北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊 專題2.46 二次函數(shù)壓軸題-特殊四邊形問題

專題2.46二次函數(shù)壓軸題-特殊四邊形問題（專項練習(xí)）如圖，二次函數(shù)的圖像交x軸于點，，交y軸于點C．點是x軸上的一動點，軸，交直線于點M，交拋物線于點N．（1）求這個二次函數(shù)的表達式；（2）①若點P僅在線段上運動，如圖1．求線段的最大值；②若點P在x軸上運動，則在y軸上是否存在點Q，使以M，N，C，Q為頂點的四邊形為菱形．若存在，請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．2．如圖，拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸相交于A（－1，0），B（5，0）兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）在第二象限內(nèi)取一點C，作CD垂直x軸于點D，鏈接AC，且AD＝5，CD＝8，將Rt△ACD沿x軸向右平移m個單位，當點C落在拋物線上時，求m的值；（3）在（2）的條件下，當點C第一次落在拋物線上記為點E，點P是拋物線對稱軸上一點．試探究：在拋物線上是否存在點Q，使以點B、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．3．在平面直角坐標系中，平行四邊形ABOC如圖放置，點A、C的坐標分別是(0，4)、(－1，0)，將此平行四邊形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到平行四邊形A′B′OC′.(1)若拋物線過點C、A、A′，求此拋物線的解析式；(2)點M是第一象限內(nèi)拋物線上的一動點，問：當點M在何處時，△AMA′的面積最大？最大面積是多少？并求出此時點M的坐標；(3)若P為拋物線上的一動點，N為x軸上的一動點，點Q坐標為(1，0)，當P、N、B、Q構(gòu)成平行四邊形時，求點P的坐標，當這個平行四邊形為矩形時，求點N的坐標．在平面直角坐標系中，為坐標原點，直線交二次函數(shù)的圖像于點，，點在該二次函數(shù)的圖像上，設(shè)過點（其中）且平行于軸的直線交直線于點，交直線于點，以線段、為鄰邊作矩形．（1）若點的橫坐標為8．①用含的代數(shù)式表示的坐標；②點能否落在該二次函數(shù)的圖像上？若能，求出的值；若不能，請說明理由；（2）當時，若點恰好落在該二次函數(shù)的圖像上，請直接寫出此時滿足條件的所有直線的函數(shù)表達式．5．如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝﹣3x﹣3與x軸交于點A，與y軸交于點C．拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A，C兩點，且與x軸交于另一點B（點B在點A右側(cè)）．（1）求拋物線的解析式及點B坐標；（2）若點M是線段BC上一動點，過點M的直線EF平行y軸交x軸于點F，交拋物線于點E．求ME長的最大值；（3）試探究當ME取最大值時，在x軸下方拋物線上是否存在點P，使以M，F(xiàn)，B，P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，試說明理由．6．如圖，拋物線與軸交于，與軸交于點．已知直線過兩點．（1）求拋物線和直線的表達式；（2）點是拋物線上的一個動點，①如圖，若點在第一象限內(nèi)，連接，交直線于點．設(shè)的面積為，的面積為，求的最大值；②如圖2，拋物線的對稱軸與軸交于點，過點作，垂足為．點是對稱軸上的一個動點，是否存在以點為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．7．閱讀：我們約定，在平面直角坐標系中，經(jīng)過某點且平行于坐標軸或平行于兩坐標軸夾角平分線的直線，叫該點的“特征線”．例如，點M（1，3）的特征線有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．問題與探究：如圖，在平面直角坐標系中有正方形OABC，點B在第一象限，A、C分別在x軸和y軸上，拋物線經(jīng)過B、C兩點，頂點D在正方形內(nèi)部．（1）直接寫出點D（m，n）所有的特征線；（2）若點D有一條特征線是y=x+1，求此拋物線的解析式；（3）點P是AB邊上除點A外的任意一點，連接OP，將△OAP沿著OP折疊，點A落在點A′的位置，當點A′在平行于坐標軸的D點的特征線上時，滿足（2）中條件的拋物線向下平移多少距離，其頂點落在OP上？8．如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線C：y=ax2+bx+c與x軸相交于A，B兩點，頂點為D（0，4），AB=4，設(shè)點F（m，0）是x軸的正半軸上一點，將拋物線C繞點F旋轉(zhuǎn)180°，得到新的拋物線C′．（1）求拋物線C的函數(shù)表達式；（2）若拋物線C′與拋物線C在y軸的右側(cè)有兩個不同的公共點，求m的取值范圍．（3）如圖2，P是第一象限內(nèi)拋物線C上一點，它到兩坐標軸的距離相等，點P在拋物線C′上的對應(yīng)點P′，設(shè)M是C上的動點，N是C′上的動點，試探究四邊形PMP′N能否成為正方形？若能，求出m的值；若不能，請說明理由．9．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+2ax+c交x軸于A，B兩點，交y軸于點C（0，3），tan∠OAC=．（1）求拋物線的解析式；（2）點H是線段AC上任意一點，過H作直線HN⊥x軸于點N，交拋物線于點P，求線段PH的最大值；（3）點M是拋物線上任意一點，連接CM，以CM為邊作正方形CMEF，是否存在點M使點E恰好落在對稱軸上？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．10．在平面直角坐標系中，如果兩條拋物線關(guān)于坐標原點對稱，我們就說其中一條拋物線是另一條拋物線的“友好拋物線”，（1）若拋物線的“友好拋物線”為，則與的數(shù)量關(guān)系為．與的數(shù)量關(guān)系為．（2）若拋物線的“友好拋物線”為，則與的數(shù)量關(guān)系為．與的數(shù)量關(guān)系為．（3）由以上分析，我們可以得到拋物線：的“友好拋物線”為：．如圖，若拋物線的頂點為，拋物線的頂點為，直線與拋物線相交于點、（點在點左側(cè)），與拋物線相交于點、（點在點左側(cè)）．①若四邊形為菱形，求線段的長（提示：已知直線和），若，則兩直線垂直）；②當四邊形的面積為時，求的值．11．如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線（）與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），經(jīng)過點A的直線l：與y軸負半軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D，且CD=4AC（1）直接寫出點A的坐標，并求直線l的函數(shù)表達式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）點E是直線l上方的拋物線上的動點，若△ACE的面積的最大值為，求a的值；（3）設(shè)P是拋物線的對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，以點A，D，P，Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點P的坐標；若不能，請說明理由．12．如圖，已知拋物線與y軸相交于點A（0，3），與x正半軸相交于點B，對稱軸是直線x=1．（1）求此拋物線的解析式以及點B的坐標．（2）動點M從點O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿x軸正方向運動，同時動點N從點O出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿y軸正方向運動，當N點到達A點時，M、N同時停止運動．過動點M作x軸的垂線交線段AB于點Q，交拋物線于點P，設(shè)運動的時間為t秒．①當t為何值時，四邊形OMPN為矩形．②當t＞0時，△BOQ能否為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．13．如圖，拋物線與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，其中點B的坐標為，點C的坐標為，直線1經(jīng)過B，C兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）過點C作軸交拋物線于點D，過線段CD上方的拋物線上一動點E作交線段BC于點F，求四邊形ECFD的面積的最大值及此時點E的坐標；（3）點P是在直線l上方的拋物線上一動點，點M是坐標平面內(nèi)一動點，是否存在動點P，M，使得以C，B，P，M為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直線寫出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．14．如圖1（注：與圖2完全相同），在直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點三點,,．（1）求拋物線的解析式和對稱軸；（2）是拋物線對稱軸上的一點，求滿足的值為最小的點坐標（請在圖1中探索）；（3）在第四象限的拋物線上是否存在點，使四邊形是以為對角線且面積為的平行四邊形？若存在，請求出點坐標，若不存在請說明理由.（請在圖2中探索）如圖，拋物線經(jīng)過A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三點．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上有一點P，使PA+PC的值最小，求點P的坐標；（3）點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使以A，C，M，N四點構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點N的坐標；若不存在，請說明理由．16．如圖1，拋物線與軸交于A,B兩點，與軸交于點C，AB=4，矩形OBDC的邊CD=1，延長DC交拋物線于點E.（1）求拋物線的表達式；（2）如圖2，點P是直線EO上方拋物線上的一個動點，過點P作y軸的平行線交直線EO于點G，作PHEO，垂足為H.設(shè)PH的長為l，點P的橫坐標為m，求l與m的函數(shù)關(guān)系是（不必寫出m的取值范圍），并求出l的最大值；（3）如果點N是拋物線對稱軸上的一點，拋物線上是否存在點M，使得以M,A,C,N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有滿足條件的M的坐標；若不存在，請說明理由.17．已知，如圖，拋物線的頂點為，經(jīng)過拋物線上的兩點和的直線交拋物線的對稱軸于點．（1）求拋物線的解析式和直線的解析式．（2）在拋物線上兩點之間的部分（不包含兩點），是否存在點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．（3）若點在拋物線上，點在軸上，當以點為頂點的四邊形是平行四邊形時，直接寫出滿足條件的點的坐標．如圖，已知直線交軸于點，交軸于點，拋物線經(jīng)過點，與直線交于、兩點，點為拋物線上的動點，過點作軸，交直線于點，垂足為．（1）求拋物線的解析式；（2）當點位于拋物線對稱軸右側(cè)時，點為拋物線對稱軸左側(cè)一個動點，過點作軸，垂足為點．若四邊形為正方形時求點的坐標；（3）若是以點為頂角頂點的等腰直角三角形時，請直接寫出點的橫坐標．19．已知二次函數(shù)的圖像與軸交于兩點，與軸交于點，（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）是二次函數(shù)圖像上位于第三象限內(nèi)的點，求點到直線的距離取得最大值時點的坐標；（3）是二次函數(shù)圖像對稱軸上的點，在二次函數(shù)圖像上是否存在點．使以為頂點的四邊形是平行四邊形？若有，請寫出點的坐標（不寫求解過程）．20．如圖，在平面直角坐標系中拋物線y=ax2+bx+2（a≠0）與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），且A點坐標為（，0），直線BC的解析式為．（1）求拋物線的解析式；（2）過點A作AD//BC，交拋物線于點D，點E為直線BC上方拋物線上一動點，連接CE，EB，BD，DC．求四邊形BECD面積的最大值及相應(yīng)點E的坐標；（3）將拋物線y=ax2+bx+2（a≠0）向左平移個單位，已知點M為拋物線y=ax2+bx+2（a≠0）的對稱軸上一動點，點N為平移后的拋物線上一動點．在（2）中，當四邊形BECD的面積最大時，是否存在以A，E，M，N為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．21．如圖，拋物線過點A（0，1）和C，頂點為D，直線AC與拋物線的對稱軸BD的交點為B（，0），平行于y軸的直線EF與拋物線交于點E，與直線AC交于點F，點F的橫坐標為，四邊形BDEF為平行四邊形．（1）求點F的坐標及拋物線的解析式；（2）若點P為拋物線上的動點，且在直線AC上方，當△PAB面積最大時，求點P的坐標及△PAB面積的最大值；（3）在拋物線的對稱軸上取一點Q，同時在拋物線上取一點R，使以AC為一邊且以A，C，Q，R為頂點的四邊形為平行四邊形，求點Q和點R的坐標．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖像與x軸交于A、B兩點，B點的坐標為(3，0)，與y軸交于點C（0，－3），點P是直線BC下方拋物線上的一個動點．（1）求二次函數(shù)解析式；（2）連接PO，PC，并將△POC沿y軸對折，得到四邊形.是否存在點P，使四邊形為菱形？若存在，求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時P點的坐標和四邊形ABPC的最大面積.23．如圖，直線y=﹣x+3與x軸交于點C，與y軸交于點B，拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過B、C兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，點E是直線BC上方拋物線上的一動點，當△BEC面積最大時，請求出點E的坐標和△BEC面積的最大值；（3）在（2）的結(jié)論下，過點E作y軸的平行線交直線BC于點M，連接AM，點Q是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．24．已知函數(shù)均為一次函數(shù)，m為常數(shù)．（1）如圖1，將直線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到直線，直線交y軸于點B．若直線恰好是中某個函數(shù)的圖像，請直接寫出點B坐標以及m可能的值；（2）若存在實數(shù)b，使得成立，求函數(shù)圖像間的距離；（3）當時，函數(shù)圖像分別交x軸，y軸于C，E兩點，圖像交x軸于D點，將函數(shù)的圖像最低點F向上平移個單位后剛好落在一次函數(shù)圖像上，設(shè)的圖像，線段，線段圍成的圖形面積為S，試利用初中知識，探究S的一個近似取值范圍．（要求：說出一種得到S的更精確的近似值的探究辦法，寫出探究過程，得出探究結(jié)果，結(jié)果的取值范圍兩端的數(shù)值差不超過0.01．）25．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸正半軸交于點，且點的坐標為，過點作垂直于軸的直線．是該拋物線上的任意一點，其橫坐標為，過點作于點；是直線上的一點，其縱坐標為，以，為邊作矩形．（1）求的值．（2）當點與點重合時，求的值．（3）當矩形是正方形，且拋物線的頂點在該正方形內(nèi)部時，求的值．（4）當拋物線在矩形內(nèi)的部分所對應(yīng)的函數(shù)值隨的增大而減小時，直接寫出的取值范圍．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖像經(jīng)過A（1，0），B（3，0），C（0，6）三點．（1）求拋物線的解析式．（2）拋物線的頂點M與對稱軸l上的點N關(guān)于x軸對稱，直線AN交拋物線于點D，直線BE交AD于點E，若直線BE將△ABD的面積分為1：2兩部分，求點E的坐標．（3）P為拋物線上的一動點，Q為對稱軸上動點，拋物線上是否存在一點P，使A、D、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．27．如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與直線AB相交于A，B兩點，其中，．（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）點P為直線AB下方拋物線上的任意一點，連接PA，PB，求面積的最大值；（3）將該拋物線向右平移2個單位長度得到拋物線，平移后的拋物線與原拋物線相交于點C，點D為原拋物線對稱軸上的一點，在平面直角坐標系中是否存在點E，使以點B，C，D，E為頂點的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由．參考答案1．（1）；（2）①，②存在，【分析】（1）把代入中求出b，c的值即可；（2）①由點得，從而得，整理，化為頂點式即可得到結(jié)論；②分MN=MC和兩種情況，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到關(guān)于m的方程，求解即可．【詳解】解：（1）把代入中，得解得∴．（2）設(shè)直線的表達式為，把代入．得，解這個方程組，得∴．∵點是x軸上的一動點，且軸．∴．∴．∵，∴此函數(shù)有最大值．又∵點P在線段上運動，且∴當時，有最大值．②∵點是x軸上的一動點，且軸．∴．∴（i）當以M，N，C，Q為頂點的四邊形為菱形，則有MN=MC，如圖，∵C（0，-3）∴MC=∴整理得，∵，∴，解得，，∴當時，CQ=MN=，∴OQ=-3-()=∴Q(0，)；當m=時，CQ=MN=-，∴OQ=-3-(-)=∴Q(0，)；(ii)若，如圖，則有整理得，∵，∴，解得，，當m=-1時，MN=CQ=2，∴Q（0，-1），當m=-5時，MN=-10＜0（不符合實際，舍去）綜上所述，點Q的坐標為【點撥】本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是待定系數(shù)法；解（2）的關(guān)鍵是利用線段的和差得出二次函數(shù)，又利用了二次函數(shù)的性質(zhì)，解（3）的關(guān)鍵是利用菱形的性質(zhì)得出關(guān)于m的方程，要分類討論，以防遺漏．2．（1）y＝－x2＋4x＋5（2）m的值為7或9（3）Q點的坐標為（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）【分析】（1）由A、B的坐標，利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式；（2）由題意可求得C點坐標，設(shè)平移后的點C的對應(yīng)點為C′，則C′點的縱坐標為8，代入拋物線解析式可求得C′點的坐標，則可求得平移的單位，可求得m的值；（3）由（2）可求得E點坐標，連接BE交對稱軸于點M，過E作EF⊥x軸于點F，當BE為平行四邊形的邊時，過Q作對稱軸的垂線，垂足為N，則可證得△PQN≌△EFB，可求得QN，即可求得Q到對稱軸的距離，則可求得Q點的橫坐標，代入拋物線解析式可求得Q點坐標；當BE為對角線時，由B、E的坐標可求得線段BE的中點坐標，設(shè)Q（x，y），由P點的橫坐標則可求得Q點的橫坐標，代入拋物線解析式可求得Q點的坐標．【詳解】（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸分別交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點，∴，解得，∴拋物線解析式為y=﹣x2+4x+5；（2）∵AD=5，且OA=1，∴OD=6，且CD=8，∴C（﹣6，8），設(shè)平移后的點C的對應(yīng)點為C′，則C′點的縱坐標為8，代入拋物線解析式可得8=﹣x2+4x+5，解得x=1或x=3，∴C′點的坐標為（1，8）或（3，8），∵C（﹣6，8），∴當點C落在拋物線上時，向右平移了7或9個單位，∴m的值為7或9；（3）∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，∴拋物線對稱軸為x=2，∴可設(shè)P（2，t），由（2）可知E點坐標為（1，8），①當BE為平行四邊形的邊時，連接BE交對稱軸于點M，過E作EF⊥x軸于點F，當BE為平行四邊形的邊時，過Q作對稱軸的垂線，垂足為N，如圖，則∠BEF=∠BMP=∠QPN，在△PQN和△EFB中∴△PQN≌△EFB（AAS），∴NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4，設(shè)Q（x，y），則QN=|x﹣2|，∴|x﹣2|=4，解得x=﹣2或x=6，當x=﹣2或x=6時，代入拋物線解析式可求得y=﹣7，∴Q點坐標為（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）；②當BE為對角線時，∵B（5，0），E（1，8），∴線段BE的中點坐標為（3，4），則線段PQ的中點坐標為（3，4），設(shè)Q（x，y），且P（2，t），∴x+2=3×2，解得x=4，把x=4代入拋物線解析式可求得y=5，∴Q（4，5）；綜上可知Q點的坐標為（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）．考點：二次函數(shù)綜合題．3．（1）y＝－x2＋3x＋4.；（2）x＝2時，△AMA′的面積最大，最大值為8，M(2，6)．（3）P1（0，4），P2（3，4），P3（，﹣4），P4（，﹣4）；點N的坐標為：（0，0）或（3，0）．【詳解】試題分析：（1）先由OA′＝OA得到點A′的坐標，再用點C、A、A′的坐標即可求此拋物線的解析式；（2）連接AA′,過點M作MN⊥x軸，交AA′于點N,把△AMA′分割為△AMN和△A′MN,△AMA′的面積＝△AMA′的面積＋△AMN的面積＝OA′?MN,設(shè)點M的橫坐標為x，借助拋物線的解析式和AA′的解析式，建立MN的長關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再據(jù)此建立△AMA′的面積關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式，再求△AMA′面積的最大值以及此時M的坐標；（3）在P、N、B、Q這四個點中，B、Q這兩個點是固定點，因此可以考慮將BQ作為邊、將BQ作為對角線分別構(gòu)造符合題意的圖形，再求解.試題解析：（1）∵平行四邊形ABOC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到平行四邊形A′B′OC′，點A的坐標是（0，4），∴點A′的坐標為（4，0），點B的坐標為（1，4）.∵拋物線過點C，A，A′，設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為y＝ax2＋bx＋c（a≠0）,可得：.解得：.∴拋物線的函數(shù)解析式為y＝－x2＋3x＋4.（2）連接AA′，設(shè)直線AA′的函數(shù)解析式為y＝kx＋b，可得.解得：.∴直線AA'的函數(shù)解析式是y＝－x＋4.設(shè)M（x，－x2＋3x＋4），S△AMA′＝×4×[－x2＋3x＋4一（一x＋4）]＝一2x2＋8x＝一2（x－2）2＋8.∴x＝2時，△AMA′的面積最大S△AMA′＝8．∴M（2，6）.（3）設(shè)P點的坐標為（x，－x2＋3x＋4），當P、N、B、Q構(gòu)成平行四邊形時，①當BQ為邊時，PN∥BQ且PN＝BQ，∵BQ＝4，∴一x2＋3x＋4＝±4.當一x2＋3x＋4＝4時，x1＝0，x2＝3，即P1（0,4），P2（3，4）；當一x2＋3x＋4＝一4時，x3＝，x4＝，即P3（,－4），P4（，－4）；②當BQ為對角線時，PB∥x軸，即P1（0，4），P2（3，4）;當這個平行四邊形為矩形時，即Pl（0，4），P2（3，4）時，N1（0，0），N2（3，0）.綜上所述，當P1（0，4），P2（3，4），P3（,－4），P4（，－4）時，P、N、B、Q構(gòu)成平行四邊形；當這個平行四邊形為矩形時，N1（0，0），N2（3，0）.考點：二次函數(shù)綜合題.4．（1）①；②能，；（2）或．【分析】（1）①求出點的坐標，直線直線的解析式即可解決問題．②求出直線的解析式，求出點的坐標，利用矩形的性質(zhì)求出點的坐標，再利用待定系數(shù)法求出的值即可．（2）分兩種情形：①當點在軸的右側(cè)時，設(shè)，求出點的坐標利用待定系數(shù)法構(gòu)建方程求出即可．②當點在軸的左側(cè)時，即為①中點的位置，利用①中結(jié)論即可解決問題．【詳解】解：（1）①點在的圖像上，橫坐標為8，，直線的解析式為，點的縱坐標為，，；②假設(shè)能在拋物線上，，直線的解析式為，點在直線上，縱坐標為，，的中點的坐標為，，，，把點坐標代入拋物線的解析式得到．（2）①當點在軸右側(cè)時，設(shè)，所以直線解析式為，∴，，直線的解析式為，可得，，，，代入拋物線的解析式得到，，解得，直線的解析式為．②當點在軸左側(cè)時，即為①中點位置，∴直線的解析式為；綜上所述，直線的解析式為或．【點撥】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題．5．（1），B(3,0)；（2）；（3）不存在，理由見解析【詳解】.解：(1)當y＝0時，∴A(－1,0)當x＝0時，∴C(0,－3)∴∴拋物線的解析式是：當y＝0時，解得：x1＝－1x2＝3∴B(3,0)（2）由（1）知B(3,0)，C(0,－3)直線BC的解析式是：設(shè)M（x,x-3）(0≤x≤3),則E（x,x2-2x-3）∴ME=(x-3)-(x2-2x-3)=-x2+3x=∴當時，ME的最大值＝（3）答：不存在.由（2）知ME取最大值時ME＝，E，M∴MF＝，BF=OB-OF=.設(shè)在拋物線x軸下方存在點P，使以P、M、F、B為頂點的四邊形是平行四邊形，則BP∥MF，BF∥PM.∴P1或P2當P1時，由（1）知∴P1不在拋物線上.當P2時，由（1）知∴P2不在拋物線上.綜上所述：拋物線x軸下方不存在點P，使以P、M、F、B為頂點的四邊形是平行四邊形.6．（1），；（2）①；②存在，點P的坐標為(2，)，點Q的坐標為(1，2)或(1，)【分析】（1）把A(-1，0)，B(3，0)代入可求得拋物線的表達式，再求得點C的坐標，把B(3，0)，C的坐標代入即可求解；（2）①設(shè)點D的坐標為(，)，利用待定系數(shù)法求得直線PA的表達式為，解方程，求得點P的橫坐標為，利用平等線分線段成比例定理求得，得到，整理得（t+1）m2+（2t-3）m+t=0，根據(jù)△≥0，即可解決問題．②根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得點的坐標為(2，)，分當EF為邊和EF為對角線時兩種情況討論，即可求解．【詳解】（1）把A(-1，0)，B(3，0)代入得：，解得：，∴拋物線的表達式為，令，則，∴點C的坐標為(0，3)，把B(3，0)，C(0，3)代入得：，解得：，∴直線的表達式為；（2）①∵PA交直線BC于點，∴設(shè)點D的坐標為(，)，設(shè)直線PA的表達式為，∴，解得：，∴直線PA的表達式為，∴，整理得：，解得：(不合題意，舍去)，∴點D的橫坐標為，點P的橫坐標為，分別過點D、P作x軸的垂線，垂足分別為M、N，如圖：∴DM∥PN，OM=，ON=，OA=1，∴設(shè)整理得，（t+1）m2+（2t-3）m+t=0，

∵△≥0，

∴（2t-3）2-4t（t+1）≥0，解得∴有最大值，最大值為；②存在，理由如下：作于G，如圖，∵的對稱軸為：，∴OE=1，∵B(3，0)，C(0，3)∵OC=OB=3，∠OCB=90，∴△OCB是等腰直角三角形，∵∠EFB=90，BE=OB-OE=2，∴△OCB是等腰直角三角形，∴EG=GB=EG=1，∴點的坐標為(2，)，當EF為邊時，∵EFPQ為平行四邊形，∴QE=PF，QE∥PF∥軸，∴點P的橫坐標與點F的橫坐標同為2，當時，，∴點P的坐標為(2，)，∴QE=PF=3-1=2，點Q的坐標為(1，2)；根據(jù)對稱性當P（0，3）時，Q（1，4）時，四邊形EFQP也是平行四邊形．當EF為對角線時，如圖，∵四邊形PEQF為平行四邊形，∴QE=PF，QE∥PF∥軸，同理求得：點P的坐標為(2，)，∴QE=PF=3-1=2，點Q的坐標為(1，)；綜上，點P的坐標為(2，)，點Q的坐標為(1，2)或(1，)，P（0，3）時，Q（1，4）時；【點撥】本題主要考查了一元二次方程的解法，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平行線公線段成比例定理，等高的三角形的面積的比等于底邊的比，二次函數(shù)的性質(zhì)以及平行四邊形的對邊的判定和性質(zhì)，（3）注意要分AB是對角線與邊兩種情況討論．7．（1）x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；（2）；（3）拋物線向下平移或距離，其頂點落在OP上．【詳解】試題分析：（1）根據(jù)特征線直接求出點D的特征線；（2）由點D的一條特征線和正方形的性質(zhì)求出點D的坐標，從而求出拋物線解析式；（2）分平行于x軸和y軸兩種情況，由折疊的性質(zhì)計算即可．試題解析：解：（1）∵點D（m，n），∴點D（m，n）的特征線是x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；（2）點D有一條特征線是y=x+1，∴n﹣m=1，∴n=m+1．∵拋物線解析式為，∴，∵四邊形OABC是正方形，且D點為正方形的對稱軸，D（m，n），∴B（2m，2m），∴，將n=m+1帶入得到m=2，n=3；∴D（2，3），∴拋物線解析式為．（3）①如圖，當點A′在平行于y軸的D點的特征線時：根據(jù)題意可得，D（2，3），∴OA′=OA=4，OM=2，∴∠A′OM=60°，∴∠A′OP=∠AOP=30°，∴MN==，∴拋物線需要向下平移的距離==．②如圖，當點A′在平行于x軸的D點的特征線時，設(shè)A′（p，3），則OA′=OA=4，OE=3，EA′==，∴A′F=4﹣，設(shè)P（4，c）（c＞0），，在Rt△A′FP中，（4﹣）2+（3﹣c）2=c2，∴c=，∴P（4，），∴直線OP解析式為y=x，∴N（2，），∴拋物線需要向下平移的距離=3﹣=．綜上所述：拋物線向下平移或距離，其頂點落在OP上．點睛：此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了折疊的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是用正方形的性質(zhì)求出點D的坐標．8．（1）；（2）2＜m＜；（3）m=6或m=﹣3．【分析】（1）由題意拋物線的頂點C（0，4），A（，0），設(shè)拋物線的解析式為，把A（，0）代入可得a=，由此即可解決問題；（2）由題意拋物線C′的頂點坐標為（2m，﹣4），設(shè)拋物線C′的解析式為，由，消去y得到，由題意，拋物線C′與拋物線C在y軸的右側(cè)有兩個不同的公共點，則有，解不等式組即可解決問題；（3）情形1，四邊形PMP′N能成為正方形．作PE⊥x軸于E，MH⊥x軸于H．由題意易知P（2，2），當△PFM是等腰直角三角形時，四邊形PMP′N是正方形，推出PF=FM，∠PFM=90°，易證△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，可得M（m+2，m﹣2），理由待定系數(shù)法即可解決問題；情形2，如圖，四邊形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），利用待定系數(shù)法即可解決問題．【詳解】（1）由題意拋物線的頂點C（0，4），A（，0），設(shè)拋物線的解析式為，把A（，0）代入可得a=，∴拋物線C的函數(shù)表達式為．（2）由題意拋物線C′的頂點坐標為（2m，﹣4），設(shè)拋物線C′的解析式為，由，消去y得到，由題意，拋物線C′與拋物線C在y軸的右側(cè)有兩個不同的公共點，則有，解得2＜m＜，∴滿足條件的m的取值范圍為2＜m＜．（3）結(jié)論：四邊形PMP′N能成為正方形．理由：1情形1，如圖，作PE⊥x軸于E，MH⊥x軸于H．由題意易知P（2，2），當△PFM是等腰直角三角形時，四邊形PMP′N是正方形，∴PF=FM，∠PFM=90°，易證△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，∴M（m+2，m﹣2），∵點M在上，∴，解得m=﹣3或﹣﹣3（舍棄），∴m=﹣3時，四邊形PMP′N是正方形．情形2，如圖，四邊形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），把M（m﹣2，2﹣m）代入中，，解得m=6或0（舍棄），∴m=6時，四邊形PMP′N是正方形．綜上所述：m=6或m=﹣3時，四邊形PMP′N是正方形．9．(1)y=﹣x2﹣x+3；(2)；(3)存在，點M的坐標是（﹣4，0），（﹣，），（﹣，）或（2，0）．【分析】（1）由點C的坐標以及tan∠OAC=可得出點A的坐標，結(jié)合點A、C的坐標利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，由點A、C的解析式利用待定系數(shù)法即可求出直線AC的解析式，設(shè)N（x，0）（﹣4＜x＜0），可找出H、P的坐標，由此即可得出PH關(guān)于x的解析式，利用配方法即二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題；（3）過點M作MK⊥y軸于點K，交對稱軸于點G，根據(jù)角的計算依據(jù)正方形的性質(zhì)即可得出△MCK≌△MEG（AAS），進而得出MG=CK．設(shè)出點M的坐標利用正方形的性質(zhì)即可得出點G、K的坐標，由正方形的性質(zhì)即可得出關(guān)于x的含絕對值符號的一元二次方程，解方程即可求出x值，將其代入拋物線解析式中即可求出點M的坐標．【詳解】解：（1）∵C（0，3），∴OC=3，∵tan∠OAC=，∴OA=4，∴A（﹣4，0）．把A（﹣4，0）、C（0，3）代入y=ax2+2ax+c中，得，解得：，∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+3．（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，把A（﹣4，0）、C（0，3）代入y=kx+b中，得：，解得：，∴直線AC的解析式為y=x+3．設(shè)N（x，0）（﹣4＜x＜0），則H（x，x+3），P（x，﹣x2﹣x+3），∴PH=﹣x2﹣x+3﹣（x+3）=﹣x2﹣x=﹣（x﹣2）2+，∵﹣＜0，∴PH有最大值，當x=2時，PH取最大值，最大值為．（3）過點M作MK⊥y軸于點K，交對稱軸于點G，則∠MGE=∠MKC=90°，∴∠MEG+∠EMG=90°，∵四邊形CMEF是正方形，∴EM=MC，∠MEC=90°，∴∠EMG+∠CMK=90°，∴∠MEG=∠CMK．在△MCK和△MEG中，，∴△MCK≌△MEG（AAS），∴MG=CK．由拋物線的對稱軸為x=﹣1，設(shè)M（x，﹣x2﹣x+3），則G（﹣1，﹣x2﹣x+3），K（0，﹣x2﹣x+3），∴MG=|x+1|，CK=|﹣x2﹣x+3﹣3|=|﹣x2﹣x|=|x2+x|，∴|x+1|=|x2+x|，∴x2+x=±（x+1），解得：x1=﹣4，x2=﹣，x3=﹣，x4=2，代入拋物線解析式得：y1=0，y2=，y3=，y4=0，∴點M的坐標是（﹣4，0），（﹣，），（﹣，）或（2，0）．【點撥】本題考查二次函數(shù)綜合題．10．（1），；（2），；（3）；①；②【分析】（1）直接根據(jù)題意進行解答即可；（2）根據(jù)題中所給定義可直接進行解答；（3）由（1）（2）易得的解析式，①由的解析式先求出點E、F坐標，進而可得直線EF的解析式，當四邊形為菱形時，，直線經(jīng)過原點，則可求AD解析式，設(shè)點，點，進而根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及兩點之間的距離公式可進行求解；②由題意可得，，則四邊形為平行四邊形，設(shè)點，當四邊形的面積為時，，如圖，過點作軸于點，進而可得點必在第一象限，過點作軸交于點，過點作軸于點，然后由面積法及代入的解析式可進行求解．【詳解】解：（1），；（2），；（3）①點點易得直線的解析式為當四邊形為菱形時，直線經(jīng)過原點易得直線的解析式為由題意可設(shè)點，點當時得，②由題意可得，四邊形為平行四邊形設(shè)點當四邊形的面積為時，如圖，過點作軸于點點不可能位于軸下方即點必在第一象限過點作軸交于點過點作軸于點①又點在拋物線上②由①②式得得點在點左側(cè)將代入①式解得．【點撥】本題主要考查二次函數(shù)的綜合運用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及兩點距離公式是解題的關(guān)鍵．11．（1）A（－1，0），；（2）；（3）P的坐標為（1，）或（1，－4）．【分析】（1）在中，令y=0，得到，，得到A（－1，0），B（3，0），由直線l經(jīng)過點A，得到，故，令，即，由于CD＝4AC，故點D的橫坐標為4，即有，得到，從而得出直線l的函數(shù)表達式；（2）過點E作EF∥y軸，交直線l于點F，設(shè)E（，），則F（，），EF＝=，S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝＝，故△ACE的面積的最大值為，而△ACE的面積的最大值為，所以，解得；（3）令，即，解得，，得到D（4，5a），因為拋物線的對稱軸為，設(shè)P（1，m），然后分兩種情況討論：①若AD是矩形的一條邊，②若AD是矩形的一條對角線．【詳解】解：（1）∵=，令y=0，得到，，∴A（－1，0），B（3，0），∵直線l經(jīng)過點A，∴，，∴，令，即，∵CD＝4AC，∴點D的橫坐標為4，∴，∴，∴直線l的函數(shù)表達式為；（2）過點E作EF∥y軸，交直線l于點F，設(shè)E（，），則F（，），EF＝=，S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝＝＝，∴△ACE的面積的最大值為，∵△ACE的面積的最大值為，∴，解得；（3）令，即，解得，，∴D（4，5a），∵，∴拋物線的對稱軸為，設(shè)P（1，m），①若AD是矩形的一條邊，則Q（－4，21a），m＝21a＋5a＝26a，則P（1，26a），∵四邊形ADPQ為矩形，∴∠ADP＝90°，∴，∴，即，∵，∴，∴P1（1，）；②若AD是矩形的一條對角線，則線段AD的中點坐標為（，），Q（2，），m＝，則P（1，8a），∵四邊形APDQ為矩形，∴∠APD＝90°，∴，∴，即，∵，∴，∴P2（1，－4）．綜上所述，以點A、D、P、Q為頂點的四邊形能成為矩形，點P的坐標為（1，）或（1，－4）．考點：二次函數(shù)綜合題．12．（1），B點坐標為（3，0）；（2）①；②．【分析】（1）由對稱軸公式可求得b，由A點坐標可求得c，則可求得拋物線解析式；再令y=0可求得B點坐標；（2）①用t可表示出ON和OM，則可表示出P點坐標，即可表示出PM的長，由矩形的性質(zhì)可得ON=PM，可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值；②由題意可知OB=OA，故當△BOQ為等腰三角形時，只能有OB=BQ或OQ=BQ，用t可表示出Q點的坐標，則可表示出OQ和BQ的長，分別得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．【詳解】（1）∵拋物線對稱軸是直線x=1，∴﹣=1，解得b=2，∵拋物線過A（0，3），∴c=3，∴拋物線解析式為，令y=0可得，解得x=﹣1或x=3，∴B點坐標為（3，0）；（2）①由題意可知ON=3t，OM=2t，∵P在拋物線上，∴P（2t，），∵四邊形OMPN為矩形，∴ON=PM，∴3t=，解得t=1或t=﹣（舍去），∴當t的值為1時，四邊形OMPN為矩形；②∵A（0，3），B（3，0），∴OA=OB=3，且可求得直線AB解析式為y=﹣x+3，∴當t＞0時，OQ≠OB，∴當△BOQ為等腰三角形時，有OB=QB或OQ=BQ兩種情況，由題意可知OM=2t，∴Q（2t，﹣2t+3），∴OQ=，BQ=|2t﹣3|，又由題意可知0＜t＜1，當OB=QB時，則有|2t﹣3|=3，解得t=（舍去）或t=；當OQ=BQ時，則有=|2t﹣3|，解得t=；綜上可知當t的值為或時，△BOQ為等腰三角形．13．（1）；（2），；（3）存在，或1．【分析】（1）將點，點代入中，即可求解析式；（2）求出BC的直線解析式為，設(shè)，則，所以，即可求面積的最大值；（3）設(shè)，①當時，，可求P點橫坐標；②當時，，可求P點橫坐標．【詳解】解：（1）將點，點代入中，則有，，；（2），對稱軸為，軸，，，點，點，的直線解析式為，設(shè)，交線段BC于點F，，，當時，四邊形ECFD的面積最大，最大值為；此時；（3）設(shè)，①當時，，，，，點橫坐標為1；②當時，，，或（舍），點橫坐標為．綜上所述：P點橫坐標為或1．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)；熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（1），函數(shù)的對稱軸為：；（2）點；（3）存在，點的坐標為或．【分析】根據(jù)點的坐標可設(shè)二次函數(shù)表達式為：，由C點坐標即可求解；連接交對稱軸于點，此時的值為最小，即可求解；，則，將該坐標代入二次函數(shù)表達式即可求解．【詳解】解：根據(jù)點,的坐標設(shè)二次函數(shù)表達式為：，∵拋物線經(jīng)過點，則，解得：，拋物線的表達式為：，函數(shù)的對稱軸為：；連接交對稱軸于點，此時的值為最小，設(shè)BC的解析式為：，將點的坐標代入一次函數(shù)表達式：得：解得：直線的表達式為：，當時，，故點；存在，理由：四邊形是以為對角線且面積為的平行四邊形，則，點在第四象限，故：則，將該坐標代入二次函數(shù)表達式得：，解得：或，故點的坐標為或．【點撥】本題考查二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)、平行四邊形性質(zhì)、圖形的面積計算等，其中，求線段和的最小值，采取用的是點的對稱性求解，這也是此類題目的一般解法．15．（1）拋物線的解析式為：．（2）P（2，）．（3）存在點N的坐標為（4，），（，）或（，）【分析】本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式、平行四邊的判定與性質(zhì)、全等三角形等知識，在解答（3）時要注意進行分類討論．（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三點代入求出a、b、c的值即可；（2）因為點A關(guān)于對稱軸對稱的點B的坐標為（5，0），連接BC交對稱軸直線于點P，求出P點坐標即可；（3）分點N在x軸下方或上方兩種情況進行討論．【詳解】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三點在拋物線上，∴，解得．∴拋物線的解析式為：y=x2﹣2x﹣；（2）∵拋物線的解析式為：y=x2﹣2x﹣，∴其對稱軸為直線x=﹣=﹣=2，連接BC，如圖1所示，∵B（5，0），C（0，﹣）∴設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），∴，解得，∴直線BC的解析式為y=x﹣，當x=2時，y=1﹣=﹣∴P（2，﹣）；（3）存在．如圖2所示，①當點N在x軸下方時，∵拋物線的對稱軸為直線x=2，C（0，﹣）∴N1（4，﹣）；②當點N在x軸上方時，如圖2，過點N2作N2D⊥x軸于點D，在△AN2D與△M2CO中，∴△AN2D≌△M2CO（ASA）∴N2D=OC=，即N2點的縱坐標為．∴x2﹣2x﹣=，解得x=2+或x=2﹣，∴N2（2+，），N3（2﹣，）．綜上所述，符合條件的點N的坐標為N1（4，﹣），N2（2+，）或N3（2﹣，）．考點：二次函數(shù)綜合題．16．（1）拋物線解析式為y=﹣x2﹣x+2；（2）l=﹣（m+）2+，最大值為；（3）（2，﹣）或（﹣4，﹣）或（﹣2，2）．【分析】（1）由條件可求得A、B的坐標，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；（2）可先求得E點坐標，從而可求得直線OE解析式，可知∠PGH=45°，用m可表示出PG的長，從而可表示出l的長，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值；（3）分AC為邊和AC為對角線，當AC為邊時，過M作對稱軸的垂線，垂足為F，則可證得△MFN≌△AOC，可求得M到對稱軸的距離，從而可求得M點的橫坐標，可求得M點的坐標；當AC為對角線時，設(shè)AC的中點為K，可求得K的橫坐標，從而可求得M的橫坐標，代入拋物線解析式可求得M點坐標．【詳解】解：（1）∵矩形OBDC的邊CD=1，∴OB=1，∵AB=4，∴OA=3，∴A（﹣3，0），B（1，0），把A、B兩點坐標代入拋物線解析式可得，解得，∴拋物線解析式為y=﹣x2﹣x+2；（2）在y=﹣x2﹣x+2中，令y=2可得2=﹣x2﹣x+2，解得x=0或x=﹣2，∴E（﹣2，2），∴直線OE解析式為y=﹣x，由題意可得P（m，﹣m2﹣m+2），∵PG∥y軸，∴G（m，﹣m），∵P在直線OE的上方，∴PG=﹣m2﹣m+2﹣（﹣m）=﹣m2﹣m+2=﹣（m+）2+，∵直線OE解析式為y=﹣x，∴∠PGH=∠COE=45°，∴l(xiāng)=PG=[﹣（m+）2+]=﹣（m+）2+，∴當m=﹣時，l有最大值，最大值為；（3）①當AC為平行四邊形的邊時，則有MN∥AC，且MN=AC，如圖，過M作對稱軸的垂線，垂足為F，設(shè)AC交對稱軸于點L，則∠ALF=∠ACO=∠FNM，在△MFN和△AOC中∴△MFN≌△AOC（AAS），∴MF=AO=3，∴點M到對稱軸的距離為3，又y=﹣x2﹣x+2，∴拋物線對稱軸為x=﹣1，設(shè)M點坐標為（x，y），則|x+1|=3，解得x=2或x=﹣4，當x=2時，y=﹣，當x=﹣4時，y=，∴M點坐標為（2，﹣）或（﹣4，﹣）；②當AC為對角線時，設(shè)AC的中點為K，∵A（﹣3，0），C（0，2），∴K（﹣，1），∵點N在對稱軸上，∴點N的橫坐標為﹣1，設(shè)M點橫坐標為x，∴x+（﹣1）=2×（﹣）=﹣3，解得x=﹣2，此時y=2，∴M（﹣2，2）；綜上可知點M的坐標為（2，﹣）或（﹣4，﹣）或（﹣2，2）．考點：二次函數(shù)綜合題．17．（1）拋物線的表達式為：，直線的表達式為：；（2）存在，理由見解析；點或或或．【分析】（1）二次函數(shù)表達式為：y=a（x-1）2+9，即可求解；

（2）S△DAC=2S△DCM，則，，即可求解；

（3）分AM是平行四邊形的一條邊、AM是平行四邊形的對角線兩種情況，分別求解即可．【詳解】解：（1）二次函數(shù)表達式為：，將點的坐標代入上式并解得：，故拋物線的表達式為：…①，則點，將點的坐標代入一次函數(shù)表達式并解得：直線的表達式為：；（2）存在，理由：二次函數(shù)對稱軸為：，則點，過點作軸的平行線交于點，設(shè)點，點，∵，則，解得：或5（舍去5），故點；（3）設(shè)點、點，，①當是平行四邊形的一條邊時，點向左平移4個單位向下平移16個單位得到，同理，點向左平移4個單位向下平移16個單位為，即為點，即：，，而，解得：或﹣4，故點或；②當是平行四邊形的對角線時，由中點公式得：，，而，解得：，故點或；綜上，點或或或．【點撥】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)、平行四邊形性質(zhì)、圖形的面積計算等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．18．（1）拋物線的解析式為；（2）四邊形為正方形時點的坐標為和；（3）點的橫坐標為2或－1或或.【分析】（1）先由二次函數(shù)解析式求出C點坐標，進而求出一次函數(shù)解析式，再求出B點坐標，最后把A、B坐標代入拋物線解析式解方程即可；（2）四邊形為正方形時，，軸，且P、Q兩點關(guān)于對稱軸對稱，設(shè)出P點坐標，表示出，解方程即可；（3）由是以點為頂角頂點的等腰直角三角形，可得∠QPF=∠PEB,即軸，可得P、Q兩點關(guān)于對稱軸對稱，設(shè)，用分別表示Q、F坐標即可，最后根據(jù)PQ=PF列方程計算即可解題.【詳解】（1）拋物線經(jīng)過點，則點坐標為(0，3)，代入可得，則直線的解析式為.直線經(jīng)過點，則點坐標為(3，0)將點、代入拋物線解得，∴拋物線的解析式為.（2）拋物線的對稱軸為.∵四邊形為正方形，∴，軸.∴點與點關(guān)于直線對稱.設(shè)點，則，.∴，解得：或（舍去）或或（舍去）當時，點，當時，點，∴四邊形為正方形時點的坐標為和（3）點的橫坐標為2或－1或或.∵是以點為頂角頂點的等腰直角三角形∴∠QPF=∠PEB=90°∴軸∴點與點關(guān)于直線對稱.設(shè)點，則，∴.∵，∴，解得：或或或綜上所述，點的橫坐標為2或－1或或.【點撥】本題是二次函數(shù)綜合題，熟記一次函數(shù)、正方形、等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，難度一般，但是計算量比較大，需要注意.19．（1）；（2）（，）；（3）（-2，-3）或（0，-3）或（2，5）.【分析】（1）把A,C點帶入方程，列方程組即可求解；（2）根據(jù)題意得出當點到直線的距離取得最大值時，求出AC表達式，將直線AC向下平移m（m＞0）個單位，得到直線l，當直線l與二次函數(shù)圖像只有一個交點時，該交點為點D，此時點D到直線AC的距離最大，聯(lián)立直線l和二次函數(shù)表達式，得到方程，當方程有兩個相同的實數(shù)根時，求出m的值，從而得到點D的坐標；（3）分當OB是平行四邊形的邊和OB是平行四邊形的對角線時，利用平行四邊形的性質(zhì)求出點N的坐標即可.【詳解】解：（1）將B（1，0），帶入函數(shù)關(guān)系式得，，解得：，∴二次函數(shù)表達式為：；（2）當點到直線的距離取得最大值時，∵A（-3，0），，設(shè)直線AC的表達式為：y=kx+n，，將A和C代入，，解得：，∴直線AC的表達式為y=-x-3，將直線AC向下平移m（m＞0）個單位，得到直線l，當直線l與二次函數(shù)圖像只有一個交點時，該交點為點D，此時點D到直線AC的距離最大，此時直線l的表達式為y=-x-3-m，聯(lián)立：，得：，令△=，解得：m=，則解方程：，得x=，∴點D的坐標為（，）；（3）∵M在拋物線對稱軸上，設(shè)M坐標為（-1，t），當OB為平行四邊形的邊時，如圖1，可知MN和OB平行且相等，∴點N（-2，t）或（0，t），代入拋物線表達式得：解得：t=-3，∴N（-2，-3）或（0，-3）；當OB為平行四邊形對角線時，線段OB的中點為（，0），對角線MN的中點也為（，0），∵M坐標為（-1，t），可得點N（2，-t），代入拋物線表達式得：4+4-3=-t，解得：t=-5，∴點N的坐標為（2，5），綜上：以為頂點的四邊形是平行四邊形時，點N的坐標為（-2，-3）或（0，-3）或（2，5）.【點撥】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了求二次函數(shù)表達式，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，平行四邊形的性質(zhì)，最值問題，解題的關(guān)鍵是要結(jié)合函數(shù)圖像，得到結(jié)論.20．（1）；（2）四邊形BECD面積的最大值為，E（，）；（3）存在．N的坐標為（，）或（，）或（，）．【分析】（1）由直線解析式求得B、C兩點坐標，結(jié)合A點坐標利用待定系數(shù)法進行求解即可；（2）易求AD的解析式為，進而D（，）．求得CD的解析式為，進而求出CD與x軸的交點坐標，易求△BCD的面積為，設(shè)E（x，），表示出SBECD的面積，進而利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案；（3）存在．先求出拋物線的頂點坐標，根據(jù)平移規(guī)律求平移后拋物線解析式，設(shè)M（，m），N（xn，yn），易根據(jù)平行四邊形對角線互相平分及中點公式．分類討論即可得答案．【詳解】（1），當x=0時，y=2，當y=0時，，解得：x=，所以B（，0），C（0，2），將A（，0），B（，0）代入y=ax2+bx+2，得，解得：，所以拋物線的解析式為；（2）∵AD//BC，∴設(shè)直線AD解析式為：．將A（，0）代入得：，解得：m=-，所以AD的解析式為，聯(lián)立，解得：，，∵A（，0），∴D（，）．設(shè)CD解析式為y=kx+2，將點D坐標代入得：，解得：k=，所以CD的解析式為：，當y=0時，即，解得：x=，則CD與x軸的交點為（，0）．所以S△BCD==，設(shè)E（x，），則SBECD==，當x=時，四邊形BECD面積最大，其最大值為，此時E（，）．（3）存在．N的坐標為（，），或（，），或（，）．過程如下：，所以拋物線的頂點是（，），將拋物線向左平移個單位，則平移后拋物線解析式為．設(shè)M（，m），N（xn，yn），①當AM為對角線時，則，解得：xn=，代入解析式得yn=．所以N（，），如圖對角線交點坐標為（0，），M坐標為（，）②當AE為對角線時，則，解得：xn=，代入解析式得yn=．所以N（，），如圖對角線交點坐標為（，），M坐標為（，0）③當AN為對角線時，則，解得：xn=，代入解析式得yn=．所以N（，）．如圖對角線交點坐標為（，），M坐標為（，-8）．【點撥】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法，一次函數(shù)圖像與坐標軸的交點，二次函數(shù)圖像的平移，二次函數(shù)的最值，平行四邊形的性質(zhì)等，綜合性較強，有一定的難度，準確識圖，把握并靈活運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的運用．21．（1）（，﹣）；y＝﹣x2+2x+1（2）（，）；（3）Q，R或Q（，﹣10），R（）【分析】（1）由待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y＝﹣x+1，求出F點的坐標，由平行四邊形的性質(zhì)得出﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），求出a的值，則可得出答案；（2）設(shè)P（n，﹣n2+2n+1），作PP'⊥x軸交AC于點P'，則P'（n，﹣n+1），得出PP'＝﹣n2+n，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得出答案；（3）聯(lián)立直線AC和拋物線解析式求出C（，﹣），設(shè)Q（，m），分兩種情況：①當AQ為對角線時，②當AR為對角線時，分別求出點Q和R的坐標即可．【詳解】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0），∵A（0，1），B（，0），設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+m，∴，解得，∴直線AB的解析式為y＝﹣x+1，∵點F的橫坐標為，∴F點縱坐標為﹣+1＝﹣，∴F點的坐標為（，﹣），又∵點A在拋物線上，∴c＝1，對稱軸為：x＝﹣，∴b＝﹣2a，∴解析式化為：y＝ax2﹣2ax+1，∵四邊形DBFE為平行四邊形．∴BD＝EF，∴﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），解得a＝﹣1，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+1；（2）設(shè)P（n，﹣n2+2n+1），作PP'⊥x軸交AC于點P'，則P'（n，﹣n+1），∴PP'＝﹣n2+n，S△ABP＝OB?PP'＝﹣n＝﹣，∴當n＝時，△ABP的面積最大為，此時P（，）．（3）∵，∴x＝0或x＝，∴C（，﹣），設(shè)Q（，m），①當AQ為對角線時，∴R（﹣），∵R在拋物線y＝+4上，∴m+＝﹣+4，解得m＝﹣，∴Q，R；②當AR為對角線時，∴R（），∵R在拋物線y＝+4上，∴m﹣+4，解得m＝﹣10，∴Q（，﹣10），R（）．綜上所述，Q，R；或Q（，﹣10），R（）．【點撥】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖像上點的坐標特征，平行四邊形的性質(zhì)等知識，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及方程思想，分類討論思想是解題的關(guān)鍵．22．（1）；（2）存在這樣的點，此時P點的坐標為（，）；（3）P點的坐標為(，?)，四邊形ABPC的面積的最大值為．【分析】（1）將B、C的坐標代入拋物線的解析式中即可求得待定系數(shù)的值；.（2）由于菱形的對角線互相垂直平分，若四邊形POP′C為菱形，那么P點必在OC的垂直平分線上，據(jù)此可求出P點的縱坐標，代入拋物線的解析式中即可求出P點的坐標；.（3）由于△ABC的面積為定值，當四邊形ABPC的面積最大時，△BPC的面積最大；過P作y軸的平行線，交直線BC于Q，交x軸于F，易求得直線BC的解析式，可設(shè)出P點的橫坐標，然后根據(jù)拋物線和直線BC的解析式求出Q、P的縱坐標，即可得到PQ的長，以PQ為底，B點橫坐標的絕對值為高即可求得△BPC的面積，由此可得到關(guān)于四邊形ACPB的面積與P點橫坐標的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出四邊形ABPC的最大面積及對應(yīng)的P點坐標．【詳解】（1）將B、C兩點的坐標代入，得，解得.∴二次函數(shù)的解析式為.（2）存在點P，使四邊形POP′C為菱形；.設(shè)P點坐標為（x，x2-2x-3），PP′交CO于E.若四邊形POP′C是菱形，則有PC=PO；.連接PP′，則PE⊥CO于E，.∵C（0，-3），.∴CO=3，.又∵OE=EC，.∴OE=EC=.∴y=?；.∴x2-2x-3=?，解得（不合題意，舍去）.∴存在這樣的點，此時P點的坐標為（，）.（3）過點P作y軸的平行線與BC交于點Q，與OB交于點F，設(shè)P（x，x2-2x-3），設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+d，.則，.解得：.∴直線BC的解析式為y=x-3，.則Q點的坐標為（x，x-3）；.當0=x2-2x-3，.解得：x1=-1，x2=3，.∴AO=1，AB=4，.S四邊形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ.=AB?OC+QP?BF+QP?OF.=×4×3+(?x2+3x)×3.=?(x?)2+.當x＝時，四邊形ABPC的面積最大.此時P點的坐標為(，?)，四邊形ABPC的面積的最大值為．23．（1）；（2）點E的坐標是（2，3）時，△BEC的面積最大，最大面積是3；（3）P的坐標是（﹣3，）、（5，）、（﹣1，）．【詳解】解：（1）∵直線y=﹣x+3與x軸交于點C，與y軸交于點B，∴點B的坐標是（0，3），點C的坐標是（4，0），∵拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過B、C兩點，∴，解得，∴y=﹣x2+x+3．（2）如圖1，過點E作y軸的平行線EF交直線BC于點M，EF交x軸于點F，，∵點E是直線BC上方拋物線上的一動點，∴設(shè)點E的坐標是（x，﹣x2+x+3），則點M的坐標是（x，﹣x+3），∴EM=﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+x，∴S△BEC=S△BEM+S△MEC==×（﹣x2+x）×4=﹣x2+3x=﹣（x﹣2）2+3，∴當x=2時，即點E的坐標是（2，3）時，△BEC的面積最大，最大面積是3．（3）在拋物線上存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形．①如圖2，，由（2），可得點M的橫坐標是2，∵點M在直線y=﹣x+3上，∴點M的坐標是（2，），又∵點A的坐標是（﹣2，0），∴AM=，∴AM所在的直線的斜率是：；∵y=﹣x2+x+3的對稱軸是x=1，∴設(shè)點Q的坐標是（1，m），點P的坐標是（x，﹣x2+x+3），則，解得或，∵x＜0，∴點P的坐標是（﹣3，﹣）．②如圖3，，由（2），可得點M的橫坐標是2，∵點M在直線y=﹣x+3上，∴點M的坐標是（2，），又∵點A的坐標是（﹣2，0），∴AM=，∴AM所在的直線的斜率是：；∵y=﹣x2+x+3的對稱軸是x=1，∴設(shè)點Q的坐標是（1，m），點P的坐標是（x，﹣x2+x+3），則，解得或，∵x＞0，∴點P的坐標是（5，﹣）．③如圖4，，由（2），可得點M的橫坐標是2，∵點M在直線y=﹣x+3上，∴點M的坐標是（2，），又∵點A的坐標是（﹣2，0），∴AM=，∵y=﹣x2+x+3的對稱軸是x=1，∴設(shè)點Q的坐標是（1，m），點P的坐標是（x，﹣x2+x+3），則解得，∴點P的坐標是（﹣1，）．綜上，可得在拋物線上存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形，點P的坐標是（﹣3，﹣）、（5，﹣）、（﹣1，）．【點撥】本題考查二次函數(shù)綜合題．24．（1）（0,1）；1或0（2）（3）【分析】（1）由題意，可得點B坐標，進而求得直線的解析式，再分情況討論即可解的m值；（2）由非負性解得m和b的值，進而得到兩個函數(shù)解析式，設(shè)與x軸、y軸交于T，P，分別與x軸、y軸交于G，H，連接GP，TH，證得四邊形GPTH是正方形，求出GP即為距離；（3）先根據(jù)解析式，用m表示出點C、E、D的坐標以及y關(guān)于x的表達式為，得知y是關(guān)于x的二次函數(shù)且開口向上、最低點為其頂點,根據(jù)坐標平移規(guī)則，得到關(guān)于m的方程，解出m值，即可得知點D、E的坐標且拋物線過D、E點，觀察圖像，即可得出S的大體范圍，如：，較小的可為平行于DE且與拋物線相切時圍成的圖形面積．【詳解】解：（1）由題意可得點B坐標為（0,1），設(shè)直線的表達式為y=kx+1，將點A（-1,0）代入得：k=1，所以直線的表達式為：y=x+1,若直線恰好是的圖像，則2m-1=1,解得：m=1，若直線恰好是的圖像，則2m+1=1,解得：m=0，綜上，，或者（2）如圖，，，，

設(shè)與x軸、y軸交于T，P，分別與x軸、y軸交于G，H，連接GP，TH，四邊形GPTH是正方形，，即；（3），分別交x軸，y軸于C，E兩點，圖像交x軸于D點二次函數(shù)開口向上，它的圖像最低點在頂點頂點拋物線頂點F向上平移,剛好在一次函數(shù)圖像上且，∴，由，得到，，由得到與x軸，y軸交點是，，，拋物線經(jīng)過，兩點的圖像，線段OD，線段OE圍成的圖形是封閉圖形，則S即為該封閉圖形的面積探究辦法：利用規(guī)則圖形面積來估算不規(guī)則圖形的面積．探究過程：①觀察大于S的情況．很容易發(fā)現(xiàn)，，（若有S小于其他值情況，只要合理，參照賦分．）②觀察小于S的情況．選取小于S的幾個特殊值來估計更精確的S的近似值，取值會因人而不同，下面推薦一種方法，選取以下三種特殊位置：位置一：如圖當直線MN與DE平行且與拋物線有唯一交點時，設(shè)直線MN與x，y軸分別交于M，N，直線設(shè)直線，直線點，位置二：如圖當直線DR與拋物線有唯一交點時，直線DR與y軸交于點R設(shè)直線，直線，直線點，位置三：如圖當直線EQ與拋物線有唯一交點時，直線EQ與x軸交于點Q設(shè)直線，直線點，我們發(fā)現(xiàn)：在曲線DE兩端位置時的三角形的面積遠離S的值，由此估計在曲線DE靠近中