

小試牛刀02已知數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足。用=e『2+i（〃￡M,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），且對(duì)任意的M>0都

存在〃￡N?,使得|a〃-2|vM成立，則數(shù)列｛〃〃｝的首項(xiàng)q須滿(mǎn)足（）

A.a,?1B.啜%2C.即,2D.%..2

小試牛刀03設(shè)。為正實(shí)數(shù)，數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足4=。，4+]=a〃+巴-2（〃￡N"）,則（）

A.任意a>0?存在n>2,使得an<2

B.存在a>0,存在九>2,使得an<%

C.任意。>0,存在mwN*,使得am<c

D.存在a>0,存在機(jī)wN*,使得

小試牛刀04已知數(shù)列(??)滿(mǎn)足/=-L且4+a“*[=-7-^——(〃eN*),則的最大值是_______

2n'+2n

小試牛刀05若單調(diào)遞增數(shù)列｛見(jiàn)｝滿(mǎn)足為+%+4"2=3〃-6,且生=24，

則4的取值范圍是.

小試牛刀06已知數(shù)列｛〃,,｝滿(mǎn)足：當(dāng)”,產(chǎn)0時(shí)，q,M=%二」；當(dāng)q=0時(shí)，4川=0;對(duì)于任意實(shí)數(shù)

2all

4,則集合｛〃|冊(cè),0,n=],2,3,…｝的元素個(gè)數(shù)為()

A.0個(gè)B.有限個(gè)

C.無(wú)數(shù)個(gè)D,不能確定，與a,的取值有關(guān)

小試牛刀07某人在上樓梯時(shí)，一步上一個(gè)臺(tái)階或兩個(gè)臺(tái)階，設(shè)他從平地上到第一級(jí)臺(tái)階時(shí)有/(I)

種走法.從平地上到第二級(jí)臺(tái)階時(shí)有f(2)種走法，…，則他從平地上到第"級(jí)(九.3)

臺(tái)階時(shí)的走法/(〃)等于()

A./(n-l)+lB./(n-2)+2

C./(n-2)+lD./(rt-l)+/(rt-2)

小試牛刀08設(shè)平面內(nèi)有“條直線(〃..3,〃eN*),其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線

不過(guò)同一點(diǎn).若用f(〃)表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，貝If(4)=；當(dāng)〃..3時(shí)，

f(n)=.(用含”的數(shù)學(xué)表達(dá)式表示)

小試牛刀09某人玩擲正方體骰子走跳棋的游戲，已知骰子每面朝上的概率都是1,棋盤(pán)上標(biāo)有第

6

。站，第1站，第2站，....第100站.一枚棋子開(kāi)始在第0站，選手每擲一次骰

子，棋子向前跳動(dòng)一次，若擲出朝上的點(diǎn)數(shù)為1或2,棋子向前跳兩站；若擲出其余

點(diǎn)數(shù)，則棋子向前跳一站，直到跳到第99站或第100站時(shí)，游戲結(jié)束；設(shè)游戲過(guò)程

中棋子出現(xiàn)在第n站的概率為P?.

(1)當(dāng)游戲開(kāi)始時(shí)，若拋擲均勻骰子3次后，求棋子所走站數(shù)之和X的分布列與數(shù)

學(xué)期望；

(2)證明：Pn+l-Pn=-^Pn-J)(1釉98);

(3)若最終棋子落在第99站，則記選手落敗，若最終棋子落在第100站，則記選手

獲勝，請(qǐng)分析這個(gè)游戲是否公平.

小試牛刀10如圖，已知曲線G：y=——(x>0)及曲線

X+1

G：y='(x>0),G上的點(diǎn)［的橫坐標(biāo)為

3x

q(0<q<g).從G上的點(diǎn)E,(〃eN+)作直線平

行于x軸，交曲線C?于點(diǎn)再?gòu)狞c(diǎn)作直線

平行于y軸，交曲線G于點(diǎn)心|?點(diǎn)月(〃=1，2,

3,...)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列｛%｝.

(1)試求a0+i與a”之間的關(guān)系，并證明：N+);

(2)右求證：|電—ciy|+1q—a?|+...+1?！?1—4?1<~("wN+).

zb=-1

小試牛刀11已知兩個(gè)無(wú)窮數(shù)列｛“,,｝,｛〃,｝分別滿(mǎn)足卜=1,,也｛“,一°，其中"WN*,設(shè)

\\an+x-an\=21—1=2

數(shù)列｛4｝，｛〃,｝的前"項(xiàng)和分別為S“、T?.

(1)若數(shù)列｛%｝,｛。｝都為遞增數(shù)列,求數(shù)列｛4｝,｛〃,｝的通項(xiàng)公式.

(2)若數(shù)列何｝滿(mǎn)足：存在唯一的正整數(shù)版I..2),使得q<Ci，稱(chēng)數(shù)列付』為"4

墜點(diǎn)數(shù)列”.

①若數(shù)列｛《,｝為“5墜點(diǎn)數(shù)列”，求S,,.

②若數(shù)列(??)為“p墜點(diǎn)數(shù)列”,數(shù)列｛么｝為“q墜點(diǎn)數(shù)列”,是否存在正整數(shù)m,

使得若存在，求，〃的最大值；若不存在，說(shuō)明理由.

小試牛刀12設(shè)數(shù)列他“｝(任意項(xiàng)都不為零)的前〃項(xiàng)和為S.，首項(xiàng)為1,對(duì)于任意滿(mǎn)足

"一2.

(1)數(shù)列｛七｝的通項(xiàng)公式；

(2)是否存在存m〃eN*(k<〃z<〃)，使得a,am,a”成等比數(shù)列,且16a*,

a：,a：成等差數(shù)列？若存在，試求人+〃?+〃的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)設(shè)數(shù)列｛"｝,"2"T'keN(q>0)，若由電｝的前r項(xiàng)依次構(gòu)成的數(shù)

,n=2k,kwN

列是單調(diào)遞增數(shù)列，求正整數(shù)/■的最大值.

小試牛刀13設(shè)數(shù)列｛《J(〃eN*)中前兩項(xiàng)q,小給定，若對(duì)于每個(gè)正整數(shù)〃-3,均存在正整數(shù)

左(掇改w-1)使得%=加+%」..+%?,則稱(chēng)數(shù)列｛%｝為“7數(shù)列”.

k

(1)若數(shù)列｛4)(〃￡*)為4=1,%=—g的等比數(shù)列，當(dāng)機(jī).3時(shí)，試問(wèn)：《，與

%詈心是否相等，并說(shuō)明數(shù)列｛%｝(〃6％*)是否為“T數(shù)列”；

(2)討論首項(xiàng)為q、公差為"的等差數(shù)列｛凡｝是否為“T數(shù)列”，并說(shuō)明理由：

(3)已知數(shù)列｛q｝為“丁數(shù)列”,且q=0,%=1,記S(/t,攵)=〃"_]+a“_2+…，

（"..2,〃eN*）,其中正整數(shù)熱”-1,對(duì)于每個(gè)正整數(shù)幾.3,當(dāng)正整數(shù)k分別取

1、2、…、〃一1時(shí)S（"，&）的最大值記為M.、最小值記為也.設(shè)="?（此-%），

k

當(dāng)正整數(shù)〃滿(mǎn)足3釉2021時(shí)，比較均與%的大小，并求出燈的最大值.

熬列的相關(guān)同敢

?知識(shí)鏈接?

知識(shí)鏈接01證明數(shù)列｛4,,｝單調(diào)性的方法：根據(jù)。向與0的關(guān)系判斷出數(shù)列的單調(diào)性（當(dāng)｛5｝

恒為正或者負(fù)時(shí)，可以考慮利用等與1的大小關(guān)系判斷數(shù)列單調(diào)性）.

給出&與的遞推關(guān)系，求小的嗡用思路是：一是轉(zhuǎn)化為小的遞推關(guān)系，再求其

知識(shí)鏈接02

通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為S,的遞推關(guān)系，先求出&與"之間的關(guān)系，再求

知識(shí)鏈接03數(shù)列的周期性，此類(lèi)問(wèn)題的解法是由定義求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，然后歸納出周期性.

知識(shí)鏈接04當(dāng)出現(xiàn)與年份有關(guān)的數(shù)列選擇題，題目本身難度比較大的時(shí)候，比如：出現(xiàn)2019、

2020、2021類(lèi)似這樣的數(shù)字，我們完全可以通過(guò)逐個(gè)分析選項(xiàng)，通過(guò)選項(xiàng)找規(guī)律后

判斷是否符合題意，來(lái)決定哪個(gè)選項(xiàng)正確.比如求邑⑼，可以令2021=〃，將選項(xiàng)中

的所有數(shù)字用”來(lái)表示，然后通過(guò)S：邑來(lái)驗(yàn)證哪個(gè)選項(xiàng)正確.如果題目問(wèn)的是

S2O2O.S238之類(lèi)的偶數(shù)年份，最好是通過(guò)邑、S’這樣的偶數(shù)項(xiàng)來(lái)驗(yàn)證?

知識(shí)鏈接05函數(shù)與數(shù)列的綜合問(wèn)題，解決該問(wèn)題應(yīng)該注意的事項(xiàng)：

(1)數(shù)列是一類(lèi)特殊的函數(shù)，它的圖象是一群孤立的點(diǎn)；

(2)轉(zhuǎn)化以函數(shù)為背景的條件時(shí)，應(yīng)該注意題中的限制條件，如函數(shù)的定義域，這

往往是很容易被忽視的問(wèn)題；

(3)利用函數(shù)的方法研究數(shù)列中的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)準(zhǔn)確構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，注意數(shù)列

中相關(guān)限制條件的轉(zhuǎn)化.

知識(shí)鏈接06在利用放縮法證明數(shù)列不等式時(shí)，要注意放縮的方向，在放縮方向明確之后，放大

得太多，或者縮小得太多，可以適當(dāng)進(jìn)行調(diào)整，比如從第二項(xiàng)開(kāi)始放縮或者第三項(xiàng)

開(kāi)始放縮.

知識(shí)鏈接07數(shù)列中的探究性問(wèn)題實(shí)際上就是不定方程解的問(wèn)題，對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題的求解，通常有

以下三種常用的方法：

①利用等式兩邊的整數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)的方法來(lái)加以判斷是否存在；

②利用尋找整數(shù)的因數(shù)的方法來(lái)進(jìn)行求解，本題的解題思路就是來(lái)源于此；

③通過(guò)求出變量的取值范圍，從而對(duì)范圍內(nèi)的整數(shù)值進(jìn)行試根的方法來(lái)加以求解.

對(duì)于研究不定方程的解的問(wèn)題，也可以運(yùn)用反證法.

知識(shí)鏈接08概率統(tǒng)計(jì)中的遞推關(guān)系：(1)一階遞推關(guān)系%“=/(%)：

(2)二階遞推關(guān)系=，a?+1).

?典例剖析?

典例剖析01若[幻表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[2.3]=2,[4]=4,[-2.3]=—3.

2

已知=LyxlO"].仇=卬，b”N*,幾.2),則〃2019等于()

A.2B.5C.7D.8

【解答】=[—xlO"].bn—an-10aM_j(nGN*,n..2)f=[—]=2=b^a2=[---]=28.

b2=28-10x2=8,同理可得：%=285,4=5；4=2857,%=7；

%=28571,b5=l.4=285714,%=4；=2857142,Z?7=2,....

b

勿+6=n?則仇019=公336+3=2=5.故選：B.

典例剖析02已知數(shù)列｛/｝的通項(xiàng)公式為、=5wN*),其前〃項(xiàng)和為S〃,

5+1)6+ij++1

則在數(shù)列5,S2,S2019中，有理數(shù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為()

A.42B.43C.44D.45

1(??+1)?—n{n+1

【解答】由題意，可知：為

(〃+1)G+n[〃+1[(n+V)G++1][(/+1)V/?-

(〃+1)6-小/〃+1_&yJn+l

n(n+1)nn+1

1夜及Gyfn5/77+1[J.+l

..cS=a+a+...+a=1--—+—----+?..H-----------=1--------

nA2nnn+\n+1

.?.S3,Sg,&…為有理項(xiàng),

又???下標(biāo)3,8,15,…的通項(xiàng)公式為以=〃2一1(幾.2),2019,且?guī)?2,

解得：2領(lǐng)h44,.?.有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為44-1=43.故選：B.

典例剖析03數(shù)列｛%｝中，4=,，(〃+1)%="""5￡N"),若不等式:?+,+(-1)"以”..0對(duì)

2nan+1nn

所有的正奇數(shù)〃恒成立，則實(shí)數(shù)1的取值范圍為()

Az28.

A.(-<?,—-]B.(-co,9JC.(-co,10]D.[9,+00)

【解答】由(幾+1)(+1="""(neN"),得-----------L=1(相eN.),

%+15+D%%

，數(shù)列{_!_}(〃eN*)是等差數(shù)列，公差為1,首項(xiàng)為」_=2,

nan1xq

---=2+(/?-1)=〃+1,cin=------9

nann(n+1)

?.?不等式之+工+(-1)"以,..0對(duì)所有的正奇數(shù)”恒成立，

n"n

即—1—..0對(duì)所有的正奇數(shù)〃恒成立3+〃+5對(duì)所有的正奇數(shù)〃恒成立,

n~nn（n+1）n

AA02

當(dāng)〃=1時(shí)，一+〃+5=10,當(dāng)〃=3時(shí)，一+〃+5=—,

nn3

又++〃+5在〃wN“且〃..3上單調(diào)遞增，」.（士+〃+5）〃而=—,

nn3

r?—,即實(shí)數(shù)r的取值范圍為（-8,竺］,故選：A.

33

典例剖析04已知數(shù)列｛凡｝滿(mǎn)足4=4,a/%-%2,〃WN"）,若。“=4五?（〃七一6）,且

存在“eN*,使得4勿+機(jī)-6M..0成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

l-x/971+V97

A.L~~JB.[1-V37J+V37]

22

11

C.畤

【解答】?.?4,=4%-4(〃..2,"eN*),%%一|=4(4_1-l)(〃..2,〃eN"),令。"=―]—

2—4

1

2_?！?-%4-2an-2an_1+anafl_}

1*

=——(n..2,nwN),

4-2a“一2%一1+4(q〃_1一1)2??_|-2a,2

.?.數(shù)列｛%｝是以為首項(xiàng)，-g為公差的等差數(shù)歹U,

1n2〃+2,4吸丁/—2/?-4

-----=——，??凡=a=今“?-6)=——,

2-4----2〃

22

???存在〃EN*,使得4bn+"7-6m..0成立，二?(42)〃“+〃?一6m..0,

2〃一42〃一6

令收％,得。2二尸」則3勵(lì)4,〃小，.?=3或〃=4,

［2"2n+l

??（〃？）〃儂=4="，「.l+m-6m2..0，gp6/n2-zw-1?0,解得—g麴而

實(shí)數(shù)"?的取值范圍是J，」］.故選：D.

32

典例剖析05已知數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)的和為S“，且4=-1,4=2，/=7.又已知當(dāng)九＞2時(shí)，

1117?

S?+1=3s“-3sl+S“_2+2恒成立?則使得2（-----+------+…+-----一成立

ak4-1ak_x+1a2+155

的正整數(shù)左的取值集合為（）

A.伏|Z..9,kwN}B.伙|"10,keN}

C.伙IZ..11,kwN)D.伙|k.l2,k^N]

【解答】當(dāng)〃>2時(shí)，S.M=3S〃_3S〃T+S?2+2恒成立,

.?.當(dāng)九>1時(shí)，Sn+2=3Sn+l-3Sn+Sg+2恒成立，

相減可得：a.=3%-3?！?%，化為：限一%+3〃一%）=2（--%），

???數(shù)列｛4山-〃“｝是等差數(shù)列,

q=-1,4=2,%=7.a4=3a3—3m+a}=3x7—3x2—1=14,

出一%=3,4_%=5,—%=7,.,?公差=5—3=2?

a-=3+2(〃-1)=2〃+1?:.a=-l+(〃7)(3+2K)=“2_2.

n+ln2

11z1

a4-1YT-12n-\一百

n

?111、

2(---------1------------F...H---------)

%+14_14_1+1

1_____1__1____[_J_____1_J_____1__J_____I

k-2~~k.......3^T-3+T2^T-2+T

111

=---Ff1--------------.

2kk+\

111、7211172

???2(---------1------------F...H--------)..；—f/.F1t---------------..；—成、/.，

%+1《_[+14+1552k,k+155

化為：3M”包，解得k.i（）.

女（女+1）110

I7?

使得2(—!—+—!—+...+----一成立的正整數(shù)攵的取值集合為伙|匕.10,keN].

aa

k+1k-\+1a2+155

故選：B.

0<q<g,a-a+ln（2-a）.則下列說(shuō)法正確的是（）

典例剖析06已知數(shù)列｛/｝滿(mǎn)足:n+]nn

3-311

AA.—<々2020<2B?1<d2020。<〃2O2O<1D?0<々2020<~

【解答】因?yàn)?nrvx-1(%>0)恒成立,所以%=%+歷(2-%)v2+a“一％-1=1,

aa

則n+\~n=加(2一％)>加1=0'

因?yàn)?(%)=%+ln(2一x)在(0,1)上單調(diào)遞增,所以/=f(%)>f(0)=ln2,

當(dāng)”>1時(shí)，//?2<?n<lc(-,l).故選：C.

典例剖析07設(shè)數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足：%=a“+7a：-a“+l,4=。，則一定存在。，是數(shù)列中（）

A.存在〃WN’，有〃,用4+2<0

B.存在nwN",有（《川一1）（。“+2-1）V0

C.存在neN*，有（__｝4+2-$<。

D.存在〃eN’,有（?！?1-，q+2-T）<°

【解答】;函數(shù)y=x+l-Jx?-x+1與y=x有兩個(gè)交點(diǎn)（0,0）,（1,1）,

可知當(dāng)4<0時(shí)，數(shù)列遞減，

當(dāng)0<4<1時(shí)，數(shù)列遞增，并且〃“趨向1;

當(dāng)6>1時(shí)，數(shù)列遞減，并且勺趨向1,則可知A,B錯(cuò)誤；

又當(dāng)x>l時(shí)，y=x+1-yjx2-x+1=x+l-.（x--）2+—<x+l-（x--）=—,

V2422

則當(dāng)4>1時(shí)，a?一定小于g，則之后均小于T。錯(cuò)誤；

對(duì)于C,可取q=?,得（4-1）（4一$<0,滿(mǎn)足要求.故選：C.

典例剖析08已知數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足q=l,|%+「a.|=(g)",〃eN*,｛g是遞增數(shù)列，｛%,｝是遞

減數(shù)列，則數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式為=g+；?線

【解答】???&-｝是遞增數(shù)列，%1T>0，

"'142"+1一生"+ain-ain-\>°,①

a-a

l^n+l~02?1=^57>?2n2?-l1='

▽11

又,?,聲'

--Ia2n+l~a2nMa2n-ain-\I"②

觀察①②可知a2n-a2?_,>0,

%"—a2n-l=(g)2"T=Y'L'③

?.?｛%,｝是遞減數(shù)列，同理可得，生“+2-%,<0,

由③④歸并可得，

,11(-1嚴(yán)(-1)"

,?丹=4+/-〃2+,?'+凡一1~an-2+an-?！ㄒ?二［+「一級(jí)+?一+*+2〃T'

,11-(-獷_4,i(-ir

2—1332”T

2

故答案為：

332”“

典例剖析09設(shè)數(shù)列｛?！ǎ凉M(mǎn)足4=2,勺+〃…=g(%〃+%〃)+加一〃，其中也〃￡,數(shù)列

｛4｝滿(mǎn)足：b“=%-a〃.

(1)求&,a2;

(2)當(dāng)拉￡”時(shí)，求證：數(shù)列｛么｝為等差數(shù)列；

(3)設(shè)c“=-一———(/?GN*),令S〃=q+c2+…+%,

求證：—+—+<-(neW,).

23邑S,5?+,2

【解答】(1)???am+n+am_?=^a2m+a2n)+m-n

...令可得4=0;令〃=0,RTWa2m=4am-2m

令機(jī)=1,可得生=4q-2=6；

⑵令m="+2，貝i」a2"+2+a"+4-2=5(a2“+4+a2")

%“=4勺-2小

?2ni%+4+2

+=4%“-2(n+1),=4%-2(〃+2),a2n=4an-2n

??+2=2a,,+i-4+2(a?+2-a?+l)-(a?+1-an)=2

,?也=%-%，.-.bn+}-b?=2

：.數(shù)列｛"｝為首項(xiàng)為/-q=4,公差為2的等差數(shù)列;

(3)由(2)知6“=2〃+2

n

rt

Sn=q+G+…+%=2—1

—<2“J」

3+&+...+且<4

+,,,+|

-S?+l2"-12(2-1)2邑$3S“+]2

又.?工=-=1>_l_lx!

+,

'5?+12"-124x2"-2…232"

S,S,5?Mil11n11n1

-+-^+...4-——----+—)=---------------(1----)>----

2

S2S3S?+123222〃23T23

++<—(neW*)

23s2s3S向2

典例剖析10已知數(shù)列｛q｝中,4=3,%=5,且滿(mǎn)足S〃+ST=2S〃T+2"T（*3）.

（1）試求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

2”T1

（2）令一，T"是數(shù)列｛4｝的前”項(xiàng)和，證明：T?<-;

““?4+16

（3）證明：對(duì)任意給定的me（0,，），均存在％eAT,

使得當(dāng)“..小時(shí)，（2）中的7；>加恒成立.

【解答】（1）由S,,+5,々=2s,i+2"-'（〃..3）,得S“-S?_,=5?.,-+2"，

即q=a,-+2”'，移項(xiàng)得4-.3）,

這個(gè)〃-2等式疊加可得：-a,=22+23+...+2"-'=2-(1-2^-2"-4,

-1-2

又“2=5，二a"=2"+1,.3,經(jīng)驗(yàn)證q=3,%=5也適合該式，；.a“=2"+1,〃eN*.

(2)由(1)知一^―=------—=—(―,---------!—),

,,+

anan+l(2"+1)(2""+1)2"2"+12'+1

.,_2"-'_l11、

，，-(z7+|)，

"??.??+/2271-2"+1

,數(shù)列也,｝的前”項(xiàng)和：T?=；［(：-§+《-》+…+(牙片

1

了<

〃6-

1

由2<

3)6-

若7；>，〃，則得!（1一一一）>，“，化簡(jiǎn)得上也

232”+132e+1

13

■.?me（O,-）,:.1-6m>0,：.2"+,>----------1,

6l-6m

Q1

當(dāng)log<----------1）-1<1,即0<根<—時(shí)，取〃0=1即可，

~l-6m15

71

當(dāng)log<----------1）<1,即0<小■時(shí)，取2=1即可，

?l-6m15

當(dāng)log、（------?即—?〃7<'時(shí)，

l-6m156

則記/og,（_2—一1）_1的整數(shù)部分為S,取%=s+l即可，

l-67n

綜上可知：

對(duì)任意給定的〃26（02），均存在％WN+,使得當(dāng)幾.為時(shí)，（2）中的7；>加恒成立.

?小試牛刀?

小試牛刀01已知數(shù)列伍“）與他”｝前”項(xiàng)和分別為S“，T?,且a“>0,2Sn=a；+an,

h?=—~~7---------，對(duì)任意的〃€N*,%>7；恒成立，則k的最小值是-

（2"+*（2向+。,向）一3一

【解答】因?yàn)?s“=4+可，當(dāng)兒.2時(shí)，有2s=<,+a“T,

兩式相減可得，2an+《,-a,-，整理可得（a"一。"_|T）（a"+””T）=0,

由a“>0可知，a+a.0,從而-a,,--1=0,

即當(dāng)“..2時(shí)，a?7/-1=19

當(dāng)〃=1時(shí)，2al=+q,解得q=1或0（舍），

則數(shù)列｛q｝是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列，則%=〃,

叱“，