3.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)（原卷版）

3.：拋物線的幾何性質(zhì)【考點梳理】考點一：拋物線的簡單幾何性質(zhì)標準方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖形范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R對稱軸x軸x軸y軸y軸焦點坐標Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)頂點坐標O(0,0)離心率e＝1通徑長2p考點二：直線與拋物線的位置關(guān)系直線y＝kx＋b與拋物線y2＝2px(p>0)的交點個數(shù)決定于關(guān)于x的方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,y2＝2px))解的個數(shù)，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的個數(shù)．當k≠0時，若Δ>0，則直線與拋物線有兩個不同的公共點；若Δ＝0，直線與拋物線有一個公共點；若Δ<0，直線與拋物線沒有公共點．當k＝0時，直線與拋物線的軸平行或重合，此時直線與拋物線有1個公共點．考點三：直線和拋物線1．拋物線的通徑(過焦點且垂直于軸的弦)長為2p.2．拋物線的焦點弦過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的一條直線與它交于兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則①y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4)；②eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝x1＋x2＋p；③eq\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF)))＋eq\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF)))＝eq\f(2,p).重難點技巧：拋物線的焦半徑公式如下：（為焦準距）（1）焦點在軸正半軸，拋物線上任意一點，則；（2）焦點在軸負半軸，拋物線上任意一點，則；（3）焦點在軸正半軸，拋物線上任意一點，則；（4）焦點在軸負半軸，拋物線上任意一點，則.【題型歸納】題型一：拋物線的簡單性質(zhì)（頂點、焦點、范圍）1．（2021·江蘇·高二專題）下列關(guān)于拋物線的圖象描述正確的是（

）A．開口向上，焦點為 B．開口向右，焦點為C．開口向上，焦點為 D．開口向右，焦點為2．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）已知為拋物線的焦點，為上任意一點，且點到點距離的最小值為．若直線過交于，兩點，且，則線段中點的橫坐標為（

）A．2 B．3 C．4 D．63．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）拋物線與圓交于、兩點，圓心，點為劣弧上不同于、的一個動點，平行于軸的直線交拋物線于點，則的周長的取值范圍是A． B． C． D．題型二：拋物線的對稱性4．（2023·高二課時練習(xí)）已知圓與拋物線相交于M，N，且，則（

）A． B．2 C． D．45．（2023秋·高二課時練習(xí)）是拋物線上的兩點，，且的面積為，則（

）A． B． C． D．6．（2020秋·江蘇南通·高二如皋市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為拋物線的焦點，過作垂直軸的直線交拋物線于、兩點，以為直徑的圓交軸于、兩點，且，則拋物線方程為（

）A． B． C． D．題型三：拋物線的弦長問題7．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）已知為坐標原點，為拋物線的焦點，為上一點，若，則的面積為（）A．2 B． C． D．48．（2023·高二課時練習(xí)）已知拋物線，過點的直線與拋物線交于A，B兩點，若點是線段AB的中點，則直線的斜率為（

）A．4 B．2 C．1 D．9．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）已知為拋物線的焦點，過作兩條互相垂直的直線，，直線與交于，兩點，直線與交于，兩點，則當取得最小值時，四邊形的面積為（

）A．32 B．16 C．24 D．8題型四：拋物線的焦點弦性質(zhì)問題10．（2023·高二課時練習(xí)）已知拋物線的焦點為F，過點F的直線交拋物線于A，B兩點，延長FB交準線于點C，分別過點A，B作準線的垂線，垂足分別記為M，N，若，則的面積為（

）A． B．4 C． D．211．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）已知點為拋物線的焦點，過點作兩條互相垂直的直線，直線與交于兩點，直線與交于兩點，則的最小值為（

）A．32 B．48 C．64 D．7212．（2023春·江蘇南京·高二南京市秦淮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）過拋物線的焦點的直線交拋物線于、兩點，若，則（

）A．或 B．或 C． D．題型五：拋物線中的參數(shù)范圍13．（2023·高二課時練習(xí)）已知為拋物線的焦點，過的直線與拋物線交于，兩點，若在軸負半軸上存在一點，使得為銳角，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．14．（2022·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線和直線，拋物線上一動點P到直線和直線的距離之和的最小值是（

）A．2 B．3 C． D．15．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，準線為l，直線，動點M在C上運動，記點M到直線l與l′的距離分別為d1，d2，O為坐標原點，則當d1+d2最小時，cos∠MFO＝（）A． B． C． D．題型六：拋物線的定值、定點問題16．（2023春·江蘇泰州·高二靖江高級中學(xué)校）已知拋物線C：的焦點為F，斜率為1的直線l經(jīng)過F，且與拋物線C交于A，B兩點，．(1)求拋物線C的方程；(2)過拋物線C上一點作兩條互相垂直的直線與拋物線C相交于兩點（異于點P），證明：直線恒過定點，并求出該定點坐標．17．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)拋物線的準線為l，A、B為拋物線上兩動點，于，定點使有最小值．(1)求拋物線的方程；(2)當（且）時，是否存在一定點T滿足為定值？若存在，求出T的坐標和該定值；若不存在，請說明理由．18．（2022秋·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）已知定點，定直線，動圓過點，且與直線相切．(1)求動圓的圓心所在軌跡的方程；(2)已知點是軌跡上一點，點是軌跡上不同的兩點（點均不與點重合），設(shè)直線的斜率分別為，且滿足，證明：直線過定點，并求出定點的坐標．【雙基達標】單選題19．（2023秋·江蘇鹽城·高二鹽城市伍佑中學(xué)?？计谀┮阎獮閽佄锞€的焦點，過且斜率為1的直線交于，兩點，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．420．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知拋物線，P為C上一點，，，當最小時，點P到坐標原點的距離為（

）A． B． C． D．821．（2022·江蘇·高二期末）已知拋物線：的焦點為，過點作y軸的垂線交拋物線C于點A，且滿足，則的值為（

）A．4 B．1 C．2 D．822．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）已知拋物線：的焦點為F，Q為上一點，M為的準線上一點且為坐標原點，P在x軸上，且在點F的右側(cè)，，，，則準線的方程為（

）A． B． C． D．23．（2022·江蘇·高二假期作業(yè)）已知拋物線的焦點為F，準線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點，若，則（

）A． B．2 C． D．24．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）過點的直線與拋物線：交于，兩點，且與E的準線交于點C，點F是E的焦點，若的面積是的面積的2倍，則（

）A． B． C．10 D．1725．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）拋物線C：的焦點為F，準線l交x軸于點，過焦點的直線m與拋物線C交于A，B兩點，則（

）A．B．C．直線AQ與BQ的斜率之和為0D．準線l上存在點M，若為等邊三角形，可得直線AB的斜率為26．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知直線與拋物線交于兩點，.(1)求；(2)設(shè)拋物線的焦點為，過點且與垂直的直線與拋物線交于，求四邊形的面積.27．（2023春·江蘇鹽城·高二?？计谥校┮阎c在拋物線：上.(1)求拋物線C的準線方程；(2)設(shè)直線與C交于A，B兩點，O為坐標原點，且，求面積的最小值.【高分突破】一、單選題28．（2023·高二課時練習(xí)）已知曲線C：y2＝2px（p＞0），過它的焦點F作直線交曲線C于M、N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于點P，可證明是一個定值m，則m＝（）A． B．1 C．2 D．29．（2021·高二單元測試）設(shè)拋物線的焦點為F，過點F且斜率為的直線交拋物線C于A，B兩點，若、分別垂直準線于、，四邊形的周長為40，則（

）A． B．或 C． D．30．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）是拋物線C：上一定點，A，B是C上異于P的兩點，直線PA，PB的斜率，滿足為常數(shù)，，且直線AB的斜率存在，則直線AB過定點（）A． B．C． D．31．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）已知點是拋物線：（）上的動點，若的最小值為1，則拋物線的準線方程為（

）A． B． C． D．二、多選題32．（2023春·江蘇南京·高二統(tǒng)考期末）已知是拋物線的焦點，，是拋物線上的兩點，為坐標原點，則（

）A．拋物線的準線方程為B．若，則的面積為C．若直線過焦點，且，則到直線的距離為D．若，則33．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知拋物線的焦點為，點為上任意一點，點，下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值為2 B．拋物線關(guān)于軸對稱C．的最小值為4 D．過點且與拋物線有一個公共點的直線有且只有一條34．（2022秋·高二單元測試）設(shè)點為拋物線：的焦點，過點斜率為的直線與拋物線交于兩點（點在第一象限），直線交拋物線的準線于點，若，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．的面積為（為坐標原點）35．（2022秋·江蘇泰州·高二泰州中學(xué)?？计谀┮阎獟佄锞€的焦點為，為上一動點，點，則（

）A．當時，B．當時，在點處的切線方程為C．的最小值為D．的最大值為36．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）已知拋物線的焦點為F、準線為l，過點F的直線與拋物線交于，兩點，點P在l上的射影為，則（

）A．若，則B．以為直徑的圓與準線l相切C．設(shè)，則D．過點與拋物線C有且僅有一個公共點的直線至多有2條37．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省揚中高級中學(xué)校考期末）已知為坐標原點，拋物線的方程為的焦點為，直線與交于兩點，且的中點到軸的距離為2，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最大值為6B．的焦點坐標為C．若，則直線的方程為D．若,則面積的最小值為三、填空題38．（2023春·江蘇揚州·高二江蘇省江都中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知點F為拋物線的焦點，，點P為拋物線上一動點，則的最小值為．39．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知拋物線的焦點為F，點A，B在拋物線上．若，則當取得最大值時，．40．（2023秋·江蘇鹽城·高二鹽城市伍佑中學(xué)?？计谀┮阎獟佄锞€的焦點F與雙曲線的右焦點重合，與的公共點為M，N，且，則的離心率是．41．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知拋物線：，圓：，在拋物線上任取一點，向圓作兩條切線和，切點分別為，，則的取值范圍是．四、解答題42．（2023春·江蘇南通·高二期末）拋物線的焦點，過C的焦點F斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點，的面積為(1)求拋物線C的方程；(2)若P為C上位于第一象限的任一點，直線l與C相切于點P，連接PF并延長交C于點M，過P點作l的垂線交C于另一點N，求面積S的最小值．43．（2023秋·江蘇南京·高二南京市大廠高級中學(xué)?？计谀┮阎獟佄锞€的焦點為，點．(1)設(shè)是拋物線上的動點，求的最小值；(2)過點的直線與拋物線交于、兩點，若的面積為，求直線的方程．44．（2023秋·江蘇南京·高二南京市第九中學(xué)?？计谀┮阎獮閽佄锞€的焦點，過點的直線與拋物線交于不同的兩點，，拋