復(fù)變函數(shù)與積分變換-第3章

第三章復(fù)變函數(shù)的積分§3.1復(fù)變函數(shù)的積分§3.2Cauchy積分定理§3.3Cauchy積分公式§3.4解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)主要內(nèi)容

本章介紹復(fù)變函數(shù)的積分概念，解析函數(shù)積分的主要性質(zhì).重點(diǎn)是Cauchy積分定理、Cauchy積分公式、Cauchy(高階)導(dǎo)數(shù)公式。§3.1復(fù)變函數(shù)積分的概念一復(fù)變函數(shù)積分的定義二復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)三復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算abxyC定義如圖設(shè)

C

為簡單光滑的有向(1)將曲線

C

任意劃分：一、復(fù)積分的定義函數(shù)在

C

上有定義，令zkz0zkznzk-1(2)在每個(gè)弧段上任取一點(diǎn)若

存在(不依賴

C

的劃分和的選取)，則稱之為沿曲線

C

的積分，記為曲線，其方向是從a

到b，abxyC一、復(fù)積分的定義表示沿曲線

C

的注(1)znzk-1z0zkzkC-負(fù)方向積分；表示沿閉曲線

G(2)(的逆時(shí)針方向)積分；第一類曲線積分二、復(fù)積分的性質(zhì)(1)(4)(2)(3)其中，其中，L為曲線C的弧長。估計(jì)例的模的一個(gè)上界，其中

C

如圖所示。xyCi1-1解定理3.1

設(shè)C是分段光滑(或可求長)的有向曲線，在C上連續(xù)，則存在，并且積分存在定理從形式上可以看成三、復(fù)積分的計(jì)算方法一

化為第二類曲線積分

三、復(fù)積分的計(jì)算方法二

直接化為定積分

設(shè)曲線則其中，附其它方法(后面的章節(jié)介紹)

利用原函數(shù)計(jì)算，即

利用柯西積分公式、高階導(dǎo)公式計(jì)算。

利用留數(shù)計(jì)算。解(1)曲線

C1的方程為曲線

C2的方程為xyC1C2C3i1C4計(jì)算例其中

C

為(如圖)：(1)(2)(3)解(2)曲線

C3的方程為xyC1C2C3i1C4計(jì)算例其中

C

為(如圖)：(1)(2)(3)解(3)曲線

C4的方程為xyC1C2C3i1C4計(jì)算例其中

C

為(如圖)：(1)(2)(3)解(1)曲線

C1的方程為曲線

C2的方程為xyC1C2C3i1計(jì)算例其中

C

為：(1)(2)解(2)曲線

C3的方程為xyC1C2C3i1計(jì)算例其中

C

為：(1)(2)都是從相同的起點(diǎn)到相同的終點(diǎn),沿著兩條不注意1

從例題看到,積分和相同的路徑進(jìn)行時(shí),積分值不同,積分值相同.是否可以討論積分與積分路徑的關(guān)系?注意2

一般不能將函數(shù)f(z)在以a為起點(diǎn),以b為終點(diǎn)的曲線C上的積分記成因?yàn)榉e分值可能與積分路徑有關(guān),所以記解積分路徑的參數(shù)方程為例計(jì)算積分(n是整數(shù)),其中C是圓周:的正向.重要結(jié)論：積分值與圓周的中心、半徑無關(guān).注

此例的結(jié)果很重要！

§3.2柯西積分定理一、柯西基本定理二、閉路變形原理三、復(fù)合閉路定理四、路徑無關(guān)性五、原函數(shù)(?)證明Green公式C

-

R方程D(?)Green公式C

-

R方程證明一、柯西基本定理定理設(shè)函數(shù)

f(z)

在單連通域

D

內(nèi)解析，G

為D

內(nèi)的任意一條簡單閉曲線，

上述定理又稱為柯西-古薩(Cauchy-Goursat)基本定理。

則有GG注(1)

定理中的曲線

G

可以不是簡單閉曲線。(2)

定理中的條件還可以進(jìn)一步減弱。定理設(shè)單連域

D

的邊界為

C，函數(shù)

f(z)在

D

內(nèi)解析，則有CD在

上連續(xù)，D一、柯西基本定理定理設(shè)函數(shù)

f(z)

在單連通域

D

內(nèi)解析，G

為D

內(nèi)的任意一條簡單閉曲線，則有GG二、閉路變形原理

將柯西積分定理推廣到二連域定理設(shè)二連域

D

的邊界為

(如圖)，或Dab證明如圖，作線段

a

b，則二連域D

變?yōu)閱芜B域，由或函數(shù)在

D

內(nèi)解析，在

D+C

上連續(xù)，則從而有D

在區(qū)域內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值，稱此為閉路變形原理。二、閉路變形原理

閉路變形原理如圖，設(shè)在

D

內(nèi)解析，在邊界上連續(xù)，G為

D

內(nèi)的一條“閉曲線”，則DrCG解如圖以

為圓心

r

為半徑作圓，則函數(shù)在因此有當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)。上解析，▲重要

三、復(fù)合閉路定理

將柯西積分定理推廣到多連域函數(shù)在

D

內(nèi)解析，或設(shè)多連域

D

的邊界為

(如圖)，定理DC1C2C0C3Cn…在D+C

上連續(xù)，則證明(略)解顯然函數(shù)

例

計(jì)算積分其中G為包含圓周在內(nèi)的任意分段光滑正向簡單閉曲線.在復(fù)平面有兩個(gè)奇點(diǎn)0和1,并且G包含了這兩個(gè)奇點(diǎn).打洞!根據(jù),Cauchy定理重要公式Cauchy定理重要公式（挖“奇點(diǎn)”法）令解則奇點(diǎn)為(1)當(dāng)

C

為時(shí)，C(1)(2)

其中

C

為：例計(jì)算C3210令解C1C2則奇點(diǎn)為(2)當(dāng)

C

為時(shí)，令

C1：

C2：則C(1)(2)

其中

C

為：例計(jì)算C3210的簡單曲線，四、路徑無關(guān)性定理設(shè)函數(shù)

f(z)

在單連通域

D

內(nèi)解析，C1,

C2

為

D

內(nèi)的任意兩條從到證明由

可見，解析函數(shù)在單連域內(nèi)的積分只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)，則有計(jì)算例其中

C

為如圖所示的一個(gè)半圓。xyCi2G解設(shè)

G

如圖所示，處處解析，問是否可以直接計(jì)算？因此有即由于在復(fù)平面上五、原函數(shù)設(shè)在單連域

D

內(nèi)，函數(shù)

恒滿足條件定義則稱為在

D

內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)。1.基本概念及性質(zhì)函數(shù)的任何兩個(gè)原函數(shù)相差一個(gè)常數(shù)。性質(zhì)設(shè)和是的兩個(gè)原函數(shù)，則證明其中，c

為任意常數(shù)。函數(shù)的原函數(shù)稱為

的不定積分，定義記作補(bǔ)

D五、原函數(shù)2.由變上限積分構(gòu)成的原函數(shù)定理若

在單連域

D

內(nèi)處處解析，則在

D

內(nèi)解析，且

令3.Newton-Leibniz公式定理若

在單連域

D

內(nèi)處處解析，

為

的原函數(shù)，

復(fù)積分的換元積分公式復(fù)積分的分部積分公式例求解例求解例求解練習(xí)解使用“湊微分”解利用分部積分法可得練習(xí)§3.3Cauchy積分公式

3.3.1問題的提出3.3.2Cauchy積分公式實(shí)際問題：

如果測得地球表面各點(diǎn)的溫度，能否測得地心的溫度？如何測？尋求：由D邊界上的函數(shù)值導(dǎo)出D內(nèi)點(diǎn)的函數(shù)值的表達(dá)式.數(shù)學(xué)模型3.3.1問題的提出DC一、柯西積分公式Gd定理如果函數(shù)在區(qū)域D

內(nèi)解析，在D+

C

上連續(xù)，證明(思路)如圖，以為圓心，d

為半徑作圓

G，則左邊右邊|

右邊

-

左邊

|則在D+

C

上連續(xù)，

則一、柯西積分公式定理如果函數(shù)在區(qū)域D

內(nèi)解析，DdGC證明(思路)(當(dāng)充分小時(shí))|

右邊

-

左邊

|即只要

d足夠小，所證等式兩邊的差的?？梢匀我庑?，由于左邊與右邊均為常數(shù)，與

d無關(guān)，故等式成立。在邊界

C

上連續(xù)，

則一、柯西積分公式定理如果函數(shù)在區(qū)域D

內(nèi)解析，DdGC意義將換成，積分變量換成，

解析函數(shù)在其解析區(qū)域內(nèi)的值完全由邊界上的值確定。

換句話說，解析函數(shù)可用其解析區(qū)域邊界上的值以一種特定的積分形式表達(dá)出來。則上式變?yōu)槭嵌噙B域。一、柯西積分公式注意柯西積分公式中的區(qū)域D

可以應(yīng)用

推出一些理論結(jié)果，從而進(jìn)一步認(rèn)識解析函數(shù)。比如對于二連域

D

,其邊界為，DC1

反過來計(jì)算積分則在上解析

其中

C

為：例計(jì)算(1)(2)C1C2210(1)解(柯西積分公式)(2)(柯西積分定理)(函數(shù)

在

上解析)C1C2令解則令

C1：

C2：

其中

C

如圖所示。例計(jì)算C201則(復(fù)合閉路定理)(柯西積分公式)C203-

3解

試考慮積分路徑為的情況。二、平均值公式如果函數(shù)在內(nèi)解析，定理(平均值公式)在上連續(xù)，qxRyC證明由柯西積分公式有則有§3.4解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)一、高階導(dǎo)數(shù)定理二、柯西不等式三、劉維爾定理一、高階導(dǎo)數(shù)定理分析則由柯西積分公式有又……如果函數(shù)在區(qū)域D

內(nèi)解析，在上連續(xù)，一、高階導(dǎo)數(shù)定理定理如果函數(shù)在區(qū)域D

內(nèi)解析，在上連續(xù)，則的各階導(dǎo)數(shù)均在

D

上解析，證明(略)意義解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍解析。應(yīng)用

推出一些理論結(jié)果。

反過來計(jì)算積分且解例計(jì)算解(1)令解

例計(jì)算則(復(fù)合閉路定理)C2C1C2

i-

i如圖，作

C1

,C2兩個(gè)小圓，記為解

例計(jì)算C2C2-

iC1

i(2)(高階導(dǎo)數(shù)公式)同樣可求得(3)二、柯西不等式定理設(shè)函數(shù)在內(nèi)解析，且則(柯西不等式)證明函數(shù)在上解析，令即得三、劉維爾定理定理設(shè)函數(shù)在全平面上解析且有界，則為