專題01 一元二次方程的解法重難點題型專訓（原卷版）

專題01一元二次方程的解法重難點題型專訓【題型目錄】題型一用直接開方法解一元二次方程題型二用配方法解一元二次方程題型三用公式法解一元二次方程題型四用因式分解法解一元二次方程題型五用換元法解一元二次方程題型六根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況題型七根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)題型八配方法的應用【經(jīng)典例題一用直接開方法解一元二次方程】【解題技巧】開平方法：對于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一邊是含有未知數(shù)的一次式的平方，而另一邊是一個非負數(shù)，可用開平方法求解.形如的方程的解法：當時，;當時，;當時，方程無實數(shù)根。【例1】（2023春·安徽·八年級淮北一中校聯(lián)考階段練習）若一元二次方程的兩根分別是和，則的值為（

）A．16 B． C．25 D．或25【變式訓練】1．（2022春·八年級單元測試）下列哪個是一元二次方程的解（

）A．， B．，C．， D．，2．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預測）在平面直角坐標系中，直線分別與的正半軸、的負半軸相交于兩點，已知的面積等于，則的值為______．3．（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）解關于的方程：．【經(jīng)典例題二用配方法解一元二次方程】【解題技巧】配方法：通過配方的方法把一元二次方程轉化為的方程，再運用開平方法求解。配方法的一般步驟：①移項：把一元二次方程中含有未知數(shù)的項移到方程的左邊，常數(shù)項移到方程的右邊；②“系數(shù)化1”：根據(jù)等式的性質(zhì)把二次項的系數(shù)化為1；③配方：將方程兩邊分別加上一次項系數(shù)一半的平方，把方程變形為的形式；④求解：若時，方程的解為，若時，方程無實數(shù)解。【例2】（2023春·八年級課時練習）用配方法解下列方程時，配方正確的是（

）A．化為 B．化為C．化為 D．化為【變式訓練】1．（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預測）將方程配方成的形式，下列配方結果正確的是（

）A． B． C． D．2．（2022秋·河南駐馬店·九年級校考階段練習）若定義如果存在一個數(shù)i，使，那么當時，有，從而是方程的兩個根．據(jù)此可知：方程的兩根為___________（根用i表示）．3．（2022春·廣東揭陽·八年級統(tǒng)考期末）把代數(shù)式通過配湊等手段，得到局部完全平方式．再進行有關運算和解題，這種解題方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：，解：原式②，利用配方法求的最小值，解：∵，∴當時，有最小值1．請根據(jù)上述材料解決下列問題：(1)在橫線上添加一個常數(shù)，使之成為完全平方式：______．(2)用配方法因式分解：．(3)若，求的最小值．(4)已知，則的值為______．【經(jīng)典例題三用公式法解一元二次方程】【解題技巧】公式法：一元二次方程的根當時，方程有兩個實數(shù)根,且這兩個實數(shù)根不相等；當時，方程有兩個實數(shù)根,且這兩個實數(shù)根相等，寫為；當時，方程無實數(shù)根.公式法的一般步驟：①把一元二次方程化為一般式；②確定的值；③代入中計算其值，判斷方程是否有實數(shù)根；④若代入求根公式求值，否則，原方程無實數(shù)根。（因為這樣可以減少計算量。另外，求根公式對于任何一個一元二次方程都適用，其中也包括不完全的一元二次方程。）【例3】（2023春·浙江溫州·八年級?？计谥校┍环Q為“幾何之父”的古希臘數(shù)學家歐幾里得，在他的幾何原本中，記載了用圖解法解方程的方法，類似地我們可以用折紙的方法求方程的一個正根如圖，一張邊長為的正方形的紙片，先折出，的中點，，再沿過點的直線折疊使落在線段上，點的對應點為點，折痕為，點在邊上，連接，，則長度恰好是方程的一個正根的線段為（

）A．線段 B．線段 C．線段 D．線段【變式訓練】1．（2021·浙江·九年級自主招生）已知正數(shù)x，y滿足方程，求（

）A． B． C．0 D．12．（2022春·八年級單元測試）將方程化成一般形式為，則________，此方程的根是________．3．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）用公式法解下列方程：(1)；(2)．【經(jīng)典例題四用因式分解法解一元二次方程】【解題技巧】因式分解法：①因式分解法解一元二次方程的依據(jù)：如果兩個因式的積等于0，那么這兩個因式至少有一個為0，即：若，則；②因式分解法的一般步驟：若方程的右邊不是零，則先移項，使方程的右邊為零；把方程的左邊分解因式；令每一個因式都為零，得到兩個一元一次方程；解出這兩個一元一次方程的解可得到原方程的兩個解。（5）選用適當方法解一元二次方程①對于無理系數(shù)的一元二次方程，可選用因式分解法，較之別的方法可能要簡便的多，只不過應注意二次根式的化簡問題。②方程若含有未知數(shù)的因式，選用因式分解較簡便，若整理為一般式再解就較為麻煩。（6）解含有字母系數(shù)的方程（1）含有字母系數(shù)的方程，注意討論含未知數(shù)最高項系數(shù)，以確定方程的類型；（2）對于字母系數(shù)的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可選用別的方法，此時一定不要忘記對字母的取值進行討論。【例4】（2023·貴州遵義·統(tǒng)考二模）對于兩個不相等的實數(shù)a，b，我們規(guī)定符號表示a，b中的較大值，如：，因此，；按照這個規(guī)定，若，則x的值是（

）A．5 B．5或 C．或 D．5或【變式訓練】1．（2023春·上海靜安·八年級上海市回民中學?？计谥校┤魓為實數(shù)，且滿足，則（）A． B． C．或 D．無法確定2．（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）已知等腰三角形的一邊長，另外兩邊的長恰好是關于的一元二次方程的兩個根，則的周長為___________3．（2022秋·八年級單元測試）對于m，n，定義：若，則稱m與n是關于1的“對稱數(shù)”．(1)填空：7與______是關于1的“對稱數(shù)”；與______是關于1的“對稱數(shù)”；(2)已知，其中a，b均為常數(shù)，且無論x取何值，A與B都是關于1的“對稱數(shù)”，求a，b的值；(3)若，且C與D是關于1的“對稱數(shù)”，求滿足條件的x的值．【經(jīng)典例題五用換元法解一元二次方程】【解題技巧】把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法；換元的實質(zhì)轉化，關鍵是構造圓和設元【例5】（2021秋·新疆·九年級新疆農(nóng)業(yè)大學附屬中學?？茧A段練習）若實數(shù)滿足方程，那么的值為（

）A．或5 B．5 C． D．3或【變式訓練】1．（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級新疆師范大學附屬中學?？茧A段練習）已知x為實數(shù)，且，則的值為（）A．4 B．4或 C． D．或32．（2023春·浙江溫州·八年級溫州市第十二中學?？计谥校┮阎匠痰母鶠?，，則方程的根是________．3．（2023春·八年級單元測試）（換元法）解方程：解：設則原方程可化為解得：當時，，解得當時，，解得∴原方程的根是，根據(jù)以上材料，請解方程：(1)．(2)【經(jīng)典例題六根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況】【解題技巧】了解一元二次方程根的判別式概念，能用判別式判定根的情況，并會用判別式求一元二次方程中符合題意的參數(shù)取值范圍。（1）=（2）根的判別式定理及其逆定理：對于一元二次方程（）①當方程有實數(shù)根；（當方程有兩個不相等的實數(shù)根；當方程有兩個相等的實數(shù)根；）②當方程無實數(shù)根；從左到右為根的判別式定理；從右到左為根的判別式逆定理?！纠?】（2023·山東日照·統(tǒng)考三模）對于函數(shù)，規(guī)定，例如若則有，已知函數(shù)，則方程的解的情況是（

）A．沒有實數(shù)根 B．有一個實數(shù)根 C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．有兩個相等的實數(shù)根【變式訓練】1．（2023·河北衡水·校聯(lián)考二模）若是一元二次方程的一個根，那么方程的根的情況是（

）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有一個根是C．沒有實數(shù)根 D．有兩個相等的實數(shù)根2．（2021秋·江蘇徐州·九年級?？茧A段練習）若（a2﹣2a）2﹣9＝0，則代數(shù)式a2﹣2a的值為_____．3．（2023·廣東廣州·?？家荒＃┮阎P于x的一元二次方程，其中a、b、c分別為三邊的長．(1)如果是方程的根，試判斷的形狀，并說明理由．(2)如果方程有兩個相等的實數(shù)根，試判斷的形狀，并說明理由．(3)如果是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根．【經(jīng)典例題七根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)】【例7】1（2023·寧夏銀川·?？家荒＃┮阎P于的方程有實數(shù)根，則的取值范圍為（

）A． B． C．且 D．且【變式訓練】1．（2023春·浙江紹興·八年級校聯(lián)考期中）關于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．且 C． D．且2．（2023·山東濟南·統(tǒng)考三模）關于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，則a的最大整數(shù)解是______．3．（2023春·浙江衢州·八年級校考階段練習）已知關于x的方程．(1)求證：無論m為何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2)若方程根的判別式的值為5，求m的值及方程的根．【經(jīng)典例題八配方法的應用】【例8】（2023春·山東威?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期中）已知，，下列結論正確的是（

）A．的最大值是0 B．的最小值是C．當時，為正數(shù) D．當時，為負數(shù)【變式訓練】1．（2020·福建泉州·九年級福建省泉州第一中學校聯(lián)考階段練習）已知實數(shù)，，滿足，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023春·江蘇南通·九年級校聯(lián)考階段練習）若實數(shù)x，y滿足關系式，則的最大值為______．3．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考二模）（1）數(shù)學活動小組在研究函數(shù)的圖像時提出了下列問題：①函數(shù)的自變量x的取值范圍是；②容易發(fā)現(xiàn)，當時，；當時，．由此可見，圖像在第象限；③閱讀材料：當時，．當時，即時，有最小值是2．請仿照上述過程，求出當時，的最大值；（2）當時，求的最小值；（3）如圖，四邊形的對角線，相交于點，、的面積分別為4和9，求四邊形面積的最小值．【重難點訓練】1．（2023春·全國·八年級專題練習）解一元二次方程時，配方后得到方程，則c等于（

）A．6 B．4 C．2 D．2．（2023·吉林長春·統(tǒng)考二模）已知關于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值是（

）A． B．0 C．4 D．83．（2023·浙江金華·校聯(lián)考二模）若關于的一元二次方程有實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（

）．A． B． C．且 D．且4．（2023春·浙江·七年級專題練習）代數(shù)式的最小值為（

）．A． B．0 C．3 D．55．（2023·河北滄州·模擬預測）已知直線與雙曲線只有一個交點，將直線向上平移1個單位長度后與雙曲線相交于，兩點，，則點A的坐標為（

）A． B． C． D．6．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）在講解一元二次方程時，老師故意把常數(shù)項“□”空下了，讓同學們填一個正整數(shù)，使這個一元二次方程有兩不等實根，問大家其中所填的值可能有（

）A．6個 B．8個 C．9個 D．10個7．（2023春·湖北恩施·九年級?？茧A段練習）若關于的方程有四個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍（

）A． B． C． D．8．（2023春·浙江舟山·八年級校聯(lián)考期中）對于一元二次方程，有下列說法：①若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則方程必有兩個不相等的實數(shù)根；②若方程有兩個實數(shù)根，則方程一定有兩個實數(shù)根；③若c是方程的一個根，則一定有成立；④若是一元二次方程的根，則其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個9．（2023春·北京房山·八年級統(tǒng)考期末）關于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，則的取值范圍是_________．10．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考二模）已知關于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值為______．11．（2023·山東青島·統(tǒng)考二模）用配方法解一元二次方程時，將它化為的形式，則的值為______．12．（2022春·八年級單元測試）已知，則的值是_____．13．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)；(2)；(3)；(4)．14．（2023·北京大興·統(tǒng)考二模）已知關于x的方程．(1)求證：該方程總有兩個實數(shù)根；(2)若該方程有一個根小于1，求m的取值范圍．15．（2023·貴州貴陽·校考一模）（1）已知不等式，請你寫出一個不等式______，使它與已知不等式組成的不等式組的解集為．（2）在數(shù)學活動課上，老師出了一道一元二次方程的試題：“”讓同學們解答，甲、乙兩位同學的做法如下：甲同學乙同學解：原方程可化為：，解：原方程可化為：，當時，解得，，當時，解得，，∴，．∴，∴，．小組在交流過程中發(fā)現(xiàn)甲、乙兩位同學的結果不同，請判斷哪位同學的做法有誤______（填“甲”或“乙”），并根據(jù)該同學使用的方法寫出正確的解答過程．16．（2022春·八年級單元測試）已知關于的方程．(1)求證：無論取什么數(shù)，方程總有兩個實數(shù)根；(2)若已知方程有一個實數(shù)根是，試求出另一個實數(shù)根．17．（2023春·浙江·七年級專題練習）把代數(shù)式通過配湊等手段，得到局部完全平方式，再進行有關運算和解題，這種解題方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：，解：原式②，利用配方法求M的最小值：解：因為，所以當時，M有最小值5請根據(jù)上述材料解決下列問題：(1)在橫線上添加一個常數(shù)，使之成為完全平方式；(2)用配方法因式分解；(3)若，求M的最小值．18．（2023春·廣東深圳·八年級深圳市南山外國語學校校聯(lián)考期中）閱讀材料：①用配方法因式分解：．解：原式．②若，利用配方法求M的最小值．解：．∵，，∴當時，M有最小值1．請根據(jù)上述材料解決下列問題：(1)在橫線上添上一個常數(shù)項使之稱為完全平方式：_____=______．(2)用配方法因式分解：．(3)若，求M的最大值．19．（2023春·浙江·八年級專題練習）如圖，四邊形是證明勾股定理時用到的一個圖形，a，b，c是和邊長，易知，這時我們把關于x的形如的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”．請解決下列問題：(1)寫出一個“勾系一元二次方程”；(2)求證：關于x的“勾系一元二次方程”必有實數(shù)根；(3)若是“勾系一元二次方程”的一個根，且四邊形的周長是，求面積．20．（2022春·浙江杭州·八年級杭州外國語學校?？计谥校τ谌我庖粋€三位數(shù)k，如果k滿足各個數(shù)位上的