2022屆炎德英才大聯(lián)考高考數學押題試卷含解析

2021-2022高考數學模擬試卷

考生須知：

1,全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。

2,請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

22

1.雙曲線0-2=1（。>0,6>0）的右焦點為F,過點尸且與x軸垂直的直線交兩漸近線于兩點，與雙曲線的

若麗=4麗+〃麗且尤4=三，則該雙曲線的離心率為（）

其中一個交點為P,

,3夜5>/2?573576

A.----Rn

4121212

2.設復數2滿足同=妥+1,Z在復平面內對應的點的坐標為（即村則（）

A.x2=2y+1B./=2x+i

C.x2=2y-lD.y2=2x—\

3.設集合A={x|x>0},5={x|log2(3x-l)<2},則().

A.An^=fo,|

B.=

C.Au8=（；,+oojD.AUB=（0,+oo）

4.函數/（x）=sin（x+。）在［0,句上為增函數，則。的值可以是（）

7134

A.0B.-C.%D.—

22

5.設等差數列｛%｝的前〃項和為S“，若S2=3,S4=10,則S6=（）

A.21B.22C.11D.12

6.一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為（）

A32后,

A------+6萬B.86+6萬

3

「32G16萬

33

7.《九章算術》“少廣”算法中有這樣一個數的序列：列出“全步”（整數部分）及諸分子分母，以最下面的分母遍乘各

分子和“全步”，各自以分母去約其分子，將所得能通分之分數進行通分約簡，又用最下面的分母去遍乘諸（未通者）

分子和以通之數，逐個照此同樣方法，直至全部為整數，例如：〃=2及〃=3時，如圖：

n=3

記S〃為每個序列中最后一列數之和，則§6為()

A.147B.294C.882D.1764

8.已知0<。<匕<1,貝(I()

A.(1一〃>>(1一B.C.(1+Q)”>(1+“D.(l-6f)d>(1-/?)/?

9.平行四邊形48C￡＞中，已知AB=4,AZ）=3,點E、/分別滿足AE=2EO，DF=FC＞且/,麗=—6,

則向量A方在加上的投影為（）

33

A.2B.—2C.—D.---

22

io.已知雙曲線q：二+°一=1與雙曲線c,：》2-21=1有相同的漸近線，則雙曲線G的離心率為（）

mm-10~4

A.-B.5C.V5D.叱

42

11.若直線2》+4>+，〃=0經過拋物線)；=2/的焦點，則"?=()

11

A.-B.——C.2D.-2

22

12.設i是虛數單位，若復數z=l+i,則也+z2=()

z

A.1+zB.1-zC.-1-zD.-l+i

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知三棱錐P—ABC的四個頂點在球。的球面上，PA=PB=PC,AABC是邊長為2的正三角形，PALPC,

則球。的體積為.

14.已知復數z=(a+2i)(l+i),其中i為虛數單位，若復數二為純虛數，則實數。的值是

15.“學習強國”學習平臺是由中宣部主管，以深入學習宣傳習近平新時代中國特色社會主義思想為主要內容，立足全

體黨員、面向全社會的優(yōu)質平臺，現已日益成為老百姓了解國家動態(tài)，緊跟時代脈搏的熱門app.該款軟件主要設有“閱

讀文章”和“視聽學習”兩個學習板塊和“每日答題”、"每周答題”、“專項答題”、“挑戰(zhàn)答題”四個答題板塊.某人在學習

過程中，將六大板塊依次各完成一次，貝！J“閱讀文章”與“視聽學習”兩大學習板塊之間最多間隔一個答題板塊的學習方

法有種.

16.過直線4x+3y-10=0上一點P作圓Y+y2=i的兩條切線，切點分別為A,B,則麗.麗的最小值是.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)某超市在節(jié)日期間進行有獎促銷，規(guī)定凡在該超市購物滿400元的顧客，均可獲得一次摸獎機會.摸獎規(guī)

則如下：獎盒中放有除顏色不同外其余完全相同的4個球(紅、黃、黑、白).顧客不放回的每次摸出1個球，若摸到

黑球則摸獎停止，否則就繼續(xù)摸球.按規(guī)定摸到紅球獎勵20元，摸到白球或黃球獎勵10元，摸到黑球不獎勵.

(1)求1名顧客摸球2次摸獎停止的概率；

(2)記X為1名顧客摸獎獲得的獎金數額，求隨機變量X的分布列和數學期望.

x=l+rcos6,

18.(12分)在平面直角坐標系中，曲線G：\r(。為參數，r>0),曲線G：<

y=，3+rsin0,y=A/3+L,

2

a為參數).若曲線G和C2相切.

(1)在以。為極點，X軸非負半軸為極軸的極坐標系中，求曲線C的普通方程；

TT

(2)若點M,N為曲線G上兩動點，且滿足=求AMON面積的最大值.

31

19.（12分）在三角形ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若sinA=《,tan（A—6）=§,角C為鈍角，b=5.

（1）求sin8的值；

（2）求邊c的長.

20.（12分）每年的寒冷天氣都會帶熱“御寒經濟”，以交通業(yè)為例，當天氣太冷時，不少人都會選擇利用手機上的打

車軟件在網上預約出租車出行，出租車公司的訂單數就會增加.下表是某出租車公司從出租車的訂單數據中抽取的5天

的日平均氣溫（單位：℃）與網上預約出租車訂單數（單位：份）；

日平均氣溫（℃）642-2-5

網上預約訂單數100135150185210

Q）經數據分析，一天內平均氣溫xc與該出租車公司網約訂單數y（份）成線性相關關系，試建立）'關于》的回歸

方程，并預測日平均氣溫為-7℃時，該出租車公司的網約訂單數；

（2）天氣預報未來5天有3天日平均氣溫不高于-5（，若把這5天的預測數據當成真實的數據，根據表格數據，則

從這5天中任意選取2天，求恰有1天網約訂單數不低于210份的概率.

附：回歸直線9=3x+S的斜率和截距的最小二乘法估計分別為：

Z（%-X）（y;-y）Z_

b=------------=-----------,a=y-bx

t（毛一君2f看2_而2

/=1i=l

21.（12分）ZVU3C的內角A,B,C的對邊分別是“，b,c,已知（a—0）2=c2—

（1）求角C;

（2）若《ccoslA+5l+bsinCuO,a=\,求AABC的面積.

22.（10分）［2018?石家莊一檢舊知函數/（x）=x（lnx-ar）（aeR）.

<1）若a=l,求函數〃x）的圖像在點（1"。））處的切線方程；

（2）若函數“X）有兩個極值點片，%2,且王<超，求證：

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

根據已知得本題首先求出直線與雙曲線漸近線的交點，再利用麗=2兩+〃兩，求出點P((2+〃)c，(2-

因為點P在雙曲線上，及6=上，代入整理及得4e2"=l,又已知"=二，即可求出離心率.

a25

【詳解】

由題意可知—)，N(C,----),代入OP=XOM+〃ON得：P[(2+〃)C，(2-〃)—],

代入雙曲線方程￡一￥=1整理得：4e24/=l,又因為九〃=色，即可得到6=地，

a2b22512

故選：D.

【點睛】

本題主要考查的是雙曲線的簡單幾何性質和向量的坐標運算，離心率問題關鍵尋求關于“，b,c的方程或不等式,

由此計算雙曲線的離心率或范圍，屬于中檔題.

2.B

【解析】

根據共軌復數定義及復數模的求法，代入化簡即可求解.

【詳解】

z在復平面內對應的點的坐標為(x,y),則2=%+加，

z-x-yi,

Z4-Z

z+1

2

代入可得也2+9=x+i，

解得y2=2x+l.

故選：B.

【點睛】

本題考查復數對應點坐標的幾何意義，復數模的求法及共朝復數的概念，屬于基礎題.

3.D

【解析】

根據題意，求出集合A,進而求出集合AU8和AA8,分析選項即可得到答案.

【詳解】

根據題意，B={x|log2(3x-1)<2}=

則ADB=(0,+OO),AC8=(；,|)

故選：D

【點睛】

此題考查集合的交并集運算，屬于簡單題目，

4.D

【解析】

依次將選項中的e代入，結合正弦、余弦函數的圖象即可得到答案.

【詳解】

當6=0時，/(X)=sinx在［(),〃］上不單調，故A不正確；

當8時，〃X)=COSX在［0,句上單調遞減，故B不正確；

當。=〃時，〃6=一曲》在［(),句上不單調，故C不正確；

2

當6=號7r時，/(x)=-cosx在［0,句上單調遞增，故D正確.

故選：D

【點睛】

本題考查正弦、余弦函數的單調性，涉及到誘導公式的應用，是一道容易題.

5.A

【解析】

由題意知52,54-52,56-54成等差數列，結合等差中項，列出方程，即可求出S6的值.

【詳解】

解：由{4}為等差數列，可知S2，S4-SzS-S,也成等差數列，

所以2(S「S2)=S2+S6-S,，即2x(10—3)=3+E—10,解得$6=21.

故選:A.

【點睛】

本題考查了等差數列的性質，考查了等差中項.對于等差數列，一般用首項和公差將已知量表示出來，繼而求出首項和

公差.但是這種基本量法計算量相對比較大，如果能結合等差數列性質，可使得計算量大大減少.

6.B

【解析】

還原幾何體可知原幾何體為半個圓柱和一個四棱錐組成的組合體，分別求解兩個部分的體積，加和得到結果.

【詳解】

由三視圖還原可知，原幾何體下半部分為半個圓柱，上半部分為一個四棱錐

1,1,

半個圓柱體積為：匕=—萬r2。=一萬x2?x3=6萬

22

四棱錐體積為：匕=LS〃='X4X3X2百=8百

33

原幾何體體積為：^=耳+匕=86+6萬

本題正確選項：B

【點睛】

本題考查三視圖的還原、組合體體積的求解問題，關鍵在于能夠準確還原幾何體，從而分別求解各部分的體積.

7.A

【解析】

根據題目所給的步驟進行計算，由此求得的值.

【詳解】

依題意列表如下：

上列乘6上列乘5上列乘2

I63060

31530

2

!

21020

3

]_315

15

42T

26

612

55

1510

6

所以56=60+30+20+15+12+10=147.

故選：A

【點睛】

本小題主要考查合情推理，考查中國古代數學文化，屬于基礎題.

8.D

【解析】

根據指數函數的單調性，即當底數大于1時單調遞增，當底數大于零小于1時單調遞減，對選項逐一驗證即可得到正

確答案.

【詳解】

因為0<。<1,所以0<1—。<1,所以y=是減函數，

1b

又因為()<8<1,所以一〉b,b>~,

b2

1,Lb

所以(1一<(1-a)'，(1-a)<(l-a)z?所以A,B兩項均錯；

又l<l+a<l+/?,所以(1+。)“<(1+。)“<(1+”'，所以C錯；

對于D,(l—a)">(l—a)”>(1-與"，所以(l—a)”>(1—。)”，

故選D.

【點睛】

這個題目考查的是應用不等式的性質和指對函數的單調性比較大小，兩個式子比較大小的常用方法有：做差和0比，

作商和1比，或者直接利用不等式的性質得到大小關系，有時可以代入一些特殊的數據得到具體值，進而得到大小關

系.

9.C

【解析】

________ADAB

將用向量A/5和A分表示，代入入戶.麗=-6可求出AO-A8=6，再利用投影公式1Ti可得答案.

\ABs\

【詳解】

解：AFBE=(AP+DF)(BA+AE)

______2__1____1__2__

=ADAB+AD-AD——ABAB+-AB-AD

3223

=-AZ）AB+-X32--X42=6,

332

得AD-AB-6，

AD-AB63

則向量而在麗上的投影為幣

故選：c.

【點睛】

本題考查向量的幾何意義，考查向量的線性運算，將衣，而用向量而和通表示是關鍵，是基礎題.

10.C

【解析】

由雙曲線G與雙曲線G有相同的漸近線，列出方程求出〃?的值，即可求解雙曲線的離心率，得到答案.

【詳解】

222

由雙曲線￡:二+二—=1與雙曲線。,：/一匕=1有相同的漸近線，

mm-104

可得^^=2,解得/〃=2,此時雙曲線G：5-左=1，

則曲線G的離心率為e=￡=埠8=6，故選C

aV2

【點睛】

本題主要考查了雙曲線的標準方程及其簡單的幾何性質的應用，其中解答中熟記雙曲線的幾何性質，準確運算是解答

的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.

11.B

【解析】

計算拋物線的交點為（0,1],代入計算得到答案.

【詳解】

>=2/可化為％2=：^,焦點坐標為（0,：],故

2\oj2

故選：B.

【點睛】

本題考查了拋物線的焦點，屬于簡單題.

12.A

【解析】

結合復數的除法運算和模長公式求解即可

【詳解】

,復數z=l+i,二|z|=,z2=(l+z)"—lit則^—■—l-z~=-----F2/=F2z=1—z+2z=1+z,

''z1+z(l+z)(l-0

故選：A.

【點睛】

本題考查復數的除法、模長、平方運算，屬于基礎題

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.瓜兀

【解析】

由題意可得三棱錐P-ABC的三條側棱PA,PB,PC兩兩垂直，則它的外接球就是棱長為V2的正方體的外接球，求

出正方體的對角線的長，就是球的直徑，然后求出球的體積.

【詳解】

解：因為B4=P3=PC,AABC為正三角形，

所以ZAPB=ZAPC=NBPC,

因為PA1PC,所以三棱錐P-ABC的三條側棱PA,PB,PC兩兩垂直，

所以它的外接球就是棱長為0的正方體的外接球，

因為正方體的對角線長為迷，所以其外接球的半徑為如，

2

所以球的體積為g乃x［乎)=顯

故答案為：屈兀

【點睛】

此題考查球的體積，幾何體的外接球，考查空間想象能力，計算能力，屬于中檔題.

14.2

【解析】

由題，得z=(a+2i)(l+i)=a—2+(a+2)i,然后根據純虛數的定義，即可得到本題答案.

【詳解】

由題，得z=(a+2i)(l+i)=a—2+(a+2)i,又復數二為純虛數,

所以。一2=0,解得。=2.

故答案為：2

【點睛】

本題主要考查純虛數定義的應用，屬基礎題.

15.432

【解析】

先分間隔一個與不間隔分類計數，再根據捆綁法求排列數，最后求和得結果.

【詳解】

若“閱讀文章''與“視聽學習”兩大學習板塊相鄰，則學習方法有2父=240種;

若“閱讀文章''與"視聽學習''兩大學習板塊之間間隔一個答題板塊的學習方法有=192種；

因此共有240+192=432種.

故答案為：432

【點睛】

本題考查排列組合實際問題，考查基本分析求解能力，屬基礎題.

3

16.-

2

【解析】

由切線的性質，可知|而|=|而切由直角三角形弘0,PBO,即可設|西卜x,NAPO=a,進而表示cosa,由圖

像觀察可知P。2d。一進而求出x的范圍，再用％。的式子表示麗.而，整理后利用換元法與雙勾函數求出最小值.

【詳解】

由題可知，|而|=|而設|西卜x,NAPO=c,由切線的性質可知PO=J77T，則

xJC2

cosa=.,cos-a=-：——

V77Tf+i

|4x0+3x0-10|

顯然PONd°T=2，則Jd+i2或（舍去）

2

因為麗?麗=|百川而LosZAPO=x2cos2a=Y.(2cos2a-l)=x2x-\

x2+1

22(f+i)-22/2\

22

2=X------z------=X-Iz-----2=(X+1)+-3

=X22272

Ix+1)x+1x+\x+l\x+1

______2

令，+1/24,則麗?麗=f+：-3,由雙勾函數單調性可知其在區(qū)間［4,中?)上單調遞增，所以

(PAPB)=4+2-3=3

\/min42

【點睛】

本題考查在以直線與圓的位置關系為背景下求向量數量積的最值問題，應用函數形式表示所求式子，進而利用分析函

數單調性或基本不等式求得最值，屬于較難題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)-；(2)20.

4

【解析】

(1)1名顧客摸球2次摸獎停止，說明第一次是從紅球、黃球、白球中摸一球，第二次摸的是黑球，即求概率;

(2)X的可能取值為：0,10,20,30,1.分別求出X取各個值時的概率，即可求出分布列和數學期望.

【詳解】

(1)1名顧客摸球2次摸獎停止，說明第一次是從紅球、黃球、白球中摸一球，第二次摸的是黑球，

CC=1

所以1名顧客摸球2次摸獎停止的概率P

C；C；4

(2)X的可能取值為：0,10,20,30,1.

P(i)系＜蛆叫=||=/(金。)=器+境|4

(-)_c：c；c；6，0)c：c；c；c；-4

隨機變量X的分布列為：

X01020301

22

P彳I

數學期望E（X）=0X；+10X（+20X\+30X\+40X；=20.

【點睛】

本題主要考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，屬于中檔題.

18.(1)(x-l)2+(y-V3)2=4；(2)3名

【解析】

(D消去參數。，將圓C的參數方程，轉化為普通方程，再由圓心到直線的距離等于半徑，可求得圓的普通方程，最

后利用X=pcos0,y=psin0求得圓C的極坐標方程.

(2)利用圓的參數方程以及輔助角公式，由此求得AMON的面積的表達式，再由三角函數最值的求法，求得三角形

面積的最大值.

【詳解】

222

(1)由題意得G：(x-l)+(y-V3)=r,C2：x—百y-2=()

因為曲線G和G相切，所以2]=2,即G：(》一1)2+｝一6)2=4；

(2)設M4sin[e+^,3,7V^4cos6?,6>+1J

所以S/WON~~PMPNsin—=—xl6xsine+K]cos8=2出sin(2O+°)+出

234I6J

所以當26+夕=1時，AA/ON面積最大值為3后

【點睛】

本小題主要考查參數方程轉化為普通方程，考查直角坐標方程轉化為極坐標方程，考查利用參數的方法求三角形面積

的最值，屬于中檔題.

19.(1)sinB=(2)c=13

10

【解析】

(1)由sinB=sin[A-(A-B)],分別求得sinAcosA,sin(A-B),cos(A-B)得到答案;(2)利用正弦定理

￡=粵得到。=3布，利用余弦定理解出c=13.

bsiaB

【詳解】

3I---------------4

⑴因為角。為鈍角，sinA=-,所以cosA=Jl-sirrA=《，

I冗

又tan(A—B)=§,所以OvA—Bv5,

_§.sin(A-5)=-^=,cos(A-B)=3

710

所以sinB=sin[A—(A—3)]=sinAcos(A—5)—cosAsin(A-B)

33411

=_x_______x____—____

5Vlo5VioVio

⑵因為/篝=等'且X'所以”3癡,

9

又cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=

5y/10

則C，2169,

所以c=13.

3

20.(1)y=-9.5x+165.5,232；(2)-

【解析】

(1)根據公式代入求解；

(2)先列出基本事件空間Q,再列出要求的事件，最后求概率即可.

【詳解】

解：(1)由表格可求出了=1,歹=156,工為%=20,5/歹=780,=85代入公式求出方-9.5>

i=l/=!

所以4=]_菽=165.5,所以3=_9.5X+165.5

當x=-7時，y=(-9.5)x(-7)+165.5=232.

所以可預測日平均氣溫為-7。(2時該出租車公司的網約訂單數約為232份.

(2)記這5天中氣溫不高于-5。(2的三天分別為A,3,C,另外兩天分別記為。,E,則在這5天中任意選取2天有

AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,共10個基本事件，其中恰有1天網約訂單數不低于210份的有

AD,AE,BD,BE,CD,CE,共6個基本事件，

所以所求概率。5=|，即恰有1天網約訂單數不低于20份的概率為|.

【點睛】

考查線性回歸系數的求法以及古典概型求概率的方法，中檔題.

TT

21.(1)-

3

(2)73

【解析】

(D利用余弦定理可求cosC,從而得到C的值.

(2)利用誘導公式和正弦定理化簡題設中的邊角關系可得匕=4。，得到人值后利用面積公式可求

【詳解】

(1)由(4一人［=。2-"，得a?-c?=ab.

〃24序_21

所以由余弦定理，