2022屆新高考數(shù)學精準沖刺復習導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性及極值最值

2022屆新高考數(shù)學精準沖刺復習

導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性及極值最值

【教學目標】

本節(jié)內(nèi)容目標層級是否掌握

★★★★☆☆

利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性

★★★★☆☆

利用導數(shù)研究函數(shù)極值、最值

一、利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性

【知識點】

1.定義：在①力)內(nèi)可導函數(shù)/(龍)，/(無)在3,歷任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0.尸(九)》()=/(%)在

(。,與上為增函數(shù).7'(x)?0o/(x)在(。/)上為減函數(shù).

注：Q)/'U)>0(<0)是/(%)在區(qū)間(a,份內(nèi)單調(diào)遞增(減)的充分不必要條件.

(2)f\x)20(W0)是/(x)在區(qū)間(a,與內(nèi)單調(diào)遞增(減)的必要不充分條件.

(3)由/(幻在區(qū)間(a,勿內(nèi)單調(diào)遞增(減)可得f\x)20(<0)在該區(qū)間內(nèi)恒成立，而不是尸(x)〉0

(<0)恒成立，"="不能少，必要時還需對"="進行檢驗.

(4)若所求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不止T,這些區(qū)間之間不能用并集"U"及"或"連接,只能用"，""和"

字隔開.

【例題講解】★☆☆例題1.設尸(x)是函數(shù)/(x)的導函數(shù)，y=/(x)的圖象如圖所示，貝廿=〃力的圖

y

i

答案：c

解析：由圖可知：當尤＜0時，0,函數(shù)“X）單調(diào)遞增，

當0＜x＜2時，尸（力＜0，函數(shù)/（x）單調(diào)遞減，

當x＞2時，當力＞0,函數(shù)〃力單調(diào)遞增,

符合以上條件的只有C.

★☆☆練習1.如果函數(shù)V="X）的圖像如圖，那么導函數(shù)＞=/'（X）的圖像可能是（）

ABCD

答案：A

解析：由原函數(shù)的單調(diào)性可以得到導函數(shù)的正負情況依次是正-負-正-負，故選A.

★☆☆練習2.已知y=r（可是函數(shù)y=〃x）的導數(shù)，將y=〃x）和），=尸（另的圖象畫在同一個直角坐標

系中，不可能正確的是()

答案：D

解析：不可能正確的是D

因為把上面的作為函數(shù)；在最右邊單調(diào)遞增，其導數(shù)應為大于0，但是其導函數(shù)的值小于0,故不正確；

同樣把下面的作為函數(shù)，在最右邊單調(diào)遞減，其導數(shù)應為小于0，但是其導函數(shù)的值大于0,故D不正確.

★☆☆例題2.定義在R上的可導函數(shù)/(x)，已知y=ef'{x}的圖象如圖所示，則y=/(x)的增區(qū)間是()

A.(-00,1)B.(-00,2)C.(0,1)D.(1,2)

答案：B

解析：由題意如圖/(》)>0的區(qū)間是(10,2)

故函數(shù)y=/(x)的增區(qū)間(-8,2),故選B.

★☆☆練習1.(2018烏魯木齊二模)函數(shù)〃x)與它的導函數(shù)廣(”的圖象如圖所示，則函數(shù)&(力=9的

單調(diào)遞減區(qū)間為()

C.(*

D.(0,1),(4,+co)

答案：D

解析：綜合圖象：》€(wěn)(0，1)和%￡(4,??)時，r(x)—/(力<0,

而g，(x)=r(x)/(x),

故g(x)在(0,1),(4，+8)遞減

故選D.

★☆☆練習2.函數(shù)“x)=(f-2x)e'的圖像大致是()

答案：A

解析：函數(shù)的定義域為R,r(x)=(x2-2)e>

令((X)=0,(X2_2)/=0,(x2-2)^=0,

解得X=及或x=-近I

所以函數(shù)“X)在(Y,-閭和(在時上單調(diào)遞增。圖象上升，函數(shù)“X)在(拒,?上單調(diào)遞減，圖象下降,

又結(jié)合函數(shù)解析式可知函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，因此滿足題意的圖象是選項A的圖象.

【題型知識點總結(jié)】

1.利用導函數(shù)圖像研究原函數(shù)性質(zhì)：只要關注導函數(shù)的正負和零點即可；同時注意/'(%)=0，但/兩側(cè)

./"(X)正負恒定，則在拓附近，原函數(shù)是單調(diào)唯一的.牢記導函數(shù)的正負對應的是原函數(shù)的增減.

☆例題3.已知函數(shù)/(x)=xbu,則f(x)()

A.在(0,+8)上單調(diào)遞增B.在(0,+8)上單調(diào)遞減

C.在1°，5上單調(diào)遞增D.在(o，j上單調(diào)遞減

答案：D

解析：因為函數(shù)/(x)=x/〃x的定義域為((),+8),

所以r(x)=/nx+l(x>()),

當廣(龍)〉0時，解得,

e

即函數(shù)/(尤)的單調(diào)遞增區(qū)間為(j+s］；

當/'(無)<0時，解得()<尤<,，

e

即函數(shù)/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為,故選D.

★☆☆練習1.若幕函數(shù)/(尤)的圖象過點三弓，則函數(shù)g(x)=e"(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為.

答案：(-2,0)

解析：設幕函數(shù)/(x)=V,因為圖象過點［號,5］，

所以==學，。=2，

2I2J

所以/(%)=%2,故g(x)=e%2,

則g'(x)=e"2+=ex(x2+2x),

令g<x)<0,得一2cx<0,

故函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-2,0).

☆練習2.(2018?開封調(diào)研)已知定義在區(qū)間(一心乃)上的函數(shù)/(x)=Mhx+cosx,則/(x)的單調(diào)遞

增區(qū)間是______.

答案:「肛-2和O

解析：/'(X)=sinx+xcosx-sinx=xcosx.

令/'(x)=xcosx>°(x￡(一萬，萬))，

471

解彳導一萬<%<—一pg0<x<-,

22

即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是卜辦一'J和1°，fJ?

★☆☆例題4.(2018?全國卷I節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=--x+a\nx,討論/(%)的單調(diào)性.

X

答案：略

解析：/(力的定義域為(0,+oo),

.1,ax2-ax+1

/3=--7-1+-=------—.

xxx

①當aW2時，則/'(x)W(),

當且僅當。=2,x=l時，/'(x)=0,

所以/(x)在(0,+/)上單調(diào)遞減.

②當。＞2時，令/'(x)=0,

a-\la2-4a+\Ja2-4

得x=---------或x=---------.

22

所以小)在[佇F][”半三小卜調(diào)遞減，在(m三,葉^上單調(diào)遞增.

綜合①②可知，當時，/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減；當。>2時，/(%)在

。，佇"正三,+oo]上單調(diào)遞減，在卜二，a+上單調(diào)遞增.

2222

\/\7\/

★☆☆練習1.(2018凌源市模擬)已知函數(shù)〃x)=xe'.討論函數(shù)8(力=4(尤)+/的單調(diào)性;

答案：略

解析：：g(x)=^e'+e',.,.g'(x)=(以+a+l)e",

當a=O時，g'(x)=e*,g'(x)>0在R上恒成立，故g(x)單調(diào)遞增；

當a>0時，g(x)在(e,一寧口遞減，單調(diào)遞增；

當。<0時，g(x)在［9,一?)遞增，(—一,”］單調(diào)遞減.

綜上所述，當。=0時，g")單調(diào)遞增；當。>0時，g(x)在(TO,-拶，遞減，單調(diào)遞

增；當4<0時，g(x)在(9,一四］遞增，(一"L+8］單調(diào)遞減

Ia)VaJ

★☆☆練習2.(2018河南一模)已知：〃x)=(2—x)e'+a(x—l)2(aeR)，討論函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間.

答案：略

解析：/*(x)=(1-x)ex+2a(x-1)=(x-l)(2a-ex)

當。40時，函數(shù)在(-8,1)上遞增，在(1,+8)上遞減

當0〈“苦時，函數(shù)在(—1n2a),。，+8)上遞減，在(ln2a,l)上遞增；

當寸，函數(shù)在(-8,1),(In2a,+8)上遞減，在(l,ln2a)上遞增；

當“二與時，函數(shù)在R上遞減

綜上所述，當aWO時，函數(shù)在(-8,1)上遞增，在(1，+8)上遞減

當0<“苦時，函數(shù)在(f，卜2〃)，(1，+8)上遞減，在(ln2“,l)上遞增；

當"W時，函數(shù)在(F，1),(ln2a,+8)上遞減，在(l,ln24)上遞增；

當a時，函數(shù)在R上遞減.

★★☆例題5.已知函數(shù)P(x)=W,q(x)=gx2-(l+2a)x.討論函數(shù)/(x)=g(x)+2or.p(x)的單調(diào)性.

答案：略

解析：由已知得"x)=q(x)+a(x).p(x)=g?2-(l+/)x+mnx,

???/(%)的定義域為(0，+8),

則廣(X)叩-(1+叫+/=3一)一〃)

①當a?0時，x-a＞0,-＞0,?x-l＜0，所以f'（x）＜0,

X

所以函數(shù)/（x）在（0，+8）上單調(diào)遞減；

②當。＞0時，令/'（力=。得》=,或X=a,

a

⑴當:=a（a＞0）時，即a=l時，尸（力=3以0（》＞0）,

所以函數(shù)〃x）在（。，+8）上單調(diào)遞增；

（ii）當0＜：＜a時，即”＞1時，在（0,j和（。，+8）上函數(shù)/（司＞0,在f上尸（x）＜0,

所以函數(shù)在［o，：J單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在（。，+8）上單調(diào)遞增；

（市）當0＜〃＜：時，即0＜。＜1時，在（0,“）和（：,+?）］上函數(shù)/（司＞0,在上ra）＜（）,

所以函數(shù)在（0，。）上單調(diào)遞增，在［31上單調(diào)遞減，在\，內(nèi)）上單調(diào)遞增

綜上所述，當aW0時，/⑺在（。，+8）上單調(diào)遞減；當a＞1時，函數(shù)在!一）單調(diào)遞增，在2，"上單

調(diào)遞減，在（。，+8）上單調(diào)遞增；當0＜。＜1時，函數(shù)在（0M）上單調(diào)遞增，在］，￡|上單調(diào)遞減，在心，?）

上單調(diào)遞增.

★★☆練習1.已知函數(shù)/（x）=lnx-奴+?-1（as/?）.當°4時，討論/（x）的單調(diào)性.

答案：略

1—Z7

解析：因為/（x）=lnx-奴+一^--1

2

Cr-.xid,/\161-1ax-x+1—a/\

f\x）=--a+—r=----------------,XG（0,+OO）,

令/2（%）=加-x+l-4Z,xe（0,-i-oo）

(1)當1=0時，/Z(X)=-X+1,XG(0,+OO)

所以當xe(o,l)時，/z(x)X),此時/'(亦0,函數(shù)/(X)單調(diào)遞減

當xw(l,xo)時，A(.r)<0,止匕時/'(x)X),函數(shù)/(x)單調(diào)遞增

(2)當"0時，由/(力=0,

即--x+1-a=0,解得％=1,占=—1

a

①當時，%=々，〃(月20恒成立，此時/'("&0，函數(shù)/(x)在(0,?)單調(diào)遞減

②當0<4<」時,1-1>1>0,

2a

X€(0,l)時,〃(6X),此時r(x)O,函數(shù)“X)單調(diào)遞減

時，〃(x)vo,此時/'(X閆),函數(shù)/(X)單調(diào)遞增

xe卜⑴時，咐)>°，此時/'(汴°，函數(shù)〃x)單調(diào)遞減

③當。<0時，由于』-1<0,

a

xe(O,l)時，/7(x)>0,此時/'(x)<0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減

x?l,+oo)時,〃(x)V0,此時/'(工戶),函數(shù)〃x)單調(diào)遞增

綜上所述：

當aW0時，函數(shù)“X)在(。，1)上單調(diào)遞減，在(1,內(nèi))時，函數(shù)〃x)單調(diào)遞增;

當a=g時，函數(shù)/(x)在(。，及)單調(diào)遞減；

當0<。<:時，函數(shù)xe(O,l)時，函數(shù)單調(diào)遞減，時，函數(shù)”X)單調(diào)遞增，時,

函數(shù)單調(diào)遞減.

【題型知識點總結(jié)】

1.因為導函數(shù)不等式解集對應函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，故求解單調(diào)性的問題實際就轉(zhuǎn)化為了導函數(shù)不等式解集的

問題；而不等式的解集只要明確了相應式子的單調(diào)性、零點和定義域，就可以得到解集，具體操作為

(1)導函數(shù)單調(diào)唯一：明確增減；求根；確定導函數(shù)零點與定義域的關系；畫圖解不等式

(2)導函數(shù)單調(diào)不唯一：明確增減性；確定根的的個數(shù)；討論兩根大小；與定義域比大?。划媹D解不等式

★☆☆例題6.已知函數(shù)f+"x*0,常數(shù)。eR)若函數(shù)在xe[2,+oo)上是單調(diào)遞增的，求”的

取值范圍.

答案：a<16

解析：由題設，/'(%)=又函數(shù)/(x)在》目2,茁)上是增函數(shù)

.-.f'(x)=2x-^>0在上恒成立，即在X?2,M)上恒成立，

因為2丁216,故aK16.

★☆☆練習1.若函數(shù)/(幻=無一/由2%+4411%在(-00,+00)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是_______

答案：

解析：函數(shù)./'(為=》一：5泊2工+。5也》在(一8,用)單調(diào)遞增，等價于

f'(x)=l--cos2x+acosx=--cos2x+acosx+->O：0E(-oo,-i-oo),tHfi￡iZ.設cosx=r,則

333

45

g⑴=一1+〃+00

4.5

g?)=-7+W+產(chǎn)在[-1川恒成立，所以.…43汨

g(-1)=_§_〃+§20

★☆☆練習2.若函數(shù)〃x)=21nx+x2-5x+c在區(qū)間的加+1)上為遞減函數(shù)，則，〃的取值范圍是______

答案：；，1

2

解析：,函數(shù)/(x)=21nx+x2-5x+c,/'(x)=—+2%—5,

X

,2

—+2/w-5<0

<m=>—</n<1

22?

-----+2(/?z+l)-5<0

、加+1

1,

★☆☆例題7.(1潛函數(shù)/z(x)=Inx-］ar-2x(。。0)在［1,4］上單調(diào)遞減，則”的取值范圍為

答案：一77，°］U(0,+8)

,16)

解析：因為/?(%)=In2x(a*0)在［1,4］上單調(diào)遞減，

2

所以當xe［l,4］時，力(幻=」一火一2W0恒成立，即恒成立.

XXX

令G(無)=一■—,

x'X

所以aNG(x)max,而G(x)=(g-1)-1,

因為xe［l,4］,所以!,

x|_4_

7

所以G(x)=—二(此時x=4),

1mx16

7

所以〃之一丁，又因為awO,

16

所以a的取值范圍是j0,o］u(O,+8).

,16)

(2)(變條件)若本例Q)條件變?yōu)?函數(shù)”⑴在［1,4］上存在單調(diào)遞減區(qū)間”，則a的取值范圍為

答案：(-1,0)U(0,-KX>)

解析：因為〃(力在0,4］上存在單調(diào)遞減區(qū)間,

所以〃(尤)<0在［1,4］上有解,

12

所以當xe［l,4］時，?>-y一一有解，

XX

(I2、

而當xe［l,4］時，二一一=一1(此時x=l),

〈廠x人而

所以。>一1,又因為。了0,

所以。的取值范圍是(-l,0)U(0,+s).

(3)(變條件)若本例Q)條件變?yōu)?函數(shù)/z(x)在［1,4］上不單調(diào)"，則a的取值范圍為

解析：因為〃(x)在［1,4］上不單調(diào)，

12(I、2

所以"(力=0在(1,4)上有解，即。=4一*=L—1一1在(1,4)上有解,

127

vm(x)=———，XG(1,4)，貝?。菀?<m(X)<---.

xx16

所以實數(shù)a的取值范圍是1-1,-總.

★☆☆練習1.已知函數(shù)/(%)=---2?+lnx(a>0),若函數(shù)f(x)在［1,2］上為單調(diào)函數(shù)，則a的取值范

a

圍是_______-

答案：j^0,|U［i,+8)

31

解析:f\x)=-4x+-,

ax

若函數(shù)/(幻在［1,2］上為單調(diào)函數(shù),

3131

即/度)=二—4x+—20或1")==—4x+—W0在［1,2］上恒成立，

axax

3131

即1241一一或二W4x——在［1,2］上恒成立.

axax

令h(x)=4x--,

x

則/z(x)在［1,2］上單調(diào)遞增，

33

所以一2以2)或一(以1),

aa

3153

即一2一或一W3,又a>0,

ala

所以0<若或心1.

★☆☆練習2.已知函數(shù)/%)=皿2+111工-2》在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)機的取值范圍.

答案：。，￡)

._\c12mx~-2x+1八

A解Tn析：f{x]=2mx+--2x=----------,x>0,

XX

設/i(x)=2tnx2-2x+1

(1)機<0時，MH圖像為開口向下的拋物線,對稱軸為，<0,，/?(x)<0在定義域內(nèi)恒成立，

tn

???/'(X)<0恒成立，f(X)在定義域內(nèi)時是單調(diào)函數(shù)，故不符合題意

(2)%=0時，h(x)=-2x+\,〃(x)=。解得x=g

；?在時/?(x)>0，在xe(；,+8)時，/?(%)<0，即xe(0,；)寸/'(x)>0，在kw(g,+ocj時，

/'(x)<°,〃x)在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，符合題意

(3)〃?〉0時，圖像為開口向上的拋物線，對稱軸5>。，使"x)在定義域內(nèi)不單調(diào)，只需使〃(“<0,

在定義域上有解，即A=4—8加>0,解得〃，

綜上所述，時/(x)在定義域內(nèi)不單調(diào).

【題型知識點總結(jié)】

解決函數(shù)單調(diào)性的問題可以轉(zhuǎn)化為導函數(shù)不等式的相關問題：

當函數(shù)單調(diào)性確定時增減時，可以轉(zhuǎn)化為導函數(shù)不等式的恒成立；

當函數(shù)單調(diào)時，除了可以轉(zhuǎn)化為>0或<0恒成立的問題，還可以轉(zhuǎn)化為定義域內(nèi)無零點的問題；

當函數(shù)不單調(diào)時，可以轉(zhuǎn)化為導函數(shù)不等式存在有解的問題，或者導函數(shù)定義域內(nèi)存在零點(不包括邊界);

具體的步驟為：

①求導；

②將原函數(shù)單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為導函數(shù)不等式的恒成立或者存在問題；

③通過求解導函數(shù)的最值或者參變分離求最值，解決恒成立.

二、利用導數(shù)研究函數(shù)極值、最值

【知識點】

1.定義：

(1)極大值：一般地，設函數(shù)/(X)在點附近有定義，如果對飛附近的所有的點，都有/(X)</(%),

就說/(修)是函數(shù)/(X)的一個極大值，記作/(X)的極大值=M)，%是極大值點；

(2)極小值：T殳地，設函數(shù)/(x)在/附近有定義，如果對毛附近的所有的點，都有了(%)>/Uo)就

說/(%)是函數(shù)/(X)的一個極小值，記作/(X)的極小值=/(玉),X。是極小值點；

(3)判別/(七)是極大、極小值的方法：

1)若/滿足/'(%)=0,且在％的兩側(cè)/(x)的導數(shù)異號，則/是/(x)的極值點，/(%)是極值；

2)如果尸(x)在/兩側(cè)滿足"左正右負"，則/是/(x)的極大值點，/'(%)是極大值；

3)如果尸(x)在/兩側(cè)滿足"左負右正"，則/是/(x)的極小值點，/(%)是極小值.

注：

a)f\x0)=()是與為/(x)的極值點的必要不充分條件.例如，/(x)=/,/(0)=0,但尤=0不是極值

點.

b)極值點不是點，若函數(shù)/(X)在x,處取得極大值，則%,為極大值點，極大值為/(%)；在々處取得極

小值，則%為極小值點，極小值為了(馬).極大值與極小值之間無確定的大小關系.

c)極值一定在區(qū)間內(nèi)部取得，有極值的函數(shù)一定不是單調(diào)函數(shù).

2.最值的定義：

(1)在閉區(qū)間［a,以上連續(xù)的函數(shù)/(x)在句上必有最大值與最小值；

(2)在開區(qū)間(。/)內(nèi)連續(xù)的函數(shù)/(%)不一定有最大值與最?。?/p>

(3)函數(shù)的最值是比較整個定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是匕匕較極值點附近函數(shù)值得出的；

(4)函數(shù)/(x)在閉區(qū)間口力］上連續(xù)，是/(x)在閉區(qū)間［a,可上有最大值與最小值的充分條件而非必要

條件；

(5)函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個,而函數(shù)的極值可能不止一個，也可能沒有一個.

注：

a)若函數(shù)/(%)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)只有一個極值點，則相應的極值一定是函數(shù)的最值.

b)極值只能在定義域內(nèi)取得(不包括端點),最值卻可以在端點處取得，有極值的不一定有最值，有最值的

也未必有極值；極值有可能成為最值，非常數(shù)可導函數(shù)最值只要不在端點處取，則必定在極值處取.

3.零點的判斷方法

(1)首先確定相應函數(shù)/(“定義域：

(2)單調(diào)函數(shù)零點判斷：

定義域(。⑼上對端點函數(shù)值正負進行判斷，若〃。)?/伍)〉0，則無零點；若/(。)?/。)<0,

則必有一個零點.

(3)不單調(diào)函數(shù)定義與端點為0的二次型函數(shù)，實際就是零點與0比大小，用韋達定理：

'△>0

若,玉+々>0,則兩根均為正；

x{x2>0

A>0

若<玉+々,則兩根均為負；

x{x2>0

A>0

若?,則兩根一正一負

x,x2<()

(4)不單調(diào)函數(shù)定義域端點不為零的二次型函數(shù)，采用二次零點分布的通法，即討論開口方向、△、對

稱軸、定義域端點函數(shù)值的正負.

【例題講解】★☆☆例題1.下列結(jié)論中正確的是()

A.導數(shù)為零的點一定是極值點

B.如果在/附近的左側(cè);(x)X),右側(cè)r(x)<0,那么/(毛)是極大值

c.如果在X。附近的左側(cè)r（x）〉O,右側(cè)/'（x）＜0,那么〃x°）是極小值

D.如果在修附近的左側(cè)r（x）＜o,右側(cè)r（x）＞o,那么“X。）是極大值

答案：B

解析：導數(shù)為零的點且左右兩邊的符號不同才是極值點故A錯

如果在X。附近的左側(cè)/'（x）X）,右側(cè)r（x）＜0,則函數(shù)先增后減,則/（七）是極大值

如果在與附近的左側(cè)ra）＜o,右側(cè)r（x）＞o,則函數(shù)先減后增，則/（不）是極小值

★☆☆練習1.若函數(shù)/依）=加+&?+◎；+”有極值，則導函數(shù)廣⑶的圖象不可能是（）

答案：D

解析：若函數(shù)/（"=加+加+以+"有極值，即“X）有極值點，

則須r（x）有零點，且/'（"在零點左右兩側(cè)異號.

由圖象可知選項D中，r（x）=O，但當,》＞小時都有/（刈＞0.

★☆☆練習2.（2018沈陽一模）設函數(shù)/（力=比'+1,則（）

A.x=l為/（x）的極大值點B.x=l為/（x）的極小值點

C.x=-l為“X）的極大值點D.》=-1為/（￡）的極小值點

答案：D

解析:由于〃x）=xe'+l,可得r（x）=（x+l”,,

令r（x）=（x+l）e*=O可得x=—l,

令/'（司=（萬+1僻＞0可得》＞一1,即函數(shù)在（T田）上是增函數(shù);

令r（x）=（x+l）e'＜0可得》＜一1,即函數(shù)在（7,-1）上是減函數(shù)

所以x=-l為“X）的極小值點.

★☆☆例題2.已知函數(shù)f{x}=x-l+4(aeR,e為自然對數(shù)的底數(shù))，求函數(shù)f(x)的極值.

e

答案：略

解析：由/(x)=x—1+3,得/(x)=l-=.

ee

①當aK0時，0,f(x)為(-8,內(nèi))上的增函數(shù)，所以函數(shù)/(尤)無極值.

②當a>0時，令/(x)=0,

得e*=a，即x=Ina,

當xe(-co,Ina)時,f'(x)<0;

當尤e(/〃a,+oo)時，f'(x)>0,

所以函數(shù)/(x)在上單調(diào)遞減，在(Ina,+oo)上單調(diào)遞增，故函數(shù)f(x)Kx=lna處取得極小值且

極小值為/(Ina)=Ina,無極大值.

綜上，當aK0時，函數(shù)/(x)無極值；

當a>0時，函數(shù)/W在x=Ina處取得極小值Ina,無極大值.

練習1.已知函數(shù)/小)=。"一3/+2,g(x)=-3ax+3,xeR,其中a>0.

求函數(shù)〃x)在區(qū)間(-1,1)上的極值.

答案：略

解析：f'(x)=3?2X2-6?X=3ar(<2x-2)=0,

2

因為aX),所以演=0,%=一.

a

2

(1)當0〈一<1，即a>2時，

a

列表討論廣(x)與/'(X)的變化情況：

2

X(-1,0)0(0-1)

a

/'(X)+0—0+

/(-V)極大值極小值T

所以當x=0時，〃x)取得極大值"0)=2,

當時，F(xiàn)(x)取得極小值=2-3.

ayaJa

(2)當L1時，即0<?W2時，列表討論了'(X)和/'(X)的變化情況：

【題型知識點總結(jié)】

求函數(shù)y=/(x)的極值的方法：

第一步：確定函數(shù)定義域

第二步：求導數(shù)廣(可

第三步：求方程((x)=。的根

第四步：檢查尸(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么“X)在這個根處取得極大值；如果左

負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值

★★☆例題3.設函數(shù)/(x)=/〃(》+1)+〃，一幻，其中aeR.討論函數(shù)/(x)極值點的個數(shù)，并說明理由.

答案：略

AT,._.「,/、1z_.、2av?+QX—a+1.

解析：f(X)=——-+a(2x-l)=---------------(x>-l).

x+1x+1

vg(x)=2ax2+ax-?+l,xe(-l,+oo).

①當a=0時，g(x)=1,f'(x)〉0,函數(shù)f(x)在(-1,+a>)上單調(diào)遞增,無極值點.

②當a>0時，A=a~—8a(l—a)=a(9a—8).

Q

當0<。(大時，△W0,g(x)20，r(x)20,

9

函數(shù)/(x)在(T,+8)上單調(diào)遞增，無極值點.

8

9-

設方程20r2+ax-a+l=O的兩根為外,々(為<Z)，

因為無?+工2=—二I所以與<一'7,*2>一~71

24■4

由g(T)=l〉0，可得"

所以當XG(-1,西)時，g(X)〉0,/'(X)>0,函數(shù)/(X)單調(diào)遞增；

當XG(%,/)時，g(x)<0,f'(x)<(),函數(shù)/(尤)單調(diào)遞減；

當xe(W，+oo)時,g(x)>0,fr(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.

因此函數(shù)/(X)有兩個極值點.

③當。<0時，A>0,由g(-l)=l〉o,可得玉<一1〈%.

當xe(-l，W)時，g(x)>0,fr(x)>0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞增；

當X€(%,+8)時,g(x)<0,f'(x)<(),函數(shù)/(X)單調(diào)遞減.

所以函數(shù)/(X)有一個極值點.

Q

綜上所述，當“<0時，函數(shù)/(X)有f極值點；當0<aw§時，函數(shù)/(X)無極值點;

Q

當a>§時，函數(shù)f(x)有兩個極值點.

★★☆練習1.已知函數(shù)/(幻=In：-奴?+》,討論函數(shù)/(x)的極值點的個數(shù).

2x

答案：略

解析:由/(x)=ln-^--ar2+x=-ln2x-a￥2+x,得

2x

『、1_-2ax~+x—1/八,、

f(x)=----2QX+1=------------,xe(0,+oo)

xx

⑴當a=0時,f\x)=—,

X

XG(0,l),/,U)<0,XG(1,+8),f\x)>0,

所以當X=1,7（九）取極小值，/（x）有一個極小值.

（ii）a<0時，A=l-8a>0，令>'（龍）=0，得

玉=匕正電,々=匕正迎，顯然％>0,為<0,

4a-4a

：.xe（0,%））,f'（%）<0,xe（x,,+oo）,f'（x）>0,

/。）在》=M取極小值，/（x）有一個極小值.

（iii）a>0時，A=l-8a<0,即時，f\x）<Q,

8

/（x）在（0,+8）是減函數(shù)，/1）無極值點.

（iv）0<。,時，A=1—8々>0，令/'（%）=0,得

8

l-Jl—8a1+\/1—8a

xL—r-'Z

4a

當尤G（0,X］）和XG（蒼,+00）時,f\X）<0,當XG（XpX2）時,/'（x）>（）,

fM在X=X1取極小值，在X=々取極大值，所以/（X）有兩個極值點.

綜上所述,（i）當a40時，/（無）僅有一個極值點；（ii）當。時，/（X）無極值點；當。<。時，/⑴

88

有兩個極值點.

★☆☆例題4.（2018?北凝考）設函數(shù)/。）=［依2一（4。+i）x+4。+3］/.

Q）若曲線），=/（尤）在點（1J⑴）處的切線與x軸平行，求a；

⑵若/（x）在x=2處取得極小值，求a的取值范圍.

答案：（l）a=l；（2）fp+coj

(1)因為f(x)=[ax2-(4a+l)x+4a+3]e",

所以/'(x)=3?-(2a+Dx+2]e]

所以/'⑴=(l—a)e,

由題設知/'⑴=0,即(l—a)e=o，解得a=l.

此時/⑴=3eo0.

所以。的值為1.

(2)由(1)得廣(幻=[辦2-(2。+1?+2]/=(仆一1)。一2)/,

若a>；，貝11當時，/V)<0,

當xe(2,+8)時，/'*)〉0,

所以/(%)在x=2處取得極小值.

^a<-,貝II當xe(0,2)時，x-2<0,ax-l<-x-l<0,

22

所以ra)>o.

所以2不是/(X)的極小值點.

綜上可知，a的取值范圍是(g，+3)?

★☆☆練習1.函數(shù)/(x)=d-加一反+〃在x=l處有極值10,則點3。)為()

A.(3,-3)B.R/1)C.(3,-3)或(Y』l)D.祐在

答案：B

解析：對函數(shù)/(x)求導得/'(力=3/一2如-8，

又???x=l時有極值10,

f(l)=l-a-b-a2=l0,/'(1)=3—2a—8=0,

解得a=-4,Z?=ll或。=3,b=-3

驗證知，當。=3,h=-3時，在％=1無極值.

★☆☆練習2.設awR，若函數(shù)y=x+alnx在區(qū)間(J)有極值點，則”取值范圍為()

D.(-°o,-e)U(-：,+°o

A.B.C.一°°,一U?+8)

答案：B

解析：函數(shù)丫=/(x)=x+alnx在區(qū)間有極值點=y'=0在區(qū)間有零點.

r(x)=l+?=^^(x>0),.../(1)r(e)<0，,(；+a)(e+—)<0,

解得-e<”..所以“取值范圍為[一自一：).

★☆☆練習3.已知函數(shù)=f-a(x-Inx).若〃力在(0,1)內(nèi)有極值，試求。的取值范圍.

答案：[r+°°]

解析：若/(X)在。1)內(nèi)有極值，貝！ir(x)=0在xe(0，l)內(nèi)有解，

令/(%)=0,ex-ax=0,a-—,

設屋x)=W,xw(0，l),貝!]/(切=以爐,

當xe(0,l)時，g'(x)<0恒成立，

g(x)單調(diào)遞減，又g(l)=e,

又當Xf0時，g(x)-8，即g(x)在。1)上的值域為(e,+8),

所以當&>e時，_f(x)=0,

設”(x)=e'-ax，則=e*-a,xe(0,l),

所以”(x)在XW(0,l)單調(diào)遞減，

由“(0)=1>0,〃⑴=e-a<0,

所以"(0)=0,在xe(0,l),有唯一解天,

X(。，%)%(短)

“(X)+0-

-0+

〃X)I極小值T

所以當">e時，/(x)在(0,1)內(nèi)有極值且唯一，當a時，若xe(0,D，則廣(力2。恒成立，.f("單

調(diào)遞增，不成立，綜上，。的取值范圍為(e，+8).

m

☆例題5.已知函數(shù)g(x)=\nx-nvc+—存在兩個極值點看,9，求機的取值范圍.

x

答案:(*)

1)1

解析：因為g(x)=lnx-〃ir+—,

x

uu、i，/、]m2-X+m,c、

所以g'(x)=——m--7=------5-----(x>0)，

XXX

令〃(x)=〃a2-x+m,要使g(x)存在兩個極值點X]，W,則方程〃儲-X+加=()有兩個不相等的正數(shù)根

X|,X2-

/z(0)>0

故只需滿足—>0,解得0<〃2<二.

2m2

h<0

所以利的取值范圍為

★★殳練習1.(2019-青島一模)已知函數(shù)/(x)=x—，+|/+1,。《1,6=2.718...為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)當a<0時，證明：函數(shù)/(尤)只有一個零點；

(2)若函數(shù)/(%)存在兩個不同的極值點玉，求實數(shù)”的取值范圍.

答案：(1)略(2)?￡(0,1)

解析：(1)由題意：f\x)^-ex+ax,

令g(元)=1-6”+QX,屋(工)二4一",

當aW0,g'(x)<0,所以/'(尤)在(-oo,+oo)上單調(diào)遞減；

又因為/'(())=0,所以/(九)在(-8,0)上單調(diào)遞增，在(0,+8)上單調(diào)遞減，

所以/(x)</(0)=0,故函數(shù)/(%)只有一個零點.

(2)由(1)可知：當aKO不合題意，

當0<a<l時，因為XG(-oo,lna),g'(x)>0;xe(lna,+oo),g'(x)<0；

又因為/'(0)=0，所以尸(Ina)>0；

1-1

又因為/'(——)=-ea<0,

a

設函數(shù)Ma)=lna+，,(p\d)=---=<0,ae(0,1),

aaa~a

所以夕(a)>P⑴=1>。，即—2<lna,所以存在芯e(--,ln?),滿足尸(%)=0,

aa

所以xG(-oo,%),廣(x)<0;xG(%1,0),/'(%)>0;xe(0,+oo),/'(x)<0,

此時，/(力存在兩個極值點玉，。，符合題意.

當a=I時，因為xe(-oo,0),g'(x)>0;xe(0,+oo),g'(x)<0；

所以g(x)Wg(0)=0,即/'(%)W0,所以/(x)在(-8,+oo)上單調(diào)遞減，無極值點，不符合題意；

綜上可得:0<?<1,

InX

★☆☆例題6.已知函數(shù)/(x)=-----1.

x

⑴求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

⑵設m>0,求函數(shù)/(%)在區(qū)間［m,2m］上的最大值.

答案：略

解析：(1)因為函數(shù)/XX)的定義域為(。,+8),且尸(幻=上坐，

x~

，

"尸(x)>0'曰n.f/U)<O/B

由<，指：0<1<6,由《彳導x>e.

x>0x>0

所以函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,e)，單調(diào)遞減區(qū)間為(e,+8).

2mWep

(2)①當二，即0<加工7時，函數(shù)/(x)在區(qū)間［九2網(wǎng)上單調(diào)遞增，

m>02

所以人初海=/(2刈=電磬一1

2m

②當，"e<2m，即］〈加<e時，函數(shù)/(x)在區(qū)間(m,e)上單調(diào)遞增，在(e,2m)上單調(diào)遞減,

所以/(x)mx=/(e)=叱一1='一1；

ee

③當加之e時，函數(shù)f(x)在區(qū)間［〃z,2m］上單調(diào)遞減，

Inm

所以/(X)皿=/(用)=——1.

m

綜上所述，當0<加］時，/(幻儂=112產(chǎn)T；

22m

e1

當G<m<e時,，(尤),皿=一1；

2e

Inm

當胴時，/(x)x=一一L

1mm

★☆☆練習1.(2018?全國卷I)已知函數(shù)/(x)=25nx+s，〃2x,則/。)的最小值是.

?3百

答案：---

2

解析：/(x)=2cosx4-2cos2x=Icosx+l(2cos2x-1)

=2(2COS2X+cosx-1)=2(2cosx-1)(cosx+1).

?「cosx+l>0,

當cosX<g時，f'(x)<(),/(x)單調(diào)遞減；

當COSX>g時，f\x)>0,/U)單調(diào)遞增.

.,.當cosx=：,/(x)有最小值.

又/(x)=2sinx+sin2x=2sinx(l+cosx),

.?.當sinx=-g時