2022屆浙江省選考十校聯(lián)盟高考數(shù)學(xué)二模試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3,請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.如圖在直角坐標(biāo)系xOv中，過原點(diǎn)。作曲線y=f+i（x20）的切線，切點(diǎn)為p,過點(diǎn)p分別作x、y軸的垂線,

垂足分別為A、B,在矩形加方中隨機(jī)選取一點(diǎn)，則它在陰影部分的概率為（）

2.若x,a力均為任意實(shí)數(shù)，且(a+2)2+0—3)2=1,貝ij(x—+(hrv—人)？的最小值為()

A.372B.18C.372-1D.19—60

3.在正方體ABC。-A4GA中，球。I同時(shí)與以A為公共頂點(diǎn)的三個(gè)面相切，球。2同時(shí)與以G為公共頂點(diǎn)的三個(gè)

r.

面相切，且兩球相切于點(diǎn)尸.若以尸為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線經(jīng)過O2,設(shè)球&的半徑分別為弓，弓，則,=

r2

()

V5-1B.V3-V2C.1一也D.2-6

22

4.已知數(shù)列｛4｝滿足為%=2,且q,%，4成等比數(shù)列?若｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，則S”的最小值為（）

A.-10B.-14C.-18D.-20

5.已知雙曲線￡：三-卓=1與雙曲線。2：9-丁=1沒有公共點(diǎn)，則雙曲線a的離心率的取值范圍是（）

A.(1,百]B.[G,+°o)C.(1,5/5]D.[百,+00)

6.函數(shù)〃x）=：-+sinx的圖象的大致形狀是（）

7.函數(shù)y=，4—4的定義域?yàn)锳,集合5={Mlog2（x+l）>l},則AD8=（）

A.{x[l<x<2}B.{x|-2<x<2}C.{x|-2Vx<3}D.{x[l<x<3}

8.已知平面向量滿足|￡|=|自，且（血?jiǎng)t￡,坂所夾的銳角為（）

71Tl兀

A.—B.—C.—D.0

643

9.已知復(fù)數(shù)z滿足z（l+i）=4-3"其中i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面中對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為（）

10.直線y="+l與拋物線C：f=4y交于A,5兩點(diǎn)，直線///AB,且，與C相切，切點(diǎn)為P,記ARS的面積

為S,則S-|A8|的最小值為（）

11.某空間幾何體的三視圖如圖所示（圖中小正方形的邊長為1）,則這個(gè)幾何體的體積是（）

C.16D.32

12.已知六棱錐P-ABC。所各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球(記為球。)的球面上，且底面為正六邊形，頂點(diǎn)P在

底面上的射影是正六邊形ABCQ砂的中心G,若PA=巫,AB=yfi，則球。的表面積為()

167r9乃

B.—C.6兀D.9T

4

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知數(shù)列｛《,｝的首項(xiàng)4=1,函數(shù)/(%)=陰4+[-(2q,+l)cosx在R上有唯一零點(diǎn),則數(shù)列|｛。“｝的前〃項(xiàng)和

S“

14.已知函數(shù)/(x)=xlnx-2a在點(diǎn)(1,/(1))處的切線經(jīng)過原點(diǎn)，函數(shù)g(x)=」里的最小值為“，則

X

772+2（7=

15.已知數(shù)列｛??）的前?項(xiàng)滿足4+24+3a3+…+%=2C；+2n（wN、,則對

16.AA3C內(nèi)角A,B,。的對邊分別為“，b,c,若2ccosB=2a+b,則NC

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）設(shè)函數(shù)/（x）=ar-（a+l）ln（尤+1）.

(1)4=1時(shí)，求“X)的單調(diào)區(qū)間;

(2)當(dāng)a>0時(shí)，設(shè)〃x)的最小值為g(a),若g(a)〈，恒成立，求實(shí)數(shù)r的取值范圍.

18.（12分）如圖，在三棱柱A8C-A4C|中，AC1BC9AB1BB,,AC=BC=BB],。為45的中點(diǎn)，且.

(1)求證：BB|J.平面ABC；

(2)求銳二面角。一一G的余弦值.

19.(12分)如圖，湖中有一個(gè)半徑為1千米的圓形小島，岸邊點(diǎn)A與小島圓心C相距3千米，為方便游人到小島觀光,

從點(diǎn)A向小島建三段棧道AB,BD,3E,湖面上的點(diǎn)3在線段AC上，且30,3E均與圓C相切，切點(diǎn)分別為。，

E,其中棧道AB,BD,班和小島在同一個(gè)平面上.沿圓。的優(yōu)弧(圓C上實(shí)線部分)上再修建棧道記NC80

為仇

(1)用。表示棧道的總長度/(。)，并確定sine的取值范圍;

(2)求當(dāng)。為何值時(shí)，棧道總長度最短.

20.(12分)2019年9月26日，攜程網(wǎng)發(fā)布《2019國慶假期旅游出行趨勢預(yù)測報(bào)告》，2018年國慶假日期間，西安共

接待游客1692.56萬人次，今年國慶有望超過2000萬人次，成為西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司規(guī)定：若

公司某位導(dǎo)游接待旅客，旅游年總收人不低于40(單位：萬元)，則稱該導(dǎo)游為優(yōu)秀導(dǎo)游.經(jīng)驗(yàn)表明，如果公司的優(yōu)秀導(dǎo)

游率越高，則該公司的影響度越高.已知甲、乙家旅游公司各有導(dǎo)游40名，統(tǒng)計(jì)他們一年內(nèi)旅游總收入，分別得到甲

公司的頻率分布直方圖和乙公司的頻數(shù)分布表如下：

分組110,20)[20,30)[30,40)[40,50)

頻數(shù)2b2010

(1)求。，8的值，并比較甲、乙兩家旅游公司，哪家的影響度高？

(2)從甲、乙兩家公司旅游總收入在U0,20)(單位：萬元)的導(dǎo)游中，隨機(jī)抽取3人進(jìn)行業(yè)務(wù)培訓(xùn)，設(shè)來自甲公司的人

數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

21.(12分)在某社區(qū)舉行的2020迎春晚會(huì)上，張明和王慧夫妻倆參加該社區(qū)的“夫妻蒙眼擊鼓”游戲，每輪游戲中張

明和王慧各蒙眼擊鼓一次，每個(gè)人擊中鼓則得積分100分，沒有擊中鼓則扣積分50分，最終積分以家庭為單位計(jì)分.

32

已知張明每次擊中鼓的概率為一，王慧每次擊中鼓的概率為；；每輪游戲中張明和王慧擊中與否互不影響，假設(shè)張明

43

和王慧他們家庭參加兩輪蒙眼擊鼓游戲.

(1)若家庭最終積分超過200分時(shí)，這個(gè)家庭就可以領(lǐng)取一臺(tái)全自動(dòng)洗衣機(jī)，問張明和王慧他們家庭可以領(lǐng)取一臺(tái)全

自動(dòng)洗衣機(jī)的概率是多少？

(2)張明和王慧他們家庭兩輪游戲得積分之和J的分布列和數(shù)學(xué)期望EC).

X=tCOS69,

22.（10分）在直角坐標(biāo)系x。），中，直線《的參數(shù)方程為.a為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為

y=rsin（p.

X=ZCOS

（，為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，、軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線。的極坐標(biāo)方程為

y=tsin

「sin?"cos。.

（I）求。4的極坐標(biāo)方程和C的直角坐標(biāo)方程;

(II)設(shè)04分別交C于AB兩點(diǎn)（與原點(diǎn)。不重合），求|。4卜|。目的最小值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

y=kx（k>0）

設(shè)所求切線的方程為y=6,聯(lián)立'2,‘，消去）'得出關(guān)于》的方程，可得出△=（），求出攵的值，進(jìn)而求得

%+1

切點(diǎn)尸的坐標(biāo)，利用定積分求出陰影部分區(qū)域的面積，然后利用幾何概型概率公式可求得所求事件的概率.

【詳解】

設(shè)所求切線的方程為y=",則女〉0,

y=kx（k>0）,_

聯(lián)立廠2,“，消去>得V+1=0①，由△=產(chǎn)一4=o,解得％=2,

y=x~+\

方程①為V—2x+l=0,解得x=l，則點(diǎn)P（l,2）,

1/1\1

所以，陰影部分區(qū)域的面積為S=J（f+l-2x）以一/+了|；=-,

q1

矩形的面積為S'=1x2=2,因此，所求概率為P=r=—.

S6

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查定積分的計(jì)算以及幾何概型，同時(shí)也涉及了二次函數(shù)的切線方程的求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

2.D

【解析】

該題可以看做是圓上的動(dòng)點(diǎn)到曲線y=扇上的動(dòng)點(diǎn)的距離的平方的最小值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到曲線y=山上的

動(dòng)點(diǎn)的距離減去半徑的平方的最值問題，結(jié)合圖形，可以斷定那個(gè)點(diǎn)應(yīng)該滿足與圓心的連線與曲線在該點(diǎn)的切線垂直

的問題來解決，從而求得切點(diǎn)坐標(biāo)，即滿足條件的點(diǎn)，代入求得結(jié)果.

【詳解】

由題意可得，其結(jié)果應(yīng)為曲線y=hw上的點(diǎn)與以。（-2,3）為圓心，以1為半徑的圓上的點(diǎn)的距離的平方的最小值，可

以求曲線y=山上的點(diǎn)與圓心C（-2,3）的距離的最小值，在曲線y=加上取一點(diǎn)向，曲線有y=Inx在點(diǎn)

M處的切線的斜率為從而有％.W-l,即她二=-1,整理得加〃+疝+2〃?一3=0,解得機(jī)=1,

mm+2m

所以點(diǎn)（1,0）滿足條件，其到圓心。（一2,3）的距離為"=/_2-1）2+（3—0）2=3",故其結(jié)果為

（372-1）?=19-672,

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)在一點(diǎn)處切線斜率的應(yīng)用，考查圓的程，兩條直線垂直的斜率關(guān)系，屬中檔題.

3.D

【解析】

由題先畫出立體圖，再畫出平面處的截面圖，由拋物線第一定義可知，點(diǎn)。2到點(diǎn)尸的距離即半徑G，也即

點(diǎn)。2到面。RG的距離，點(diǎn)。2到直線的距離即點(diǎn)。2到面ABBA的距離因此球。2內(nèi)切于正方體，設(shè)G=1,

兩球球心和公切點(diǎn)都在體對角線AG上，通過幾何關(guān)系可轉(zhuǎn)化出心進(jìn)而求解

【詳解】

根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)。2到點(diǎn)F的距離與到直線的距離相等，其中點(diǎn)。2到點(diǎn)尸的距離即半徑與，也即點(diǎn)2到

面CDDg的距離，點(diǎn)。2到直線A片的距離即點(diǎn)儀到面ABgA的距離，因此球。2內(nèi)切于正方體，不妨設(shè)弓=1,兩

個(gè)球心。，Q和兩球的切點(diǎn)尸均在體對角線AC；上，兩個(gè)球在平面處的截面如圖所示，則

==1,AO,=與=百，所以4尸=4。2_02尸=有_1.又因?yàn)?尸=40|++弓，因此（6+1）4=6-1,

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查立體圖與平面圖的轉(zhuǎn)化，拋物線幾何性質(zhì)的使用，內(nèi)切球的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化思想，直觀想象與數(shù)

學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)

4.D

【解析】

利用等比中項(xiàng)性質(zhì)可得等差數(shù)列的首項(xiàng)，進(jìn)而求得S“，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可得當(dāng)〃=4或5時(shí)，S“取到最小值.

【詳解】

根據(jù)題意，可知為等差數(shù)列，公差d=2,

由4M3,。4成等比數(shù)列，可得d=?,?4，

2

二(q+4)=q(q+6),解得ax=-8.

.0,〃(〃一1)°2c/9281

..Sc,=-8n+------x2=〃-9n=(n——)---.

"224

根據(jù)單調(diào)性，可知當(dāng)〃=4或5時(shí)，S”取到最小值，最小值為-20.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式、等比中項(xiàng)性質(zhì)、等差數(shù)列前"項(xiàng)和的最值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考

查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意當(dāng)〃=4或5時(shí)同時(shí)取到最值.

5.C

【解析】

先求得的漸近線方程，根據(jù)G，C2沒有公共點(diǎn)，判斷出G漸近線斜率的取值范圍，由此求得G離心率的取值范圍.

【詳解】

2222

雙曲線1的漸近線方程為曠=±2%，由于雙曲線G：「-2=1與雙曲線C,：^—/=1沒有公共點(diǎn)，

'a2h224

所以雙曲線G的漸近線的斜率2,所以雙曲線G的離心率e

a

故選：c

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查雙曲線的漸近線，考查雙曲線離心率的取值范圍的求法，屬于基礎(chǔ)題.

6.B

【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性，可排除D；求得了'（X）及/"（X）,由導(dǎo)函數(shù)符號可判斷“X）在R上單調(diào)遞增，即可排除AC選項(xiàng).

【詳解】

1/、/

函數(shù)/(x)=——Fsinx

易知”X）為奇函數(shù)，故排除D.

2

又（X）=上+COSX,易知當(dāng)o,-時(shí)，r（x）＞o；

71

「r兀2x

又當(dāng)時(shí)，/"(%)=-----sinx>l-sinx>0,

71

故尸（x）在信+刃］冗71

上單調(diào)遞增，所以r（x）＞r

綜上，x?0,+8）時(shí)，/,（x）＞0,即“X）單調(diào)遞增.

又/（x）為奇函數(shù)，所以/（X）在R上單調(diào)遞增，故排除A,C.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象，導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)與函數(shù)圖象關(guān)系，屬于中檔題.

【解析】

根據(jù)函數(shù)定義域得集合A,解對數(shù)不等式得到集合8,然后直接利用交集運(yùn)算求解.

【詳解】

解：由函數(shù)y=，4—/得4一/20,解得—2VxW2,即4={旬一2〈]42}；

又k）g2（x+l）>l=log22,解得X>1,即5={x|x>l},

則AcB={x[l<x〈2}.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了交集及其運(yùn)算，考查了函數(shù)定義域的求法，是基礎(chǔ)題.

8.B

【解析】

根據(jù)題意可得（缶-5）?5=（）,利用向量的數(shù)量積即可求解夾角.

【詳解】

因?yàn)椋?5），6=>（3萬—5）石=（）

即舟石=出「

a-b__5/2

而COS

7T

所以夾角為:

4

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量數(shù)量積求夾角，需掌握向量數(shù)量積的定義求法，屬于基礎(chǔ)題.

9.B

【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡Z,復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面中對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為IZI,利用模長公式即得解.

【詳解】

由題意知復(fù)數(shù)二在復(fù)平面中對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為IZI,

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，模長公式和幾何意義，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)形結(jié)合的能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.D

【解析】

設(shè)出A3坐標(biāo)，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用弦長公式求得|A回，再由點(diǎn)到直線的距離公式求得P到43的距離，

得到AR4B的面積為S,作差后利用導(dǎo)數(shù)求最值.

【詳解】

V=l(Y+1

設(shè)B(x2,y2),聯(lián)立\_4),，得X2一4西一4二0

則%+/=4%,y+%=&(玉+%2)+2=4〃+2

貝！J|AB|=y+%+〃=4二+4

丫21

由f=4y,得y二——ny'=-x

42

2

設(shè)P(廝，%)，則;n無o=2左，yQ=k

則點(diǎn)P到直線丁=丘+1的距離d=

從而5=3同卸.4=2①+1).而節(jié)

S—|AB|=2(公+1).7^71_4(公+1)=郵一4儲(chǔ)(d21).

4,/(^)=2??-4x2=>/z(^)=6x2-8x(x>l)

當(dāng)時(shí)，/'(x)<0；當(dāng)x>g時(shí)，/'(x)>0

故/(Ain=/［捫一景即ST蝴的最小值為~

本題正確選項(xiàng)：D

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求最值的問題.解決圓錐曲線中的面積類最值問題，通常采用

構(gòu)造函數(shù)關(guān)系的方式，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)或者利用函數(shù)值域的方法來求解最值.

11.A

【解析】

iiQ?

幾何體為一個(gè)三棱錐，高為4,底面為一個(gè)等腰直角三角形，直角邊長為4,所以體積是彳x4x7x42=一，選A.

323

12.D

【解析】

,________3

由題意，得出六棱錐P-ABCDEF為正六棱錐,求得PG=yJp^-AG2=2，再結(jié)合球的性質(zhì)，求得球的半徑R=，

利用表面積公式，即可求解.

【詳解】

由題意，六棱錐P-ABCDEE底面A6CDE尸為正六邊形，頂點(diǎn)P在底面上的射影是正六邊形ABC。防的中心G,

可得此六棱錐為正六棱錐，

又由A8=0，所以AG=0，

在直角AB4G中，因?yàn)镻4=n，所以PG7Px-AG?=2,

設(shè)外接球的半徑為R,

在AAOG中，可得AC>2=AG2+OG2,即R2=(2—R)2+(0)2,解得R=g,

所以外接球的表面積為S=4萬A?=9萬.

故選:O.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正棱錐的幾何結(jié)構(gòu)特征，以及外接球的表面積的計(jì)算，其中解答中熟記幾何體的結(jié)構(gòu)特征，熟練應(yīng)用

球的性質(zhì)求得球的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力，以及推理與計(jì)算能力，屬于中檔試題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.2n+l-?-2

【解析】

由函數(shù)/(X)為偶函數(shù)，可得唯一零點(diǎn)為x=0,代入可得數(shù)列｛%｝的遞推關(guān)系式，再進(jìn)行配湊轉(zhuǎn)換為等比數(shù)列，最

后運(yùn)用分部求和可得答案.

【詳解】

因?yàn)?(%)為偶函數(shù)，/(x)在R上有唯一零點(diǎn)，

所以/(°)=0，?,?4+1=2q+1,，a“+i+l=2(a,+l),

n+

???｛為+1｝為首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.所以4=2"-1,Sn=2'-n-2.

故答案為：2,,+i-n-2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的零點(diǎn),同時(shí)也考查了由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)，考查了數(shù)列的分部求和，屬于中

檔題.

14.0

【解析】

求出了'(x),/'(l),/(l),求出切線點(diǎn)斜式方程，原點(diǎn)坐標(biāo)代入，求出。的值，求g'(x),求出單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出極小

值最小值，即可求解.

【詳解】

/'(x)=l+lnx,/'⑴=1,f(1)=-2a,

切線4的方程：y+2a=x-l,

又4過原點(diǎn)，所以2a=—1,/(x)=xlnx+l,

g(x)=lnx+Lg，(x)'--v=

XXX

當(dāng)xe(0,1)時(shí)，g\x)<0；當(dāng)xe(l,+co)時(shí)，g'(x)>0.

故函數(shù)g(x)=取的最小值g(D=l,所以機(jī)=1,m+2a=0.

x

故答案為：0.

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，涉及到導(dǎo)數(shù)的幾何意義、極值最值，屬于中檔題..

15.n+1

【解析】

由已知寫出用代替〃的等式，兩式相減后可得結(jié)論，同時(shí)要注意許的求解方法.

【詳解】

?**%+2a2+3%+,?,+〃〃“=2c：+2①，

，〃22時(shí)，q+2%+3%+…+（"一1）?！ㄒ籡=2c：+[②,

①一②得nan=2（C,，一C3）=2C,"=〃（〃+1）,

:.an=n+\,

又％=2C；=2,

:?4=〃+1(nwN*).

故答案為：〃+1.

【點(diǎn)睛】

本題考查求數(shù)列通項(xiàng)公式，由已知條件.類比已知5〃求為的解題方法求解.

16.120°

【解析】

〃222

■:2c.eos3=2a+Z?,2cx-----------=2。+0,即a2+Z?2-c2=-ab，

2ac

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)的增區(qū)間為(1,+8),減區(qū)間為(一1,1)；(2)Z>0.

【解析】

(1)求出函數(shù)〃幻=6-3+1)及*+i)m>T)的導(dǎo)數(shù)，由于參數(shù)。的范圍對導(dǎo)數(shù)的符號有影響，對參數(shù)分類，再研究

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)由(1)的結(jié)論，求出g(a)的表達(dá)式，由于g(a)<f恒成立，故求出g(a)的最大值，即得實(shí)數(shù)/的取值范圍的

左端點(diǎn).

【詳解】

解：⑴解：fr(x)=a--=^-(x>-l),

當(dāng)。=1時(shí)，r(x)=q,解/(x)>0得/(X)的增區(qū)間為(1,+8),

X+1

解f'M<0得/(X)的減區(qū)間為(-1,1).

(2)解：若a〉0,由/'(x)>()得x>L,由/'(x)<0得—l<x<,,

aa

所以函數(shù)/(X)的減區(qū)間為1t,J

,增區(qū)間為

因?yàn)閍>0,所以g(a)</,8⑷_■￡<0,1+—jlnf1+——<0

aaa\a)\a)a

令h{x)=x-(l+x)ln(l+x)-tx(x>0),則h[x)<。恒成立,

由于h'(x)=-ln(l+x)-1,

當(dāng)，20時(shí)，h'(x)<0,故函數(shù)/z(x)在(0,+8)上是減函數(shù)，

所以〃(x)<〃(())=0成立；

當(dāng)/<0時(shí)，若〃(尤)>0則0<x<e-'—l,故函數(shù)力⑴在(0,/-1)上是增函數(shù)，

即對0<x<e-'一1時(shí)，/?(%)>/i(0)=0,與題意不符；

綜上，，之0為所求.

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值與最小值問題中的應(yīng)用，求解本題關(guān)鍵是根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，由最值的定義得出函

數(shù)的最值，本題中第一小題是求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，第二小題是一個(gè)求函數(shù)的最值的問題，此類題運(yùn)算量較大，轉(zhuǎn)化

靈活，解題時(shí)極易因?yàn)樽冃闻c運(yùn)算出錯(cuò)，故做題時(shí)要認(rèn)真仔細(xì).

18.(1)證明見解析；(2)巫.

5

【解析】

(1)證明8，回后可得。。_1平面8片44,從而得結(jié)合已知得線面垂直；

(2)以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CB為％軸，CC為丁軸，C4為z建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CG=2,寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，求

出二面角的面的法向量，由法向量夾角的余弦值得二面角的余弦值.

【詳解】

(1)證明：因?yàn)锳C=BC,D為BC中點(diǎn),

所以CDLAB,又CO_LO4，ABC\AiD=D,

所以CD_L平面又平面44,48,

所以CO乃，又B]BLAB,ABC\CD=D,

所以B|BJ.平面ABC.

(2)由已知及(1)可知CB,CC,,G4兩兩垂直，所以以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CB為x軸，eq為)，軸，C4為二建

立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)C0=2,則

C（0,0,0）,8（2,0,0）,A（0,0,2）,C,（0,2,0）,4（0,2,2）,￡>（1,0,1）.

設(shè)平面OC4，的法向量1=(%,y,zj,則

“E=01玉+4=0

令Z[=-l,則勺

nt-C4-0'|2y,+2z,=0

設(shè)平面。GA的法向量后=伍,%/2)，則

-CD=0x-2y2+z=0

{即《22令％=1，則叼=（2,1,0）,

2?￡4=02Z2=。

々?%_3_VL5

所以cos3,成

|°I|同百x65

故銳二面角C-D\-C,的余弦值為叵.

5

【點(diǎn)睛】

本題考查證明線面垂直，解題時(shí)注意線面垂直與線線垂直的相互轉(zhuǎn)化.考查求二面角，求空間角一般是建立空間直

角坐標(biāo)系，用向量法易得結(jié)論.

19.（1）/<6）=3——匚+二一+乃+26,sinOe（2）當(dāng)夕=工時(shí)，棧道總長度最短.

'八'，sin。tan。[3J'，3

【解析】

（1）連CO,CE,由切線長定理知：BE=BD=~^-=-^,BC=-=—,AB=AC-BC^3———>0,

tan0tan6sin0sin0sin0

sin。、；，即sine（,=g,

則“6)=3—」+=+萬+2%進(jìn)而確定sin。的取值范圍;

sm。tan”L2J

⑵根據(jù)/⑻=26-1—；：：。+乃+3求導(dǎo)得/,⑻=一。嗎：：廠1),利用增減性算出〃。)而.=:+3,

進(jìn)而求。得取值.

【詳解】

CD1CD_1

解：(1)連CD,CE,由切線長定理知：BE=BD=BC

tan。tan。sin0sin0

/CBE=/CBD=6,又CD工BD,CE1BE,故〃。5=開一26,

則劣弧QE的長為兀―2。，因此，優(yōu)弧OE的長為萬+26，

又AC=3,故AB=AC—BC=3———>0,sin^>-,Bpsin6?=-,e|0,-

sin633k2

所以，f（0]=3--，+F+萬+26,則sin.w!，]；

sin0tan6L27L3）

1一2cos。其中sinq=；,0e|^0,1

⑵/⑻=2。-+TT+3,O

sin。

-cos￡（2cos￡-l）

/（卜sii?。

71

e,0，f）7

7'⑻-0+

/⑻單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

故e=（時(shí)，/eL.=^+3

jr

所以當(dāng)6=］時(shí)，棧道總長度最短.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)當(dāng)中的應(yīng)用，屬于中檔題.

20.(1)。=0.01,6=5,乙公司影響度高；(2)見解析，E(X)=2

【解析】

(1)利用各小矩形的面積和等于1可得“，由導(dǎo)游人數(shù)為40人可得心再由總收人不低于40可計(jì)算出優(yōu)秀率；

(2)易得總收入在［10,20)中甲公司有4人，乙公司有2人，則甲公司的人數(shù)X的值可能為1,2,3,再計(jì)算出相應(yīng)

取值的概率即可.

【詳解】

(1)由直方圖知，(a+0.025+0.035+0.02+4)x10=1,解得。=0.()1,

由頻數(shù)分布表中知：2+人+20+10+3=40,解得〃=5.

所以，甲公司的導(dǎo)游優(yōu)秀率為：(002+0.01)x10x100%=30%,

乙公司的導(dǎo)游優(yōu)秀率為：100%=32.5%,

40

由于32.5%>30%,所以乙公司影響度高.

(2)甲公司旅游總收入在“0,20)中的有0.01x10*40=4人，

乙公司旅游總收入在口0,20)中的有2人，故X的可能取值為1,2,3,易知:

2}_212

P(X=1)=^C'C^=—4尸(X=2)=士CC勺'=竺3

Cl205C；205

P(X=3)=34_1

20-5

所以X的分布列為:

X123

131

P

555

131

￡(X)=lx-+2x-+3x-=2.

555

【點(diǎn)睛】

本題考查頻率分布直方圖、隨機(jī)變量的分布列與期望，考查學(xué)生數(shù)據(jù)處理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，是一道中檔題.

2

21.(1)y(2)詳見解析

【解析】

(D要積分超過200分，則需兩人共擊中4次，或者擊中3次，由此利用相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求概

率.

(2)求得4的所有可能取值，根據(jù)相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式，計(jì)算出分布列并求得數(shù)學(xué)期望.

【詳解】

(1)由題意，當(dāng)家庭最終積分超過200分時(shí)，這個(gè)家庭就可以領(lǐng)取一臺(tái)全自動(dòng)洗衣機(jī)，所以要想領(lǐng)取一臺(tái)全自動(dòng)洗衣

機(jī)，則需要這個(gè)家庭夫妻倆在兩輪游戲中至少擊中三次鼓.設(shè)事件4為“張明第i次擊中”，事件為“王慧第i次擊中”,

i=l,2,由事件的獨(dú)立性和互斥性可得P(張明和王慧家庭至少擊中三次鼓)

=P（A&B|52）+P（左4452）+P（A4452）+P（A4瓦52）+P（A44瓦）

3322(1322331212

XXX+2X7x7x7x7+7x7xox7=；，所以張明和王慧他們家庭可以領(lǐng)取一臺(tái)全自動(dòng)洗衣機(jī)的概

=7474Z373144334433J3

率是；

3

(2)4的所有可能的取值為一200,-50,100,250,400.

PC=_20O）」xL』xL-i-,

4433144

111231115

PC2x—X—X—X—+—X—X—X—