四川省南充市閬中市閬中中學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)試題

閬中中學(xué)校2023年秋高2022級期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單選題.（共40分，每小題5分）1.下列說法正確的是（）A.三點(diǎn)確定一個平面B.四邊形一定是平面圖形C.梯形一定平面圖形D.平面和平面有不同在一條直線上的三個公共點(diǎn)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面的有關(guān)知識確定正確選項.【詳解】A，不在同一直線上的三個點(diǎn)，確定一個平面，所以A錯誤.B，四邊形可能是空間四邊形，不一定是平面圖形，所以B錯誤.C，梯形有一組對邊平行，所以是平面圖形，所以C正確.D，當(dāng)時，兩個平面沒有公共點(diǎn).故選：C2.已知，，則線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式直接計算即可.【詳解】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為，即.故選：A3.如圖，在平行六面體中，是的中點(diǎn)，設(shè)，，，則等于（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量的基本定理求解即可.【詳解】因為在平行六面體中，是的中點(diǎn)，所以.故選：A.4.已知是一平面圖形的直觀圖，斜邊，則這個平面圖形的面積是（）A B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】由給定的直觀圖畫出原平面圖形，再求出面積作答.【詳解】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，所給的直觀圖對應(yīng)的原平面圖形，如圖，其中，，所以這個平面圖形的面積為.故選：D5.在正方體中，為棱的中點(diǎn)，則．A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】畫出圖形，結(jié)合圖形根據(jù)空間中的垂直的判定對給出的四個選項分別進(jìn)行分析、判斷后可得正確的結(jié)論．【詳解】畫出正方體，如圖所示．對于選項A，連，若，又，所以平面，所以可得，顯然不成立，所以A不正確．對于選項B，連，若，又，所以平面，故得，顯然不成立，所以B不正確．對于選項C，連，則．連，則得，所以平面，從而得，所以．所以C正確．對于選項D，連，若，又，所以平面，故得，顯然不成立，所以D不正確．故選C．【名師點(diǎn)睛】本題考查線線垂直的判定，解題的關(guān)鍵是畫出圖形，然后結(jié)合圖形并利用排除法求解，考查數(shù)形結(jié)合和判斷能力，屬于基礎(chǔ)題．6.龍洗，是我國著名的文物之一，因盆內(nèi)有龍線，故稱龍洗，為古代皇宮盥洗用具，其盆體可以近似看作一個圓臺.現(xiàn)有一龍洗盆高18cm，盆口直徑36cm，盆底直徑18cm.現(xiàn)往盆內(nèi)注水，當(dāng)水深為6cm時，則盆內(nèi)水的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)軸截面和相似關(guān)系,以及圓臺體積即可求解.【詳解】如圖所示,畫出圓臺的立體圖形和軸截面平面圖形,并延長EC與FD交于點(diǎn)G.根據(jù)題意,,設(shè),所以,解得,所以,故選:B.7.直三棱柱中，若，，則異面直線與所成的角等于A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】C【解析】【詳解】本試題主要考查異面直線所成的角問題，考查空間想象與計算能力．延長B1A1到E，使A1E=A1B1，連結(jié)AE，EC1，則AE∥A1B，∠EAC1或其補(bǔ)角即為所求，由已知條件可得△AEC1為正三角形，∴∠EC1B為，故選C．8.如圖所示，空間四邊形的各邊都相等，分別是的中點(diǎn)，下列四個結(jié)論中不正確的是（）A.平面 B.平面C.平面平面 D.平面平面【答案】C【解析】【分析】根據(jù)線面平行、線面垂直、面面垂直等知識對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，連接，由于分別是的中點(diǎn)，所以，由于平面，平面，所以平面，所以A選項正確.B選項，連接，由于三角形和三角形是等邊三角形，是的中點(diǎn)，所以，由于平面，所以平面，B選項正確.C選項，幾何體是正四面體，設(shè)在底面上的射影為，連接，則平面，且是等邊三角形的中心，連接，由于分別是的中點(diǎn)，所以是等邊三角形的中位線，所以，所以平面與平面不垂直，C選項錯誤.D選項，連接，同理B選項的分析可得平面，由于平面，所以平面平面，所以D選項正確.故選：C二、多選題.（共20分，每小題5分，漏選扣3分，錯選不給分）9.已知空間向量，則下列說法正確的是（）A.B.向量與向量共線C.向量關(guān)于軸對稱的向量為D.向量關(guān)于平面對稱的向量為【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)向量的模、共線向量、對稱等知識對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，，A選項正確.B選項，，所以共線，B選項正確.C選項，關(guān)于軸對稱的向量為，C選項正確.D選項，于平面對稱的向量為，D選項錯誤.故選：ABC10.已知，為空間中不同的兩條直線，，為空間中不同的兩個平面，下列命題錯誤的是（）A.若，，則B.若，，，則C.若，，則和為異面直線D.若，，且，則【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系，逐一檢驗，可得答案.【詳解】對于A，由，，則或，故A錯誤；對于B，由，，，則或與異面，故B錯誤；對于C，由，，則無法確定直線與的位置關(guān)系，平行、相交、異面都有可能，故C錯誤；對于D，由，，則與一定不相交；假設(shè)與異面，由，，則，，，由與異面，則與相交，但這與平行公理矛盾，故D正確.故選：ABC.11.如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長為2的正方形，與交于點(diǎn)，面，且，則以下說法正確的是（）A.平面 B.與平面所成角為C.面 D.點(diǎn)到面的距離為2【答案】ABC【解析】【分析】利用線線垂直可判定A項，利用線面角定義可判定B項，利用線線平行可判定C項，利用線面垂直可判定D項.【詳解】由于四邊形是邊長為2的正方形，故，又面，面，∴面，故A正確；連接PO，由A可知：與平面所成角為，由條件可得，故B正確；易知面，面，即面，故C正確；由A可知點(diǎn)到面的距離為，而，故D錯誤.故選：ABC12.如圖,在正方體中,,為線段上的動點(diǎn),則下列說法正確的是（）A.B.平面C.三棱錐的體積為定值D.的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】對于A,由線面垂直的判定定理證明平面即可;對于B,根據(jù)面面平行的判定定理證明平面平面即可;對于C,根據(jù)線面平行將點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離,再利用等體積法求解即可;對于D,將平面和平面沿直線展開為一個平面,利用余弦定理求解即可判斷.【詳解】對于A,連接,如圖:平面,平面,,又平面,平面,平面,平面,,連接,同理可得,平面,平面,平面,平面,,故A正確;對于B,連接,如圖:,四邊形為平行四邊形,,平面,平面,平面,同理四邊形為平行四邊形,,平面,平面,平面,,平面,平面,平面平面,平面,平面,故B正確;對于C,如圖:由B知,平面,平面,平面,點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離,,故C錯誤;對于D,將平面和平面沿直線展開為一個平面,如圖:,,,,,即的最小值為,故D正確.故選:ABD.三、填空題.（共20分，每小題5分）13.已知二面角的大小為60°，若直線，直線，則異面直線，所成的角是______【答案】60°【解析】【分析】結(jié)合圖像，根據(jù)二面角的定義，即可得解.【詳解】如圖，，，作于，于，作于，則，所以為二面角的平面角，則，所以，所以所成角為，則異面直線，所成的角為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了利用空間二面角求異面直線所成角的大小，考查了二面角的定義，同時考查了空間感，屬于基礎(chǔ)題.14.下列四個正方體圖形中，A、B為正方體的兩個頂點(diǎn)，M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出平面MNP的圖形的序號是______（寫出所有符合要求的圖形序號）．【答案】①③【解析】【分析】根據(jù)線面平行的判定和性質(zhì)，以及面面平行的性質(zhì)即可得解.【詳解】對于①：易知平面MNP平行于正方體右側(cè)平面，根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可得出平行于平面MNP.對于②：若平行于平面MNP，因為平面ABD，且平面ABD與平面MNP交線為NQ,則根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得，平行于NQ，所以，這與矛盾，故該選項錯誤；對于③：由中位線定理可得平行于,而平行于，所以平行于,平面，平面，所以平面對于④：如圖，連接，因為為所在棱的中點(diǎn)，則，故平面即為平面，由正方體可得，而平面平面，若平面，由平面可得，故，矛盾，故該選項錯誤故答案為：①③.15.正方體的棱長為2，若動點(diǎn)在線段上運(yùn)動，則的取值范圍是___________．【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，即可求出，再根據(jù)的范圍，求出的取值范圍．【詳解】解：以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系．則，，，，．，，．點(diǎn)在線段上運(yùn)動，，且．，，∵，∴，即，故答案為：．16.在梯形中，，，，將沿折起，連接，得到三棱錐，當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時，該三棱錐的外接球的表面積為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)梯形的邊長可求出，由幾何體翻折過程中體積最大可得平面平面，由面面垂直性質(zhì)可確定外接球的球心以及半徑，即可求得其表面積.【詳解】過點(diǎn)作，垂足為，如圖下圖所示：因為為等腰梯形，，，所以，，可得，由余弦定理得，即，易知，所以，易知，當(dāng)平面平面時，三棱錐體積最大，如圖所示：此時，平面，易知，，記為外接球球心，半徑為，由于平面，，因此到平面的距離，又的外接圓半徑，因此外接球半徑，即可得球表面積為.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在求解幾何體外接球問題時，需根據(jù)幾何體的特征確定球心位置，再利用半徑相等構(gòu)造等量關(guān)系解出半徑即可.四、解答題.（共70分）17.已知，，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）6（2）4【解析】【分析】（1）利用向量共線的坐標(biāo)表示，即得解；（2）利用向量加法和向量垂直的坐標(biāo)表示，即得解；【詳解】解：（1），∴，∴.（2），∵，∴，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了向量平行，加法，數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.18.如圖，在正方體中，分別是的中點(diǎn)．（1）求證：四點(diǎn)共面；（2）求異面直線所成的角.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，證得，結(jié)合確定平面的性質(zhì)，得到與確定一個平面，即可得證；（2）連結(jié)，證得，得到（或其補(bǔ)角）是異面直線與所成角，在中，即可求解.【小問1詳解】證明：因為分別是和的中點(diǎn)，所以且，又因為且，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，所以與確定一個平面，所以點(diǎn)，即四點(diǎn)共面．【小問2詳解】解：連結(jié)，在正方體中，平行且等于,所以四邊形為平行四邊形，可得，因此（或其補(bǔ)角）是異面直線與所成的角，設(shè)正方體的棱長為，在中，可得，所以是等邊三角形，可得，即異面直線與所成的角等于.19.如圖，平面，為圓O的直徑，分別為棱的中點(diǎn)．（1）證明：平面．（2）證明：平面平面．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用中位線定理與線面平行的判定定理即可得證；（2）線面垂直與面面垂直的判定定理證明即可.【小問1詳解】因為分別為棱的中點(diǎn)，所以．因為平面，平面，所以平面．【小問2詳解】因為為圓O的直徑，所以．因為平面，平面，所以．又，平面，所以平面．由（1）知，所以平面．又因為平面，所以平面平面．20.如圖，四棱錐的底面是邊長為2的菱形，，，，平面平面，，分別為，的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先利用勾股定理得，再利用面面垂直的性質(zhì)得平面，從而利用線面垂直的性質(zhì)定理得，最后結(jié)合菱形性質(zhì)及線面垂直的判定定理證明即可；（2）先通過線面關(guān)系及錐體體積求出，再利用等體積法求得點(diǎn)到平面的距離.【小問1詳解】由題知，，所以，所以.又因為平面平面，且交線為，平面，所以平面，又平面，所以，連接，因為四邊形是邊長為2的菱形，，所以為等邊三角形.又因為為的中點(diǎn)，所以，又，平面，平面，所以平面.【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，連接，則，因為，所以，又由（1）知，又，平面，平面，所以平面，又平面，平面，所以，，又，，又由，，，平面，平面，所以平面，且，，所以，即，即點(diǎn)到平面的距離為.21.如圖，四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM=2MD，N為PC的中點(diǎn).（Ⅰ）證明MN∥平面PAB;（Ⅱ）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）．【解析】【詳解】（Ⅰ）由已知得.取的中點(diǎn)，連接，由為中點(diǎn)知，.又，故，四邊形為平行四邊形，于是.因為平面，平面，所以平面.（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連結(jié).由得，從而，且.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由題意知，，，，，，，.設(shè)為平面的一個法向量，則即可取.于是.【考點(diǎn)】空間線面間的平行關(guān)系，空間向量法求線面角．【技巧點(diǎn)撥】（1）證明立體幾何中的平行關(guān)系，常常是通過線線平行來實(shí)現(xiàn)，而線線平行常常利用三角形的中位線、平行四邊形與梯形的平行關(guān)系來推證；（2）求解空間中的角和距離常?？赏ㄟ^建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量中的夾角與距離來處理．22.如圖，在直角梯形中，，，，為的中點(diǎn)，沿將折起，使得點(diǎn)到點(diǎn)的位置，且，為的中點(diǎn)，是上的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）求二面角的正切值.【答