專題24.7切線的判定-【講練課堂】2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典（解析版）【人教版】

【講練課堂】2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典【人教版】專題24.7切線的判定【名師點(diǎn)睛】切線的判定（1）切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．（2）在應(yīng)用判定定理時(shí)注意：①切線必須滿足兩個(gè)條件：a、經(jīng)過半徑的外端；b、垂直于這條半徑，否則就不是圓的切線．②切線的判定定理實(shí)際上是從”圓心到直線的距離等于半徑時(shí)，直線和圓相切“這個(gè)結(jié)論直接得出來的．③在判定一條直線為圓的切線時(shí)，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點(diǎn)時(shí)，常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長等于半徑，可簡單的說成“無交點(diǎn)，作垂線段，證半徑”；當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連接過該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線，可簡單地說成“有交點(diǎn)，作半徑，證垂直”．【典例剖析】【例1】．（2021秋?閩侯縣期中）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD與過點(diǎn)C的直線互相垂直，垂足為點(diǎn)D，AC平分∠DAB．求證：直線CD是⊙O的切線．【分析】連接OC，根據(jù)半徑相等，可得∠OAC＝∠OCA，由AC平分∠DAB，可推出∠OCA＝∠CAD．進(jìn)而得出OC∥AD．再由AD⊥DC，得出OC⊥DC．運(yùn)用切線的判定可證得結(jié)論．【解答】證明：連接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠OAC＝∠CAD．∴∠OCA＝∠CAD．∴OC∥AD．∵AD⊥DC，∴∠OCD＝180°﹣∠ADC＝90°．∴OC⊥DC．∵OC為半徑，∴直線CD是⊙O的切線．【變式1】．（2021秋?溧水區(qū)期中）如圖，OA＝OB＝13cm，AB＝24cm，⊙O的直徑為10cm．求證：AB是⊙O的切線．【分析】過點(diǎn)O作OC⊥AB，垂足為點(diǎn)C，根據(jù)勾股定理可得OC＝5＝⊙O的半徑，進(jìn)而根據(jù)經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，即可證明AB是⊙O的切線．【解答】證明：過點(diǎn)O作OC⊥AB，垂足為點(diǎn)C，∵OA＝OB＝13cm，AB＝24cm，∴AC＝AB＝12cm，在Rt△OAC中，根據(jù)勾股定理，得OC＝＝5，∵⊙O的直徑為10cm∴⊙O的半徑r為5cm，∴OC＝r，∴AB是⊙O的切線．【例2】．（2021秋?盱眙縣期中）如圖，AB是⊙O的直徑，⊙O交BC的中點(diǎn)于D，DE⊥AC．（1）求證：DE是⊙O的切線．（2）已知：BC＝8cm，AD＝3cm，求線段AE的長．【分析】（1）連接OD，只要證得∠EDO＝90°即可得到DE是⊙O的切線；（2）根據(jù)線段中點(diǎn)的定義和勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：連接OD，∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD．∵OA＝OB，∴OD∥AC．又∵DE⊥AC，∴OD⊥DE．∴DE是⊙O的切線；（2）∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD＝BC＝4（cm），∵AB是⊙O的直徑，∴AD⊥BC，∴AC＝AB，∵AD＝3cm，∴AC＝＝＝5（cm），∵DE⊥AC，∴DE＝＝＝（cm），∴AE＝＝＝（cm）．【變式2】．（2021?懷寧縣模擬）如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為直徑作⊙O，點(diǎn)D為⊙O上一點(diǎn)，且CD＝CB，連接DO并延長交CB的延長線于點(diǎn)E．（1）判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并證明；（2）若BE＝8，DE＝16，求⊙O的半徑．【分析】（1）欲證明CD是切線，只要證明OD⊥CD，利用全等三角形的性質(zhì)即可證明；（2）設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△OBE中，根據(jù)OE2＝EB2+OB2，可得（16﹣r）2＝r2+82，推出r＝6，即可解決問題．【解答】解：（1）相切，證明：如圖，連接OC，在△OCB與△OCD中，，∴△OCB≌△OCD（SSS），∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴OD⊥DC，又∵OD為⊙O的半徑，∴DC是⊙O的切線；（2）設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△OBE中，∵OE2＝EB2+OB2，∴（16﹣r）2＝r2+82，∴r＝6，∴⊙O的半徑為6．【滿分訓(xùn)練】一．選擇題（共10小題）1．（2021秋?濱?？h期末）如圖，以點(diǎn)O為圓心作圓，所得的圓與直線a相切的是（）A．以O(shè)A為半徑的圓 B．以O(shè)B為半徑的圓 C．以O(shè)C為半徑的圓 D．以O(shè)D為半徑的圓【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷．【解答】解：∵OD⊥a于D，∴以點(diǎn)O為圓心，OD為半徑的圓與直線a相切．故選：D．2．（2022春?石鼓區(qū)校級月考）下列說法正確的是（）A．三點(diǎn)確定一個(gè)圓 B．一個(gè)三角形只有一個(gè)外接圓 C．和半徑垂直的直線是圓的切線 D．三角形的外心到三角形三邊的距離相等【分析】直接根據(jù)確定圓的條件、外接圓的性質(zhì)以及切線的定義的知識求解即可求得答案；注意掌握排除法在選擇題中的應(yīng)用．【解答】解：A、不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、一個(gè)三角形只有一個(gè)外接圓；故本選項(xiàng)正確；C、經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．3．（2021?杭州三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過格點(diǎn)A，B，C作一圓弧，點(diǎn)B與下列格點(diǎn)的連線中，能夠與該圓弧相切的是（）A．點(diǎn)（0，3） B．點(diǎn)（1，3） C．點(diǎn)（6，0） D．點(diǎn)（6，1）【分析】根據(jù)垂徑定理的性質(zhì)得出圓心所在位置，再根據(jù)切線的性質(zhì)得出，∠OBD+∠EBF＝90°時(shí)F點(diǎn)的位置即可．【解答】解：∵過格點(diǎn)A，B，C作一圓弧，∴三點(diǎn)組成的圓的圓心為：O′（2，0），∵只有∠O′BD+∠EBF＝90°時(shí)，BF與圓相切，∴當(dāng)△BO′D≌△FBE時(shí)，∴EF＝BD＝2，∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為：（5，1），∴點(diǎn)B與下列格點(diǎn)的連線中，能夠與該圓弧相切的是：（5，1）和（1，3）．故選：B．4．（2021?紹興模擬）如圖，點(diǎn)B在⊙A上，點(diǎn)C在⊙A外，以下條件不能判定BC是⊙A切線的是（）A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠A C．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A與AC的交點(diǎn)是AC中點(diǎn)【分析】根據(jù)切線的判定分別對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．【解答】解：A、∵∠A＝50°，∠C＝40°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，∴BC⊥AB，∵點(diǎn)B在⊙A上，∴AB是⊙A的半徑，∴BC是⊙A切線；B、∵∠B﹣∠C＝∠A，∴∠B＝∠A+∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵點(diǎn)B在⊙A上，∴AB是⊙A的半徑，∴BC是⊙A切線；C、∵AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵點(diǎn)B在⊙A上，∴AB是⊙A的半徑，∴BC是⊙A切線；D、∵⊙A與AC的交點(diǎn)是AC中點(diǎn)，∴AB＝AC，但不能證出∠B＝90°，∴不能判定BC是⊙A切線；故選：D．5．（2020秋?拱墅區(qū)校級月考）如圖，點(diǎn)A在⊙O上，下列條件不能說明PA是⊙O的切線的是（）A．OA2+PA2＝OP2 B．PA⊥OA C．∠P＝30°，∠O＝60° D．OP＝2OA【分析】利用勾股定理的逆定理得到△OAP為直角三角形，則根據(jù)切線的判定定理可對A、B選項(xiàng)進(jìn)行判斷；利用三角形內(nèi)角和計(jì)算出∠OAP＝90°，則根據(jù)切線的判定定理可對C選項(xiàng)進(jìn)行判斷；由于由OP＝2OA不能得到∠OAP＝90°，則根據(jù)切線的判定定理可對D選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解答】解：∵OA2+PA2＝OP2，∴△OAP為直角三角形，∴OA⊥PA，∴PA為⊙O的切線，所以A、B選項(xiàng)不符合題意；∵∠P＝30°，∠O＝60°，∴∠OAP＝90°，∴OA⊥PA，∴PA為⊙O的切線，所以C選項(xiàng)不符合題意；∵OP＝2OA不能確定∠OAP＝90°，∴D選項(xiàng)符合題意．故選：D．6．（2019秋?江北區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過格點(diǎn)A，B，C畫圓弧，則點(diǎn)B與下列格點(diǎn)連線所得的直線中，能夠與該圓弧相切的格點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（5，2） B．（2，4） C．（1，4） D．（6，2）【分析】根據(jù)切線的判定在網(wǎng)格中作圖即可得結(jié)論．【解答】解：如圖，過格點(diǎn)A，B，C畫圓弧，則點(diǎn)B與下列格點(diǎn)連線所得的直線中，能夠與該圓弧相切的格點(diǎn)坐標(biāo)是（6，2）．故選：D．7．（2019秋?金山區(qū)期末）已知在矩形ABCD中，AB＝5，對角線AC＝13．⊙C的半徑長為12，下列說法正確的是（）A．⊙C與直線AB相交 B．⊙C與直線AD相切 C．點(diǎn)A在⊙C上 D．點(diǎn)D在⊙C內(nèi)【分析】根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系及直線和圓的位置關(guān)系判斷即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝13，AB＝5，∴BC＝＝＝12，∵⊙C的半徑長為12，∴⊙C與直線AB相切，故A選項(xiàng)不正確，∵CD＝AB＝5＜12，∴⊙C與直線AD相交，故B選項(xiàng)不正確，∵AC＝13＞12，∴點(diǎn)A在⊙C外，故C選項(xiàng)不正確，∵CD＝5＜12，∴點(diǎn)D在⊙C內(nèi)，故D選項(xiàng)正確，故選：D．8．（2019秋?孟村縣期末）如圖，點(diǎn)D是△ABC中BC邊的中點(diǎn)，DE⊥AC于E，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過D，連接AD，有下列結(jié)論：①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA＝AC；④DE是⊙O的切線．其中正確的結(jié)論是（）A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，即可判斷出選項(xiàng)①正確；由O為AB中點(diǎn)，得到AO為AB的一半，故AO為AC的一半，選項(xiàng)③正確；由OD為三角形ABC的中位線，根據(jù)三角形的中位線定理得到OD與AC平行，由AC與DE垂直得到OD與DE垂直，即∠ODE為90°，故DE為圓O的切線，選項(xiàng)④正確．【解答】解：∵AB是⊙O直徑，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，選項(xiàng)①正確；連接OD，如圖，∵D為BC中點(diǎn)，O為AB中點(diǎn)，∴DO為△ABC的中位線，∴OD∥AC，又DE⊥AC，∴∠DEA＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE為圓O的切線，選項(xiàng)④正確；又OB＝OD，∴∠ODB＝∠B，∵AB為圓O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠EDA+∠ADO＝90°，∠BDO+∠ADO＝90°，∴∠EDA＝∠BDO，∴∠EDA＝∠B，選項(xiàng)②正確；由D為BC中點(diǎn)，且AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∴AC＝AB，又OA＝AB，∴OA＝AC，選項(xiàng)③正確；則正確的結(jié)論為①②③④．故選：D．9．（2019?寧德一模）如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝AC，AC交⊙O于點(diǎn)E，BC交⊙O于點(diǎn)D，F(xiàn)是CE的中點(diǎn)，連接DF．則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．∠A＝∠ABE B． C．BD＝DC D．DF是⊙O的切線【分析】首先由AB是⊙O的直徑，得出AD⊥BC，推出BD＝DC，根據(jù)F是CE的中點(diǎn)，得出DF是△BEC的中位線，得到DF∥BE，∠DFC＝∠BEC＝90°，再由OA＝OB，推出OD是△ABC的中位線，得DF⊥OD，即DF是⊙O的切線，最后由假設(shè)推出不正確．【解答】解：連接OD，AD．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°（直徑所對的圓周角是直角），∴AD⊥BC；而在△ABC中，AB＝AC，∴AD是邊BC上的中線，∴BD＝DC（C選項(xiàng)正確）；∵AB是⊙O的直徑，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴DB＝DC，∠BAD＝∠CAD，∴＝，（B選項(xiàng)正確）∵OA＝OB，∴OD是△ABC的中位線，即：OD∥AC，∵F是CE的中點(diǎn)，∴DF是△BEC的中位線，∴DF∥BE∴DF⊥AC，∴DF⊥OD．∴DF是⊙O的切線（D選項(xiàng)正確）；只有當(dāng)△ABE是等腰直角三角形時(shí)，∠A＝∠ABE＝45°，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：A．10．（2018秋?柯橋區(qū)期末）如圖，∠ABC＝70°，O為射線BC上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OB長為半徑做⊙O，要使射線BA與⊙O相切，應(yīng)將射線繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（）A．35°或70° B．40°或100° C．40°或90° D．50°或110°【分析】設(shè)旋轉(zhuǎn)后與⊙O相切于點(diǎn)D，連接OD，則可求得∠DBO＝30°，再利用角的和差可求得∠ABD的度數(shù)．【解答】解：如圖，設(shè)旋轉(zhuǎn)后與⊙O相切于點(diǎn)D，連接OD，∵OD＝OB，∴∠OBD＝30°，∴當(dāng)點(diǎn)D在射線BC上方時(shí)，∠ABD＝∠ABC﹣∠OBD＝70°﹣30°＝40°，當(dāng)點(diǎn)D在射線BC下方時(shí)，∠ABD＝∠ABC+∠OBD＝70°+30°＝100°，故選：B．二．填空題（共6小題）11．（2021秋?北京期末）在下圖中，AB是⊙O的直徑，要使得直線AT是⊙O的切線，需要添加的一個(gè)條件是∠TAC＝∠B（答案不唯一）．（寫一個(gè)條件即可）【分析】要使得直線AT是⊙O的切線，只要證明∠OAT＝90°即可，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠ACB＝90°，從而得∠B+∠BAC＝90°，所以只要滿足∠TAC＝∠B即可．【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，當(dāng)∠TAC＝∠B時(shí)，∠TAC+∠BAC＝90°，即∠OAT＝90°，∵OA是圓O的半徑，∴直線AT是⊙O的切線，故答案為：∠TAC＝∠B（答案不唯一）．12．（2022?朝陽區(qū)校級一模）如圖，已知∠AOB＝30°，M為OB邊上任意一點(diǎn)，以M為圓心，2cm為半徑作⊙M，當(dāng)OM＝4cm時(shí)，⊙M與OA相切．【分析】作MH⊥OA于點(diǎn)H，如圖，根據(jù)切線的判定方法得到當(dāng)MH＝2cm時(shí)，⊙M與OA相切，然后利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到OM＝4cm，【解答】解：作MH⊥OA于點(diǎn)H，如圖，當(dāng)MH＝2cm時(shí)，⊙M與OA相切，因?yàn)椤螼＝30°，所以此時(shí)OM＝2MH＝4cm，即OM＝4cm時(shí)，⊙M與OA相切．13．（2021秋?金安區(qū)校級期末）如圖所示，直線y＝x﹣2與x軸、y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，⊙O的半徑為1，將⊙O以每秒1個(gè)單位的速度向右作平移運(yùn)動(dòng)，當(dāng)移動(dòng)2﹣或2+s時(shí)，直線MN恰好與圓O相切．【分析】作EF平行于MN，且與⊙O切，交x軸于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F，設(shè)直線EF的解析式為y＝x+b，由⊙O與直線EF相切結(jié)合三角形的面積即可得出關(guān)于b的含絕對值符號的一元一次方程，解方程即可求b值，從而得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的相對性，即可得出結(jié)論．【解答】解：作EF平行于MN，且與⊙O切，交x軸于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F，如圖所示．設(shè)直線EF的解析式為y＝x+b，即x﹣y+b＝0，∵EF與⊙O相切，且⊙O的半徑為1，∴b2＝×1×|b|，解得：b＝或b＝﹣，∴直線EF的解析式為y＝x+或y＝x﹣，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，0）或（﹣，0）．令y＝x﹣2中y＝0，則x＝2，∴點(diǎn)M（2，0）．∵根據(jù)運(yùn)動(dòng)的相對性，且⊙O以每秒1個(gè)單位的速度向右作平移運(yùn)動(dòng)，∴移動(dòng)的時(shí)間為2﹣秒或2+秒．故答案為：2﹣或2+．14．（2020秋?大石橋市期中）如圖，已知∠AOB＝30°，M為OB邊上任意一點(diǎn)，以M為圓心、3cm為半徑作⊙M．當(dāng)OM＝6cm時(shí)，⊙M與OA相切．【分析】設(shè)⊙M與OA相切于N，連接MN，N為切點(diǎn)，根據(jù)MN⊥AO，∠AOB＝30°，2cm為半徑，利用直角三角形中30°的角所對的直角邊是斜邊的一半解答．【解答】解：設(shè)⊙M與OA相切于N，連接MN，∵M(jìn)N⊥AO，∠AOB＝30°，3cm為半徑，∴OM＝2MN＝2×3＝6cm．故當(dāng)OM＝6cm時(shí)，⊙M與OA相切，故答案為：6．15．（2020?樂東縣一模）如圖，⊙O的半徑為6cm，B為⊙O外一點(diǎn)，OB交⊙O于點(diǎn)A，AB＝OA，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以πcm/s的速度在⊙O上按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)一周回到點(diǎn)A立即停止．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為2秒或10秒時(shí)，BP與⊙O相切．【分析】根據(jù)切線的判定與性質(zhì)進(jìn)行分析即可．若BP與⊙O相切，則∠OPB＝90°，又因?yàn)镺B＝2OP，可得∠B＝30°，則∠BOP＝60°，根據(jù)弧長公式求得弧AP長，除以速度，即可求得時(shí)間．【解答】解：如圖所示：連接OP，∵當(dāng)OP⊥PB時(shí)，BP與⊙O相切，∵AB＝OA，OA＝OP，∴OB＝2OP，∠OPB＝90°，∴∠B＝30°，∴∠O＝60°．∵OA＝6cm，弧AP＝＝2π，∵圓的周長為：12π，∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的距離為2π或12π﹣2π＝10π，∴當(dāng)t＝2秒或10秒時(shí)，有BP與⊙O相切．故答案為：2秒或10秒．16．（2021?寧波模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是對角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，以BP為直徑作圓，當(dāng)圓與矩形ABCD的邊相切時(shí)，BP的長為或．【分析】BP為直徑的圓的圓心為O，作OE⊥AD于E，OF⊥CD于F，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，先利用勾股定理計(jì)算出BD＝5，根據(jù)切線的判定方法，當(dāng)OE＝OB時(shí)，⊙O與AD相切，根據(jù)平行線分線段成比例定理得＝，求出r得到BP的長；當(dāng)OF＝OB時(shí)利用同樣方法求出BP的長．【解答】解：BP為直徑的圓的圓心為O，作OE⊥AD于E，OF⊥CD于F，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∴BD＝＝5，當(dāng)OE＝OB時(shí)，⊙O與AD相切，∵OE∥AB，∴＝，即＝，解得r＝，此時(shí)BP＝2r＝；當(dāng)OF＝OB時(shí)，⊙O與DC相切，∵OF∥BC，∴＝，即＝，解得r＝，此時(shí)BP＝2r＝；綜上所述，BP的長為或．故答案為或．三．解答題（共10小題）17．（2020秋?鐵鋒區(qū)期中）AB是⊙O的弦，D為半徑OA的中點(diǎn)，過D作CD⊥OA交弦AB于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，且CE＝CB．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）連接AF，BF，求∠ABF的度數(shù)．【分析】（1）連接OB，有圓的半徑相等和已知條件證明∠OBC＝90°即可證明BC是⊙O的切線；（2）連接OF，AF，BF，首先證明△OAF是等邊三角形，再利用圓周角定理：同弧所對的圓周角是所對圓心角的一半即可求出∠ABF的度數(shù)；【解答】（1）證明：連接OB∵OB＝OA，CE＝CB，∴∠A＝∠OBA，∠CEB＝∠ABC又∵CD⊥OA∴∠A+∠AED＝∠A+∠CEB＝90°∴∠OBA+∠ABC＝90°∴OB⊥BC∴BC是⊙O的切線．（2）解：連接OF，AF，BF，∵DA＝DO，CD⊥OA，∴AF＝OF，∵OA＝OF，∴△OAF是等邊三角形，∴∠AOF＝60°∴∠ABF＝∠AOF＝30°18．（2020秋?同安區(qū)期中）如圖，直線AB經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)C，并且OA＝OB，CA＝CB．求證：直線AB是⊙O的切線．【分析】連接OC，如圖，由于OA＝OB，CA＝CB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到OC⊥AB，然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論．【解答】證明：連接OC，如圖，∵OA＝OB，CA＝CB，∴OC⊥AB，∴直線AB是⊙O的切線．19．（2022春?義烏市期中）已知：如圖，△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)P，PD⊥AC于點(diǎn)D．（1）求證：PD是⊙O的切線；（2）若∠CAB＝120°，AB＝6，求BC的值．【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C和∠B＝∠OPB，則∠OPB＝∠C，于是可判斷OP∥AC，由于PD⊥AC，所以O(shè)P⊥PD，然后根據(jù)切線的判定定理可得到PD是⊙O的切線；（2）由AB為直徑得∠APB＝90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BP＝CP，所以∠BAP＝60°，在Rt△BAP中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得AP＝AB＝3，BP＝AP＝3，所以BC＝2BP＝6．【解答】（1）證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵OP＝OB，∴∠B＝∠OPB，∴∠OPB＝∠C，∴OP∥AC，∵PD⊥AC，∴OP⊥PD，∴PD是⊙O的切線；（2）解：連接AP，如圖，∵AB為直徑，∴∠APB＝90°，∴BP＝CP，∵∠CAB＝120°，∴∠BAP＝60°，在Rt△BAP中，AB＝6，∠B＝30°，∴AP＝AB＝3，∴BP＝AP＝3，∴BC＝2BP＝6．20．（2021秋?鼓樓區(qū)期中）如圖，在正方形ABCD中，E是BD上一點(diǎn)，射線AE交CD于點(diǎn)F，交BC的延長線于點(diǎn)G，過點(diǎn)C，F(xiàn)，G畫圓，連接CE．求證：CE是圓的切線．【分析】連接圓心O與C點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OCF＝∠OFC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DAE＝∠DCE，求得∠OCF＝90°，由切線的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】證明：連接圓心O與C點(diǎn)，∵OC＝OF，∴∠OCF＝∠OFC，∵∠OFC＝∠DFA，∴∠OCF＝∠DFA，在正方形ABCD中，DA＝DC，∠ADB＝∠CDB＝45°，在△ADE和△CDE中，，∴△ADE≌△CDE（SAS），∴∠DAE＝∠DCE，∵∠DAE+∠DFE＝90°，∴∠DCE+∠OCF＝90°，即∠OCE＝90°，∵OC⊥CE且C在圓上，∴CE是圓的切線．21．（2021