2022年福建省高一數(shù)學(xué)競賽模擬試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

2022年福建省高一數(shù)學(xué)競賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（考試時(shí)間：5月14日上午8：30－11：00）一、選擇題（每小題6分，共36分）1．已知集合，則集合中所有元素的和為（）A．B．0C．2D．3【答案】B。所以，集合中所有元素的和為0。2．已知正三棱錐的三條側(cè)棱、、兩兩互相垂直，若三棱錐外接球的表面積為，則三棱錐的體積為（）A．B．C．D．【答案】C【解答】設(shè)，則三棱錐外接球的半徑。由，得?！?，三棱錐的體積。3．已知為實(shí)數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得，且，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】C【解答】由，得∵，∴，解得或?！嗟娜≈捣秶鸀?。4．、是兩條不重合的直線，、是兩個(gè)不重合的平面，則下列命題中，正確的命題的個(gè)數(shù)是（）（1）對、外任意一點(diǎn)，存在過點(diǎn)且與、都相交的直線；（2）若，，，則；（3）若，，且，則；（4）若，，，，則。A．1B．2C．3D．4【答案】B5．，若對任意實(shí)數(shù)均有，則的最小值為A．B．C．D．【答案A【解答】依題意，的圖像關(guān)于直線對稱?！?，。解得。?！?，即。∴，即時(shí)，取最小值。6．已知，，，若，且，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】D【解答】由，得?！唷ＴO(shè)，則?！?，∴，解得，即，?！啵?。∴，即。由，知，?！?，解得。因此，。又當(dāng)時(shí)，代入前面解得，。符合題設(shè)要求。∴的最小值為。二、填空題（每小題6分，共36分）7．已知定義在上的函數(shù)（，且）的值域也是，則的值為。當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，依題意有，方程組無解。當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，依題意有，解得。所以，。8．如圖，在三棱錐中，，，。設(shè)與所成的角為，則的值為。【解答】如圖，取中點(diǎn)，連接，?！撸?，∴，，?！?，。又由，知是等邊三角形。作于，則，且?！嗍桥c所稱的角?！?。9．已知，，，點(diǎn)在線段內(nèi)，且平分，則點(diǎn)的坐標(biāo)為?！窘獯稹咳鐖D，方程為，設(shè)（）。又直線方程為，方程為，平分?！帱c(diǎn)到直線、距離相等?！?。解得，（舍去）或。因此，點(diǎn)坐標(biāo)為。10．設(shè)是定義在上以2為周期的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減。若，，則不等式組的解集為?！窘獯稹俊呤桥己瘮?shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減?！嘣趨^(qū)間上為增函數(shù)。又是以2為周期的周期函數(shù)，∴在區(qū)間上為增函數(shù)。又，，以及是以2為周期的偶函數(shù)?！?，。又，∴不等式組的解集為。11．已知，定義，，，，，…，則?！窘獯稹恳李}意，有，，，……………一般地，有。所以，。12．已知，，，且，則的最大值為。【解答】由，知，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即，時(shí)，等號成立。所以，的最大值為。三、解答題（第13、14、15、16題每題16分，第17題14分，滿分78分）13．已知，且當(dāng)時(shí)，恒成立。（1）求的解析式；（2）已知、是函數(shù)圖像上不同的兩點(diǎn)，，且。當(dāng)、為整數(shù)，時(shí)，求直線的方程?！窘獯稹浚?）依題意，，?！啵?。∴?！?分此時(shí)，，可見在區(qū)間上的最小值為?！嗟膶ΨQ軸為，即，?！??！?分（2）由（1）知，。同理?！?，∴?！??！?2分又、為整數(shù)，且，∴，或，或。結(jié)合，得，?！?、坐標(biāo)分別為、?！嘀本€的方程為?！?6分14．過直線：上一點(diǎn)作圓：的兩條切線、，、為切點(diǎn)。（1）在上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（2）若直線過原點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)。【解答】（1）假設(shè)符合條件的點(diǎn)存在。則由，知?！?，，∴?！?分另一方面，由圓心到直線的距離，知。即，矛盾。因此，假設(shè)不成立?！喾蠗l件的點(diǎn)不存在?！?分（2）設(shè)為直線上一點(diǎn)。則?！帱c(diǎn)、在以為圓心，半徑為的圓上，即點(diǎn)、在圓上，即圓上。又點(diǎn)、在圓：上，即圓上。將上述兩圓方程聯(lián)立，消二次項(xiàng)，得?！嘀本€方程為。……12分由直線過原點(diǎn)知，。聯(lián)立，解得，?！帱c(diǎn)的坐標(biāo)為?！?6分15．如圖，為銳角三角形，于，為的垂心，為的中點(diǎn)。點(diǎn)在線段上，且。（1）求證：；（2）求證：?！窘獯稹浚?）由條件知，，，∴、、、四點(diǎn)共圓。∴。………………4分∵為的中點(diǎn)，∴，。延長交于點(diǎn)。由為的垂心知，?！??！?。又，，∴?！?分（2）由（1）知，。又，∴?！唷！?2分又，∴。又，∴?！??！?6分16．已知為定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，。。（1）若函數(shù)恰有兩個(gè)不相同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；（2）記為函數(shù)的所有零點(diǎn)之和。當(dāng)時(shí)，求的取值范圍?！窘獯稹浚?）如圖，作出函數(shù)的草圖。由圖像可知，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，直線與函數(shù)的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。所以，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，函數(shù)恰有兩個(gè)不相同的零點(diǎn)。因此，或?！?分（2）由的圖像可知，當(dāng)時(shí)，有6個(gè)不同的零點(diǎn)?！?分設(shè)這6個(gè)零點(diǎn)從左到右依次設(shè)為，，，，，。則，，是方程的解，是方程的解?！??！?2分∵時(shí)，，∴?！鄷r(shí)，的取值范圍為。………16分17．設(shè)集合是一個(gè)由正整數(shù)組成的集合，且具有如下性質(zhì)：①對任意，在中去掉后，剩下的數(shù)的算術(shù)平均數(shù)都是正整數(shù)；②，，且是中最大的數(shù)。求的最大值。（符號表示集合中元素的個(gè)數(shù)）【解答】依題意，設(shè)，且。記，，則，其中，2，3，…，。