2022年天津高考數學試題及解析

2022年天津市高考數學試卷

一、選擇題（本題共9小題，每小題5分，共45分）

1.（5分）（2022?天津）設全集U={-2,-1,0,1,2},集合A={0,1,2},B=[-1,

2},則AC（CuB）=（）

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{-1,1,2}D.{0,-1,1,2）

2.（5分）（2022?天津）。為整數”是“2x+I為整數”的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

3.（5分）（2022?天津）函數/（X）=?x2-lI的圖像為（）

4.（5分）（2022?天津）為研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進行臨床試驗，所有志愿

者的舒張壓數據（單位：kPa）的分組區(qū)間為[12,13）,[13,14）,[14,15）,[15,16）,

[16,17],將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，…，第五組，右圖是根據

試驗數據制成的頻率分布直方圖.已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的

5.(5分)已知”=2°，7,h=(A)O-7,c=log2—?則()

33

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

6.(5分)(2022?天津)化簡(21og43+logs3)(Iog32+log92)的值為()

A.1B.2C.4D.6

7.（5分）（2022?天津）已知拋物線V=4述x,F\,尸2分別是雙曲線工--之一=1（a>0,

b>0）的左、右焦點，拋物線的準線過雙曲線的左焦點與雙曲線的漸近線交于點A,

若/三，則雙曲線的標準方程為（）

4

2222

A.B.x2,-=1C.X2--^―=1D.-^―-y2=l

101644

8.（5分）（2022?天津）如圖，“十字歇山”是由兩個直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底

面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為120。，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積

為（）

9.（5分）（2022?天津）已知/（x）=Lsin2x,關于該函數有下列四個說法：

2

◎（x）的最小正周期為2m

②f（x）在［-工，工］上單調遞增；

44_

③當尤［工，2L］時，r（x）的取值范圍為［-近，返］;

6344

◎（X）的圖象可由g（x）=Isin（2X+-ZL）的圖象向左平移三個單位長度得到.

248

以上四個說法中，正確的個數為（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個空的，答對1個的

給3分，全部答對的給5分）

10.（5分）（2022?天津）已知i是虛數單位，化簡止紅的結果為.

1+21

11.（5分）（2022?天津）（4+J）5的展開式中的常數項為.

X

12.（5分）（2022?天津）若直線x-y+m=0（??>0）與圓（JC-1）2+（y-1）2=3相交所

得的弦長為g則，w=.

13.（5分）（2022?天津）52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A

的概率為;已知第一次抽到的是A,則第二次抽取A的概率為.

14.（5分）（2022?天津）在△A8C中，CA=a-CB=b,。是AC中點，CB=2BE?試用Z，

E表示左為，若族，而，則NACB的最大值為.

15.(5分)(2022?天津)設aCR,對任意實數x,記/(x)=min[\x\-2,JC2-ax+3a-5｝.若

于(x)至少有3個零點，則實數a的取值范圍為.

三、解答題(本大題共5小題，共75分)

16.(15分)(2022?天津)在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為小b,c.己知a=泥,

h=2c,cosA=--.

4

(1)求c的值；

(2)求sinB的值；

(3)求sin(.2A-B)的值.

17.(15分)(2022?天津)直三棱柱ABC-Al81cl中，AAi=AB=AC=2,AA\±AB,AC1.

AB,。為AiBi中點，E為441中點，F為CD中點.

(1)求證：EF〃平面ABC；

(2)求直線8E與平面CC1。的正弦值；

(3)求平面4CZ)與平面CCi。夾角的余弦值.

18.(15分)(2022?天津)設｛“”｝是等差數列，｛為｝是等比數列，且ai=bi=a2-b2=a3-

by—\.

(1)求｛a”｝與｛氏｝的通項公式;

(2)設｛而｝的前“項和為S”,求證:(S”+i+2+i)妹=酬+而+1-S疝”;

2n

(3)求￡[az.+i-(-1)kak\bk.

k=l

22

19.(15分)(2022?天津)橢圓2_+匚=1(a>b>0)的右焦點為F、右頂點為4,上頂

2,2

ab

點為B,且滿足|BF!=，!_.

|ABI2

(1)求橢圓的離心率e；

(2)直線/與橢圓有唯一公共點M,與y軸相交于N(N異于M).記0為坐標原點,

若QM=|ON，且△OMN的面積為求橢圓的標準方程.

20.(15分)(2022?天津)已知a,b&R,函數/(x)="-asinx,g(x)—byfx.

(1)求函數y=/(x)在(0,f(0))處的切線方程；

(2)若y=/(x)和y=g(x)有公共點.

(i)當a=0時，求b的取值范圍；

(ii)求證：/+力2>e.

2022年天津市高考數學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本題共9小題，每小題5分，共45分）

1.（5分）（2022?天津）設全集U={-2,-1,0,1,2）,集合4={0,1,2},8={-1,

2）,則API（CuB）=（）

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{-1,1,2}D.{0,-1,1,2）

【考點】交、并、補集的混合運算.

【專題】計算題；綜合法；高考數學專題；集合；邏輯推理；數學運算.

【分析】直接利用集合的補集與交集的運算法則求解即可.

【解答】解：全集U={-2,-1,0,1,2},集合A={0,1,2},8={-1,2},

則4n（CuB）={0,1,2}A{-2,0,1}={0,1}.

故選：A.

【點評】本題考查集合的交集，補集的運算法則的應用，是基礎題.

2.（5分）（2022?天津）。為整數”是“2x+l為整數”的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

【考點】充分條件與必要條件.

【專題】對應思想；定義法；簡易邏輯；邏輯推理.

【分析】分別判斷充分性和必要性是否成立即可.

【解答】解：x為整數時，2x+l也是整數，充分性成立；

2x+l為整數時，x不一定是整數，如'=工時，所以必要性不成立，是充分不必要條件.

2

故選：A.

【點評】本題考查了充分必要條件的判斷問題，是基礎題.

3.（5分）（2022?天津）函數/（x）=?I的圖像為（）

X

【專題】對應思想；轉化法；函數的性質及應用；數學抽象.

【分析】根據函數奇偶性和特殊點，即可判斷.

【解答】解：函數/(x)=」L的定義域為(-8,0)u(0,+8),

X

:.于(-X)=IXTI=-f(x),

-x

???該函數為奇函數，故A錯誤；

x>0時，f(x)f+8；x=Lf(x)=0；xf+8,f(x)f+8,

故BC錯誤，D正確.

故選：D.

【點評】本題考查函數圖象，屬于基礎題.

4.（5分）（2022?天津）為研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進行臨床試驗，所有志愿

者的舒張壓數據（單位：kPa）的分組區(qū)間為[12,13）,[13,14）,[14,15）,[15,16）,

[16,17J,將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，…，第五組，右圖是根據

試驗數據制成的頻率分布直方圖.已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的

【考點】頻率分布直方圖.

【專題】數形結合；數形結合法；概率與統(tǒng)計；數學運算.

【分析】結合已知條件和頻率分布直方圖求出志愿者的總人數，進而求出第三組的總人

數，由此能求出結果.

【解答】解：志愿者的總人數為^-----20——=50,

（0.24+0.16）XI

.?.第3組的人數為50X0.36=18,

有療效的人數為18-6=12人.

故選：B.

【點評】本題考查頻率分布直方圖的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

5.（5分）已知a=2°7,b—（A）07,c—\og2—,則（）

33

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

【考點】對數值大小的比較.

【專題】函數思想；定義法；函數的性質及應用；邏輯推理.

【分析】根據指數函數和對數函數的圖象與性質，判斷方>0>c.

【解答】解：因為y=2'是定義域R上的單調增函數，所以2°7>2°=1,即a=207>l：

[X]0?7[0-J

因為尸令）是定義域R上的單調減函數，所以育）<（A）=1,且b=（A）

°-7,所以0V6V1；

因為y=log2X是定義域（0,+8）上的單調增函數，所以]og2工Vlog21=0,即c=k）g2工

33

<0；

所以a>b>c.

故選：C.

【點評】本題考查了根據指數函數和對數函數的圖象與性質判斷函數值大小的應用問題，

是基礎題.

6.（5分）（2022?天津）化簡（21og43+logs3）（Iog32+log92）的值為（）

A.1B.2C.4D.6

【考點】對數的運算性質.

【專題】計算題；轉化思想；轉化法；函數的性質及應用；數學運算.

【分析】利用對數的換底公式計算即可.

【解答】解：⑵og43+log83）（log32+log92）=（21§3_+2§3）（型+型）

lg4lg8lg3lg9

=（Ig3+Jg3_）（Ag2+Jg2_）

lg231g2lg321g3

=41g3.3lg2

3lg22lg3

=2.

故選：B.

【點評】本題考查了對數的換底公式應用問題，是基礎題.

7.（5分）（2022?天津）己知拋物線尸=4遍X，Fi,F2分別是雙曲線工￡-工1=1（。>0,

b>0）的左、右焦點，拋物線的準線過雙曲線的左焦點為，與雙曲線的漸近線交于點A,

若NFiF2A=三，則雙曲線的標準方程為（）

4

2222

A.3—-）2=1B.x2--^—=1C.x2-——=1D.-^―-y2=1

101644-

【考點】雙曲線的性質.

【專題】方程思想；轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；數學運算.

【分析】先由拋物線方程的準線方程，得雙曲線的半焦距C,再聯立拋物線準線方程與雙

曲線的漸近線方程解得|加|,接著由可得|）川=尸|尸2],從而得b=2a,最

4

后再通過。2=〃2+/建立方程即可求解.

【解答】解：由題意可得拋物線的準線為冗=/，又拋物線的準線過雙曲線的左焦點

F1,

_x=-c

:.聯立，b，可得|）/|=區(qū)，又2A=匹，

y=—xa4

a

???|洌=國產2|,

22

.*.^-=2c，:?b=2a,b=4af

a

又c2=a2+Z>2,

22

.\5=a+4af

Aa2=L廬=4,

...雙曲線的標準方程為x2-X：=l.

4

故選：C.

【點評】本題考查拋物線的性質與雙曲線的性質，方程思想，屬基礎題.

8.（5分）（2022?天津）如圖，“十字歇山”是由兩個直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底

面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為120。，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積

為（）

十字歇山頂一^y?

十字鼬山頂

A.23B.24C.26D.27

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積.

【專題】計算題；整體思想；綜合法；立體幾何;直觀想象；數學運算.

【分析】根據題目插圖和題干對“十字歇山”的結構特征的描述，作出幾何體直觀圖，

再求出該組合體的體積.

【解答】解：如圖，該組合體由直三棱柱AFQ-BHC和直三棱柱AE8-DGC組成，且

ABCZ）為正方形，

設重疊后的EG與FH交點為/,

作“M_LCB于M,因為CH=BH=3,ZC/7B=120",

所以CM=BM=^J^~,HM=3,BC=AB=3M，

22

方法①：四個形狀相同的三棱錐（I-AEB、I-BCH,I-CDG.1-ADF）的體積之和，

加上正四棱錐/-ABCD的體積：

在直三棱柱AFC-84C中，AB_L平面84C,則A8_LHM,

由ABQBC^B可得HM_L平面ADCB,

正四棱錐/-ABCD的高等于HM的長，

力一向=爾/3禽X^X羋_=妾V/-ABCD=1X3V3X3V3X^=等，

該組合體的體積y=%AEBX4+V7.ABCD=22x4+22=27；

82

方法②：兩個直三棱柱體積相加，再減去重疊部分（正四棱錐/-ABCC）的體積：

在直三棱柱AFD-2HC中，A8_L平面8HC,則A8_LHM,

由ABHBC=B可得HMJ_平面ADCB,

正四棱錐/-ABCD的高等于HM的長，

[Q071Q

VLABCD=3X^^X3A/3VAWBHC=3X3V§

322224

該組合體的體積V^VAFD-BHCX2-0MBs=2義趾衛(wèi)=27.

42

故選：D.

E

D

【點評】本題主要考查組合體結構的認識即體積的求法，需要具備一定的直觀想象能力,

屬于中檔題.

9.(5分)(2022?天津)已知/(x)=lsin2x,關于該函數有下列四個說法：

◎(%)的最小正周期為2TT；

@fCx)在［--,匹］上單調遞增；

44

③當在［工，2L］時，f(X)的取值范圍為［-1，退土

6344

@f(x)的圖象可由g(x)=lsin(2X+2L)的圖象向左平移三個單位長度得到.

248

以上四個說法中，正確的個數為()

A.1B.2C.3D.4

【考點】正弦函數的圖象；正弦函數的單調性.

【專題】轉化思想；綜合法；三角函數的圖象與性質；數學運算.

【分析】由題意，利用正弦函數的圖象和性質，得出結論.

【解答】解：對于/(x)=LinZr,它的最小正周期為"=TT,故①錯誤；

22

在［-三，2L］,2XE［-2L,2L］,函數/?(外單調遞增，故②正確；

4422_

當X曰工，2L］時，2A-G［-2L,2JL］,/(X)的取值范圍為［-近，1］,故③錯誤；

633342

/(%)的圖象可由g(x)=Isin(2X+2L)的圖象向右平移三個單位長度得到，故④錯

248

誤，

故選：A.

【點評】本題主要考查正弦函數的圖象和性質，屬于基礎題.

二、填空題(本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個空的，答對1個的

給3分，全部答對的給5分）

10.（5分）（2022?天津）已知i是虛數單位，化簡止紅的結果為l-5i

l+2i

【考點】復數的運算.

【專題】計算題；整體思想；綜合法：數系的擴充和復數；數學運算.

【分析】直接利用復數代數形式的乘除運算化簡即可.

【解答】解:ll-3i=)(l-2i)=5-25i=i_5/>

l+2i(l+2i)(l-2i)-5-

故答案為：1-5i.

【點評】本題考查了復數代數形式的乘除運算，屬于基礎題.

11.（5分）（2022?天津）（?+吝）5的展開式中的常數項為15.

x

【考點】二項式定理.

【專題】計算題.

【分析】先寫出二項式的展開式的通項，整理出最簡形式，要求展開式的常數項，只要

使得變量的指數等于0,求出r的值，代入系數求出結果.

55-5r

【解答】解：???（TV）的展開式的通項是此4Z（與）r=（/3%=

x2x25

要求展開式中的常數項只要使得5-5r=0,即r=l

.?.常數項是C&X3=15,

故答案為：15

【點評】本題考查二項式定理，本題解題的關鍵是寫出展開式的通項，這是解決二項式

定理有關題目的通法，本題是一個基礎題.

12.（5分）（2022?天津）若直線x-y+m=0（/n>0）與圓（x-1）2+（y-1）2=3相交所

得的弦長為相，則2.

【考點】直線與圓的位置關系.

【專題】轉化思想；綜合法；直線與圓；數學運算.

【分析】先求出圓心到直線的距離，再根據圓中的弦長公式建立方程，最后解方程即可

得解.

【解答】解:?.?圓心C(1,1)到直線x-y+m=0(m>0)的距離d=m

又直線與圓相交所得的弦長為m,

Am=2Vr2-d2>

2

,?血2=4（3一券）'

解得m=2.

故答案為：2.

【點評】本題考查直線與圓相交的弦長問題，點到直線的距離公式，方程思想，屬基礎

題.

13.（5分）（2022?天津）52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A

的概率為」一；已知第一次抽到的是A,則第二次抽取A的概率為-L.

—22L~17~

【考點】條件概率與獨立事件.

【專題】計算題；整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數學運算.

【分析】由題意結合概率的乘法公式可得兩次都抽到4的概率，再由條件概率的公式即

可求得在第一次抽到A的條件下，第二次抽到A的概率.

【解答】解：由題意，設第一次抽到A的事件為8,第二次抽到A的事件為C,

則尸（BC）=_Lx&=i^,P（B）=_￡=工

52512215213

1

：.P（C|8）=P⑻）=^L=J_,

P（B）_L17

13

【點評】本題主要考查了獨立事件的概率乘法公式，考查了條件概率公式，屬于基礎題.

14.（5分）（2022?天津）在△ABC中，以=之，CB=b.。是4c中點，CB=2BE-試用Z，

E表示定為_至二亙_,若瓦，而，則/ACB的最大值為_工_.

~2~~6-

【考點】數量積判斷兩個平面向量的垂直關系；平面向量數量積的性質及其運算.

【專題】數形結合；轉化思想；數形結合法；平面向量及應用；數學運算.

【分析】由題意，利用兩個向量加減法及其幾何意義，兩個向量的數量積公式，基本不

等式，求出cosC的最小值，可得/ACB的最大值.

【解答】解：?.?△48C中，CA=a，CB=b.。是AC中點，CB=2BE，如圖：

???DE-CE-CD=CB+BE-—CA=b+--曳=組工.

2222

VAB=CB-CA=b-a.AB，DE，

.?萬a=(0；)?亨=小際2-4；?*；2)=o,即4”=7+3針,

即4*a*/>,cosC=a2+3i>2>即cosC=3_—巨弛

4ab4ab2

當且僅當a=3〃時，等號成立，故cosC的最小值為近，故C的最大值為工，

26

即NACB的最大值為三，

6

【點評】本題主要考查兩個向量加減法及其幾何意義，兩個向量的數量積公式，基本不

等式的應用，屬于中檔題.

15.(5分)(2022?天津)設“6R,對任意實數x,記/(x)=min[\x\-2,x2-ax+3a-5}.若

f(x)至少有3個零點，則實數〃的取值范圍為“0,+8).

【考點】函數的零點與方程根的關系.

【專題】分類討論；函數思想；轉化思想；數形結合法；函數的性質及應用；直觀想象;

數學運算.

【分析】設g(x)—x2-ax+3a-5,h(x)=|x|-2,分析可知函數g(x)至少有一個零

點，可得出△20,求出a的取值范圍，然后對實數a的取值范圍進行分類討論，根據題

意可得出關于實數。的不等式，綜合可求得實數〃的取值范圍.

【解答】解：設g(x)-ax+3a-5,h(x)=\x\-2,由m-2=0可得x=±2.

要使得函數f(x)至少有3個零點，則函數g(x)至少有一個零點，

則A=a2-4(3a-5)20,

解得4?2或“》10.

①當a=2時，g(x)=x2-2x+l,作出函數g(x)、h(x)的圖象如圖所示:

要使得函數于(x)至少有3個零點，則X2W-2,

—<-2

所以，2”，解得“60;

g(-2)=5a-l>0

③當“=10時，g(x)=7-10x+25,作出函數g(x)、h(x)的圖象如圖所示:

④當”>10時，設函數g(X)的兩個零點分別為X3、X4(X3<X4),

要使得函數/(X)至少有3個零點，則

7>2,解得。>4,此時。>10.

可得.

g(2)=a-l>0

綜上所述，實數”的取值范圍是［10,+8).

故答案為：［10,+8).

【點評】本題考查了函數的零點、轉化思想、分類討論思想及數形結合思想，屬于中難

題.

三、解答題（本大題共5小題，共75分）

16.（15分）（2022?天津）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知”=企

b—2c,cosA="-.

4

（1）求c的值：

（2）求sin8的值；

（3）求sin（2A-B）的值.

【考點】三角形中的幾何計算；兩角和與差的三角函數；正弦定理；余弦定理.

【專題】整體思想；綜合法；解三角形；邏輯推理；數學運算.

【分析】（1）由余弦定理及題中條件可得c邊的值；

（2）由正弦定理可得sinC的值，再由b=2c及正弦定理可得sinB的值；

（3）求出2A及8角的正余弦值，由兩角差的正弦公式可得2A-8的正弦值.

【解答】解（1）因為。=a，b—2c,cosA=-―,

4

22222

由余弦定理可得cosA=b+ca=4+c6=,工，

2bc4c24

解得：c=l；............................................................（3分）

(2)cosA=-A,Ae(0,n),所以sinA=71-coS2A=」再

4

由匕=2c,可得sinB=2sinC,

由正弦定理可得，一=^^,即羋==」,..........................（6分）

sinAsinC715sinC

_4

可得sinC=YU,

8__

所以sinB=2sinC=2xH=YI^_；........................................(8分)

84

(3)因為cosA=-』，sinA=1^_,

44__

所以sin24=2sirb4cos4=2X(-A)義^^=-,cos2A=2cos2A-1—2X_1_-1

44816

=--L,................................................................(11分)

8

sinB=2Z亞可得cosB=^^-,...........................................(13分)

44____

所以sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=--(--L)x=0^..,

84848

所以sin（2A-B）的值為YIE......................................（15分）

8

【點評】本題考查正余弦定理及兩角差的正弦公式的應用，屬于基礎題.

17.（15分）（2022?天津）直三棱柱ABC-All。中，AA\=AB=AC^2,AA\±AB,AC±

AB,。為中點，E為A4中點，尸為CD中點.

（1）求證：EF〃平面ABC；

（2）求直線BE與平面C。。的正弦值；

（3）求平面4CD與平面C。。夾角的余弦值.

【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面平行.

【專題】數形結合；向量法；空間向量及應用；數學建模.

【分析】利用中位線可證（1）,建立空間直角坐標系設若=（x,y,z）是平面CC\D的

法向量，平面A1CD的法向量為7=（x，y，z）,可解.

【解答】解：（1）證明：取881的中點G,連接FG,EG,連接AO交EG于K,

再連接FK,........................................................（1分）

'：EK//A\B\,且E是441的中點，則K是AO的中點，

J.FK//AC,EG//AB,

又FKC平面ABC,ACu平面ABC,

；.FK〃平面ABC,...................................................（3分）

同理可得，EG〃平面ABC,

又FKCEG=K,

平面EFG〃平面ABC,

〃平面ABC,...................................................（5分）

（2）在直三棱柱ABC-481cl中，ACLAB,則可建立如圖所示的空間直角坐標系，

又A4=AB=4C=2,。為4B1中點，E為A4中點，尸為CD中點.

故8(2,2,0),E(1,0,0),C(2,0,2),C\(0,0,2),D(0,1,0),

則應=(-I.-2,0),(-2,0,0),CD=(-2,1,-2),.......(7分)

設二=(x，y，z)是平面CC\D的法向量，則有：n-CC*=O,，?而=0,即f-2乂=。，

1l-2x+y-2z=0

令z=l,則x=0,y=2,

所以W=(0,2,1)>............................................(9分)

設直線BE與平面CC\D的夾角為0,則sin0=|cos〈箴,

AH吊尸“10

分）

(3)VAi(0,0,0),則(2,0,2),7^D=(°，]，。)，...........(11分)

設平面AC。的法向量為ir=（x,y,z）,則有A[6=。，

即（2x+2z=0,令x=],則）=o,z=_1,故1r（i,0）_i）,...........（13分）

Iy=0

設平面MCD與平面CC\D的夾角為p,

所以30=13＜六孟〉尸|君途尸唔.

（15分）

【點評】本題考查了利用空間向量求線面角以及二面角的大小，屬于較難題.

18.（15分）（2022?天津）設｛&”｝是等差數列，｛為｝是等比數列,且a\—b\—ai-bl-ay-

63=1.

(1)求優(yōu)〃｝與｛加｝的通項公式;

(2)設他"｝的前〃項和為租,求證:(S?+i+a?+i)hn=Sn+ibn+i-Snbn；

2n

(3)求￡[ak+\-(-1)kak\bk.

k=l

【考點】數列遞推式；等差數列與等比數列的綜合.

【專題】方程思想；轉化法；等差數列與等比數列；數學運算.

【分析】（1）設等差數列｛珈｝的公差為d,等比數列｛加｝的公比為4,由切=4=42-歷

=a3-可得l+d-q=l,1+2J-q2=\,解得d,q,即可得出a〃.

（2）由等比數列的性質及通項公式與前〃項和的關系結合分析法能證明（S/l+4〃+l）bn

=Sn+1bn+1-Snbn；

2kk

（3）先求出［a2k-（-1）2卜1a2k_］也2hi+3&+L<-1）2k］b2k=2k>4,利用并項求

和，結合錯位相減法能求出結果.

【解答】解：（1）設等差數列｛碗｝的公差為力等比數列｛治｝的公比為g,

a\=b\=a2~歷=〃3-加=1,

1+d-q=1,l+2d-/=1,

解得d=q=2,..........................................................................................................................(2分)

???〃〃=1+2(〃-1)=2n-1,bn=2〃-i...........................................................................(3分)

(2)證明：???b〃+i=2仇#0,

??要證明(S〃+l+a〃+l)bn=Sn+\bn+]~Snbn9

即證明(S"+l+〃〃+l)bn=2Sn+\*bn~Snbn9.......................................*.............................(4分)

即證明Sn+1+?！?1=2S?i+l-Sn?

即證明a〃+1=Sn+1-Snr

由數列的通項公式和前〃項和的關系得：Z+1=S〃+1-S〃，....................（6分）

（S〃+l+O〃+l）bn—Sn+1bn+1-Snbn................................................................................（7分）

2k

(3)V[a2k_(_1)2k-1a^]b2k-\+[a2M-(-1)2k]b2k

=(4k-l+4A-3)X22A_2+[4it+l-(4^-1)]X22-1=2如4?,

2nn

2k[

[ak+\-(-1)kak\bk=f{[aik-(-1)'aik-\]bik-1+[a.(-1)左〃2H歷上}

k=lk=l

n

=￡2H4。.............................................................(10分)

k=l

n

設2k-4k-

k=l

貝“Tn=2X4+4X4?+6X43+?+2〃X4",①

47^=2X42+4X43+6x44+?+2nX4n+1,②..................................................................(12分)

①-②，得：

-3〃=2(4+42+43+44+*+4n)-2nMn+l

=2乂4/L2nx4nH

1-4

n+1

=(2-6n)?4-8

~T~

.?.3g-2)?4巾+8,...

（14分）

9

2n

￡[ak+\-（7皿吟』（15分）

k=l

【點評】本題考查了等差數列與等比數列的通項公式與求和公式、錯位相減法，考查了

推理能力與計算能力，屬于難題.

22

19.（15分）（2022?天津）橢圓2_+匚=1（〃>6>0）的右焦點為尸、右頂點為4,上頂

a2b2

點為B,且滿足工叫=近.

|ABI2

（1）求橢圓的離心率e；

（2）直線/與橢圓有唯一公共點M,與y軸相交于N（N異于M）.記O為坐標原點,

若［0例|=1。朗，且△OMN的面積為求橢圓的標準方程.

【考點】直線與橢圓的綜合.

【專題】轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；數學抽象；數學運算.

【分析】（1）根據膽!=近建立。，匕的等式，再轉化為a,c的等式，從而得離心率

lABI2

e的值；

（2）先由（1）將橢圓方程轉化為7+3y2=J,再設直線/為）,=h+加，聯立橢圓方程求

出點M的坐標，再由△=（）及|OM=|OM，且△OMN的面積為北建立方程組，再解方

程組即可得解.

2

|BF|_a_=遮9

【解答】解：（1）,/---a----=—3，

杼了2-24

IABI2a+b+

.??。2=3廬，...............................................................(2分)

：.a1=3(a2-c2),A2a2=3c2,...........................................(3分)

22

(2)由(1)可知橢圓為七"^=1,

V

即/+3y2=〃2,.......................................................(5分)

設直線/：y=kx+m,聯立/+3)2=42,消去丁可得：

(3乒+1)x1+6kfwc+(3〃?2-〃2)=o,又直線/與橢圓只有一個公共點，

???△=36必加2-4(3F+1)(3m2-〃)=0,：.3m2=a2(3正+1)，.............(8分)

-V7_3km-3k2m

外二kxM+m=

XM-3k2+l3k2+l

2

又QM=|OM，???(二碧一)+(―L)2=m2(

3kJ+l3k^+l

解得k21，.?/=土近，...............................................

(11分)

33

w

,又叢OMN的面積為春?|0N||xH|~4",|m|,|—尸F，

2m23k"+l

m2

/._L=A/o,/.m=4,....................................(13分)

22

又k=^^-,3n^=<r(3/+1),.,.a2=6,h2=2,........................