2022屆湘贛粵名校高三第二次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

2

1.設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=『在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

1-Z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.若函數(shù)y=2s山（2*+9）]|同<的圖象經(jīng)過點(diǎn)則函數(shù)/（x）=s而（2X-°）+CQS（2X-°）圖象的一條

對(duì)稱軸的方程可以為（）

3.已知集合A={x|x>—1},集合B={X|X（X+2）<0},那么AU8等于（）

A.{x|尤>一2}B.{x|-l<x<0}C.D.{x|-1<X<2}

4.近年來，隨著4G網(wǎng)絡(luò)的普及和智能手機(jī)的更新?lián)Q代，各種方便的勾斗相繼出世，其功能也是五花八門.某大學(xué)為

了調(diào)查在校大學(xué)生使用勾小的主要用途，隨機(jī)抽取了56290名大學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，各主要用途與對(duì)應(yīng)人數(shù)的結(jié)果統(tǒng)計(jì)如

圖所示，現(xiàn)有如下說法：

①可以估計(jì)使用。川主要聽音樂的大學(xué)生人數(shù)多于主要看社區(qū)、新聞、資訊的大學(xué)生人數(shù)；

②可以估計(jì)不足10%的大學(xué)生使用勾斗主要玩游戲；

③可以估計(jì)使用主要找人聊天的大學(xué)生超過總數(shù)的

4

其中正確的個(gè)數(shù)為（）

摧人狎天

[4440—新聞.錢訊

rKIW-zi玩游戲

「6力。.I價(jià)視狼、圖片

「精阿I聽音樂

|I找附近的人

[二]找共同興趣的人

C.2D.3

5.已知正四面體A-38外接球的體積為8指萬，則這個(gè)四面體的表面積為（）

A.18V3B.16>5C.14V3D.12V3

6.一袋中裝有5個(gè)紅球和3個(gè)黑球(除顏色外無區(qū)別)，任取3球，記其中黑球數(shù)為X,則E(X)為()

9162

7C

8-B.8-2-D.5-6-

7.已知三棱錐A—BCD的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，AT)_L平面ABC,ABAC=120,45=2,若球。的表

面積為2(比，則三棱錐A-BCD的體積的最大值為()

A.BB.漢?C.6D.26

33

[21n

8.已知函數(shù),f(x)=2'，若函數(shù)g(x)=/(x)一乙有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()

ln(x+l),x>0

。0

A.-4B.(耳」)C.(0,1)D.(耳—)

9.一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在雙曲線J+ay2=i的右支上，且其中一個(gè)頂點(diǎn)在雙曲線的右頂點(diǎn)，則實(shí)數(shù)"的取值

范圍是()

A.(3,+00)B.(6,+8)C.(-00,-73jD.(-00,-3)

10.在區(qū)間卜1』上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)左，使直線.丫=左"+3)與圓/+:/=1相交的概率為()

1,

11.已知拋物線C：y=的焦點(diǎn)為產(chǎn)，準(zhǔn)線為/,P是/上一點(diǎn)，直線PE與拋物線交于A,3兩點(diǎn)，若序=2通,

4

則|明為()

4016

A.—B.40C.16D.—

93

12.已知定義在R上函數(shù)“X)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，fi/(l+x)+/(2-x)=0,若/⑴=1,則

/(1)+/(2)+/(3)+..-+/(2020)=()

A.0B.1C.673D.674

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在平面直角坐標(biāo)系x。)‘中，點(diǎn)。(%,坊)在單位圓。上，設(shè)=且ae(乙,丑).若cos(a+&)=-U,

44413

則X。的值為.

14.已知函數(shù)/(x)=x-機(jī)|lnx|恰好有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為一

15.某同學(xué)周末通過拋硬幣的方式?jīng)Q定出去看電影還是在家學(xué)習(xí)，拋一枚硬幣兩次，若兩次都是正面朝上，就在家學(xué)

習(xí)，否則出去看電影，則該同學(xué)在家學(xué)習(xí)的概率為.

91

16.若x>l,貝！12x+——+——的最小值是.

x+1x-1

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

12

17.(12分)在AABC中，角A，B,C的對(duì)邊分別為b,c,已知m+c)Z?=M〃c.

(1)若叫b,c成等差數(shù)列，求cos5的值；

(2)是否存在AABC滿足3為直角？若存在，求sinA的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

18.(12分)如圖在棱錐P—ABCD中，ABC。為矩形，面ABC。，PB=2,NBPC=45°,NPBD=30°.

(1)在03上是否存在一點(diǎn)E,使PC_L面ADE,若存在確定E點(diǎn)位置，若不存在，請(qǐng)說明理由；

(2)當(dāng)E為中點(diǎn)時(shí)，求二面角P—AE—。的余弦值.

19.(12分)2019年9月26日，攜程網(wǎng)發(fā)布《2019國慶假期旅游出行趨勢(shì)預(yù)測(cè)報(bào)告》，2018年國慶假日期間，西安共

接待游客1692.56萬人次，今年國慶有望超過2000萬人次，成為西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司規(guī)定：若

公司某位導(dǎo)游接待旅客，旅游年總收人不低于40(單位：萬元)，則稱該導(dǎo)游為優(yōu)秀導(dǎo)游.經(jīng)驗(yàn)表明，如果公司的優(yōu)秀導(dǎo)

游率越高，則該公司的影響度越高.已知甲、乙家旅游公司各有導(dǎo)游40名，統(tǒng)計(jì)他們一年內(nèi)旅游總收入，分別得到甲

公司的頻率分布直方圖和乙公司的頻數(shù)分布表如下：

分組[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)

頻數(shù)2b2010

(1)求。，力的值，并比較甲、乙兩家旅游公司，哪家的影響度高？

(2)從甲、乙兩家公司旅游總收人在口0,20)(單位：萬元)的導(dǎo)游中，隨機(jī)抽取3人進(jìn)行業(yè)務(wù)培訓(xùn)，設(shè)來自甲公司的人

數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

20.(12分)有甲、乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司底薪80元，送餐員每單制成4元；乙公司

無底薪，4()單以內(nèi)(含4()單)的部分送餐員每單抽成6元，超過4()單的部分送餐員每單抽成7元.現(xiàn)從這兩家公司各

隨機(jī)選取一名送餐員，分別記錄其50天的送餐單數(shù)，得到如下頻數(shù)分布表：

送餐單數(shù)3839404142

甲公司天數(shù)101015105

乙公司天數(shù)101510105

(1)從記錄甲公司的5()天送餐單數(shù)中隨機(jī)抽取3天，求這3天的送餐單數(shù)都不小于4()單的概率；

(2)假設(shè)同一公司的送餐員一天的送餐單數(shù)相同，將頻率視為概率，回答下列兩個(gè)問題：

①求乙公司送餐員日工資的分布列和數(shù)學(xué)期望；

②小張打算到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員，如果僅從日工資的角度考慮，小張應(yīng)選擇哪家公司應(yīng)聘？說明你

的理由.

21.(12分)如圖所示，在三棱柱ABC-4與G中，AABC為等邊三角形，ZBAB]=ZBBtA,AgcA8=。，COA.

平面AB44，。是線段AG上靠近A的三等分點(diǎn).

(1)求證：AB±AA,；

(2)求直線8與平面AACG所成角的正弦值.

22.(10分)改革開放4()年，我國經(jīng)濟(jì)取得飛速發(fā)展，城市汽車保有量在不斷增加，人們的交通安全意識(shí)也需要不斷

加強(qiáng).為了解某城市不同性別駕駛員的交通安全意識(shí)，某小組利用假期進(jìn)行一次全市駕駛員交通安全意識(shí)調(diào)查.隨機(jī)抽取

男女駕駛員各50人，進(jìn)行問卷測(cè)評(píng)，所得分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖如圖所示在80分以上為交通安全意識(shí)強(qiáng).

（1）求"的值，并估計(jì)該城市駕駛員交通安全意識(shí)強(qiáng)的概率；

（2）已知交通安全意識(shí)強(qiáng)的樣本中男女比例為4:1,完成下列2*2列聯(lián)表，并判斷有多大把握認(rèn)為交通安全意識(shí)與性

（3）用分層抽樣的方式從得分在50分以下的樣本中抽取6人，再從6人中隨機(jī)選取2人對(duì)未來一年內(nèi)的交通違章情況

進(jìn)行跟蹤調(diào)查，求至少有1人得分低于40分的概率.

附：小…（1％?）（j）其中…+HC+”

P（K2>k）0.0100.0050.001

k6.6357.87910.828

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡二，求得2對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，由此判斷對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限.

【詳解】

；2===心（二）=1+，'二對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1」），位于第一象限.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限，屬于基礎(chǔ)題.

2.B

【解析】

由點(diǎn)（今'°］求得。的值，化簡/（X）解析式，根據(jù)三角函數(shù)對(duì)稱軸的求法，求得了（X）的對(duì)稱軸，由此確定正確選項(xiàng).

【詳解】

由題可知2而（2*.+卜=0,例

71715萬

所以/(x)=sin2x+—+cosZ+Q二夜si.nC---1——=>/2sin2x+

I6JI6；I64五

..57T71..

令2%H---=---Fk7T,A￡Z,

122

得x-------1-------,keZ

242

A,r3

令％=3,得工=3-7-7-1-

24

故選：B

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查根據(jù)三角函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)求參數(shù)，考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)對(duì)稱軸的求法，屬于中檔題.

3.A

【解析】

求出集合8,然后進(jìn)行并集的運(yùn)算即可.

【詳解】

VA={x|x>-1},3={x|-2<x<0},

/.AU5={x|x>-2}.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查集合并集的概念和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

4.C

【解析】

根據(jù)利用主要聽音樂的人數(shù)和使用。印主要看社區(qū)、新聞、資訊的人數(shù)作大小比較，可判斷①的正誤；計(jì)算使用

“〃〃主要玩游戲的大學(xué)生所占的比例，可判斷②的正誤；計(jì)算使用不主要找人聊天的大學(xué)生所占的比例，可判斷③

的正誤.綜合得出結(jié)論.

【詳解】

使用初P主要聽音樂的人數(shù)為538(),使用物主要看社區(qū)、新聞、資訊的人數(shù)為4450,所以①正確；

Q13()

使用物主要玩游戲的人數(shù)為8130,而調(diào)查的總?cè)藬?shù)為5629(),——?0.14,故超過10%的大學(xué)生使用物主

56290

要玩游戲，所以②錯(cuò)誤；

使用。加主要找人聊天的大學(xué)生人數(shù)為16540,因?yàn)楣?gt;；,所以③正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查統(tǒng)計(jì)中相關(guān)命題真假的判斷，計(jì)算出相應(yīng)的頻數(shù)與頻率是關(guān)鍵，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.B

【解析】

設(shè)正四面體ABCD的外接球的半徑R,將該正四面體放入一個(gè)正方體內(nèi)，使得每條棱恰好為正方體的面對(duì)角線，根據(jù)

正方體和正四面體的外接球?yàn)橥粋€(gè)球計(jì)算出正方體的棱長，從而得出正四面體的棱長，最后可求出正四面體的表面

積.

【詳解】

將正四面體ABCD放在一個(gè)正方體內(nèi)，設(shè)正方體的棱長為a,如圖所示，

B'

設(shè)正四面體ABCD的外接球的半徑為R,則他9=8幾萬，得/?=痛.因?yàn)檎拿骟wABCD的外接球和正方體的

外接球是同一個(gè)球，則有儡=27?=2?，，a=2夜.而正四面體ABCD的每條棱長均為正方體的面對(duì)角線長,

同2

所以，正四面體ABCD的棱長為缶=2&x0=4,因此，這個(gè)正四面體的表面積為4x率幺=]66.

4

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查球的內(nèi)接多面體，解決這類問題就是找出合適的模型將球體的半徑與幾何體的一些幾何量聯(lián)系起來，考查計(jì)

算能力，屬于中檔題.

6.A

【解析】

由題意可知，隨機(jī)變量X的可能取值有0、1、2、3,計(jì)算出隨機(jī)變量X在不同取值下的概率，進(jìn)而可求得隨機(jī)變

量X的數(shù)學(xué)期望值.

【詳解】

由題意可知，隨機(jī)變量X的可能取值有0、1、2、3,

貝”（X=0）4=9P（X=D=警嗡小=2）=等=||，P（X=3）隼卷

因此，隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E（x）=0x3+lx史+2x”+3x，J.

565656568

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.B

【解析】

由題意畫出圖形，設(shè)球。得半徑為R,A5=x,4C=y,由球。的表面積為20兀，可得R?=5,再求出三角形A5C外接圓的

半徑，利用余弦定理及基本不等式求孫的最大值，代入棱錐體積公式得答案.

【詳解】

設(shè)球。的半徑為R,AB=x,4C=y,

由4〃R2=20不，得六=5.

如圖:

D

設(shè)三角形ABC的外心為G,連接OG,G4,04,

可得。G=gAQ=l,則AG=J/?。-i=2?

在AA8C中，由正弦定理可得：一%=2AG=4,

sin120°

即BC=26

由余弦定理可得，BC2=12=x2+y2-2xyx(-^)=x2+/+Ay..3xy,

xy?4.

則三棱錐4一38的體積的最大值為994*而120。*2=竿.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查三棱錐的外接球、三棱錐的側(cè)面積、體積，基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力、運(yùn)

算求解能力，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.

8.B

【解析】

根據(jù)所給函數(shù)解析式，畫出函數(shù)圖像.結(jié)合圖像，分段討論函數(shù)的零點(diǎn)情況：易知x=0為g(x)=/(x)一質(zhì)的一個(gè)零

點(diǎn)；對(duì)于當(dāng)x<0時(shí)，由代入解析式解方程可求得零點(diǎn)，結(jié)合x<0即可求得A的范圍；對(duì)于當(dāng)x>0時(shí)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù),

結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷Z的范圍.綜合后可得攵的范圍.

【詳解】

根據(jù)題意，畫出函數(shù)圖像如下圖所示：

函數(shù)g(x)=/(x)-日的零點(diǎn)，即/(x)=

由圖像可知，/(0)=(),

所以x=0是/(x)-依=0的一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=—x2+gx,若/(X)-6=0,

則—f+'x—點(diǎn)=0,即x=_L_%,所以_L_%<0,解得_1<%；

2222

當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=ln(x+l),

貝！1廣(幻=」7,且工e(O,l)

若f(x)一依=0在x>0時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，貝麟€(0,1),

綜上可得無

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)圖像的畫法，函數(shù)零點(diǎn)定義及應(yīng)用，根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，導(dǎo)數(shù)的幾何意義應(yīng)用，屬于中

檔題.

9.D

【解析】

因?yàn)殡p曲線分左右支，所以。<0,根據(jù)雙曲線和正三角形的對(duì)稱性可知：第一象限的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(l+r,@f)(f>0),

3

將其代入雙曲線可解得.

【詳解】

因?yàn)殡p曲線分左右支，所以。<0,

根據(jù)雙曲線和正三角形的對(duì)稱性可知：第一象限的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1+7,曰f)Q>0),將其代入雙曲線方程得：

(l+r)2+”母。2=1,

-2

即1"+］，由/>0得。<—3.

5

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了雙曲線的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

10.D

【解析】

利用直線y=k(x+3)與圓f+>2=］相交求出實(shí)數(shù)人的取值范圍，然后利用幾何概型的概率公式可求得所求事件的

概率.

【詳解】

由于直線丁=可％+3)與圓f+y2=l相交，則普L<1,解得一〈包.

收+144

因此，所求概率為D2XTV2.

1----------------

24

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查幾何概型概率的計(jì)算，同時(shí)也考查了利用直線與圓相交求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.D

【解析】

如圖所示，過分別作4。_1/于。，BDL/于D,利用和AFPM?聯(lián)立方程組計(jì)算得

到答案.

【詳解】

如圖所示：過A3分別作AC于C,BDL2于D.

詡=2衣，則|AC|=|忻M|=g,

4

絲二坐即

根據(jù)AAPC~A5PD得到:

BPBDAP+i+BDBD

3

4

7AP+-c

A/FM，即一產(chǎn)一R

根據(jù)AFPM~ABP￡>得到：—-

BPBDAP+-+BDBD

3

Q16

解得AP=1,BD=4,故|AB|=|AE|+忸丹=|AC|+忸O|=寸.

本題考查了拋物線中弦長問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.

12.B

【解析】

由題知/(x)為奇函數(shù)，且〃l+x)+/(2-x)=0可得函數(shù)/(x)的周期為3,分別求出

/(0)=0,/(1)=1,/(2)=-1,知函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的和是0,利用函數(shù)周期性對(duì)所求式子進(jìn)行化簡可得.

【詳解】

因?yàn)椤癤)為奇函數(shù)，故為(0)=0；

因?yàn)閥(l+x)+/(2—x)=0,故/(l+x)=—/(2-x)=/(x—2),

可知函數(shù)/(x)的周期為3；

在/(l+x)+/(2-x)=0中，令％=1,故"2)=—〃1)=一1,

故函數(shù)/(x)在一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)值和為0,

故/(1)+/(2)+/⑶+…+/(2020)=/(I)=1.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)奇偶性與周期性綜合問題.其解題思路：函數(shù)的奇偶性與周期性相結(jié)合的問題多考查求值問題，常利用

奇偶性及周期性進(jìn)行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.2

26

【解析】

TT1971

根據(jù)三角函數(shù)定義表示出演)=cosa,由同角三角函數(shù)關(guān)系式結(jié)合cos(a+—)=--求得sin(a+一),而

4134

(71

x0=cosa=cosIa+—,展開后即可由余弦差角公式求得％的值.

【詳解】

點(diǎn)？(玉),〉0)在單位圓。上，設(shè)NxOP=a，

由三角函數(shù)定義可知cosa=x),sina=乂)，

E、，3乃、r,71(71\

因?yàn)椤陘(二,丁)，則a+丁(彳,萬

444<2)

所以由同角三角函數(shù)關(guān)系式可得sin(a+?)小。。山+介卜闈陪

所以玉)=COS6Z=COS1a+

(乃、71.(.71

=coscos—+sina+—sin—

Ia+—4；4I4；4

12>/25V2-7夜

=---X----1---X---=-----

13213226

故答案為：二Z四.

26

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角函數(shù)定義，同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，余弦差角公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

14.(e,+oo)

【解析】

fix)=%一mIInxI恰好有3個(gè)不同的零點(diǎn)=〃?--=o(x*1)恰有三個(gè)根，然后轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域即可.

11nxi

【詳解】

解：/(無)=X—機(jī)|InxI恰好有3個(gè)不同的零點(diǎn)o"L卮=°(x豐1)恰有三個(gè)根，

Y

----(0,1)

令g(")"向‘("力g(')=向Inx

*,xe(l,+8)

Unx

xw(O,l),g，(尤)=>(),g(x)在xe(O,l)遞增;

xe(l,oo),gz(x)=>0,

Inx

xe(l,e),g'(x)=q^」<O,g(x)遞減，

xe(e,8),g,x)l〉0,g(x)遞增，

Inx

gOn=g(e)=e

根〉e時(shí)，/(x)在xe(O,l)有一個(gè)零點(diǎn)，在尤w(l,4w)有2個(gè)零點(diǎn)；

故答案為：me(e,+oo).

【點(diǎn)睛】

已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，這類題一般用分離參數(shù)的方法，中檔題.

1

15.-

4

【解析】

采用列舉法計(jì)算古典概型的概率.

【詳解】

拋擲一枚硬幣兩次共有4種情況，即(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，

在家學(xué)習(xí)只有1種情況，即(正，正)，故該同學(xué)在家學(xué)習(xí)的概率為5.

4

故答案為：—

4

【點(diǎn)睛】

本題考查古典概型的概率計(jì)算，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道基礎(chǔ)題.

16.8

【解析】

9191

根據(jù)2x+——+——=x+l+——+X-1+——(x>l),利用基本不等式可求得函數(shù)最值.

x+1x-\x+1x-\

【詳解】

919191

Qx>l,2XH---------1--------=X+1H---------hx-lH-------->6+2=8,當(dāng)且僅當(dāng)x+1=-------且x-1=--------,即x=2

x+1x-1x+1x-\x+1x-1

91

時(shí)，等號(hào)成立..?.x=2時(shí)，2x+上-+——取得最小值8.

x+1x-1

故答案為：8

【點(diǎn)睛】

本題考查基本不等式，構(gòu)造基本不等式的形式是解題關(guān)鍵.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.見解析

【解析】

(1)因?yàn)閎,c成等差數(shù)列，所以a=。+。,

(c+c)2-2ac-b23b2-2ac3b2,

由余弦定理可得cos8=--------------------------=--------------=---------1,

laclaclac

12i?b26

因?yàn)?。+。)6=彳。。，所以2〃=不。。，即Bn一=一,

ac5

D3/36?4

所以cos8=-------1=—x——1=—.

2ac255

(2)若5為直角，則sinB=l,sinC=cosA,

1212

由(。+。)人=及正弦定理可得sinA+sinC=—sin/AsinC,

[26

所以sinA+cos>4=—sinAcosA,即sinA+cosA=—sin2A,

上式兩邊同時(shí)平方，可得1+sin2A=||sin22A,所以(9sin2A+5)(4sin2A-5)=0(*).

又Ovsin2A<1,所以9sin2A+5>0,4sin2A-5<0,

所以(9sin2A+5)(4sin2A-5)<0,與(*)矛盾，

所以不存在AABC滿足B為直角.

18.(1)見解析；(2)立

3

【解析】

(1)要證明PC_L面AOE,由已知可得AZ)_LPC,只需滿足尸。=0即可，從而得到點(diǎn)E為中點(diǎn)；(2)求出面ADE

的法向量，面R1E的法向量，利用空間向量的數(shù)量積，求解二面角尸-AE-。的余弦值.

【詳解】

(1)法一：要證明PCJ_面ADE,易知AD_L面PDC,即得AD_LPC,故只需力左.斤=0即可，

所以由(海+屋).定=0n》?無+而?元=0n|而|=1,即存在點(diǎn)E為PC中點(diǎn).

法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-XYZ,由題意知PD=CD=1,

CE=0，設(shè)定=PE=APB=,PC=(O,l,-l),由

PC-DE=PC-(DP+P￡)=(0,l,-l)(V2A,2,l-A)=0,得；I=g,

即存在點(diǎn)E為PC中點(diǎn).

（2）由（1）知。（0,0,0）,A（V2,0,0）,E—,尸（0,0,1）

\乙）

DA-（V2,0,0）,DE=\-,-,^\,西=（四,0,-1）,PE=[-,-,~-

'7222\'222

\/\7

設(shè)面ADE的法向量為點(diǎn)=zj,面PAE的法向量為區(qū)=（工2,%，Z2）

6%=0

n,-DA=0

1得,J以+9+白=。刖=(°2)'

由的法向量為*瓦=0骨

同理求得石=(i,o,J5)

~73

所以cos。=|二二；=一三,

|聞3

故所求二面角P-AE-D的余弦值為且.

3

【點(diǎn)睛】

本題考查二面角的平面角的求法，考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力.

19.(1)a=0.01力=5,乙公司影響度高；(2)見解析，E(X)=2

【解析】

(D利用各小矩形的面積和等于1可得“，由導(dǎo)游人數(shù)為40人可得從再由總收人不低于40可計(jì)算出優(yōu)秀率；

(2)易得總收入在U0,20)中甲公司有4人，乙公司有2人，則甲公司的人數(shù)X的值可能為1,2,3,再計(jì)算出相應(yīng)

取值的概率即可.

【詳解】

(1)由直方圖知，(a+0.025+0.035+0.02+a)xl0=l,解得。=0.()1,

由頻數(shù)分布表中知：2+人+20+10+3=40,解得。=5.

所以，甲公司的導(dǎo)游優(yōu)秀率為：(0.02+0.01)x10x100%=30%,

乙公司的導(dǎo)游優(yōu)秀率為：100%=32.5%,

40

由于32.5%>30%,所以乙公司影響度高.

(2)甲公司旅游總收入在“0,20)中的有0.01x10*40=4人，

乙公司旅游總收入在“0,20)中的有2人，故X的可能取值為L2,3,易知:

C'c241C2C'123

P(x=D=^\0P(x=2)=玄-0

C341

P<(X=3))=-C^；-=—20=-5-

所以X的分布列為:

X123

131

rp

555

131

E(X)=lx-+2x-+3x-=2.

555

【點(diǎn)睛】

本題考查頻率分布直方圖、隨機(jī)變量的分布列與期望，考查學(xué)生數(shù)據(jù)處理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，是一道中檔題.

29

20.(1)三；(2)①分布列見解析，￡(X)=238.6；②小張應(yīng)選擇甲公司應(yīng)聘.

140

【解析】

(1)記抽取的3天送餐單數(shù)都不小于40為事件A,可得P(A)的值.

(2)①設(shè)乙公司送餐員送餐單數(shù)為可得當(dāng)。=38時(shí)，X=38x6,以此類推可得：當(dāng)。=39時(shí)，當(dāng)。=40時(shí)，X

的值.當(dāng)a=41時(shí)，X的值，同理可得：當(dāng)a=42時(shí)，X.X的所有可能取值.可得X的分布列及其數(shù)學(xué)期望.

②依題意，甲公司送餐員日平均送餐單數(shù).可得甲公司送餐員日平均工資，與乙數(shù)學(xué)期望比較即可得出.

【詳解】

解：(1)由表知，50天送餐單數(shù)中有30天的送餐單數(shù)不小于40單，

記抽取的3天送餐單數(shù)都不小于40為事件A，

則P(A)=^=生.

人」J￡140

(2)①設(shè)乙公司送餐員的送餐單數(shù)為〃，日工資為X元，則

當(dāng)〃=38時(shí)，X=38x6=228；當(dāng)〃=39時(shí)，X=39x6=234；當(dāng)〃=40時(shí)，X=40x6=240；

當(dāng)〃=41時(shí)，X=40x6+7=247；當(dāng)〃=42時(shí)，X=40x6+14=254.

所以X的分布列為

X228234240247254

3]_1

P

5105510

E(X)=228x-!-+234x—+240x1+247x1+254x—=238.6.

5105510

②依題意，甲公司送餐員的日平均送餐單數(shù)為

38x0.2+39x0.2+40x0.3+41x0.2+42x0.1=39.8,

所以甲公司送餐員的日平均工資為80+4x39.8=239.2元，

因?yàn)?38.6<239.2,所以小張應(yīng)選擇甲公司應(yīng)聘.

【點(diǎn)睛】

本題考查了隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望、古典概率計(jì)算公式、組合計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中

檔題.

21.(1)證明見解析(2)叵

11

【解析】

(1)由故AB=BB「所以四邊形A為菱形，再通過ACQ4名ACOB,證得AO=30,

所以四邊形AB用人為正方形，得到ABLAA-

_fm-AA=0,

(2)根據(jù)(1)的論證，建立空間直角坐標(biāo)，設(shè)平面4ACG的法向量為加=(x,y,z),由Jc求得，再由

m-AC=0.

而=[血,一豐,豐，利用線面角的向量法公式求解.

I33,

【詳解】

(1)因?yàn)镹BAB[=NBB[A,故48=34，

所以四邊形AA8A為菱形，

而CO，平面ABB14