新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習考點歸納與演練專題10-2 概率統(tǒng)計（解答題）（含解析）

專題10-2概率統(tǒng)計（解答題）目錄TOC\o"1-1"\h\u專題10-2概率統(tǒng)計（解答題） 1 1題型一：回歸直線方程 1題型二：非線性回歸 8題型三：獨立性檢驗 18題型四：超幾何分布 25題型五：二項分布 35題型六：正態(tài)分布 45題型七：概率綜合 55題型八：概率統(tǒng)計與數(shù)列 61題型九：概率統(tǒng)計與導(dǎo)數(shù) 70題型一：回歸直線方程【典例分析】例題1．（2022春·全國·高三校聯(lián)考階段練習）已知某綠豆新品種發(fā)芽的適宜溫度在6℃~22℃之間，一農(nóng)學(xué)實驗室研究人員為研究溫度SKIPIF1<0（℃）與綠豆新品種發(fā)芽數(shù)SKIPIF1<0（顆）之間的關(guān)系，每組選取了成熟種子50顆，分別在對應(yīng)的8℃~14℃的溫度環(huán)境下進行實驗，得到如下散點圖：(1)由折線統(tǒng)計圖看出，可用線性回歸模型擬合SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)建立SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的回歸方程，并預(yù)測在19℃的溫度下，種子發(fā)芽的顆數(shù).參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.參考公式：相關(guān)系數(shù)SKIPIF1<0，回歸直線方程SKIPIF1<0中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【答案】(1)答案見解析；(2)44.【詳解】（1）由題意可知：SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以相關(guān)系數(shù)SKIPIF1<0.因為相關(guān)系數(shù)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的線性相關(guān)性較高，可以利用線性回歸模型擬合SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關(guān)系.（2）由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的回歸直線為SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.即在19℃的溫度下，種子發(fā)芽的顆數(shù)為44.例題2．（2022春·陜西·高三陜西省榆林中學(xué)校聯(lián)考階段練習）隨著人民生活水平的日益提高，汽車普遍進入千家萬戶，尤其在近幾年，新能源汽車涌入市場，越來越受到人們喜愛．某新能源汽車銷售企業(yè)在2017年至2021年的銷售量SKIPIF1<0（單位：萬輛）數(shù)據(jù)如下表：年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代號SKIPIF1<012345銷售量SKIPIF1<0（萬輛）75849398100(1)請用相關(guān)系數(shù)判斷SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的線性相關(guān)程度（參考：若SKIPIF1<0，則線性相關(guān)程度一般，若SKIPIF1<0，則線性相關(guān)程度較高，計算SKIPIF1<0時精確到小數(shù)點后兩位）；(2)求出SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的線性回歸方程，并預(yù)計2022年該新能源汽車企業(yè)的銷售量為多少萬輛？參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0附：相關(guān)系數(shù)SKIPIF1<0，回歸直線方程的斜率SKIPIF1<0，截距SKIPIF1<0【答案】(1)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有很強的線性相關(guān)性；(2)SKIPIF1<0，109.2萬輛.【詳解】（1）解：由表中數(shù)據(jù)可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有很強的線性相關(guān)性；（2）解：由表中數(shù)據(jù)可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又2022年對應(yīng)的代號為6，故SKIPIF1<0，由此預(yù)計2022年該新能源汽車企業(yè)的銷售量為109.2萬輛．【提分秘籍】回歸直線方程過樣本點的中心SKIPIF1<0，是回歸直線方程最常用的一個特征；我們將SKIPIF1<0稱為SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的線性回歸方程，也稱經(jīng)驗回歸函數(shù)或經(jīng)驗回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗回歸直線。這種求經(jīng)驗回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的SKIPIF1<0，叫做SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小二乘估計,其中SKIPIF1<0稱為回歸系數(shù)，它實際上也就是經(jīng)驗回歸直線的斜率，SKIPIF1<0為截距.其中SKIPIF1<0【變式演練】1．（2022·青海西寧·湟川中學(xué)?？家荒＃┠畴娮赢a(chǎn)品生產(chǎn)商經(jīng)理從眾多平板電腦中隨機抽取6臺，檢測它們充滿電后的工作時長（單位：分鐘），相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示．平板電腦序號123456工作時長/分220180210220200230(1)從被抽中的6臺平板電腦中隨機抽出2臺，設(shè)抽出的2臺平板電腦充滿電后工作時長小于210分鐘的臺數(shù)為SKIPIF1<0，求隨機變量SKIPIF1<0的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)下表是一臺平板電腦的使用次數(shù)與當次充滿電后工作時長的相關(guān)數(shù)據(jù)．求該平板電腦工作時長SKIPIF1<0與使用次數(shù)SKIPIF1<0之間的回歸直線方程，并估計該平板電腦使用第200次時充滿電后的工作時長．使用次數(shù)SKIPIF1<0/次20406080100120140工作時長SKIPIF1<0/分210206202196191188186附：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【答案】(1)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0，估計該平板電腦使用第200次時充滿電后的工作時長為171.5分鐘【詳解】（1）（1）由題意可知，X可能取值為0，1，2，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．則隨機變量X的分布列為X012PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0數(shù)學(xué)期望為SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以線性回歸方程為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以估計該平板電腦使用第200次時充滿電后的工作時長為171.5分鐘．2．（2022春·河南·高三信陽高中校聯(lián)考期末）隨著電池充電技術(shù)的逐漸成熟，以鋰電池為動力的新一代無繩類電動工具以其輕巧便攜?工作效率高?環(huán)保?可適應(yīng)多種應(yīng)用場景下的工作等優(yōu)勢，被廣泛使用.在消費者便攜無繩化需求與技術(shù)發(fā)展的雙重驅(qū)動下，鋰電類無繩電動工具及配套充電器市場有望持續(xù)擴大.某公司為適應(yīng)市場并增強市場競爭力，逐年增加研發(fā)人員，使得整體研發(fā)創(chuàng)新能力持續(xù)提升，現(xiàn)對2017~2021年的研發(fā)人數(shù)作了相關(guān)統(tǒng)計，如下圖：2017~2021年公司的研發(fā)人數(shù)情況（年份代碼1~5分別對應(yīng)2017~2021年）(1)根據(jù)條形統(tǒng)計圖中數(shù)據(jù)，計算該公司研發(fā)人數(shù)SKIPIF1<0與年份代碼SKIPIF1<0的相關(guān)系數(shù)SKIPIF1<0，并由此判斷其相關(guān)性的強弱；(2)試求出SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的線性回歸方程，并預(yù)測2023年該公司的研發(fā)人數(shù).（結(jié)果取整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.參考公式：相關(guān)系數(shù)SKIPIF1<0.線性回歸方程的斜率SKIPIF1<0，截距SKIPIF1<0.附：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0相關(guān)性弱一般強【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0具有很強的線性相關(guān)關(guān)系(2)SKIPIF1<0，預(yù)測2023年該公司的研發(fā)人數(shù)約為613人【詳解】（1）由條形統(tǒng)計圖，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.因為相關(guān)系數(shù)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0具有很強的線性相關(guān)關(guān)系，且為正相關(guān).（2）SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.由題意知，2023年對應(yīng)的年份代碼SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故預(yù)測2023年該公司的研發(fā)人數(shù)約為613人.題型二：非線性回歸【典例分析】例題1．（2022·黑龍江哈爾濱·哈師大附中?？既＃榱藰?gòu)筑“綠色長城”，我國開展廣泛的全民義務(wù)植樹活動，有力推動了生態(tài)狀況的改善.森林植被狀況的改善，不僅美化了家園，減輕了水土流失和風沙對農(nóng)田的危害，而且還有效提高了森林生態(tài)系統(tǒng)的儲碳能力.某地區(qū)統(tǒng)計了2011年到2020年十年中每年人工植樹成活數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，2，3，…，10）（單位：千棵），用年份代碼SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，2，3，…，10）表示2011年，2012年，2013年，…，2020年，得到下面的散點圖：對數(shù)據(jù)進行回歸分析發(fā)現(xiàn)，有兩個不同的回歸模型可以選擇，模型一：SKIPIF1<0，模型二；SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是自然對數(shù)的底數(shù).(1)根據(jù)散點圖，判斷所給哪個模型更適宜作為每年人工植樹成活數(shù)SKIPIF1<0與年份代碼SKIPIF1<0相關(guān)關(guān)系的回歸分析模型（給出判斷即可，不必說明理由）；(2)根據(jù)（1）中選定的模型，求出SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的回歸方程；(3)利用（2）中所求回歸方程，預(yù)測從哪一年開始每年人工植樹成活棵數(shù)能夠超過5萬棵？附：對于一組數(shù)據(jù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其回歸直線SKIPIF1<0的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，2，3，…，10），SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【答案】(1)模型二(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0年（1）根據(jù)散點圖可知，呈指數(shù)式增長，故應(yīng)選模型二SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是自然對數(shù)的底數(shù)；（2）由已知SKIPIF1<0得，兩邊同時取對數(shù)可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（3）令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，預(yù)測從SKIPIF1<0年開始人工植樹成活棵樹能超過SKIPIF1<0萬棵.例題2．（2022·安徽·安徽省含山中學(xué)校聯(lián)考三模）2020年新冠肺炎疫情突如其來，在黨中央的號召下，應(yīng)對疫情，我國采取特殊的就業(yè)政策、經(jīng)濟政策很好地穩(wěn)住了經(jīng)濟社會發(fā)展大局．在全世界范圍內(nèi)，我國疫情控制效果最好，經(jīng)濟復(fù)蘇最快．某汽車銷售公司2021年經(jīng)濟收入在短期內(nèi)逐月攀升，該公司在第1月份至6月份的銷售收入SKIPIF1<0（單位：百萬元）關(guān)于月份SKIPIF1<0的數(shù)據(jù)如表：時間（月份）123456收入（百萬元）6.68.616.121.633.041.0根據(jù)以上數(shù)據(jù)繪制散點圖，如圖所示．(1)根據(jù)散點圖判斷，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為常數(shù)）哪一個適宜作為該公司銷售收入SKIPIF1<0關(guān)于月份SKIPIF1<0的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據(jù)（1）的結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的回歸方程，并預(yù)測該公司8月份的銷售收入．（結(jié)果近似到小數(shù)點后第二位）參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<03.5021.152.8517.50125.356.73其中設(shè)SKIPIF1<0參考公式和數(shù)據(jù)：對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)SKIPIF1<0，其回歸直線SKIPIF1<0的解率和截距的最小二乘法估計公式分別為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【答案】(1)用SKIPIF1<0表示更合適(2)SKIPIF1<0，95.58百萬元（1）解：SKIPIF1<0，散點圖中點的分布不是一條直線，相鄰兩點在y軸上差距是增大的趨勢，故用SKIPIF1<0表示更合適；（2）解：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則回歸方程為SKIPIF1<0，預(yù)測該公司8月份的銷售收入SKIPIF1<0百萬元．【提分秘籍】非線性回歸最重要的方法就是通過換元，將非線性問題，轉(zhuǎn)化為線性問題求解；換元后注意代入數(shù)據(jù)不要出錯。【變式演練】1．（2022春·湖北襄陽·高三襄陽五中?？茧A段練習）多年來，清華大學(xué)電子工程系黃翔東教授團隊致力于光譜成像芯片的研究，2022年6月研制出國際首款實時超光譜成像芯片，相比已有光譜檢測技術(shù)，實現(xiàn)了從單點光譜儀到超光譜成像芯片的跨越，為制定下一年的研發(fā)投入計劃，該研發(fā)團隊為需要了解年研發(fā)資金投入量x（單位：億元）對年銷售額SKIPIF1<0（單位：億元）的影響，結(jié)合近12年的年研發(fā)資金投入量x，和年銷售額SKIPIF1<0，的數(shù)據(jù)（SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0，12），該團隊建立了兩個函數(shù)模型：①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0均為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)，經(jīng)對歷史數(shù)據(jù)的初步處理，得到散點圖如圖，令SKIPIF1<0，計算得如下數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0206677020014SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0460SKIPIF1<03125000SKIPIF1<021500(1)設(shè)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的相關(guān)系數(shù)為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的相關(guān)系數(shù)為SKIPIF1<0，請從相關(guān)系數(shù)的角度，選擇一個擬合程度更好的模型；(2)（i）根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；（ii）若下一年銷售額SKIPIF1<0需達到80億元，預(yù)測下一年的研發(fā)資金投入量SKIPIF1<0是多少億元？附：①相關(guān)系數(shù)SKIPIF1<0，回歸直線SKIPIF1<0中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0.【答案】(1)模型SKIPIF1<0的擬合程度更好(2)（i）SKIPIF1<0（ii）預(yù)測下一年的研發(fā)資金投入量是SKIPIF1<0億元【詳解】（1）由題意進行數(shù)據(jù)分析：SKIPIF1<0SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，因此從相關(guān)系數(shù)的角度，模型SKIPIF1<0的擬合程度更好（2）（i）先建立SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的線性回歸方程.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.由于SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的線性回歸方程為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.（ii）下一年銷售額SKIPIF1<0需達到80億元，即SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以預(yù)測下一年的研發(fā)資金投入量是SKIPIF1<0億元2．（2022春·福建三明·高三三明一中校考期中）近年來，美國方面濫用國家力量，不擇手段打壓中國高科技企業(yè)，隨著貿(mào)易戰(zhàn)的不斷升級，中國某科技公司為了不讓外國“卡脖子”，決定在企業(yè)預(yù)算中減少宣傳廣告預(yù)算，增加對技術(shù)研究和人才培養(yǎng)的投入，下表是的連續(xù)7年研發(fā)投入x和公司年利潤y的觀測數(shù)據(jù)，根據(jù)繪制的散點圖決定用回歸模型：SKIPIF1<0來進行擬合.表I研發(fā)投入SKIPIF1<0（億元）20222527293135年利潤SKIPIF1<0（億元）711212465114325表II（注：表中SKIPIF1<0）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0189567SKIPIF1<016278106SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<03040SKIPIF1<0SKIPIF1<0(1)請借助表II中的數(shù)據(jù)，求出回歸模型的方程；（精確到0.01）(2)試求研發(fā)投入為20億元時年利潤的殘差.參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，附：回歸方程中SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，殘差SKIPIF1<0【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由表II數(shù)據(jù)可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以回歸方程為：SKIPIF1<0.（2）在SKIPIF1<0時的殘差：SKIPIF1<0.3．（2022·全國·高三專題練習）某生物研究所為研究某種昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)SKIPIF1<0和溫度SKIPIF1<0的關(guān)系，經(jīng)過一段時間觀察，收集到如下數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0產(chǎn)卵數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0以該種昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)SKIPIF1<0和溫度SKIPIF1<0為變量，作出如圖所示的散點圖，現(xiàn)分別用模型①SKIPIF1<0與模型②SKIPIF1<0進行分析．(1)請利用模型②SKIPIF1<0建立兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系式（系數(shù)保留兩位小數(shù)）；(2)已知模型①的回歸直線方程為SKIPIF1<0，模型②的樣本相關(guān)系數(shù)SKIPIF1<0，請根據(jù)相關(guān)系數(shù)判斷哪個模型的擬合效果更好；(3)該種昆蟲的防治以噴灑殺蟲劑為主，其防治成本SKIPIF1<0與溫度SKIPIF1<0和產(chǎn)卵數(shù)SKIPIF1<0的關(guān)系為SKIPIF1<0，用（2）中得出的擬合效果最好的模型計算，當溫度SKIPIF1<0（SKIPIF1<0取整數(shù)）為何值時，昆蟲的防治成本的預(yù)估值最??？附：對于一組數(shù)據(jù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、…、SKIPIF1<0，其回歸直線SKIPIF1<0的斜率和截距的最小二乘估計分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，樣本相關(guān)系數(shù)SKIPIF1<0．參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)模型②的擬合效果更好(3)SKIPIF1<0（1）解：已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，模型②的回歸方程為SKIPIF1<0.（2）解：已知模型①的回歸直線方程為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，模型①的樣本相關(guān)系數(shù)SKIPIF1<0，所以，模型②的擬合效果更好.（3）解：該種昆蟲的防治成本：SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，防治成本的預(yù)估值最?。}型三：獨立性檢驗【典例分析】例題1．（2022春·安徽·高三校聯(lián)考階段練習）近年來中年人的亞健康問題日趨嚴重，引起了政府部門和社會各界的高度關(guān)切.一研究機構(gòu)為了解亞健康與鍛煉時間的關(guān)系，對某地區(qū)的中年人隨機調(diào)查了SKIPIF1<0人，得到如下數(shù)據(jù)：平均每天鍛煉時間不足半小時半小時到SKIPIF1<0小時（含半小時）SKIPIF1<0小時及以上亞健康SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0無亞健康SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(1)從這些中年人中任選SKIPIF1<0人，記SKIPIF1<0“該中年人亞健康”，SKIPIF1<0“該中年人平均每天鍛煉時間不足半小時”，分別求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；(2)完成下面的列聯(lián)表，根據(jù)小概率值SKIPIF1<0的獨立性檢驗，能否認為亞健康與鍛煉時間有關(guān)聯(lián)？平均每天鍛煉時間不足SKIPIF1<0小時SKIPIF1<0小時及以上合計亞健康無亞健康合計附：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)列聯(lián)表見解析；可以認為亞健康與鍛煉時間有關(guān)聯(lián)【詳解】（1）由題意知：中年人亞健康且平均每天鍛煉時間不足半小時的人數(shù)為SKIPIF1<0人，則SKIPIF1<0；SKIPIF1<0中年人無亞健康且平均每天鍛煉時間超過半小時（含半小時）的人數(shù)為SKIPIF1<0人，平均每天鍛煉時間超過半小時（含半小時）的人數(shù)為SKIPIF1<0人，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）由已知數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表如下：平均每天鍛煉時間不足SKIPIF1<0小時SKIPIF1<0小時及以上合計亞健康SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0無亞健康SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0合計SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0零假設(shè)SKIPIF1<0：亞健康與鍛煉時間無關(guān)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0依據(jù)小概率值SKIPIF1<0的SKIPIF1<0獨立性檢驗，我們推斷SKIPIF1<0不成立，即可以認為亞健康與鍛煉時間有關(guān)聯(lián)，該推斷犯錯誤的概率不超過SKIPIF1<0.例題2．（2022春·江蘇徐州·高三期末）某棉紡廠為了解一批棉花的質(zhì)量，在該批棉花中隨機抽取了容量為120的樣本，測量每個樣本棉花的纖維長度（單位：mm，纖維長度是棉花質(zhì)量的重要指標），所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)，將其按組距為2分組，制作成如圖所示的頻率分布直方圖，其中纖維長度不小于28mm的棉花為優(yōu)質(zhì)棉.(1)求頻率分布直方圖中SKIPIF1<0的值；(2)已知抽取的容量為120的樣本棉花產(chǎn)自于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩個試驗區(qū)，部分數(shù)據(jù)如下2×2列聯(lián)表：SKIPIF1<0試驗區(qū)SKIPIF1<0試驗區(qū)合計優(yōu)質(zhì)棉10非優(yōu)質(zhì)棉30合計120將2×2列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有99.9%的把握認為優(yōu)質(zhì)棉與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩個試驗區(qū)有關(guān)系；注：①獨立性檢驗的臨界值表：SKIPIF1<00.150.100.050.0250.0100.0050.001SKIPIF1<02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828②SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)列聯(lián)表見解析，沒有99.9%的把握認為優(yōu)質(zhì)棉與A，B兩個試驗區(qū)有關(guān)系；【詳解】（1）由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（2）抽取的優(yōu)質(zhì)棉樣本數(shù)為SKIPIF1<0則非優(yōu)質(zhì)棉樣本數(shù)為90，則2×2列聯(lián)表如下：A試驗區(qū)B試驗區(qū)合計優(yōu)質(zhì)棉102030非優(yōu)質(zhì)棉603090合計7050120SKIPIF1<0則沒有99.9%的把握認為優(yōu)質(zhì)棉與A，B兩個試驗區(qū)有關(guān)系.【變式演練】1．（2022·陜西漢中·統(tǒng)考一模）某企業(yè)為響應(yīng)國家在《“十四五”工業(yè)綠色發(fā)展規(guī)劃》中提出的“推動綠色發(fā)展，促進人與自然和諧共生”的號召，推進產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)高端化轉(zhuǎn)型，決定開始投入生產(chǎn)某新能源配件.該企業(yè)初步用甲?乙兩種工藝進行試產(chǎn)，為了解兩種工藝生產(chǎn)新能源配件的質(zhì)量情況，從兩種工藝生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別隨機抽取了SKIPIF1<0件進行質(zhì)量檢測，得到下圖所示的頻率分布直方圖，規(guī)定質(zhì)量等級包含合格和優(yōu)等兩個等級，綜合得分在SKIPIF1<0的是合格品，得分在SKIPIF1<0的是優(yōu)等品.(1)從這100件甲工藝所生產(chǎn)的新能源配件中按質(zhì)量等級分層抽樣抽取5件，再從這5件中隨機抽取2件做進一步研究，求恰有1件質(zhì)量等級為優(yōu)等品的概率；(2)根據(jù)頻率分布直方圖完成下面的SKIPIF1<0列聯(lián)表，并判斷是否有SKIPIF1<0的把握認為新能源配件的質(zhì)量等級與生產(chǎn)工藝有關(guān)？該企業(yè)計劃大規(guī)模生產(chǎn)這種新能源配件，若你是該企業(yè)的決策者，你會如何安排生產(chǎn)，為什么？合格品優(yōu)等品合計甲生產(chǎn)工藝乙生產(chǎn)工藝總計附：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【答案】(1)SKIPIF1<0(2)列聯(lián)表答案見解析，有SKIPIF1<0的把握認為配件的質(zhì)量和生產(chǎn)工藝有關(guān)，選擇甲工藝生產(chǎn)新能源配件，理由見解析【詳解】（1）由甲工藝頻率分布直方圖可知，合格品?優(yōu)等品出現(xiàn)的頻率分別為SKIPIF1<0SKIPIF1<0和SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以按分層抽樣抽取的5個配件中，有合格品2個?優(yōu)等品3個，所以從5個中隨機抽取2個，恰有1個質(zhì)量等級為優(yōu)等品的概率為：SKIPIF1<0.（2）甲生產(chǎn)工藝生產(chǎn)的合格品有SKIPIF1<0件，優(yōu)等品有SKIPIF1<0件，乙生產(chǎn)工藝生產(chǎn)的合格品有SKIPIF1<0件，優(yōu)等品有SKIPIF1<0件，所以SKIPIF1<0列聯(lián)表為：合格品優(yōu)等品總計甲生產(chǎn)工藝4060100乙生產(chǎn)工藝5545100總計95105200所以SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0的把握認為配件的質(zhì)量和生產(chǎn)工藝有關(guān).應(yīng)該選擇甲工藝生產(chǎn)新能源配件，因為甲的優(yōu)等品率為SKIPIF1<0，乙的優(yōu)等品率僅為SKIPIF1<0.2．（2022·四川廣安·廣安二中?？寄M預(yù)測）第24屆冬季奧運會將于2022年2月4日在北京開幕，本次冬季奧運會共設(shè)7個大項，15個分項，109個小項.為調(diào)查學(xué)生對冬季奧運會項目的了解情況，某大學(xué)進行了一次抽樣調(diào)查，若被調(diào)查的男女生人數(shù)均為SKIPIF1<0，統(tǒng)計得到以下2×2列聯(lián)表，經(jīng)過計算可得SKIPIF1<0.男生女生合計了解SKIPIF1<0不了解SKIPIF1<0合計SKIPIF1<0SKIPIF1<0(1)求SKIPIF1<0的值，并判斷有多大的把握認為該校學(xué)生對冬季奧運會項目的了解情況與性別有關(guān)；(2)為弄清學(xué)生不了解冬季奧運會項目的原因，采用分層抽樣的方法從抽取的不了解冬季奧運會項目的學(xué)生中隨機抽取6人，再從這6人中抽取2人進行面對面交流，“至少抽到一名男生”的概率；附表：SKIPIF1<00.100.050.0250.0100.001SKIPIF1<02.7063.8415.0246.63510.828附：SKIPIF1<0【答案】(1)SKIPIF1<0，有99%的把握認為該校學(xué)生對冬季奧運會項目的了解情況與性別有關(guān).(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）解：由題知：2×2列聯(lián)表完善如下：男生女生合計了解SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0不了解SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0合計SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，有99%的把握認為該校學(xué)生對冬季奧運會項目的了解情況與性別有關(guān).（2）解：由題知，SKIPIF1<0，抽樣比為SKIPIF1<0，所以，不了解學(xué)生中，男生應(yīng)抽取SKIPIF1<0人，分別記為SKIPIF1<0；女生應(yīng)抽取SKIPIF1<0人，分別記為SKIPIF1<0；所以，這6人中抽取2人進行面對面交流，可能的情況有：SKIPIF1<0，共15種，其中，至少抽到一名男生的情況有SKIPIF1<0共9種情況，所以，“至少抽到一名男生”的概率為SKIPIF1<0題型四：超幾何分布【典例分析】例題1．（2022春·河北衡水·高三校聯(lián)考階段練習）隨著人們生活水平的提高，國家倡導(dǎo)綠色安全消費，菜籃子工程從數(shù)量保障型轉(zhuǎn)向質(zhì)量效益型.為了測試甲、乙兩種不同有機肥料的使用效果，某科研單位用西紅柿做了對比實驗，分別在兩片實驗區(qū)各摘取100個，對其質(zhì)量的某項指標值進行檢測，質(zhì)量指數(shù)值達到35及以上的為“質(zhì)量優(yōu)等”，由測量結(jié)果繪成如下頻率分布直方圖.其中質(zhì)量指數(shù)值分組區(qū)間是：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)請根據(jù)題中信息完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認為“質(zhì)量優(yōu)等”與使用不同的肥料有關(guān)；甲有機肥料乙有機肥料合計質(zhì)量優(yōu)等質(zhì)量非優(yōu)等合計(2)在摘取的用乙種有機肥料的西紅柿中，從“質(zhì)量優(yōu)等”中隨機選取2個，記區(qū)間SKIPIF1<0中含有的個數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：SKIPIF1<0.SKIPIF1<00.1000.0500.0100.0050.001SKIPIF1<02.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)列聯(lián)表見解析，有99.9%的把握認為，“質(zhì)量優(yōu)等”與使用不同的肥料有關(guān)(2)分布列見解析，SKIPIF1<0（1）解：由題意可得SKIPIF1<0列聯(lián)表為：甲有機肥料乙有機肥料合計質(zhì)量優(yōu)等603090質(zhì)量非優(yōu)等4070110合計100100200則SKIPIF1<0SKIPIF1<0.所以有99.9%的把握認為“質(zhì)量優(yōu)等”與使用不同的肥料有關(guān).（2）由頻率分布直方圖可得“質(zhì)量優(yōu)等”有30個，區(qū)間SKIPIF1<0中含有10個，隨機變量SKIPIF1<0的可能取值有0，1，2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，隨機變量SKIPIF1<0的分布列如下：SKIPIF1<0012SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.例題2．（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·高三?？奸_學(xué)考試）為了研究高三年級學(xué)生的性別與體重是否超過55kg的關(guān)聯(lián)性，某機構(gòu)調(diào)查了某中學(xué)所有高三年級的學(xué)生，整理得到如下列聯(lián)表．性別體重合計超過55kg不超過kg男180120300女90110200合計270230500參考公式和數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(1)依據(jù)小概率值SKIPIF1<0的獨立性檢驗，能否認為該中學(xué)高三年級學(xué)生的性別與體重有關(guān)聯(lián)？(2)按性別采用分層隨機抽樣的方式在該中學(xué)高三年級體重超過55kg的學(xué)生中抽取9人，再從這9人中任意選取3人，記選中的女生數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列與期望．【答案】(1)認為該中學(xué)高三年級學(xué)生的性別與體重有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001(2)分布列見解析；期望為1（1）假設(shè)為SKIPIF1<0：該中學(xué)高三年級學(xué)生的性別與體重無關(guān)聯(lián)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到SKIPIF1<0，根據(jù)小概率值SKIPIF1<0的獨立性檢驗，推斷SKIPIF1<0不成立，即認為該中學(xué)高三年級學(xué)生的性別與體重有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001．（2）依題意，抽取的9人中，男生有SKIPIF1<0人，女生有SKIPIF1<0人，從中任意選取3人，X的取值可能為0，1，2，3，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．則X的分布列為X0123PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故SKIPIF1<0．【提分秘籍】一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有SKIPIF1<0件，其中有SKIPIF1<0件次品，從SKIPIF1<0件產(chǎn)品中隨機抽取SKIPIF1<0件(不放回)，用SKIPIF1<0表示抽取的SKIPIF1<0件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．如果隨機變量SKIPIF1<0的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量SKIPIF1<0服從超幾何分布．【變式演練】1．（2022春·江蘇蘇州·高三蘇州中學(xué)校聯(lián)考階段練習）文化月活動中，某班級在宣傳欄貼出標語“學(xué)好數(shù)學(xué)好”，可以不同斷句產(chǎn)生不同意思，“學(xué)/好數(shù)學(xué)/好”指要學(xué)好的數(shù)學(xué)，“學(xué)好/數(shù)學(xué)/好”強調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習的重要性，假設(shè)一段時間后，隨機有SKIPIF1<0個字脫落．(1)若SKIPIF1<0，用隨機變量SKIPIF1<0表示脫落的字中“學(xué)”的個數(shù)，求隨機變量SKIPIF1<0的分布列及期望；(2)若SKIPIF1<0，假設(shè)某同學(xué)檢起后隨機貼回，求標語恢復(fù)原樣的概率．【答案】(1)分布列見解析，SKIPIF1<0(2)0.6【詳解】（1）方法一：隨機變量X的可能取值為0，1，2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，隨機變量X的分布列如下表：X012PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0隨機變量X的期望為SKIPIF1<0法二：隨機變量X服從超幾何分布SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）設(shè)脫落一個“學(xué)”為事件SKIPIF1<0，脫落一個“好”為事件SKIPIF1<0，脫落一個“數(shù)”為事件SKIPIF1<0，事件SKIPIF1<0為脫落兩個字SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以某同學(xué)撿起后隨機貼回，標語恢復(fù)原樣的概率為SKIPIF1<0，法二：掉下的兩個字不同的概率為SKIPIF1<0，所以標語恢復(fù)原樣的概率為SKIPIF1<0．2．（2022春·福建福州·高三福建省福州第一中學(xué)校考階段練習）班主任為了對本班學(xué)生的考試成績進行分析，決定從本班SKIPIF1<0名女同學(xué)，SKIPIF1<0名男同學(xué)中隨機抽取一個容量為SKIPIF1<0的樣本進行分析．(1)如果按照性別比例分層抽樣，可以得到多少個不同的樣本？（寫出算式即可，不必計算出結(jié)果）(2)如果隨機抽取的SKIPIF1<0名同學(xué)的數(shù)學(xué)，物理成績（單位：分）對應(yīng)如下表：學(xué)生序號i1234567數(shù)學(xué)成績SKIPIF1<060657075858790物理成績SKIPIF1<070778085908693（i）若規(guī)定SKIPIF1<0分以上（包括SKIPIF1<0分）為優(yōu)秀，從這SKIPIF1<0名同學(xué)中抽取SKIPIF1<0名同學(xué)，記SKIPIF1<0名同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理成績均為優(yōu)秀的人數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列和數(shù)學(xué)期望；（結(jié)果用最簡分數(shù)表示）（ii）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求物理成績SKIPIF1<0關(guān)于數(shù)學(xué)成績SKIPIF1<0的線性回歸方程（系數(shù)精確到SKIPIF1<0）；若班上某位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績?yōu)镾KIPIF1<0分，預(yù)測該同學(xué)的物理成績?yōu)槎嗌俜?？附：線性回歸方程SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<07683812526【答案】(1)SKIPIF1<0(2)（i）分布列見解析，期望為SKIPIF1<0；（ii）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）依據(jù)分層抽樣的方法，24名女同學(xué)中應(yīng)抽取的人數(shù)為SKIPIF1<0名，18名男同學(xué)中應(yīng)抽取的人數(shù)為SKIPIF1<0名，故不同的樣本的個數(shù)為SKIPIF1<0．（2）（?。㏒KIPIF1<0名同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理成績均為優(yōu)秀的人數(shù)為3名，SKIPIF1<0的取值為0，1，2，3．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<00123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（ⅱ）解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0線性回歸方程為SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．可預(yù)測該同學(xué)的物理成績?yōu)?6分．3．（2022春·四川內(nèi)江·高三威遠中學(xué)校?？茧A段練習）已知某校高三進行第一次摸底考試，從全校選考地理的高三學(xué)生中，隨機抽取100名學(xué)生的地理成績制成如圖所示的頻率分布直方圖，滿分為100分，其中80分及以上為優(yōu)秀，其他為一般．已知成績優(yōu)秀的學(xué)生中男生有10名，成績一般的學(xué)生中男生有40名，得到如下的SKIPIF1<0列聯(lián)表．性別考試成績合計優(yōu)秀一般男生1040女生合計(1)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，完成上面SKIPIF1<0列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值SKIPIF1<0的獨立性檢驗，分析“考試成績優(yōu)秀”與“性別”是否有關(guān)?(2)從考試成績在SKIPIF1<0中，利用分層隨機抽樣抽取7名學(xué)生進行學(xué)習方法經(jīng)驗介紹，從抽取的學(xué)生中，再確定3名學(xué)生做學(xué)習經(jīng)驗的介紹，則抽取的3名學(xué)生中，考試成績在SKIPIF1<0的學(xué)生數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列與數(shù)學(xué)期望．參考公式：SKIPIF1<0，（其中SKIPIF1<0）SKIPIF1<00.100.050.0100.001SKIPIF1<02.7063.8416.63510.828【答案】(1)列聯(lián)表見解析，“考試成績優(yōu)秀”與“性別”無關(guān)(2)分布列見解析，SKIPIF1<0（1）根據(jù)頻率分布直方圖可得考試成績優(yōu)秀的總?cè)藬?shù)為SKIPIF1<0，其中女生的人數(shù)為18，考試成績一般的人數(shù)為72，其中女生的人數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0列聯(lián)表為性別考試成績合計優(yōu)秀一般男生104050女生183250合計2872100零假設(shè)SKIPIF1<0：考試成績優(yōu)秀與性別無關(guān)．SKIPIF1<0，根據(jù)小概率值SKIPIF1<0的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷SKIPIF1<0不成立，即認為“考試成績優(yōu)秀”與“性別”無關(guān)．（2）根據(jù)頻率分布直方圖可得考試成績在SKIPIF1<0的學(xué)生人數(shù)分別為20，8，利用分層隨機抽樣抽取7名學(xué)生中的成績在SKIPIF1<0的人數(shù)分別為5，2，則SKIPIF1<0的所有可能取值為0，1，2，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<0012PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0．題型五：二項分布【典例分析】例題1．（2022·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習）2022年，某省啟動高考綜合改革，改革后，不再分文理科，改為采用是“SKIPIF1<0”模式，“3”是語文、外語、數(shù)學(xué)三科必考，“1”是在物理與歷史兩科中選擇一科，“2”是在化學(xué)，生物，政治，地理四科中選擇兩科作為高考科目，某學(xué)校為做好選課走班教學(xué)，給出三種可供選擇的組合進行模擬選課，其中SKIPIF1<0組合：物理、化學(xué)、生物，SKIPIF1<0組合：歷史、政治、地理，SKIPIF1<0組合：物理、化學(xué)、地理.根據(jù)選課數(shù)據(jù)得到，選擇SKIPIF1<0組合的概率為SKIPIF1<0，選擇SKIPIF1<0組合的概率為SKIPIF1<0，選擇SKIPIF1<0組合的概率為SKIPIF1<0，甲、乙、丙三位同學(xué)每人選課是相互獨立的.(1)求這三位同學(xué)恰好有兩位同學(xué)選擇相同組合的概率.(2)記SKIPIF1<0表示這三人中選擇含地理的組合的人數(shù)，求SKIPIF1<0的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列見解析，SKIPIF1<0.【詳解】（1）解：用SKIPIF1<0表示第i位同學(xué)選擇A組合，用SKIPIF1<0表示第i位同學(xué)選擇B組合，用SKIPIF1<0表示第i位同學(xué)選擇C組合，SKIPIF1<0．由題意可知，SKIPIF1<0互相獨立，且SKIPIF1<0．故三位同學(xué)恰好有兩位同學(xué)選擇組合SKIPIF1<0的概率為SKIPIF1<0．三位同學(xué)恰好有兩位同學(xué)選擇組合SKIPIF1<0的概率為SKIPIF1<0．三位同學(xué)恰好有兩位同學(xué)選擇組合SKIPIF1<0的概率為SKIPIF1<0所以這三位同學(xué)恰好有兩位同學(xué)選擇相同組合的概率為：SKIPIF1<0.（2）選擇含地理的組合的概率為SKIPIF1<0，由題意知SKIPIF1<0的所有可能取值為0，1，2，3，且SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<00123PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．例題2．（2022春·重慶沙坪壩·高三重慶市鳳鳴山中學(xué)校考期中）伴隨經(jīng)濟的飛速發(fā)展，中國全民健身賽事活動日益豐富，公共服務(wù)體系日趨完善.據(jù)相關(guān)統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，中國經(jīng)常參與體育鍛煉的人數(shù)比例為37.2%，城鄉(xiāng)居民達到《國民體質(zhì)測定標準》合格以上的人數(shù)比例達到90%以上.健身之于個人是一種自然而然的習慣，之于國家與民族，則是全民健康的基礎(chǔ)柱石之一，某市一健身連鎖機構(gòu)對去年的參與了該連鎖機構(gòu)健身的會員進行了統(tǒng)計，制作成如下兩個統(tǒng)計圖，圖1為該健身連鎖機構(gòu)會員年齡等級分布圖，圖2為一個月內(nèi)會員