新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)歸納與演練專題3-7 利用導(dǎo)函數(shù)研究雙變量問題（含解析）

專題3-7利用導(dǎo)函數(shù)研究雙變量問題目錄TOC\o"1-1"\h\u專題3-7利用導(dǎo)函數(shù)研究雙變量問題 1 1題型一：分離雙參，構(gòu)造函數(shù) 1②根據(jù)分離后的不等式結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，構(gòu)造新函數(shù)； 3題型二：糅合雙參（比值糅合） 6題型三：糅合雙參（差值糅合） 14題型四：利用對(duì)數(shù)平均（指數(shù)平均）不等式解決雙變量問題 19題型五：最值定位法解決雙參不等式問題 26 34題型一：分離雙參，構(gòu)造函數(shù)【典例分析】例題1．（2022·遼寧·沈陽市第三十一中學(xué)高三階段練習(xí)），均有成立，則的取值范圍為___________.【答案】【詳解】不妨設(shè)，則，由可得，所以，即，所以，令，則，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，所以對(duì)于恒成立，所以對(duì)于恒成立，可得對(duì)于恒成立，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，所以，故答案為：例題2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：，，.【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）證明見解析.【詳解】解：（1）由，則，，，令，解得；令，解得.所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）證明：，要證明.即證明：.即證明：.令，，且.，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，由，則，所以，即：，，成立.【提分秘籍】①在含有雙參（，）的不等式中，將雙參分別分離到不等式左右兩邊；②根據(jù)分離后的不等式結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，構(gòu)造新函數(shù)；③證明構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性證明結(jié)論【變式演練】1．（2022·四川·閬中中學(xué)高二階段練習(xí)（理））若實(shí)數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】∵∴，即

∴，設(shè)，則有，即，∴，令，則，∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；∴，即，要使成立等價(jià)于成立，只有當(dāng)時(shí)，即時(shí)才滿足，∴∴，∴.故選：A.2．（2022·廣西玉林·模擬預(yù)測(cè)（理））已知，都是正整數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，令，所以，故在上單調(diào)遞增，由已知得，故，因?yàn)?，都是正整?shù)，即.故選：A.2．（2021·四川省瀘縣第二中學(xué)一模（理））已知函數(shù)的圖像在處的切線與直線平行．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，且時(shí)，，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)在遞增，在遞減(2)(1)的導(dǎo)數(shù)為，可得的圖象在處的切線斜率為，由切線與直線平行，可得，即，，，由，可得，由，可得，則在遞增，在遞減．(2)因?yàn)?，若，由，即有恒成立，設(shè)，所以在為增函數(shù)，即有對(duì)恒成立，可得在恒成立，由的導(dǎo)數(shù)為，當(dāng)，可得，在遞減，在遞增，即有在處取得極小值，且為最小值可得，解得則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．題型二：糅合雙參（比值糅合）【典例分析】例題1．（2022·山東德州·高三期中）已知函數(shù).(1)求在的最小值；(2)若方程有兩個(gè)不同的解，且成等差數(shù)列，試探究值的符號(hào).【答案】(1)答案見解析；(2)正，理由見解析【詳解】（1）.當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，；當(dāng)時(shí)，在單週遞減，；當(dāng)時(shí)，時(shí)，時(shí)，，所以在單週遞減，在單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.（2）值的符號(hào)為正，理由如下：由(1)知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，不符合題意.當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.不妨設(shè)，由方程有兩個(gè)不同的解，則，整理得.令，則，令，在單調(diào)遞增，.故得證例題2．（2022·山東威?！と＃┮阎瘮?shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，從下面兩個(gè)結(jié)論中選一個(gè)證明．①；【答案】(1)的單增區(qū)間為；單減區(qū)間為，(2)證明見解析（1），當(dāng)時(shí)，，令，解得；令，解得或，所以的單增區(qū)間為；單減區(qū)間為，．（2）證明①：由題意知，是的兩根，則，，將代入得，，要證明，只需證明，即，因?yàn)?，所以，只需證明，令，則，只需證明，即，令，，所以在上單調(diào)遞減，可得，所以，綜上可知，．【提分秘籍】利用換元法解決雙變量問題，將要證明的不等式或目標(biāo)代數(shù)式通過變形成關(guān)于（或等）的整體結(jié)構(gòu)，通過將（或等）換元成把問題化歸成單變量問題來處理.這一方法也稱為“齊次換元”?！咀兪窖菥殹?．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)，求證：，恒有.(3)若，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求證.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析(3)證明見解析(1)函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，由可得，由可得，因此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為，綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)，，所以，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，，所以，其中，構(gòu)造函數(shù)，其中，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以對(duì)于、，恒有；(3)因?yàn)椋瑒t，所以函數(shù)單調(diào)遞增，且，要證，即證，即證，即證，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，由題意可得，上述兩個(gè)等式作差得，下面先證明，只需證：，整理得，即證，設(shè)，不妨設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)椋?，故原不等式成?2．（2022·廣東·廣州市第七中學(xué)高二期中）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)的圖像與x軸交于A，B兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明：.【答案】(1)見解析(2)見解析(1)的定義域?yàn)?，．①若，則，所以在單調(diào)遞增．②若，則由得，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．(2)由（1）可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故圖像與x軸至多有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，從而．當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，不妨設(shè)，，，則．由，兩式相減得：，即：，又令，，則，從而函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，從而，又，所以．3．（2022·陜西師大附中高三期中（理））已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直.(1)試比較與的大小，并說明理由；(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，證明：.【答案】(1)，證明見解析；(2)證明見解析.【詳解】（1）由題可知：，，而直線的斜率，所以有，解得：或，又因?yàn)楹瘮?shù)在處有意義，所以，故，所以，，時(shí)，，時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，即，即有，所以.（2）不妨設(shè)，所以有，化簡(jiǎn)得即，，要證，即證，即證，因?yàn)?，所以即證：，即，設(shè)，因?yàn)?，所以，即證()設(shè)()，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，即，即.題型三：糅合雙參（差值糅合）【典例分析】例題1．（2022·江蘇江蘇·高三期末）設(shè)，.(1)設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)在有兩個(gè)零點(diǎn)，，證明：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析(1)，，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞減函數(shù)；時(shí)，令，得，當(dāng)即時(shí)，或時(shí)，是單調(diào)增函數(shù)，時(shí)，是單調(diào)遞減函數(shù)，當(dāng)即時(shí)，或時(shí)，是單調(diào)增函數(shù)，時(shí)，是單調(diào)遞減函數(shù)，當(dāng)即時(shí)，，在上是單調(diào)增函數(shù)，綜上所述時(shí)，在是單調(diào)遞增函數(shù)，在上是單調(diào)遞減函數(shù)；時(shí)，在，上是單調(diào)增函數(shù)，在是單調(diào)遞減函數(shù)，時(shí)，在，上是單調(diào)增函數(shù)，在是單調(diào)遞減函數(shù)，時(shí)，在上是單調(diào)增函數(shù).(2)令，因?yàn)?，所以，令，，兩式相除得，，①不妨設(shè)，令，則，，代入①得：，反解出：，則，故要證即證，又因?yàn)?，等價(jià)于證明：，構(gòu)造函數(shù)，則，，故在上單調(diào)遞增，，從而在上單調(diào)遞增，.即.【提分秘籍】利用換元法解決雙變量問題，將要證明的不等式或目標(biāo)代數(shù)式通過變形成關(guān)于（或等）的整體結(jié)構(gòu)，通過將（或等）換元成把問題化歸成單變量問題來處理.這一方法也稱為“齊次換元”?！咀兪窖菥殹?．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；(3)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)、，且，求證：.【答案】(1)(2)答案見解析；(3)證明見解析.(1)解：當(dāng)時(shí)，，，則，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.(2)解：當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)的定義域?yàn)?.當(dāng)時(shí)，由可得或.（i）當(dāng)時(shí)，，由，可得，由，可得或，此時(shí)函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為；（ii）當(dāng)時(shí)，，對(duì)任意的，且不恒為零，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增；（iii）當(dāng)時(shí)，，由，可得，由，可得或，此時(shí)函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為.綜上所述當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為.(3)證明：，則，令，則.當(dāng)時(shí)，由可得.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，解得.下面證明不等式，其中，即證，令，即證對(duì)任意的恒成立，構(gòu)造函數(shù)，其中，則對(duì)任意的恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，由已知可得，兩式作差可得，則，即，故原不等式得證.題型四：利用對(duì)數(shù)平均（指數(shù)平均）不等式解決雙變量問題【典例分析】例題1、已知函數(shù)（為常數(shù)）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）請(qǐng)證明：.解析：借助作為媒介，構(gòu)造指數(shù)均值不等式：因?yàn)椋?，是函?shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，所以：，欲證，只需證：；又；所以只需證：，即只需證：，由指數(shù)均值不等式可知，成立；故成立.例題2．（2022·重慶·高二階段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)求證：，；(2)若存在、，且當(dāng)時(shí)，使得成立，求證：.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(1)證明：構(gòu)造函數(shù)，其中，則，因?yàn)?，則，，即當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，即.(2)證明：先證明對(duì)數(shù)平均不等式，其中，即證，令，即證，令，其中，則，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，本題中，若，則，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減，不合乎題意，所以，，由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，則，則，即，所以，，因?yàn)?，則，所以，，所以，，所以，，所以，，由對(duì)數(shù)平均不等式可得，可得，所以，.【提分秘籍】1.對(duì)數(shù)均值不等式法兩個(gè)正數(shù)和的對(duì)數(shù)平均定義：對(duì)數(shù)平均與算術(shù)平均、幾何平均的大小關(guān)系：（此式記為對(duì)數(shù)平均不等式）取等條件：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．2.指數(shù)不等式法在對(duì)數(shù)均值不等式中，設(shè)，，則，根據(jù)對(duì)數(shù)均值不等式有如下關(guān)系：【變式演練】1．（2022·湖北·武漢市第一中學(xué)高二期中）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、，則下列說法正確的是（

）．A． B． C． D．【答案】ACD【詳解】由可得，令，其中，所以，直線與曲線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，，令，可得，列表如下：減極小值增作出函數(shù)與的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，A對(duì)；接下來證明對(duì)數(shù)平均不等式，其中，且、均為正數(shù).先證明，其中，即證，令，，其中，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，接下來證明：，其中，即證，令，即證，令，其中，則，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，由已知可得，兩式作差可得，所以，，因?yàn)?，故，，B錯(cuò)，CD都對(duì).故選：ACD.2．（2022·全國(guó)·高二期末）已知函數(shù)．(1)若，當(dāng)時(shí)，試比較與的大??；(2)若的兩個(gè)不同零點(diǎn)分別為、，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析(1)解：因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，且，又當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以．(2)證明：先證明，其中，即證，令，，其中，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，由題知，取對(duì)數(shù)有，即，又，所以．3．（2022·廣東·深圳市第七高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）已知為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，求證：.【答案】(1)詳見解析；(2)證明見解析.【詳解】（1）由題可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；所以當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；（2）因?yàn)橛袃蓚€(gè)不同零點(diǎn)，，則，，因此，即，要證，只要證明，即證，不妨設(shè)，記，則，，因此只要證明，即，記，則，令，則，所以函數(shù)在上遞增，則，即，∴在上單調(diào)遞增，∴，即成立，∴.題型五：最值定位法解決雙參不等式問題【典例分析】例題1．（2022·黑龍江齊齊哈爾·高三期中）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)于任意的，都存在，使得成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)【詳解】（1）由題可知函數(shù)的定義域?yàn)?因?yàn)?，則.當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）因?yàn)?，所以，又，所以，故函?shù)在上單調(diào)遞增，所以.所以對(duì)任意的恒成立，即恒成立.所以恒成立.令，則.令，則，解得.當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.所以.所以.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、確定不等式恒成立問題．在含有全稱量詞與存在量詞的命題中注意問題的轉(zhuǎn)化：（1）對(duì)于任意的，任意的，恒成立，（2）對(duì)于任意的，存在，使得成立，（3）存在，使得對(duì)任意的，都有成立，（4）存在，存在，使得成立．例題2．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，存在，使，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)(1)函數(shù)的定義域?yàn)椋?，①?dāng)時(shí)，由得，即的單調(diào)遞增區(qū)間是；由得，即單調(diào)遞減區(qū)間是.②當(dāng)時(shí)，由得，即的單調(diào)遞增區(qū)間是）；由得，即單調(diào)遞減區(qū)間是.(2)當(dāng)時(shí)，由（1）知，函數(shù)在上道減，所以，所以對(duì)任意，存在，使即等價(jià)為恒成立即可，即.∴，設(shè)，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴∴【提分秘籍】最值定位法解決雙參不等式問題（1）,,使得成立（2）,,使得成立（3）,,使得成立（4）,,使得成立【變式演練】1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，，，使不等式成立，則的取值范圍是______.【答案】【詳解】因?yàn)閷?duì)，，使不等式成立，所以，當(dāng)時(shí)，，由，得，由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，所以，即.故答案為：.2．（2022·山東聊城·高三期中）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，存在，使，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【詳解】（1）定義域?yàn)?，，令，得或．?dāng)即時(shí)：，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；，，函數(shù)在單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)：，，函數(shù)在單調(diào)遞增；，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)即時(shí)：，，函數(shù)在單調(diào)遞增；當(dāng)即時(shí)：，，函數(shù)在單調(diào)遞增；，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間有，單調(diào)遞增區(qū)間有；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間有，單調(diào)遞增區(qū)間有，；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間有，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間有，單調(diào)遞增區(qū)間有，．（2）當(dāng)時(shí)，由（1）得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間，上單調(diào)遞增，從而函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．即存在，使，即存在，使得，即，令，，則，由，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，所以．3．（2022·寧夏六盤山高級(jí)中學(xué)高三期中（理））函數(shù)，．(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)對(duì)，，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1);(2).【詳解】（1）因?yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)，，單調(diào)遞增，等號(hào)僅在時(shí)取得，綜上，的單調(diào)遞增區(qū)間是.（2），即，設(shè)，則問題等價(jià)于，，由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，故在遞增，∴，，，∵時(shí)，，，故當(dāng)時(shí)，，在遞增，，故，即，即實(shí)數(shù)的取值范圍是；4．（2022·四川·成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語高級(jí)中學(xué)有限責(zé)任公司模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)，，其中，．(1)試討論函數(shù)的極值；(2)當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的，，總有成立，試求b的最大值．【答案】(1)答案見解析(2)【詳解】（1）由題意得的定義域?yàn)?，．?dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)恒成立，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，無極值．當(dāng)時(shí)，令，得；令，得．在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在處取得極大值，且極大值為，無極小值．綜上，當(dāng)時(shí)，無極值；當(dāng)時(shí)，的極大值為，無極小值．（2）由知當(dāng)時(shí)，的最大值為．由題意得，且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．又，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得，存在，使得，且當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，．，，兩邊取對(duì)數(shù)可得，．令，則當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，故，，即，即．對(duì)任意的，，總有成立，，即，，即．又，故的最大值為0．一、單選題1．（2022·山東煙臺(tái)·高三期中）若對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y都有，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，設(shè)，則，，令恒成立，故單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；.故所以，得到.故選:A.2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若對(duì)于任意的，都有，則的最大值為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【詳解】解：，，，，，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，在上恒成立，由，解得，故的最大值是.故選：C．3．（2022·江西省豐城中學(xué)高三開學(xué)考試（文））已知，，有如下四個(gè)結(jié)論：①；②；③滿足；④．則正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④【答案】C【詳解】由，則，設(shè),則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,又，當(dāng)時(shí)，有，則的圖象如圖.由，即，且，所以，所以①正確，②錯(cuò)誤；設(shè)，則兩式相減得，得兩式相加得設(shè)，則所以在上單調(diào)遞增，則所以在上單調(diào)遞增，,即所以，即所以，故④正確，③錯(cuò)誤；綜上，正確的命題是①④，故選：C.4．（2022·江西南昌·高二期末（理））已知，若對(duì)于且都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意，對(duì)于且都有成立，不妨設(shè)，可得恒成立，即對(duì)于且時(shí)，都有恒成立，構(gòu)造函數(shù)，可轉(zhuǎn)化為，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，又由，所以在上恒成立，即在上恒成立，又由，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.5．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，若對(duì)任意、，不等式恒成立，則正數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】對(duì)任意、，不等式恒成立，則.當(dāng)時(shí)，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，.，對(duì)任意的恒成立，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，，所以，，因?yàn)?，解?故選：D.6．（2021·江蘇·高二單元測(cè)試）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)，時(shí)，，，若對(duì)，，，，使得，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【詳解】解：對(duì)，，，，使得，，①當(dāng)，時(shí)，，，②當(dāng)，時(shí)，，，在，上單調(diào)遞增，（4），由①②得，又，在，上為增函數(shù)，，，，的取值范圍為，．故選：D．7．（2021·江蘇·高二單元測(cè)試）已知函數(shù)，，若對(duì)任意，存在，，使，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C．， D．，【答案】B【詳解】解：函數(shù)，，若，，為增函數(shù)；若，或，為減函數(shù)；在上有極值，在處取極小值也是最小值；，對(duì)稱軸，，，當(dāng)時(shí)，在處取最小值；當(dāng)時(shí)，在處取最小值；當(dāng)時(shí)，在，上是減函數(shù)，；對(duì)任意，存在，，使，只要的最小值大于等于的最小值即可，當(dāng)時(shí)，，解得，故無解；當(dāng)時(shí)，，解得，綜上：，故答案為：，．8．（2021·河南·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)，對(duì)，使得成立，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】時(shí)，，使得成立對(duì)函數(shù)當(dāng)時(shí)，，此時(shí)當(dāng)時(shí)，令得當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增所以為極小值點(diǎn)，此時(shí)故當(dāng)，不合題意；當(dāng)，所以，解得當(dāng)，所以，解得綜上得故選：D.二、多選題9．（2021·廣東·金山中學(xué)高二期中）已知函數(shù)，，若，，則的取值可能是（

）A． B． C． D．【答案】BC【詳解】由題意，，得，∴，即，又，得∵在上單調(diào)遞增，∴綜上知：，∴，令，，則∴，得；，得；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.∴，A：因?yàn)椋员具x項(xiàng)不符合題意；B：因?yàn)?，所以本選項(xiàng)符合題意；C：顯然符合題意；D：因?yàn)椋员具x項(xiàng)不符合題意，故選：BC三、填空題10．（2021·江西·贛州市第一中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知三個(gè)函數(shù)，，.若，，都有成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍______.【答案】【詳解】由題知，..在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，易知在區(qū)間上的最大值為，，，都有成立，即在上的最大值大于等于在上的最大值，即，即，解得，故答案為：.11．（2021·黑龍江·牡丹江市第三高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)，，若，，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】.【詳解】解：依題意知，令，在恒成立，在上單調(diào)遞增，，所以在上單調(diào)遞減，，在是增函數(shù)，，所以，即故答案為：.四、解答題12．（2022·云南·昆明一中高三階段練習(xí)（文））設(shè)，.（1）如果存在使得成立，求滿足上述條件的最大值；（2）如果對(duì)于任意的，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）由題意，存在使成立，等價(jià)于，因?yàn)楹瘮?shù)，可得.令，解得或；令，解得，又因?yàn)椋栽趨^(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，又由，所以，所以，即的最大值為.（2）對(duì)于任意的，都有成立，等價(jià)于在區(qū)間上，，由（1）知在區(qū)間上，在區(qū)間上，恒成立等價(jià)于恒成立，設(shè)，可得可知在區(qū)間上是減函數(shù)，又由，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以，所以，即的取值范圍是.13．（2022·安徽·合肥市第九中學(xué)高二期中）已知的圖象在處的切線與直線平行．（1）求函數(shù)的極值；（2）若，，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）極大值為，無極小值；（2），．【詳解】（1）的導(dǎo)數(shù)為，可得的圖象在，（1）處的切線斜率為，由切線與直線平行，可得，即，，，由，可得，由，可得，則在遞增，在遞減，可得在處取得極大值為，無極小值；（2）可設(shè)，若，，，可得，即有，設(shè)在為增函數(shù)，即有對(duì)恒成立，可得在恒成立，由的導(dǎo)數(shù)為得：當(dāng)，可得，在遞減，在，遞增，即有在處取得極小值，且為最小值，可得，解得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，．14．（2022·河南·鄭州勵(lì)德雙語學(xué)校高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),討論的單調(diào)性；(2)設(shè)，當(dāng)時(shí),若對(duì)任意,存在使,求實(shí)數(shù)取值范圍.【答案】（1）當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減；函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減；函數(shù)在上單調(diào)遞增;函數(shù)在上單調(diào)遞減；（2）．【詳解】(1)定義域因?yàn)樗粤?/p>

(i)當(dāng)時(shí),

所以當(dāng)時(shí),,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增(ii)當(dāng)時(shí),由,即,解得①當(dāng)時(shí),，恒成立,此時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減;②當(dāng)時(shí),時(shí),,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減；時(shí),,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增；時(shí),,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減；③當(dāng)時(shí),由于時(shí),,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減；時(shí),,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增；綜上所述:當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減；函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減；函數(shù)在上單調(diào)遞增;函數(shù)在上單調(diào)遞減(2)因?yàn)?由于(I)知,,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減:當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,所以在上的最小值為由于“對(duì)任意,存在,使”等價(jià)于“在上的最小值不大于在上的最小值”又,,所以①當(dāng)時(shí),因?yàn)?此時(shí)與矛盾②當(dāng)時(shí),因?yàn)?同樣與矛盾③當(dāng)時(shí),因?yàn)?/p>