2020-2021學(xué)年人教版必修二高一數(shù)學(xué)滿分期末沖刺卷07 平面向量及其應(yīng)用（難點）解析版

專題07平面向量及其應(yīng)用（難點）

一、單選題

1.|。4卜]。8|=1,。4與布的夾角為120°，0d與礪的夾角為300，若4=4礪+〃麗（4>0,〃〉0），

2

則一=（）

A.@B.C.-D.2

232

【答案】D

【解析】

0D]

將加沿方與麗方向進行分解，易得0/5=/1礪,礪=〃。3，再在4。。。中，.-，

CDsinNCOD

代入相關(guān)值即可得到答案.將詼沿礪與礪方向進行分解，延長OA、0B至D、E，以。。、0E為鄰邊、

0C為對角線畫出平行四邊形，如圖，

由平行四邊形法則有反=丸西+〃礪=歷+前，且九〃>0,所以。方=2。X,

OD11

____—__________———2

0E=〃0B,又NDOC=30°，NOCD=90°，在△DOC中，CDsinZCOD1'

2

AOAJ

即—.==2.

HOB4

故選：D

E上t---------------5\yxe

------------

o.4

【點睛】

0D

:.二八,考查了學(xué)生的討

本題考查平面向量的基本定理的應(yīng)用，關(guān)鍵點是數(shù)形結(jié)合得到==

CDsinZCOZ)

—?)1—?

2.設(shè)。為兩個非零向量方泊的夾角，且0<。<一,已知對任意實數(shù)re(—1,1),|b+應(yīng)I無最小值，則以下說

2

法正確的是()

A.若。和|B|確定，則|。|唯一確定

B.若。和確定，則I萬I有最大值

C.若夕確定,則|利〉|5|

D.若。不確定，則|菊與|行|的大小關(guān)系不確定

【答案】B

【解析】

令雙力=力2+2-~+片，其對稱軸為，=—4=一處”，結(jié)合題意要使得+內(nèi)無最

'a\a\

小值，則對稱軸不在(T,l),從而可得|Z|”|B|COS6或|￡|,,—|B|cos。，進而可選出正確答案.由題意知,

\b+ta|2=at2+2a-bt+^>令g⑺=at2+2a-bt+b則函數(shù)gQ)的圖象的對稱軸為

a-hIbIcos6曰、，，<一,一“rIbIcos0IbIcos6.”一

t—----=--------，因為，￡(—1,1)J/7+，。|無最小值，所以----------,,-1或---------..1?所以

a⑷1。1

\a\?|1|cos6或|￡|”一|B|cos。,所以6和|B|確定，則|2|有最大值

故選：B.

【點睛】

關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵在于利用二次函數(shù)的性質(zhì)，分析對稱軸的位置，從而得出。和|加確定，則|￡|有最

大值.

3.在梯形A5CO中，已知AB//CD,AB=5,AZ>=2J5,C￡>=1,且亞.麗=7,設(shè)點。為8C邊上的任

一點，則而.而的最小值為()

911

A.-B.—C.3D.-15

55

【答案】B

【解析】

由入6―8萬=7求出向量而，無巨的夾角的余弦值，設(shè)6戶然后建立平面直角坐標系利用向量坐標求

解數(shù)量積.設(shè)ND4B=8

則。而=(而+戲)?(麗+砌=而?麗+而2+配?麗+反?而

=-5x2石cos^+20-1x5+lx2x/5cos0

=15-86cos。

由恁-8/5=7，則15-86cos6=7，所以cos6=@

5

過點。作DO_LAB交AB于點。，以。為原點，AB為x軸，。。為N軸，建立平面直角坐標系.

在直角△AOD中，由4e=cos6=，5,可得AO=2,則?！?=4

AD5

所以A(-2,0),8(3,0),0(0,4),。(1,4)

設(shè)麗=4配=4(-2,4)=(—24,44)(0<%W1)

Q=礪+而=(5,0)+(-24,42)=(5-22,42)

DP=ZM+Afi+^P=(-2,^)+(5-22,42)=(3-22,42-4)

所以A戶.。戶=(5-22,42)?(3-22,4/1-4)=20A2-322+15

411

所以當4=e時.，Q.麗有最小值§

故選：B

關(guān)鍵點睛：本題考查利用向量的數(shù)量積求向量夾角利用向量坐標求解向量數(shù)量積的最小值，解答本題的關(guān)鍵是由

而?麗=7求出向量而，礪的夾角的余弦值，再建立坐標系，得出點的坐標，設(shè)而二九及，利用向量的

坐標得出而?麗=20矛-32/1+15，屬于中檔題.

4.設(shè)?為單位向量，滿足恒一回《灰花=1+￡5=31+￡,設(shè)@石的夾角為氏則cos2的可能

取值為()

19202838

A.——B.—C.—D.——

29292929

【答案】C

【解析】

根據(jù)［,為單位向量，設(shè)不=(l,O),1=(x,y),且f+y2=i,得到￡石的坐標，再根據(jù)2家一司

(-平

a-b

得到X的范圍,然后利用cos?6=求解.因為［，晟為單位向量,

、同帆

不妨設(shè)4=(1,0),02=(x,y),且f+y2=l,

所以a=(l+x,y),B=(3+x,y),

又因為|21一￡卜

所以(x—2了+/W2,

3

化簡得一4x41,

4

/一、2

g、i，cS'b

所以cos-6=——，

〔同■附

(\2

(l+x)(3+x)+y2

J(1+X)2+/-7(3+X)2+J\

4(l+x)24(l+x)

一(l+x)(5+3x)-5+3x'

3?8

當*=:時，cos?G=~>

429

故選：C

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是在1,為單位向量的條件下，設(shè)1=(l,0)￡=(x,y),由同一司4J5確定x的

范圍.

5.在AABC中，4C分別是內(nèi)角A,5,C的對邊，sin4+J5sinB=2sinC，b=3,當內(nèi)角C最大時,

△A6c的面積為（)

八9+373「3向6D3>/3—^6

R6+3仆

4444

【答案】A

【解析】

已知等式利用正弦定理角化邊化簡，得到關(guān)系式，利用余弦定理表示出cos。，把得出關(guān)系式整理后代入，利用

基本不等式求出cosC的最小值，然后利用三角形面積公式計算.已知等式利用正弦定理化簡得：a+母b=2c，

兩邊平方得：（a+岳）2=4C.2,即/+2缶+2〃=4c2,

所以，，，0"+2〃一2億可

4

所以

c=癮+夫2回小一2四

m2abb

=1（276-272）=^^1，

84

當且僅當媽=生，即島=血時取等號，此時〃=0=車="，

baV3V3

則COSC的最小值為正史，此時C最大，且豆11。=，1一8為。="十夜，

44

則△ABC的面積S='absinC=Lx#x3xYiMI=2^0匹,

2244

故選:A.

【點睛】

本題主要考查正弦定理和余弦定理以及基本不等式的應(yīng)用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.關(guān)鍵在于熟練

掌握利用正弦定理進行邊角互化，利用余弦定理求得cosC關(guān)于a,b的表達式，并使用基本不等式求得cosC的最

小值.

〃4_i_4-「彳?a2b2

6.已知非等腰△43C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別是。，h,c,且::=2/,若c為最

a2+b2

（）

1叵D.1，百

5'，

【解析】

先將a4+"：=2c2,轉(zhuǎn)化為仿2+〃_『=//,即｛“一+"—（、-］」，再根據(jù)c為最大邊,

cr+b2、）12abl4

22

得到cosC=—,，然后由余弦定理得到=/+^_2ahcosC^a+h+ah，再利用基本不等式得到

2

,\un-rH不44+//+C4+a”22

c>a+b^即可.因為---------------=2c~>

所以/+//+。4+/82=2c2+i>2),即(4+Z?2)~+c"-a%?=2c?(/+h2)>

BP(a2+b2y+c4-2c2(a2+b2)-a2h2

即(4+〃一/)2=42/,

%+/門2

所以

、lab,4

因為c為最大邊，

所以cosC——，

2

由余弦定理得/=a2+b2-2abcosC=a2+b2+ab，

=(〃+/?『-">(〃+力-3---=孤+小

所以c>+b)，

即,

3

又a+Z7>c,

,-,a+b2yJ3

所r以rl1<------<，一，

c3

a+b百

所以L----<---?

23

故選：A

木題主要考查余弦定理的應(yīng)用以及基本不等式的應(yīng)用，還考查了運算變形求解問題的能力，屬于較難題.

7.在AABC中，點。是的三等分點，|花|=2|而過點。的直線分別交直線AB,AC于點瓦產(chǎn)，且

—.__________1t8

AB=mAE,AC=nAF(m>0,?>0)，若一+一的最小值為一，則正數(shù)，的值為()

mn3

811

A.1B.2C.—D.—

33

【答案】B

【解析】

利用平面向量的線性運算法則求得40=冽恁+烏/，可得型+4=1,則

3333

—?————+-—?—I,展開后利用基本不等式可得」■+2的最小值為，2+2./—,結(jié)合2?+2

m幾133八mmn133J\9tnn

因為點。是8c的三等分點，國|=斗西則

AO=AB+Bd=AB+-BC=AB+^AC--AB=-AB+-AC=—AE+-AF,

3333333

又由點E,。,F三點共線，則1—=1,

33

1t2mtn

—+—+-----+——

mn3〃3m

當且僅當2加12=〃2時，等號成立,

即i+工的最小值為m,則有（2+21+2廬=§,

mn（33JY9U3jV93

解可得f=2或一18（舍），故7=2,

故選：B.

【點睛】

本題主要考查平面向量的運算法則，以及利用基本不等式求最值，屬于中檔題.利用基本不等式求最值時，一定要

正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是

否為定值（和定積最大，積定和最小）；三相等是，最后一定要驗證等號能否成立（主要注意兩點，一是相等時

參數(shù)是否在定義域內(nèi)，二是多次用之或《時等號能否同時成立）.

8.在銳角AABC中，若竺4+史￡=型經(jīng)吧S,且GsinC+cosC=2,則a+b的取值范圍是（）

ac3sinA

A.（6,273］B.（0,4行］c.（2后4月］D.（6,4向

【答案】D

【解析】

由J5sinC+cosC=2sin（C+g）=2,可得C=2；再結(jié)合正弦定理余弦定理，將"""+'sinC

63ac3sinA

中的角化邊，化簡整理后可求得c=26；根據(jù)銳角△，鉆。和。=工，可推出Ae（§,1）,再根據(jù)可得

362

27r

Q=4sinA,Z?=4sinB,于是。+/?=4（$吊4+$由3）=4岡114+0抽（3--4）］,最后結(jié)合正弦的兩角差公式、輔

助角公式和正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得解.由后sinC+cosC=2sin（C+四）=2,得C+C=&+2&勿，k&Z,

662

CG（0,—）,C=一.

23

,一44、sinBb

由正弦定理知，----=一，

sinAa

/7222

由余弦定理知，cos4=----------，

2bc

cosAcosCsinBsinC

???-----+------=-----------,

ac3sinA

I

222

b+c-a112^,化簡整理得，b（2有-c）=Q,

2bcac3a2

;b*0，：.c=2也,

abc26

4

由正弦定理，有sinAsinBsinCJQ，.\a=4sinA,b=4sin8,

2

???銳角MBC,且C=一兀,...AelO,7-1),B=——24Ae(O,-TC),解得TT7g1)，

323262

71

:.a+b=4(sinA+sinB)=4(sinA+sin(--A)]=4(sinA+—c

32

,-),:.A+^E(^,多)，sin(A+-)6(—,1],

6263362

.?.a+〃的取值范圍為(6,473].

故選：D.

【點睛】

本題考查解三角形中正弦定理與余弦定理的綜合應(yīng)用，還涉及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及三角恒等變換的基礎(chǔ)

公式，并運用到了角化邊的思想，考查學(xué)生的邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

二、多選題

9.設(shè)4，4,是兩兩不同的四個點，若冰=4審，M=且;+'=2,則稱A3,

A3,A,

一/I//

調(diào)和分割A(yù)，4.現(xiàn)已知平面上兩點C,。調(diào)和分割A(yù),8,則下列說法正確的是()

A.點C可能是線段AB的中點

B.點。不可能是線段AB的中點

C.點C,?？赡芡瑫r在線段A8上

D.點C,。不可能同時在線段AB的延長線上

【答案】BD

【解析】

由題意設(shè)A(0,0),8(1,0),C(c,0),0(4,0),結(jié)合己知條件得，+工=2,根據(jù)選項考查，+，=2的解,

cdcd

用排除法選擇答案即可.由已知不妨設(shè)A(0,0),5(1。)，C(c,O),0(40),

由C,￡>調(diào)和分割A(yù),6可知，(c,0)=2(1,0),(J,0)=//(1,0),2=c,R=d

11cli

代入—=2得—d—=2(*)

幾〃cd

對于AB,若C是線段AB的中點，則。=’,代入(*)得，“不存在，故C不可能是線段AB的中點，同理。不

2

可能是線段AB的中點，故A錯誤，B正確;

對于C,若C,。同時在線段AB上，則O<C<1,OWdWl代入(*)得，c=d=l,

此時C和。點重合，與已知矛盾，故c錯誤；

對于D,若C,。同時在線段AB的延長線上時，則C>1,d>\,則1+,<2,這與工+，=2矛盾，所以C,

cdcd

。不可能同時在線段48的延長線上，故D正確；

故選：BD.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題考查新定義的應(yīng)用問題，正確理解新定義的含義是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的邏輯推理與特殊與

一般思想，屬于較難題.

10.如圖，AABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a.b,c.若。=力，且G(acosC+cco$A)=2/jsinfi,

。是△ABC外一點，DC=\,DA=3,則下列說法正確的是()

A.AABC是等邊三角形

B.若AC=26，則A，B，C，。四點共圓

cn

C.四邊形ABC。面積最大值為土2+3

2

D.四邊形ABC。面積最小值為少?—3

2

【答案】AC

【解析】

利用三角函數(shù)恒等變換化簡己知等式可求sin8,再利用a=A,可知AABC為等邊三角形，從而判斷A；利用

四點A,B,C,。共圓，四邊形對角互補，從而判斷5；設(shè)AC=x,x>0,在AAOC中，由余弦定理可

得d=10-6cos。，利用三角形的面積公式，三角函數(shù)恒等變換的，可求S四邊形A時。，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，求

出最值，判斷CD.由正弦定理a=2/?sinAh=2Asin8,c=2AsinC,

得百《sinAcosC+sinCeosA)-2sinBsinB,

/.V3=2sinB,；.sinB==?，

2

jr

<a=b,8是等腰6c的底角，???3w（0,一）,

2

IT

.?.8=一,.?.△ABC是等邊三角形，A正確；

3

B不正確：若四點共圓，則四邊形對角互補,

由A正確知N￡>=2^,COS￡）=—！，

32

但由于DC=\,DA=3,AC=26時，

DC2+DA2-AC212+32-(2A/3)211

cosD=-------------------=----w----

2-DA-DC2x1x332

.??B不正確.

C正確，。不正確:

設(shè)"=，，則=oc2+DA2-2Z)C?￡>A-cose=10-6cose，

."△詆=岑?（1。-6cose）=乎一半cose.

3

SA^C=5sin。，

??S四邊形ABC。~S-ABC+S&AOC3m還COS6+也

222

5百

=3(sineg-cos6?H------

2

=3sin(6—。)+竽,

TT

*；0G(0,g),sin(8-y)G

sC

???—6<S四邊形詼。4罷+3,?"正確，。不正確;

故選：AC..

【點睛】

本題主要考查正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)恒等變換，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查

計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

11.設(shè)。為△ABC所在平面上一點，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,則正確的（）

A.。為ATWC的外心。|04|=|。臼=|0。|=，一

sinA

B.。為△ABC的重心oOX+而+反=。

C.。為AABC的垂心=礪?麗=礪?反=花?麗

D.。為AABC的內(nèi)心oaE+b麗+C,無=。

【答案】BCD

【解析】

由三角形四心的定義，利用正弦定理，向量共線定理和平面幾何的知識，即可得出結(jié)果.A.當。為三角形的外心,

|ULT||UIU||UUUi

由正弦定理可得：|。4卜|0q=|0。卜詭n彳，故A錯誤；

B.當。為三角形的重心，。為中線的交點，延長A。交BC于點M,可得|A0|=2|0M],所以

UUUUUUUL1UUUUUU1llliuUUU11

AO=2OM=OB+OC,:.OA+OB+OC=0-

反之，取BC中點M,若西+而+反=。，則之:+2第=!），則可得A,0,"三點共線且|。4|=2]。知|,即

4為三角形的重心.故B正確；

UUiUUUUU1ULHlUtaUUUUUU1UU1UUU1UU1ULUl

C.當。為三角形的垂心，Q4_LBC=O4gfiC=0=OAg；OC—08）=0=。4goe=O4g9B，同理可證

0B3C=0AW）B，即。4?。3=。3?0。=。。?。4,反4也成H，故C正確；

bAFAE

D當。為三角形的內(nèi)心，。為三角形的角平分線'則一=寸,一=正'如圖過A作,F的平行線交8E的延

aBFa

長線于點M過A作BE的平行線交C尸于點“，則四邊形AMON為平行四邊形

E

O

B

uun

uuruuurmiurcwnunON

）uu。n=|也AE|產(chǎn)uim+扁\AF渭\uu。n=c產(chǎn)nun+A產(chǎn)uira

QA=OM+ON=Vra^gCO+tttm-

\co\BO

uiiuiiuuiairuuuuiuuuur、

所以aOA—cCO-65O=0naOA+cOC+6O3=0，反之也成立，故D正確;

故選：BCD

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：平面向量結(jié)合平面幾何的知識進行推理是解題的關(guān)鍵.本題考查了理解辨析能力、邏輯推理能力和解

決問題能力，屬于難題.

12.下列說法正確的是（）

/____X

ABAC_.ABAC1

A.若非零向量?3C=0,且?門?一則△ABC為等邊二角形

扃同\AB\|ACI2

B.己知礪=萬,而=尻反=己彷=，，且四邊形ABCZ）為平行四邊形，則G+B—三一2=。

C.己知正三角形ABC的邊長為26，圓。是該三角形的內(nèi)切圓，P是圓。上的任意一點，則麗?麗的最大

值為1

715乃

D.己知向量08=（2,0）,OC=（2,2）,04=（也cos私Vasina）則礪與無夾角的范圍是

TH

【答案】AC

【解析】

利用單位向量以及向量數(shù)量積的定義可判斷A；利用向量的加法運算可判斷B；利用向量的加、減運算可判斷C；

由題意可得點A在以（2,2）為圓心，、歷為半徑的圓上，由向量夾角定義可判斷D.A,因為非零向量

____\

普+普BC=O,所以N8AC的平分線與BC垂直,

網(wǎng)西）

ABAC1萬

△ABC為等腰三角形，又后斕不，所以NBAC=?

A8AC23

所以AABC為等邊三角形，故A正確;

B，a+b-c-d=OA+OB-bC-OD-

CA+DB=CD+DA+DA+AB'

在平行四邊形A3CD中，有而=反,

所以原式=2函w。，故B錯誤；

C,設(shè)正三角形A8C內(nèi)切圓半徑廣，

由面積相等可得!x2Gx3xr=—x2Gx2xsin—,

223

解得r=l，令A(yù)8的中點為。，從而D4=OC=G，

則西+麗=2萬，PA-PB=BA^2DA^

兩式平方作差可得4麗.麗=4PD2-4DA，

即麗?麗=而2_3,若要使兩.而最大，只需而2最大

由于。為AB的中點，也為圓。與AB的切點，所以|而|的最大值為2廠=2,

所以兩?麗=所2-344一3=1，故C正確；

D,設(shè)Q4=(x,y),CA=OA-OC=(x-2,y-2)=(0cosc,Vasina),

所以x—2=V2cosa>y-2=V2sina,

所以(x_2y+(y_2/=2,

即A在以(2,2)為圓心，血為半徑的圓上，

如圖：

當OA與圓在下方相切時，礪與而夾角最小，此時為------=—

4612

jrjr、冗

當OA與圓在上方相切時，礪與而夾角最大，此時為一+丁=：

4612

IT57r

所以樂與布夾角的范圍是—，故D錯誤?

故選：AC

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題考查了向量的數(shù)量積定義、向量的加減法以及向量的夾角，解題的關(guān)鍵是是將向量問題轉(zhuǎn)化為

平面幾何問題，利用圓的性質(zhì)求解，考查了轉(zhuǎn)化思想、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模，此題是向量的綜合題目.

三、填空題

13.設(shè)AOAB中，。4=￡,o5=B且滿足卜，一目=,1,+q=2,當AQAB面積最大時，則￡+B與石夾

角的大小是.

【答案】45°

【解析】

根據(jù)向量運算幾何意義，運用余弦定理和正弦定理建立邊角關(guān)系，再應(yīng)用三角公式求解.解：在△。鉆中，取

中點C，連接OC，設(shè)NCOB=a，ZOAB=0,

OA=a^^=1且滿足萬I，巧+1|=2,

由向量及其運算幾何意義知，AB^a-b\,OA=\a\,

OC=|g(d+5)|=l,口+5與5夾角即為a，

設(shè)AC=x,則。4=2x,BC=x；設(shè)△OA8的面積為S,

x+2x>l,2x-x<l=>-<x<l；

3

5Y2_i

由余弦定理得I2=A:2+(2x)2-2?x?2x?cos0=>cos0=—~,

4/

22

S=g(2x)2sine=2xlJl_cos2=|J(l-x)(x-1),

當；+即％=立，cos6?=q時，S取最大值.

*=-V=o35

X

所以.e11+cos_x/5P+5_V2,

sma=%cos—=x.。

2~~1-

因為a為銳角，所以a=45°.

故答案為：45°

【點睛】

本題考查了平面向量運算及其幾何意義，用余弦定理與正弦定理是解決問題關(guān)鍵.

14.在銳角△A6C中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若AABC的面積為日,2+〃—c2）,且「=4,

則AABC的周長的取值范圍是.

【答案】（46+4,12]

【解析】

【解析】

通過觀察AABC的面積的式子很容易和余弦定理聯(lián)系起來，所以乎cZ'ugabsinC，求出

tanC=&，所以C=工.再由正弦定理即可將G+B的范圍通過輔助角公式化簡利用三角函數(shù)求出范圍即可.因

3

為AABC的面積為乎（/+〃一°2）,所以

—（a2+ZJ2-c2U-^sinC.所以=sinC.由余弦定理可得cosC='十^一、，則

4'‘2lablab

V3cosC=sinC.即tanC=百，所以C=￡.由正弦定理可得一^=」_=_^=迪，所以

3sinAsinBsinC3

8存sinA+sinf--A(

(sinA+sinB)=8sinA+-.因為AABC為銳角三角形，所

33I3I6j

以工＜A＜三，所以史＜sinA+生,，1，貝iJ4jj＜ssin(A+二),,8,即4G＜a+仇，8.故AABC的周

622I6J6

長的取值范圍是(473+4,12].

【點睛】

此題考察解三角形，熟悉正余弦定理，然后一般求范圍的題目轉(zhuǎn)化為求解三角函數(shù)值域即可，易錯點注意轉(zhuǎn)化后

角的范圍區(qū)間，屬于中檔題目.

15.如圖，等腰三角形ABC,AB=AC=2,N84C=120°.E，尸分別為邊A3，AC上的動點，且滿

足醺=加而，AF=nAC-其中拉，?e(O,l),m+n^l,M，N分別是EE，8c的中點，貝U|MN|

的最小值為.

【答案】上

2

【解析】

——■1--1—.

根據(jù)條件便可得到削=:(1-?043+(1-〃)4。，然后兩邊平方即可得出

2:2;

MN=(1-m)2+(1-n)2-(1-ZM)(1-n)＞而由條件〃=1一相，代入上式即可得出麗？=3,/一3.+[,從而配

方即可求出麗2的最小值，進而得出|MN|的最小值.解：麗=麗-而

=i(AB+AC)--(mAB+nAC)

22

=-(l-m)AB+-(i-n)AC

22

MN2=1(1-m)2與’+1(1—nyAC+-(1-w)(l-n)AB.AC

442

=(1—niy+(1-n)2-(1-m)(1-ri)；

vm+H=l,/.n=l-m,代入上式得：

MZ~=(1-m)2+nt+(1-ni)m

—3m2—3m+1

=3Q/（〃?-1、）2+1—；

24

???mG（0,1）；

1_1

?'.=一時，>2最小值一；

24

.IMN|的最小值為

2

故答案為：一.

2

【點睛】

本題考查向量加法的平行四邊形法則，向量減法的幾何意義，向量的數(shù)乘運算，以及向量數(shù)量積的運算及計

算公式，配方求二次函數(shù)最值的方法.

16.已知AAbC是邊長為2的正三角形，平面上兩動點0、P滿足麗=4礪+4加+40C

（4+4+4=1且4、4、>0）.若|o戶|=i,則04.0百的最大值為.

【答案】3+26

【解析】

分析出點0、P的位置，作出點。所在的平面區(qū)域，取A3的中點。，可得出麗?。豆=|歷］一1,求出|而|

的最大值，即可得解?麗=4礪+4而+4反=4礪+4礪+（1—4一4）反，

二赤-詼=4（函-芯）+4（礪-芯），即而=4畫+4函，

因為4+4+4=1且4、4、42°，則4、所以，o44+44i,

所以，點P在AABC的邊界及其內(nèi)部，

|UUUl|

因為|OP|=1,則點0在如下圖所示的封閉區(qū)域內(nèi)，該區(qū)域由M”、NR、ST三條線段以及三段分別以A、B、

C為圓心，半徑為1且圓心角為半的圓弧圍成的區(qū)域，

其中四邊形A3A1H、BCRN、ACST均為矩形，且AH=AT=BM=BN=CR=CS=1,

H

取AB的中點O,則方X=—而，O4=0D+￡M，OB=OD+DB=OD-DA^

所以，OAOB=(OD+DAj(OD-DA)=OD-DA=[0Z)|-1,

連接。。并延長交RS于點。，此時|而L*=6+1，

因此，OA-OB=|o5|2-l<(73+l)2-l=3+2V3.

故答案為：3+20.

【點睛】

思路點睛：平面向量中有關(guān)最值問題的求解通常有兩種思路：

一是“形化”，即利用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征

直接進行判斷；

二是“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標運算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等

問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識來解決.四、解答題

17.如圖，已知正方形ABC。的邊長為2,點尸為正方形內(nèi)一點.

AB

圖⑴

(1)如圖1

(i)求Q?前+前?而的值;

(ii)求福?通+而?前+方?歷+而?麗的值;

(2)如圖2,若點M,N滿足而=2兩，前=2祝.點P是線段的中點，點。是平面上動點，且滿足

2而=/1胡+(1—X)而，其中/IwR,求西?兩的最小值.

31

【答案】(1)(i)4(ii)8(2)——

36

【解析】

(1)(i)由向量的數(shù)量積的運算性質(zhì)和向量的加法法則可得而?配+定?交=(市+定)?配=而?肥，

結(jié)合數(shù)量積的定義可得答案.

(ii)利用向量數(shù)量積的運算性質(zhì)結(jié)合圖形將原式化為(而+京)?通+(萍+方)?肥，利用向量的加法法

則即化為次.通+麗.耳d，結(jié)合數(shù)量積的定義可得答案.

(2)以A為原點，AB為％軸，AD為＞軸，建立平面直角坐標系，得出相應(yīng)點的坐標，根據(jù)條件得出點。的

坐標，再由向量數(shù)量積的坐標公式可得答案.(1)(i)正方形A3CO的邊長為2,則

ZCAB=ZCAD=ZDBC=45°,\AC\=\BD\.

APBC+PCBC=(JP+PCyBC=AC-BC=AC-AD=2x2-j2xcos450=4

(ii)APAB+BPBC+CPCD+DPDA

=(APAB+CPCD)+(5P-5C+DPZM)

=(APAB+PCAB)+(13PBC+Pi5BC^

=(AP+PC)AB+(fiP+PZ))-flC

=AC-AB+BD-BC=2x272xcos45°+2x2夜xcos45°=8

(2)以A為原點，AB為'軸，AZ)為y軸，建立平面直角坐標系.

由加'=2而，麗=2正，則AA/=-A力，囪7=—

33

所以A(0,0),5(2,()),C(2,2),O(0,2),M(0,1),N(2,(),

點P是線段MN的中點，則尸(1,1)

設(shè)Q(x,y)，而=(H),中=(-1,-1),而=(1,-1)

由2而=4可+(1_丸)而，即(2x_2,2y_2)=(_4_；l)+(l-；l,；l_l)=(l_2/l,_l)

⑵—2=1—2%

所以<，即。

2y-2=-l

西=卜一|],QN=

26

2-|x|11+A|+—

236

22

362

【點睛】

關(guān)鍵點睛：本題考查向量的加法法則和數(shù)量積的運算，建立坐標系利用坐標法求解向量的數(shù)量積的最值，解答本

題的關(guān)鍵是建立坐標系，根據(jù)條件得出。點坐標，從而得出W?麗=幾2一4一N=1幾一_1)一衛(wèi)，屬于

36I2J36

中檔題.

18.⑴對于平面向量,求證："5卜同W，并說明等號成立的條件；

(2)我們知道求/⑻=cos8+石sin0的最大值可化為求f(0)=2sin(6?+-)的最大值，也可以利用向量

6

的知識，將fg)構(gòu)造為兩個向量的數(shù)量積形式，即：令云=。，若)，b=(cos6?,sin。)，則轉(zhuǎn)化為/(。)=汗石，

求出最大值.利用以上向量的知識，完成下列問題：

①對于任意的A,求證：(ac+bcl)2<(a2+Z?2)(c2+J2)；

②求/(x)=3，r-l+4j2-尤的最值.

【答案】(1)證明見解析，當且僅當〃//5時，即6=0或6>=力，等號成立；(2)①證明見解析；②最大值為

5,最小值為3.

【解析】

(1)由向量的數(shù)量積的定義并結(jié)合余弦函數(shù)的有界性即可證明；

(2)①設(shè)不=(。力)石=伍〃)，再結(jié)合卜?方卜同即可得證明；

②設(shè)々=(3,4),5=(1口,石工)，則/(%)=37^1+472^=5-^,再結(jié)合向量數(shù)量積的幾何意義求

解即可.解：⑴設(shè)他6)=8,所以"可=忖帆85夕=|同W|cOsM4同網(wǎng)

當且僅當G//5時，即。=0或。=〃，等號成立

(2)①設(shè)M=(a,h),b=(c,。)，則無6=ac+/d,同=J4+/，W="2+小

V|a-5|<|?||^|,\ac+hd\<y/a2+h2-\Jc2+d2

兩邊平方得:(ac+㈣2+用卜2+屋).

②M=(3,4),5=(\/x-l,j2-x),所以同=5,網(wǎng)=1,

所以.f(x)=3jx-1