2022屆高考文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)專題

2022屆高考文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)專題：極坐標(biāo)與參數(shù)方程一、知識(shí)點(diǎn)：極坐標(biāo)的概念;直線、圓、橢圓的參數(shù)方程。二、復(fù)習(xí)目標(biāo)1、理解和掌握參數(shù)方程和極坐標(biāo)是高考中的一個(gè)重點(diǎn)。2、極坐標(biāo)和參數(shù)方程是研究圓錐曲線一種非常有價(jià)值的方法，我們熟練這種方法，把這種方法應(yīng)用到圓錐曲線中，并通過這個(gè)方法來培養(yǎng)學(xué)生分析、解決實(shí)際問題的能力。3、培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，發(fā)現(xiàn)問題，善于解決問題，探究知識(shí)，合作交流的意識(shí)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)中的美，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，從而培養(yǎng)學(xué)生勤于動(dòng)腦和動(dòng)手的良好品質(zhì)。三、復(fù)習(xí)重點(diǎn)：極坐標(biāo)的相關(guān)知識(shí);直線、圓、橢圓的參數(shù)方程。四、復(fù)習(xí)難點(diǎn)：用極坐標(biāo)和參數(shù)方程解決曲線方程的綜合性問題。一、自我診斷知己知彼1．點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，那么它的極坐標(biāo)可表示為________．【答案】【解析】直接利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，。2．在極坐標(biāo)系中，若過點(diǎn)且與極軸垂直的直線交曲線于兩點(diǎn)，則________.【答案】【解析】注意到在極坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且與極軸垂直的直線的直角坐標(biāo)方程是，曲線的直角坐標(biāo)方程是，即，圓心到直線的距離等于1，因此。3．若直線(為實(shí)數(shù))與直線垂直，則常數(shù)________.【答案】【解析】參數(shù)方程，所表示的直線方程為，由此直線與直線垂直可得，解得。4．在極坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A、B的極坐標(biāo)分別為(3，eq\f(π,3))、(4，eq\f(π,6))，求△AOB(其中O為極點(diǎn))的面積．【答案】3【解析】由題意知A、B的極坐標(biāo)分別為(3，eq\f(π,3))、(4，eq\f(π,6))，則△AOB的面積S△AOB＝eq\f(1,2)OA·OB·sin∠AOB＝eq\f(1,2)×3×4×sineq\f(π,6)＝3.5.曲線，(是參數(shù))的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)是________．【答案】【解析】題中曲線的直角坐標(biāo)系的方程為，其中，及左焦點(diǎn)為。二、溫故知新夯實(shí)基礎(chǔ)1．平面直角坐標(biāo)系設(shè)點(diǎn)P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝λ·x(λ>0)，,y′＝μ·y(μ>0)))的作用下，點(diǎn)P(x，y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P′(x′，y′)，稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱伸縮變換．2．極坐標(biāo)系(1)極坐標(biāo)與極坐標(biāo)系的概念在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，自點(diǎn)O引一條射線Ox，同時(shí)確定一個(gè)長度單位和計(jì)算角度的正方向(通常取逆時(shí)針方向)，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系．點(diǎn)O稱為極點(diǎn)，射線Ox稱為極軸．平面內(nèi)任一點(diǎn)M的位置可以由線段OM的長度ρ和從射線Ox到射線OM的角度θ來刻畫(如圖所示)．這兩個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)對(duì)(ρ，θ)稱為點(diǎn)M的極坐標(biāo)．ρ稱為點(diǎn)M的極徑，θ稱為點(diǎn)M的極角．一般認(rèn)為ρ≥0.當(dāng)極角θ的取值范圍是[0,2π)時(shí)，平面上的點(diǎn)(除去極點(diǎn))就與極坐標(biāo)(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．我們?cè)O(shè)定，極點(diǎn)的極坐標(biāo)中，極徑ρ＝0，極角θ可取任意角．(2)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化設(shè)M為平面內(nèi)的一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)為(x，y)，極坐標(biāo)為(ρ，θ)．由圖可知下面關(guān)系式成立：或.這就是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式．3．常見曲線的極坐標(biāo)方程曲線圖形極坐標(biāo)方程圓心在極點(diǎn)，半徑為r的圓ρ＝r(0≤θ<2π)圓心為(r,0)，半徑為r的圓ρ＝2rcos_θ(－eq\f(π,2)≤θ<eq\f(π,2))圓心為(r，eq\f(π,2))，半徑為r的圓ρ＝2rsin_θ(0≤θ<π)過極點(diǎn)，傾斜角為α的直線θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)過點(diǎn)(a,0)，與極軸垂直的直線ρcosθ＝a(－eq\f(π,2)<θ<eq\f(π,2))過點(diǎn)(a，eq\f(π,2))，與極軸平行的直線ρsin_θ＝a(0<θ<π)4．參數(shù)方程和普通方程的互化(1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式．一般地，可以通過消去參數(shù)從參數(shù)方程得到普通方程．(2)如果知道變數(shù)x，y中的一個(gè)與參數(shù)t的關(guān)系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y＝g(t)，那么就是曲線的參數(shù)方程．5．常見曲線的參數(shù)方程和普通方程點(diǎn)的軌跡普通方程參數(shù)方程直線y－y0＝tanα(x－x0)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y(tǒng)0＋tsinα))(t為參數(shù))圓x2＋y2＝r2，(θ為參數(shù))橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，(φ為參數(shù))拋物線y2＝2px(p>0)，(t為參數(shù))三、典例剖析思維拓展考點(diǎn)一極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化例1(1)以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求線段的極坐標(biāo)方程．(2)在極坐標(biāo)系中，曲線C1和C2的方程分別為和.以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求曲線C1和C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)．【答案】(1).(2)(1,1)【解析】(1)化成極坐標(biāo)方程為即.∵0≤x≤1，∴線段在第一象限內(nèi)(含端點(diǎn))，∴(2)因?yàn)?，由，得，所以曲線C1的直角坐標(biāo)方程為y2＝x.由，得曲線C2的直角坐標(biāo)方程為y＝1.由得，故曲線C1與曲線C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1,1)．【易錯(cuò)點(diǎn)】容易忽略參數(shù)范圍【方法點(diǎn)撥】(1)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的前提條件：①極點(diǎn)與原點(diǎn)重合；②極軸與x軸的正半軸重合；③取相同的單位長度．(2)直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程比較容易，只要運(yùn)用公式直接代入并化簡即可；而極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程則相對(duì)困難一些，解此類問題常通過變形，構(gòu)造形如，，的形式，進(jìn)行整體代換．考點(diǎn)二伸縮變換及求曲線的極坐標(biāo)方程例1將圓上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得曲線C.(1)寫出曲線C的方程；(2)設(shè)直線：與C的交點(diǎn)為P1，P2，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過線段P1P2的中點(diǎn)且與垂直的直線的極坐標(biāo)方程．【答案】(1)曲線C的方程為.(2).【解析】(1)設(shè)為圓上的點(diǎn)，在已知變換下變?yōu)榍€C上的點(diǎn)，依題意，得，由得，即曲線C的方程為.(2)由解得或不妨設(shè)P1(1,0)，P2(0,2)，則線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所求直線斜率為，于是所求直線方程為，化為極坐標(biāo)方程，并整理得，即.【易錯(cuò)點(diǎn)】伸縮變換易變錯(cuò)【方法點(diǎn)撥】求曲線的極坐標(biāo)方程的步驟：(1)建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，設(shè)是曲線上任意一點(diǎn)；(2)由曲線上的點(diǎn)所適合的條件，列出曲線上任意一點(diǎn)的極徑和極角之間的關(guān)系式；(3)將列出的關(guān)系式進(jìn)行整理、化簡，得出曲線的極坐標(biāo)方程．考點(diǎn)三參數(shù)方程與普通方程的互化例1已知直線的參數(shù)方程為(參數(shù))，圓的參數(shù)方程為(參數(shù))，求直線被圓所截得的弦長．【答案】【解析】由，消參數(shù)后得普通方程為，由，消參數(shù)后得普通方程為，顯然圓心坐標(biāo)為，半徑為2.由于圓心到直線的距離為，根據(jù)勾股定理，所求弦長為?！疽族e(cuò)點(diǎn)】參數(shù)方程化普通方程【方法點(diǎn)撥】本題考查直線和圓的聯(lián)立問題，就是把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的普通方程。例2（2022年沈陽市三模）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線的參數(shù)方程為(參數(shù))，直線垂直于直線且過橢圓的右焦點(diǎn).(1)求橢圓的普通方程和直線的參數(shù)方程；(2)直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求．【答案】(1)橢圓的方程為，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))（2）【解析】(1)橢圓中的，橢圓的方程為，直線的斜率為2，直線的斜率為，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))將直線的參數(shù)方程(為參數(shù))代入橢圓的方程中得到關(guān)于的一元二次方程，設(shè)是所對(duì)應(yīng)的參數(shù)，則根據(jù)參數(shù)的幾何意義可知:【易錯(cuò)點(diǎn)】直線參數(shù)方程的表示要用標(biāo)準(zhǔn)形式，參數(shù)幾何意義及參數(shù)的符號(hào)【方法點(diǎn)撥】線段長度與參數(shù)幾何意義之間的聯(lián)系考點(diǎn)四極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用例1(2022·課標(biāo)全國Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：，圓C2：，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．(1)求C1，C2的極坐標(biāo)方程；(2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為，設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M，N，求△C2MN的面積．【答案】(1)C1的極坐標(biāo)方程為，C2的極坐標(biāo)方程為.（2）【解析】(1)因?yàn)椋訡1的極坐標(biāo)方程為，C2的極坐標(biāo)方程為.(2)將代入，得，解得.故，即.由于C2的半徑為1，所以△C2MN為等腰直角三角形，所以△C2MN的面積為.【易錯(cuò)點(diǎn)】第二問求三角形面積易化為直角坐標(biāo)求點(diǎn)，求距離求面積，計(jì)算量大易錯(cuò)【方法點(diǎn)撥】(1)已知直角坐標(biāo)方程化極坐標(biāo)系方程直接運(yùn)用公式帶入化簡即可；(2)注意運(yùn)用極坐標(biāo)求解．例2(2022·全國丙卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為.(1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)系方程；(2)設(shè)點(diǎn)P在C1上，點(diǎn)Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo)．【答案】（1）C1的普通方程為.C2的直角坐標(biāo)方程為；（2）|PQ|的最小值為，此時(shí)P的直角坐標(biāo)為.【解析】(1)C1的普通方程為.C2的直角坐標(biāo)方程為.(2)由題意，可設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為．因?yàn)镃2是直線，所以|PQ|的最小值即為P到C2距離的最小值，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，d(α)取得最小值，最小值為，此時(shí)P的直角坐標(biāo)為.【易錯(cuò)點(diǎn)】解題方法選擇不當(dāng)導(dǎo)致計(jì)算量太大而出錯(cuò).【方法點(diǎn)撥】與圓錐曲線有關(guān)的最值問題轉(zhuǎn)化為參數(shù)形式比較容易求解.四、舉一反三成果鞏固考點(diǎn)一極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化1．在以O(shè)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中，圓和直線相交于A，B兩點(diǎn)．當(dāng)△AOB是等邊三角形時(shí)，求的值．【答案】3【解析】由可得，即由可得.設(shè)圓的圓心為O′，與的兩交點(diǎn)A，B與O構(gòu)成等邊三角形，如圖所示．由對(duì)稱性知，OD＝.在Rt△DOB中，易求DB＝eq\f(\r(3),3)，∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為．又∵B在上，即，解得(舍去)或.2、（2022江蘇21（C））已知圓的極坐標(biāo)方程為，求圓的半徑．【答案】【解析】由題意得，所以，即，從而，即，故圓的半徑為．3、（2022全國Ⅱ文23）在直線坐標(biāo)系中，曲線：（為參數(shù)，）其中.在以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線：，：.(1)求與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；(2)若與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，求的最大值.【答案】(1)與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為和．(2)當(dāng)時(shí)，最大值為．【解析】（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為，曲線的直角坐標(biāo)方程為．聯(lián)立，解得或．所以與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為和．（2）曲線的極坐標(biāo)方程為，其中．因此得到極坐標(biāo)為，的極坐標(biāo)為．所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為．考點(diǎn)二伸縮變換及求曲線的極坐標(biāo)方程1、在極坐標(biāo)系中，求曲線ρ＝2cosθ關(guān)于直線θ＝eq\f(π,4)對(duì)稱的曲線的極坐標(biāo)方程．【答案】見解析【解析】以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸建立直角坐標(biāo)系，則曲線ρ＝2cosθ的直角坐標(biāo)方程為(x－1)2＋y2＝1，且圓心為(1,0)．直線θ＝eq\f(π,4)的直角坐標(biāo)方程為y＝x，因?yàn)閳A心(1,0)關(guān)于y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為(0,1)，所以圓(x－1)2＋y2＝1關(guān)于y＝x的對(duì)稱曲線為x2＋(y－1)2＝1.所以曲線ρ＝2cosθ關(guān)于直線θ＝eq\f(π,4)對(duì)稱的曲線的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sinθ.考點(diǎn)三參數(shù)方程與普通方程的互化1、(1)求直線(t為參數(shù))與曲線(α為參數(shù))的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線l：(t為參數(shù))過橢圓C：(φ為參數(shù))的右頂點(diǎn)，求常數(shù)a的值．【答案】(1)直線與曲線有2個(gè)交點(diǎn)(2)【解析】(1)將消去參數(shù)t得直線；將消去參數(shù)α得圓.又圓心到直線的距離.因此直線與圓相交，故直線與曲線有2個(gè)交點(diǎn)．(2)直線l的普通方程為，橢圓C的普通方程為∴橢圓C的右頂點(diǎn)坐標(biāo)為，若直線l過，則，.2、（2022全國甲文23）在直角坐標(biāo)系中，圓的方程為.（1）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求圓的極坐標(biāo)方程；（2）直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），與交于兩點(diǎn)，，求的斜率.【答案】(1)圓的極坐標(biāo)方程為.（2）的斜率.【解析】（1）整理圓的方程得，由可知圓的極坐標(biāo)方程為.（2）解法一：將直線的參數(shù)方程代入圓:化簡得，，設(shè)兩點(diǎn)處的參數(shù)分別為，則，所以，解得，的斜率.解法二：設(shè)，其中，如圖所示，圓心到到的距離，故.考點(diǎn)四極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用1、在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l和圓C交于A，B兩點(diǎn)，P是圓C上不同于A，B的任意一點(diǎn)．(1)求圓心的極坐標(biāo)；(2)求△PAB面積的最大值．【答案】(1).（2）eq\f(10\r(5),9).【解析】(1)由圓C的極坐標(biāo)方程為得把代入可得圓C的直角坐標(biāo)方程為，即∴圓心坐標(biāo)為，∴圓心的極坐標(biāo)為.(2)由題意，得直線l的直角坐標(biāo)方程為2eq\r(2)x－y－1＝0.∴圓心(1，－1)到直線l的距離d＝eq\f(|2\r(2)＋1－1|,\r((2\r(2))2＋(－1)2))＝eq\f(2\r(2),3)，∴|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(2－\f(8,9))＝eq\f(2\r(10),3).點(diǎn)P到直線l的距離的最大值為r＋d＝eq\r(2)＋eq\f(2\r(2),3)＝eq\f(5\r(2),3)，∴Smax＝eq\f(1,2)×eq\f(2\r(10),3)×eq\f(5\r(2),3)＝eq\f(10\r(5),9).2、（2022全國乙文23）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線（1）說明是哪一種曲線，并將的方程化為極坐標(biāo)方程；（2）直線的極坐標(biāo)方程為，其中滿足，若曲線與的公共點(diǎn)都在上，求.【答案】(1)極坐標(biāo)方程.（2）.【解析】（1）將化為直角坐標(biāo)方程為，從而可知其表示圓.令，，代入得極坐標(biāo)方程.（2）將化為直角坐標(biāo)方程為，.兩式相減可得它們的公共弦所在直線為.又公共點(diǎn)都在上，故的方程即為公共弦.又為，，即為，從而可知.五、分層訓(xùn)練能力進(jìn)階【基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)】1、已知直線的參數(shù)方程為(參數(shù))，圓的參數(shù)方程為(參數(shù))，求直線被圓所截得的弦長．【答案】【解析】由，消參數(shù)后得普通方程為，由，消參數(shù)后得普通方程為，顯然圓心坐標(biāo)為，半徑為2.由于圓心到直線的距離為，根據(jù)勾股定理，所求弦長為。2、直線(t為參數(shù))與圓(θ為參數(shù))相切，求切線的傾斜角．【答案】或【解析】直線的普通方程為，圓的普通方程為，直線與圓相切，則圓心到直線的距離為，從而有，即，∴b＝±eq\r(3)a，而直線的傾斜角的正切值為tanα＝eq\f(b,a)，∴tanα＝±eq\r(3)，因此切線的傾斜角為或3、在直角坐標(biāo)系中，已知曲線：(為參數(shù))與曲線：(為參數(shù)，)有一個(gè)公共點(diǎn)在軸上，則.【答案】【解析】曲線：直角坐標(biāo)方程為，與軸交點(diǎn)為；曲線：直角坐標(biāo)方程為，其與軸交點(diǎn)為，由，曲線與曲線有一個(gè)公共點(diǎn)在軸上，知?！灸芰μ嵘?、（2022全國2卷文22）在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸