專題02 等腰三角形的存在性問題【有答案】

玩轉壓軸題，爭取滿分之備戰(zhàn)2020年中考數學解答題高端精品專題二等腰三角形的存在性問題【考題研究】近幾年各地的中考數學試題中，探索等腰三角形的存在性問題頻頻出現(xiàn)，這類試題的知識覆蓋面較廣，綜合性較強，題意構思精巧，要求學生要有較高的分析問題的能力和解決問題的能力，這類問題符合課標對學生能力提高的要求?！窘忸}攻略】在討論等腰三角形的存在性問題時，一般都要先分類．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三種情況．解等腰三角形的存在性問題，有幾何法和代數法，把幾何法和代數法相結合，可以使得解題又好又快．幾何法一般分三步：分類、畫圖、計算．哪些題目適合用幾何法呢？如果△ABC的∠A（的余弦值）是確定的，夾∠A的兩邊AB和AC可以用含x的式子表示出來，那么就用幾何法．①如圖1，如果AB＝AC，直接列方程；②如圖2，如果BA＝BC，那么；③如圖3，如果CA＝CB，那么．代數法一般也分三步：羅列三邊長，分類列方程，解方程并檢驗．如果三角形的三個角都是不確定的，而三個頂點的坐標可以用含x的式子表示出來，那么根據兩點間的距離公式，三邊長（的平方）就可以羅列出來．【解題類型及其思路】解題類型：動態(tài)類型：1.一動點類型問題；2.雙動點或多動點類型問題背景類型：1.幾何圖形背景；2.平面直角坐標系和幾何圖形背景解題思路：幾何法一般分三步：分類、畫圖、計算；代數法一般也分三步：羅列三邊長，分類列方程，解方程并檢驗．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三種情況．已知腰長畫等腰三角形用圓規(guī)畫圓，已知底邊畫等腰三角形用刻度尺畫垂直平分線．解等腰三角形的存在性問題，有幾何法和代數法，把幾何法和代數法相結合，可以使得解題又好又快．【典例指引】類型一【二次函數綜合題中根據條件判定三角形的形狀】典例指引1．拋物線與軸交于點A，點B（1，0），與軸交于點C（0，﹣3），點M是其頂點．（1）求拋物線解析式；（2）第一象限拋物線上有一點D,滿足∠DAB=45°,求點D的坐標；（3）直線(﹣3＜＜﹣1)與x軸相交于點H．與線段AC，AM和拋物線分別相交于點E，F(xiàn)，P．證明線段HE，EF，F(xiàn)P總能組成等腰三角形.【解析】試題分析：（1）把B、C的坐標代入，解方程組即可得到結論；（2）令y=0，求出A、B的坐標，設直線AD交y軸于點N，求出求直線AN的解析式，與拋物線聯(lián)立成方程組，解方程組，即可得到D的坐標；（3）求出直線AM、AC的解析式，當x=t時，表示出HE，HF，HP，得到HE=EF=HF﹣HE=t+3，F(xiàn)P=，由HE+EF﹣FP=＞0，得到HE+EF＞FP，再由HE+FP＞EF，EF+FP＞HE，得到當﹣3＜t＜﹣1時，線段HE，EF，F(xiàn)P總能組成等腰三角形．試題解析：解：（1）∵拋物線經過點B、C，∴，解得：，∴拋物線的解析式為：；（2）令y=0，得：，解得：，，∴A（﹣3，0），B（1，0），設直線AD交y軸于點N，∵∠DAB=45°，∴△NAO是等腰直角三角形，N（0，3），可求直線AN的解析式為y=x+3，聯(lián)立，解得：或，∴D的坐標為（2，5）；（3）M（﹣1，﹣4），可求直線AM的解析式為：y=﹣2x﹣6，直線AC的解析式為y=﹣x﹣3，∵當x=t時，HE=﹣（﹣t﹣3）=t+3，HF=﹣（﹣2t﹣6）=2t+6，HP=﹣（）∴HE=EF=HF﹣HE=t+3，F(xiàn)P=，∵HE+EF﹣FP=＞0，∴HE+EF＞FP，又HE+FP＞EF，EF+FP＞HE，∴當﹣3＜t＜﹣1時，線段HE，EF，F(xiàn)P總能組成等腰三角形．【名師點睛】本題是二次函數的綜合題，難度較大．解答第（2）問的關鍵是：利用∠DAB=45°，找出直線AN與y軸交點的坐標；解答第（3）問的關鍵是：用含t的代數式表示出HE，HF，HP，EF的長．【舉一反三】（2020·江西初三期中）如圖①，已知拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（-3，0），與y軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設拋物線的對稱軸與x軸交于點M，問在對稱軸上是否存在點P，使△CMP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）如圖②，若點E為第二象限拋物線上一動點，連接BE、CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時E點的坐標．【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）存在，P（-1，）或P（-1，-）或P（-1，6）或P（-1，）；（3）當a=-時，S四邊形BOCE最大，且最大值為，此時，點E坐標為（-，）．【解析】【分析】（1）已知拋物線過A、B兩點，可將兩點的坐標代入拋物線的解析式中，用待定系數法即可求出二次函數的解析式；（2）可根據（1）的函數解析式得出拋物線的對稱軸，也就得出了M點的坐標，由于C是拋物線與y軸的交點，因此C的坐標為（0，3），根據M、C的坐標可求出CM的距離．然后分三種情況進行討論：①當CP=PM時，P位于CM的垂直平分線上．求P點坐標關鍵是求P的縱坐標，過P作PQ⊥y軸于Q，如果設PM=CP=x，那么直角三角形CPQ中CP=x，OM的長，可根據M的坐標得出，CQ=3-x，因此可根據勾股定理求出x的值，P點的橫坐標與M的橫坐標相同，縱坐標為x，由此可得出P的坐標．②當CM=MP時，根據CM的長即可求出P的縱坐標，也就得出了P的坐標（要注意分上下兩點）．③當CM=CP時，因為C的坐標為（0，3），那么直線y=3必垂直平分PM，因此P的縱坐標是6，由此可得出P的坐標；（3）由于四邊形BOCE不是規(guī)則的四邊形，因此可將四邊形BOCE分割成規(guī)則的圖形進行計算，過E作EF⊥x軸于F，S四邊形BOCE=S△BFE+S梯形FOCE．直角梯形FOCE中，F(xiàn)O為E的橫坐標的絕對值，EF為E的縱坐標，已知C的縱坐標，就知道了OC的長．在△BFE中，BF=BO-OF，因此可用E的橫坐標表示出BF的長．如果根據拋物線設出E的坐標，然后代入上面的線段中，即可得出關于四邊形BOCE的面積與E的橫坐標的函數關系式，根據函數的性質即可求得四邊形BOCE的最大值及對應的E的橫坐標的值．即可求出此時E的坐標．【詳解】(1)∵拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)與x軸交于點A(1,0)和點B(?3,0)，∴解得：.∴所求拋物線解析式為：y=?x2?2x+3；(2)∵拋物線解析式為：y=?x2?2x+3，∴其對稱軸為，∴設P點坐標為(?1,a)，當x=0時，y=3，∴C(0,3),M(?1,0)∴當CP=PM時,(?1)2+(3?a)2=a2,解得a=，∴P點坐標為：；∴當CM=PM時,(?1)2+32=a2,解得，∴P點坐標為：或；∴當CM=CP時,由勾股定理得：(?1)2+32=(?1)2+(3?a)2，解得a=6，∴P點坐標為：P4(?1,6).綜上所述存在符合條件的點P,其坐標為或或P(?1,6)或；(3)過點E作EF⊥x軸于點F,設E(a,?a2?2a+3)(?3<a<0)∴EF=?a2?2a+3，BF=a+3，OF=?a∴∴當a=時,S四邊形BOCE最大,且最大值為.此時,點E坐標為.類型二【利用二次函數的性質與等腰三角形的性質確定點的坐標】典例指引2．（2019·山東初三期末）如圖1，已知拋物線與軸交于點和點，與軸交于點.（l）求拋物線的表達式；（2）如圖l，若點為第二象限拋物線上一動點，連接，求四邊形面積的最大值，并求此時點的坐標；（3）如圖2，在軸上是否存在一點使得為等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）最大值為，點坐標為；（3）存在符合條件的點，其坐標為或，或或【解析】【分析】（1）將點A、B的坐標代入解析式即可得到答案；（2）設，過點作軸于點，利用求出解析式即得到面積的最大值及點E的坐標；（3）存在，分以點C、A為頂點及線段AC為底邊三種情況，分別求出點D的坐標即可.【詳解】解：（1）由題知：，解得：∴所求拋物線表達式為（2）過點作軸于點設∴，，，∴∴當時，最大，且最大值為.當時，此時，點坐標為（3）連接①當點為頂點，時，此時為底邊的垂直平分線，滿足條件的點，與點關于軸對稱，∴點坐標為②當點為頂點，時，在中，∵，，由勾股定理得：，以點為圓心，的長為半徑作弧，交軸于兩點，即為滿足條件的點，此時它們的坐標分別為，③當為底邊時，線段的垂直平分線與軸的交點，即為滿足條件的點，設垂直的垂直平分線交軸于點，過中點，∵，∴∴∴，，，，，點的坐標為綜上所述存在符合條件的點，其坐標為或，或或【名師點睛】此題是二次函數的綜合題，考查待定系數法，最值問題的確定需將所求問題列出解析式并配方為頂點式，即可得到答案；（3）是圖形中存在等腰三角形問題，此類問題需分三種情況進行討論，依次求出點的坐標.【舉一反三】（2019·廣東省中山市中山紀念中學三鑫雙語學校初三期中）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（2，0），B（﹣8，0）兩點，與y軸交于點C（0，﹣8）．（1）求拋物線的解析式；（2）點F是直線BC下方拋物線上的一點，當△BCF的面積最大時，求出點F的坐標；（3）在（2）的條件下，是否存在這樣的點Q（0，m），使得△BFQ為等腰三角形？如果有，請直接寫出點Q的坐標；如果沒有，請說明理由．【答案】（1）y＝x2+3x﹣8；（2）點F的坐標是F（﹣4，﹣12）；（3）點Q有坐標為（0，4）或（0，﹣4）或（0，﹣4）或（0，0）．【解析】【分析】（1）將A，B，C的坐標代入函數y＝ax2+bx+c即可；（2）如圖1中，作FN∥y軸交BC于N，求出直線BC的解析式，設F（m，m2+3m﹣8），則N（m，﹣m﹣8），再用含m的代數式表示出△BCF的面積，用函數的思想即可推出結論；（3）此問要分BQ＝BF，QB＝QF，F(xiàn)B＝FQ三種情況進行討論，分別用勾股定理可求出m的值，進一步寫出點Q的坐標．【詳解】（1）將A（2，0），B（﹣8，0）C（0，﹣8）代入函數y＝ax2+bx+c，得，解得，，∴拋物線解析式為y＝x2+3x﹣8；（2）如圖1中，作FN∥y軸交BC于N，將B（﹣8，0）代入y＝kx﹣8，得，k＝﹣1，∴yBC＝﹣x﹣8，設F（m，m2+3m﹣8），則N（m，﹣m﹣8），∴S△FBC＝S△FNB+S△FNC＝FN×8＝4FN＝4[（﹣m﹣8）﹣（m2+3m﹣8）]＝﹣2m2﹣16m＝﹣2（m+4）2+32，∴當m＝﹣4時，△FBC的面積有最大值，此時F（﹣4，﹣12），∴點F的坐標是F（﹣4，﹣12）；（3）存在點Q（0，m），使得△BFQ為等腰三角形，理由如下：①如圖2﹣1，當BQ＝BF時，由題意可列，82+m2＝（8﹣4）2+122，解得，m1＝，m2＝∴Q1（0，），Q2（0，）；②如圖2﹣2，當QB＝QF時，由題意可列，82+m2＝（m+12）2+42，解題，m＝﹣4，∴Q3（0，﹣4）；③如圖2﹣3，當FB＝FQ時，由題意可列，（8﹣4）2+122＝（m+12）2+42，解得，m1＝0，m2＝﹣24，∴Q4（0，0），Q5（0，﹣24）；設直線BF的解析式為y＝kx+b，將B（﹣8，0），F(xiàn)（﹣4，﹣12）代入，得，解得，k＝﹣3，b＝﹣24，∴yBF＝﹣3x﹣24，當x＝0時，y＝﹣24，∴點B，F(xiàn)，Q重合，故Q5舍去，∴點Q有坐標為（0，4）或（0，﹣4）或（0，﹣4）或（0，0）．類型三【確定滿足等腰三角形的動點的運動時間】典例指引3．（2018濟南中考）如圖1，拋物線y=-316x2平移后過點A（8，,0）和原點，頂點為B，對稱軸與x軸相交于點（1）求平移后拋物線的解析式并直接寫出陰影部分的面積S陰影（2）如圖2，直線AB與y軸相交于點P，點M為線段OA上一動點，∠PMN為直角，邊MN與AP相交于點N，設OM=t，試探求：①t為何值時ΔMAN為等腰三角形；②為何值時線段PN的長度最小，最小長度是多少．【答案】（1）平移后拋物線的解析式y(tǒng)=-316x2+bx，=12；（2）①【解析】【分析】（1）設平移后拋物線的解析式y(tǒng)=-316x（2）作NQ垂直于x軸于點Q，①分當MN=AN時，當AM=AN時，當MN=MA時，三種情況討論可得△MAN為等腰三角形時t的值；②由MN所在直線方程為y=t6x-t26，與直線AB的解析式y(tǒng)=﹣x+6聯(lián)立，得【詳解】（1）設平移后拋物線的解析式y(tǒng)=-將點A（8，,0）代入，得y=-316所以頂點B（4,3），所以S陰影=OC?CB=12；（2）設直線AB解析式為y=mx+n，將A（8，0）、B（4，3）分別代入得8m+n=04m+n=3，解得：m=-所以直線AB的解析式為y=-①當MN＝AN時，N點的橫坐標為8+t2，縱坐標為由三角形NQM和三角形MOP相似可知NQOM=MQOP,得當AM＝AN時，AN＝8-t,由三角形ANQ和三角形APO相似可知NQ=358-t，由三角形NQM和三角形MOP相似可知NQOM=MQ解得：t＝12（舍去）；當MN＝MA時，∠MNA=∠MAN<45°故故t=②由MN所在直線方程為y=t6得點N的橫坐標為XN=72+2t29+2t，即t2﹣xNt+36﹣x由判別式△=x2N﹣4（36﹣92xN）≥0，得xN≥6或xN≤又因為0＜xN＜8，所以xN的最小值為6，此時t=3，當t=3時，N的坐標為（6，），此時PN取最小值為152【名師點睛】本題著重考查了二次函數的性質、圖形平移變換、等腰三角形的判定等知識點，綜合性強，考查學生分類討論，數學結合的數學思想方法.【舉一反三】如圖所示，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點．點D從C出發(fā)，沿線段CO以1個單位/秒的速度向終點O運動，過點D作OC的垂線交BC于點E，作EF∥OC，交拋物線于點F．（1）求此拋物線的解析式；（2）小明在探究點D運動時發(fā)現(xiàn)，①當點D與點C重合時，EF長度可看作O；②當點D與點O重合時，EF長度也可以看作O，于是他猜想：設點D運動到OC中點位置時，當線段EF最長，你認為他猜想是否正確，為什么？（3）連接CF、DF，請直接寫出△CDF為等腰三角形時所有t的值．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3（2）點D為OC的中點時，線段EF最長（3）當t=2或52或3時，△【解析】【分析】（1）由于已知拋物線與x軸交點坐標，則設交點式y(tǒng)=a（x+1）（x-3），然后把C點坐標代入求出a即可得到拋物線解析式；

（2）先利用待定系數法求出直線BC的解析式，再設E（t，-t+3），接著表示出D（0，-t+3），F(xiàn)（t，-t2+2t+3），然后用t表示出EF的長，再利用二次函數的性質確定EF最大時的t的值，從而判斷點D是否為OC的中點；

（3）先由C（0，3），D（0，-t+3），F(xiàn)（t，-t2+2t+3）和利用兩點間的距離公式表示出CD2，CF2，DF2，然后分類討論：當CD=CF或FC=FD或DC=DF時得到關于t的方程，接著分別解關于t的方程即可．【詳解】（1）設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣3），把C（0，3）代入得a?1?（﹣3）=3，解得a=﹣1，所以拋物線解析式為y=﹣（x+1）（x﹣3），即y=﹣x2+2x+3；（2）他猜想正確．理由如下：設直線BC的解析式為y=mx+n，把C（0，3），B（3，0）代入得n=33m+n=0，解得m=-1n=3，則直線BC的解析式為y=設E（t，﹣t+3），則D（0，﹣t+3），F(xiàn)（t，﹣t2+2t+3），所以EF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t=﹣（t﹣32）2+9當t=32時，EF最大，最大值為9此時D點坐標為（0，32所以點D為OC的中點時，線段EF最長；（3）∵C（0，3），D（0，﹣t+3），F(xiàn)（t，﹣t2+2t+3），∴CD2=（﹣t+3﹣3）2=t2，CF2=t2+（﹣t2+2t+3﹣3）2=t2+（﹣t2+2t）2，DF2=t2+（﹣t2+2t+3+t﹣3）2=t2+（﹣t2+3t）2，當CD=CF時，即t2=t2+（﹣t2+2t）2，解得t1=0，t2=2；當FC=FD，即t2+（﹣t2+2t）2=t2+（﹣t2+3t）2，解得t1=0，t2=52當DC=DF時，即t2=t2+（﹣t2+3t）2，解得t1=0，t2=3；綜上所述，當t=2或52或3時，△

【新題訓練】1．（2020·江西初三）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A(﹣2，﹣4)，直線x=﹣2與x軸相交于點B，連接OA，拋物線y=﹣x2從點O沿OA方向平移，與直線x=﹣2交于點P，頂點M到點A時停止移動．（1）線段OA所在直線的函數解析式是；（2）設平移后拋物線的頂點M的橫坐標為m，問：當m為何值時，線段PA最長？并求出此時PA的長．（3）若平移后拋物線交y軸于點Q，是否存在點Q使得△OMQ為等腰三角形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y=2x；（2）當m=1時，PA的值最大，PA的最大值為1；（3）存在，(0，5﹣2)或(0，﹣8)【詳解】解：（1）設直線OA的解析式為y=kx，把（﹣2，﹣4）代入得﹣2k=﹣4，解得k=2，所以直線OA的解析式為y=2x；故答案為y=2x；（2）設M點的坐標為（m，2m），（﹣2≤m＜0），∴平移后拋物線解析式為y=﹣（x﹣m）2+2m，當x=﹣2時，y=﹣（2﹣m）2+2m=﹣m2﹣2m﹣4，∴P點的坐標為（﹣2，﹣m2﹣2m﹣4），∴PA=﹣m2﹣2m﹣4﹣（﹣4）=﹣m2﹣2m=﹣（m﹣1）2+1∴當m=1時，PA的值最大，PA的最大值為1；（3）存在，理由如下：當x=0時，y=﹣（0﹣m）2+2m=﹣m2+2m，則Q（0，﹣m2+2m），∵OQ=m2﹣2m，OM=﹣m，當OM=OQ，即﹣m=m2﹣2m，即m2﹣（2﹣）m=0，解得m1=0（舍去），m2=2﹣，此時Q點坐標為（0，5﹣2）；當OM=MQ，作MH⊥OQ于H，如圖1，則OH=QH，﹣2m=m2﹣2m﹣（﹣2m），即m2+2m=0，解得m1=0（舍去），m2=﹣2，此時Q點坐標為（0，﹣8）；當QM=QO，作QF⊥OM于F，如圖2，則OF=MF=﹣m，∵OQ∥AB，∴∠QOF=∠BAO，∴Rt△OFQ∽Rt△ABO，∴，即，整理得4m2﹣3m=0，解得m1=0（舍去），m2=（舍去），綜上所述，滿足條件的Q點坐標為（0，5﹣2）或（0，﹣8）．2．（2018·山東中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數交軸于點、，交軸于點，在軸上有一點，連接.（1）求二次函數的表達式；（2）若點為拋物線在軸負半軸上方的一個動點，求面積的最大值；（3）拋物線對稱軸上是否存在點，使為等腰三角形，若存在，請直接寫出所有點的坐標，若不存在請說明理由.【答案】（1）二次函數的解析式為；（2）當時，的面積取得最大值；（3）點的坐標為，，.【詳解】（1）∵二次函數y=ax2+bx+c經過點A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），∴，解得：，所以二次函數的解析式為：y=；（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直線解析式為y=，過點D作DN⊥x軸，交AE于點F，交x軸于點G，過點E作EH⊥DF，垂足為H，如圖，設D（m，），則點F（m，），∴DF=﹣（）=，∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=×DF×AG+DF×EH=×DF×AG+×DF×EH=×4×DF=2×（）=，∴當m=時，△ADE的面積取得最大值為．（3）y=的對稱軸為x=﹣1，設P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可求PA=，PE=，AE=，分三種情況討論：當PA=PE時，=，解得：n=1，此時P（﹣1，1）；當PA=AE時，=，解得：n=，此時點P坐標為（﹣1，）；當PE=AE時，=，解得：n=﹣2，此時點P坐標為：（﹣1，﹣2）．綜上所述：P點的坐標為：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）．3．（2016·廣西中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A，B兩點（A在B的左側），與y軸交于點C，頂點為D．（1）請直接寫出點A，C，D的坐標；（2）如圖（1），在x軸上找一點E，使得△CDE的周長最小，求點E的坐標；（3）如圖（2），F(xiàn)為直線AC上的動點，在拋物線上是否存在點P，使得△AFP為等腰直角三角形？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】（1）A（﹣3，0），C（0，3），D（﹣1，4）；（2）E（，0）；（3）P（2，﹣5）或（1，0）．【詳解】（1）當中y=0時，有，解得：=﹣3，=1，∵A在B的左側，∴A（﹣3，0），B（1，0）．當中x=0時，則y=3，∴C（0，3）．∵=，∴頂點D（﹣1，4）．（2）作點C關于x軸對稱的點C′，連接C′D交x軸于點E，此時△CDE的周長最小，如圖1所示．∵C（0，3），∴C′（0，﹣3）．設直線C′D的解析式為y=kx+b，則有：，解得：，∴直線C′D的解析式為y=﹣7x﹣3，當y=﹣7x﹣3中y=0時，x=，∴當△CDE的周長最小，點E的坐標為（，0）．（3）設直線AC的解析式為y=ax+c，則有：，解得：，∴直線AC的解析式為y=x+3．假設存在，設點F（m，m+3），△AFP為等腰直角三角形分三種情況（如圖2所示）：①當∠PAF=90°時，P（m，﹣m﹣3），∵點P在拋物線上，∴，解得：m1=﹣3（舍去），m2=2，此時點P的坐標為（2，﹣5）；②當∠AFP=90°時，P（2m+3，0）∵點P在拋物線上，∴，解得：m3=﹣3（舍去），m4=﹣1，此時點P的坐標為（1，0）；③當∠APF=90°時，P（m，0），∵點P在拋物線上，∴，解得：m5=﹣3（舍去），m6=1，此時點P的坐標為（1，0）．綜上可知：在拋物線上存在點P，使得△AFP為等腰直角三角形，點P的坐標為（2，﹣5）或（1，0）．4．（2019·廣東廣州市第二中學初三）如圖（1），在平面直角坐標系中，矩形ABCO，B點坐標為（4，3），拋物線y＝x2＋bx＋c經過矩形ABCO的頂點B、C，D為BC的中點，直線AD與y軸交于E點，與拋物線y＝x2＋bx＋c交于第四象限的F點．（1）求該拋物線解析式與F點坐標；（2）如圖，動點P從點C出發(fā)，沿線段CB以每秒1個單位長度的速度向終點B運動；同時，動點M從點A出發(fā)，沿線段AE以每秒個單位長度的速度向終點E運動．過點P作PH⊥OA，垂足為H，連接MP，MH．設點P的運動時間為t秒．①問EP＋PH＋HF是否有最小值，如果有，求出t的值；如果沒有，請說明理由．②若△PMH是等腰三角形，求出此時t的值．【答案】（1）y＝x2＋2x＋3，F(xiàn)(6，-3)（2）①有，t=3；②，，1，【詳解】（1）∵矩形ABCO，B點坐標為（4，3）∴C點坐標為（0，3）∵拋物線y＝x2＋bx＋c經過矩形ABCO的頂點B、C∴∴∴y＝x2＋2x＋3設直線AD的解析式為∵A(4，0)、D(2，3)∴∴∴∵F點在第四象限，∴F(6，-3)（2）∵E(0，6)∴CE=CO連接CF交x軸于H′，過H′作x軸的垂線交BC于P′，當P運動到P′，當H運動到H′時，EP+PH+HF的值最小.設直線CF的解析式為∵C(0，3)、F(6，-3)∴∴∴當y=0時，x=3，∴H′(3，0)∴CP=3∴t=3如圖1，過M作MN⊥OA交OA于N∵△AMN∽△AEO，∴∴∴AN=t，MN=I．如圖1，當PM=HM時，M在PH的垂直平分線上，∴MN=PH∴MN=∴t=1II．如圖2，當PH=HM時，MH=3，MN=，HN=OA-AN-OH=4-2t在Rt△HMN中，，，（舍去），III．如圖3．如圖4，當PH=PM時，PM=3，MT=，PT=BC-CP-BT=在Rt△PMT中，，，25t2-100t+64=0，∴，，1，5．（2019·湖南中考模擬）如圖，關于x的二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點A（1，0）和點B與y軸交于點C（0，3），拋物線的對稱軸與x軸交于點D．（1）求二次函數的表達式；（2）在y軸上是否存在一點P，使△PBC為等腰三角形？若存在．請求出點P的坐標；（3）有一個點M從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度在AB上向點B運動，另一個點N從點D與點M同時出發(fā)，以每秒2個單位的速度在拋物線的對稱軸上運動，當點M到達點B時，點M、N同時停止運動，問點M、N運動到何處時，△MNB面積最大，試求出最大面積．【答案】（1）二次函數的表達式為：y=x2﹣4x+3；（2）點P的坐標為：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，-3）或（0，0）；（3）當點M出發(fā)1秒到達D點時，△MNB面積最大，最大面積是1．此時點N在對稱軸上x軸上方2個單位處或點N在對稱軸上x軸下方2個單位處．【詳解】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，解得：b=﹣4，c=3，∴二次函數的表達式為：y=x2﹣4x+3；（2）令y=0，則x2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B（3，0），∴BC=3，點P在y軸上，當△PBC為等腰三角形時分三種情況進行討論：如圖1，①當CP=CB時，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；②當PB=PC時，OP=OB=3，∴P3（0，-3）；③當BP=BC時，∵OC=OB=3∴此時P與O重合，∴P4（0，0）；綜上所述，點P的坐標為：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（﹣3，0）或（0，0）；（3）如圖2，設AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，則DN=2t，∴S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，當點M出發(fā)1秒到達D點時，△MNB面積最大，最大面積是1．此時點N在對稱軸上x軸上方2個單位處或點N在對稱軸上x軸下方2個單位處．6．（2018·山東中考模擬）如圖，拋物線y=﹣x2+mx+n與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求拋物線的表達式；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點的坐標；如果不存在，請說明理由；（3）點E時線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當點E運動到什么位置時，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的坐標．【答案】(1)拋物線的解析式為：y=﹣x2+x+2；(2)存在，P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；(3)當點E運動到（2，1）時，四邊形CDBF的面積最大，S四邊形CDBF的面積最大=．【詳解】（1）∵拋物線y=﹣x2+mx+n經過A（﹣1，0），C（0，2）．解得：，∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+x+2；（2）∵y=﹣x2+x+2，∴y=﹣（x﹣）2+，∴拋物線的對稱軸是x=．∴OD=．∵C（0，2），∴OC=2．在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=．∵△CDP是以CD為腰的等腰三角形，∴CP1=CP2=CP3=CD．作CH⊥x軸于H，∴HP1=HD=2，∴DP1=4．∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；（3）當y=0時，0=﹣x2+x+2∴x1=﹣1，x2=4，∴B（4，0）．設直線BC的解析式為y=kx+b，由圖象，得，解得：，∴直線BC的解析式為：y=﹣x+2．如圖2，過點C作CM⊥EF于M，設E（a，﹣a+2），F(xiàn)（a，﹣a2+a+2），∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）．∵S四邊形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD?OC+EF?CM+EF?BN，=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），=﹣a2+4a+（0≤x≤4）．=﹣（a﹣2）2+∴a=2時，S四邊形CDBF的面積最大=，∴E（2，1）．7．（2019·山東中考模擬）已知：如圖，拋物線y=ax2+bx+c與坐標軸分別交于點A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），點P是線段AB上方拋物線上的一個動點．（1）求拋物線的解析式；（2）當點P運動到什么位置時，△PAB的面積有最大值？（3）過點P作x軸的垂線，交線段AB于點D，再過點P做PE∥x軸交拋物線于點E，連結DE，請問是否存在點P使△PDE為等腰直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+2x+6；（2）當t=3時，△PAB的面積有最大值；（3）點P（4，6）．【詳解】（1）∵拋物線過點B（6，0）、C（﹣2，0），∴設拋物線解析式為y=a（x﹣6）（x+2），將點A（0，6）代入，得：﹣12a=6，解得：a=﹣，所以拋物線解析式為y=﹣（x﹣6）（x+2）=﹣x2+2x+6；（2）如圖1，過點P作PM⊥OB與點M，交AB于點N，作AG⊥PM于點G，設直線AB解析式為y=kx+b，將點A（0，6）、B（6，0）代入，得：，解得：，則直線AB解析式為y=﹣x+6，設P（t，﹣t2+2t+6）其中0＜t＜6，則N（t，﹣t+6），∴PN=PM﹣MN=﹣t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t，∴S△PAB=S△PAN+S△PBN=PN?AG+PN?BM=PN?（AG+BM）=PN?OB=×（﹣t2+3t）×6=﹣t2+9t=﹣（t﹣3）2+，∴當t=3時，△PAB的面積有最大值；（3）△PDE為等腰直角三角形，

則PE=PD，

點P（m，-m2+2m+6），

函數的對稱軸為：x=2，則點E的橫坐標為：4-m，

則PE=|2m-4|，

即-m2+2m+6+m-6=|2m-4|，

解得：m=4或-2或5+或5-（舍去-2和5+）

故點P的坐標為：（4，6）或（5-，3-5）．8．（2018·廣東中考模擬）如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數（）的圖象與x軸交于A（﹣2，0）、B（8，0）兩點，與y軸交于點B，其對稱軸與x軸交于點D．（1）求該二次函數的解析式；（2）如圖1，連結BC，在線段BC上是否存在點E，使得△CDE為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點E的坐標；若不存在，請說明理由；（3）如圖2，若點P（m，n）是該二次函數圖象上的一個動點（其中m＞0，n＜0），連結PB，PD，BD，求△BDP面積的最大值及此時點P的坐標．【答案】（1）；（2）E的坐標為（，）、（0，﹣4）、（，）；（3），（，）．【詳解】（1）∵二次函數（）的圖象與x軸交于A（﹣2，0）、C（8，0）兩點，∴，解得：，∴該二次函數的解析式為；（2）由二次函數可知對稱軸x=3，∴D（3，0），∵C（8，0），∴CD=5，由二次函數可知B（0，﹣4），設直線BC的解析式為，∴，解得：，∴直線BC的解析式為，設E（m，），當DC=CE時，，即，解得，（舍去），∴E（，）；當DC=DE時，，即，解得，（舍去），∴E（0，﹣4）；當EC=DE時，，解得=，∴E（，）．綜上，存在點E，使得△CDE為等腰三角形，所有符合條件的點E的坐標為（，）、（0，﹣4）、（，）；（3）過點P作y軸的平行線交x軸于點F，∵P點的橫坐標為m，∴P點的縱坐標為：，∵△PBD的面積===，∴當m=時，△PBD的最大面積為，∴點P的坐標為（，）．9．（2019·四川中考模擬）如圖，已知二次函數y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，且OB＝OC＝3，頂點為M．（1）求二次函數的解析式；（2）點P為線段BM上的一個動點，過點P作x軸的垂線PQ，垂足為Q，若OQ＝m，四邊形ACPQ的面積為S，求S關于m的函數解析式，并寫出m的取值范圍；（3）探索：線段BM上是否存在點N，使△NMC為等腰三角形？如果存在，求出點N的坐標；如果不存在，請說明理由．【答案】（1）二次函數的解析式為y=﹣x2+2x+3；（2）S=﹣m2+m+（1≤m＜3）；（3）線段BM上存在點N（，），（2，2），（1+，4﹣）使△NMC為等腰三角形.【詳解】解：（1）∵OB=OC=3，∴B（3，0），C（0，3）∴,解得,∴二次函數的解析式為y=﹣x2+2x+3；（2）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，M（1，4）設直線MB的解析式為y=kx+n，則有,解得,∴直線MB的解析式為y=﹣2x+6,∵PQ⊥x軸，OQ=m，∴點P的坐標為（m，﹣2m+6）S四邊形ACPQ=S△AOC+S梯形PQOC=AO?CO+（PQ+CO）?OQ（1≤m＜3）=×1×3+（﹣2m+6+3）?m=﹣m2+m+；（3）線段BM上存在點N（，），（2，2），（1+，4﹣）使△NMC為等腰三角形,CM=，CN=，MN=①當CM=NC時，，解得x1=，x2=1（舍去）此時N（，），②當CM=MN時，，解得x1=1+，x2=1-舍去），此時N（1+，4﹣）.③當CN=MN時，,解得x=2，此時N（2，2）．10．（2019·甘肅中考模擬）如圖，已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸相交于點C（0，﹣3）．（1）求這個二次函數的表達式；（2）若P是第四象限內這個二次函數的圖象上任意一點，PH⊥x軸于點H，與BC交于點M，連接PC．①求線段PM的最大值；②當△PCM是以PM為一腰的等腰三角形時，求點P的坐標．【答案】（1）二次函數的表達式y(tǒng)=x2﹣2x﹣3；（2）①PM最大=；②P（2，﹣3）或（3-，2﹣4）．【詳解】（1）將A，B，C代入函數解析式，得，解得，這個二次函數的表達式y(tǒng)=x2﹣2x﹣3；（2）設BC的解析式為y=kx+b，將B，C的坐標代入函數解析式，得，解得，BC的解析式為y=x﹣3，設M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），PM=（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）=﹣n2+3n=﹣（n﹣）2+，當n=時，PM最大=；②當PM=PC時，（﹣n2+3n）2=n2+（n2﹣2n﹣3+3）2，解得n1=0（不符合題意，舍），n2=2，n2﹣2n﹣3=-3，P（2，-3）；當PM=MC時，（﹣n2+3n）2=n2+（n﹣3+3）2，解得n1=0（不符合題意，舍），n2=3+（不符合題意，舍），n3=3-，n2﹣2n﹣3=2-4，P（3-，2-4）；綜上所述：P（2，﹣3）或（3-，2﹣4）．11．（2019·安徽中考模擬）如圖，已知直線與拋物線相交于點和點兩點.（1）求拋物線的函數表達式；（2）若點是位于直線上方拋物線上的一動點，當的面積最大時，求此時的面積及點的坐標；（3）在軸上是否存在點，使是等腰三角形？若存在，直接寫出點的坐標（不用說理）；若不存在，請說明理由.【答案】（1）所求拋物線的函數表達式為；（2）的面積有最大值是，此時點坐標為；（3）存在點坐標為或或或.【詳解】解（1）點在直線上，，點坐標為，點和點在拋物線上，，解得，所求拋物線的函數表達式為；（2）過點作軸于點，交于點，設點的橫坐標為，則點的坐標為，點的坐標為，點是位于直線上方，.的面積,拋物線開口向下，又，當時，的面積有最大值，最大值是.此時點坐標為；（3）存在點坐標為或或或.12．（2018·江蘇中考模擬）（2017南寧，第26題，10分）如圖，已知拋物線與坐標軸交于A，B，C三點，其中C（0，3），∠BAC的平分線AE交y軸于點D，交BC于點E，過點D的直線l與射線AC，AB分別交于點M，N．（1）直接寫出a的值、點A的坐標及拋物線的對稱軸；（2）點P為拋物線的對稱軸上一動點，若△PAD為等腰三角形，求出點P的坐標；（3）證明：當直線l繞點D旋轉時，均為定值，并求出該定值．【答案】（1）a=，A（﹣，0），拋物線的對稱軸為x=；（2）點P的坐標為（，0）或（，﹣4）；（3）．【詳解】（1）∵C（0，3），∴﹣9a=3，解得：a=．令y=0得：，∵a≠0，∴，解得：x=﹣或x=，∴點A的坐標為（﹣，0），B（，0），∴拋物線的對稱軸為x=．（2）∵OA=，OC=3，∴tan∠CAO=，∴∠CAO=60°．∵AE為∠BAC的平分線，∴∠DAO=30°，∴DO=AO=1，∴點D的坐標為（0，1）．設點P的坐標為（，a）．依據兩點間的距離公式可知：AD2=4，AP2=12+a2，DP2=3+（a﹣1）2．當AD=PA時，4=12+a2，方程無解．當AD=DP時，4=3+（a﹣1）2，解得a=0或a=2（舍去），∴點P的坐標為（，0）．當AP=DP時，12+a2=3+（a﹣1）2，解得a=﹣4，∴點P的坐標為（，﹣4）．綜上所述，點P的坐標為（，0）或（，﹣4）．（3）設直線AC的解析式為y=mx+3，將點A的坐標代入得：，解得：m=，∴直線AC的解析式為．設直線MN的解析式為y=kx+1．把y=0代入y=kx+1得：kx+1=0，解得：x=，∴點N的坐標為（，0），∴AN==．將與y=kx+1聯(lián)立解得：x=，∴點M的橫坐標為．過點M作MG⊥x軸，垂足為G．則AG=．∵∠MAG=60°，∠AGM=90°，∴AM=2AG==，∴====．13．（2019·重慶中考模擬）如圖，在平面直角坐標系中，一拋物線的對稱軸為直線，與y軸負半軸交于C點，與x軸交于A、B兩點，其中B點的坐標為（3，0），且OB＝OC．（1）求此拋物線的解析式；（2）若點G（2，y）是該拋物線上一點，點P是直線AG下方的拋物線上一動點，當點P運動到什么位置時，△APG的面積最大？求出此時P點的坐標和△APG的最大面積.（3）若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點（其中點M在點N的右側），在x軸上是否存在點Q，使△MNQ為等腰直角三角形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）P點的坐標為，的最大值為；（3）Q（－，0）或（，0）或（，0）或（，0）或（1，0）．【詳解】（1）設拋物線的解析式為，由已知得：C（0，﹣3），A（﹣1，0），∴，解得，∴拋物線的解析式為；（2）過點P作y軸的平行線與AG交于點Q，由，令x=2，則y=－3，∴點G為（2，－3），設直線AG為，∴，解得：，即直線AG為，設P（x，），則F（x，－x－1），PF．∵，∴當時，△APG的面積最大，此時P點的坐標為，（3）存在．∵MN∥x軸，且M、N在拋物線上，∴M、N關于直線x=1對稱，設點M為（，）且，∴，當∠QMN=90°，且MN=MQ時，△MNQ為等腰直角三角形，∴MQ⊥MN即MQ⊥x軸，∴，即或，解得，（舍）或，（舍），∴點M為（，）或（，），∴點Q為（，0）或（，0），當∠QNM=90°，且MN=NQ時，△MNQ為等腰直角三角形，同理可求點Q為（－，0）或（，0），當∠NQM=90°，且MQ=NQ時，△MNQ為等腰直角三角形，過Q作QE⊥MN于點E，則QE=MN，，∵方程有解，∴由拋物線及等腰直角三角形的軸對稱性知點Q為（1，0），綜上所述，滿足存在滿足條件的點Q，分別為（－，0）或（，0）或（，0）或（，0）或（1，0）．14．（2019·遼寧中考模擬）拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）與直線y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）兩點，且拋物線與y軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）求出C、D兩點的坐標（3）在第四象限拋物線上有一點P，若△PCD是以CD為底邊的等腰三角形，求出點P的坐標．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3;（2）C（0，﹣3）,D（0，﹣1）;（3）P（1+，﹣2）.【詳解】解：（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）兩點坐標代入y＝ax2+bx﹣3可得解得∴y＝x2﹣2x﹣3（2）把x＝0代入y＝x2﹣2x﹣3中可得y＝﹣3∴C（0，﹣3）設y＝kx+b，把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）兩點坐標代入解得∴y＝﹣x﹣1∴D（0，﹣1）（3）由C（0，﹣3），D（0，﹣1）可知CD的垂直平分線經過（0，﹣2）∴P點縱坐標為﹣2，∴x2﹣2x﹣3＝﹣2解得：x＝1±，∵x＞0∴x＝1+．∴P（1+，﹣2）15．（2020·浙江初三期末）如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+6交x軸于A，B兩點（點A在點B的右側），交y軸于點C，頂點為D，對稱軸分別交x軸、線段AC于點E、F．（1）求拋物線的對稱軸及點A的坐標；（2）連結AD，CD，求△ACD的面積；（3）設動點P從點D出發(fā)，沿線段DE勻速向終點E運動，取△ACD一邊的兩端點和點P，若以這三點為頂點的三角形是等腰三角形，且P為頂角頂點，求所有滿足條件的點P的坐標．【答案】（1）拋物線的對稱軸x＝2，A（6，0）；（2）△ACD的面積為12；（3）點P的坐標為（2，2）或（2，6）或（2，3）．【詳解】（1）對于拋物線y＝﹣x2+2x+6令y＝0，得到﹣x2+2x+6＝0，解得x＝﹣2或6，∴B（﹣2，0），A（6，0），令x＝0，得到y(tǒng)＝6，∴C（0，6），∴拋物線的對稱軸x＝﹣＝2，A（6，0）．（2）∵y＝﹣x2+2x+6＝，∴拋物線的頂點坐標D（2，8），設直線AC的解析式為y＝kx+b，將A（6，0）和C（0，6）代入解析式，得解得：，∴直線AC的解析式為y＝﹣x+6，將x=2代入y＝﹣x+6中，解得y=4∴F（2，4），∴DF＝4，∴＝＝12；（3）①如圖1，過點O作OM⊥AC交DE于點P，交AC于點M，∵A（6，0），C（0，6），∴OA＝OC＝6，∴CM＝AM，∠MOA=∠COA=45°∴CP＝AP，△OEP為等腰直角三角形，∴此時AC為等腰三角形ACP的底邊，OE＝PE＝2．∴P（2，2），②如圖2，過點C作CP⊥DE于點P，∵OC＝6，DE＝8，∴PD＝DE﹣PE＝2，∴PD＝PC，此時△PCD是以CD為底邊的等腰直角三角形，∴P（2，6），③如圖3，作AD的垂直平分線交DE于點P，則PD＝PA，設PD＝x，則PE＝8﹣x，在Rt△PAE中，PE2+AE2＝PA2，∴（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，∴PE＝8﹣5=3，∴P（2，3），綜上所述：點P的坐標為（2，2）或（2，6）或（2，3）．16．（2020·湖北初三期末）如圖，已知二次函數的圖象經過點A（4，4），B（5，0）和原點O，P為二次函數圖象上的一個動點，過點P作x軸的垂線，垂足為D（m，0），并與直線OA相較于點C．（1）求出二次函數的解析式；（2）當點P在直線OA的上方時，求線段PC的最大值；（3）當點P在直線OA的上方時，是否存在一點P，使射線OP平分∠AOy，若存在，請求出P點坐標；若不存在．請說明理由；（4）當m＞0時，探索是否存在點P，使得△PCO為等腰三角形，若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+5x；（2）4；（3）存在，P(4﹣，2+3)；（4）存在，P(4﹣，2+3)【詳解】解：（1）∵二次函數的圖象經過原點，∴設二次函數的解析式為