【數(shù)學】福建省寧德市部分達標學校2024屆高三上學期期中質(zhì)量檢測試題（解析版）

福建省寧德市部分達標學校2024屆高三上學期期中質(zhì)量檢測數(shù)學試題一、選擇題1.命題“對任意的個位數(shù)字不等于2”的否定是（）A.的個位數(shù)字等于2B.的個位數(shù)字不等于2C.的個位數(shù)字等于2D.的個位數(shù)字不等于2【答案】A【解析】由全稱命題的否定為特稱命題，則原命題的否定為的個位數(shù)字等于2.故選：A.2.已知集合，則的真子集的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】由題設(shè)，則，所以共有個子集，其中3個真子集.故選：C.3.已知是第一象限角，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為是第一象限角，，所以，所以，故選：B.4.設(shè)正項等比數(shù)列的前項和為，若，，則（）A.9 B.8 C.7 D.6【答案】A【解析】因為是正項等比數(shù)列，所以，則可化為，解得，或(舍）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則,所以，則.故選：.5.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式可能為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為的圖象關(guān)于原點對稱，所以為奇函數(shù)，而為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，應(yīng)該為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積，排除B與D.又因為，不滿足，排除A，滿足，C正確.故選：C6.已知，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】作出條件和所表示的平面區(qū)域，如圖所示：設(shè)直線條件所表示的區(qū)域為集合，條件所表示的區(qū)域為集合，是的真子集，推不出，而可推出，“”是“”的必要不充分條件，故選：B.7.曲線在點處的切線在y軸上的截距的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以所求切線方程為，令，則，令，則.所以當時，，此時單調(diào)遞減，當時，，此時單調(diào)遞增，所以.因為，，所以該切線在y軸上的截距的取值范圍為.故選：B.8.已知函數(shù)的定義域為為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函數(shù)的定義域為R，由是偶函數(shù)，得，即，由為奇函數(shù)，得，即，顯然，因此，即，有，，，而的值都不確定，ABC錯誤，D正確.故選：D二、選擇題9.設(shè)集合，，且，則的值可以為（）A. B.3 C.0 D.1【答案】AC【解析】因為，所以或，解得或.當時，，集合中的元素不滿足互異性，故舍去.當時，符合題意.當時，也符合題意.故選：AC.10.信號處理是對各種類型的電信號，按各種預(yù)期的目的及要求進行加工過程的統(tǒng)稱，信號處理以各種方式被廣泛應(yīng)用于醫(yī)學，聲學、密碼學、計算機科學、量子力學等各個領(lǐng)域.而信號處理背后的“功臣”就是余弦型函數(shù)，的圖象就可以近似地模擬某種信號的波形，下列結(jié)論正確的是（）A.為偶函數(shù) B.的圖象關(guān)于直線對稱C.為周期函數(shù)，且最小正周期為 D.設(shè)的導函數(shù)為，則【答案】ABD【解析】因，所以為偶函數(shù)，A正確；因為，所以的圖象關(guān)于直線對稱，B正確；因為，所以的最小正周期不是，C錯誤；，當且僅當時，等號成立，顯然取等號的條件不成立，所以，D正確.故選：ABD．11.若數(shù)列滿足：對任意正整數(shù)為等差數(shù)列，則稱數(shù)列為“二階等差數(shù)列”.若不是等比數(shù)列，但中存在不相同的三項可以構(gòu)成等比數(shù)列，則稱是“局部等比數(shù)列”.給出下列數(shù)列，其中既是“二階等差數(shù)列”，又是“局部等比數(shù)列”的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】A：由為常數(shù)列，也是等比數(shù)列，不符合“局部等比數(shù)列”；B：由不是等比數(shù)列，且，故為常數(shù)列，也為等差數(shù)列；其中可構(gòu)成等比數(shù)列，符合；C：由不是等比數(shù)列，且，故為等差數(shù)列；其中可構(gòu)成等比數(shù)列，符合；D：由不是等比數(shù)列，且，則，，，顯然不為等差數(shù)列，不符合；故選：BC12.若方程有兩個根，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】如圖所示，作出函數(shù)和的圖像，易知①，②，且，所以，對于A：易知，所以，因為在區(qū)間上單調(diào)遞增且，所以，A錯誤；對于B：令函數(shù).當時，，當時，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，當且僅當時，等號成立.由①知，即，則B正確；對于C：由②知，即，又，所以，C正確；對于D：由上可知，所以，而①+②可得，即，所以，D正確，故選：BCD三、填空題13.已知正數(shù)，滿足，則的最小值為__________.【答案】48【解析】因為，，所以，當且僅當，即，時，等號成立.故答案為：14.設(shè)的內(nèi)角，，的對邊分別是，，，若，，，則__________.【答案】【解析】因為，，所以，由，得，解得.故答案為：.15.生物學家為了了解某藥品對土壤的影響，常通過檢測進行判斷.已知土壤中某藥品的殘留量y（mg）與時間t（年）近似滿足關(guān)系式（），其中a是殘留系數(shù)，則大約經(jīng)過____________年后土壤中該藥品的殘留量是2年后殘留量的.（參考數(shù)據(jù)：，答案保留一位小數(shù)）【答案】【解析】當時，，由，得故答案為：.16.高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號.為了紀念數(shù)學家高斯，我們把取整函數(shù)，稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過x的最大整數(shù)，例如，.已知等差數(shù)列滿足，，，則____________.【答案】8【解析】根據(jù)題意得，因為，所以，所以，所以.故答案為：8.四、解答題17.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求的解析式；（2）求在上的值域．解：（1）由圖可得，的最小正周期．因為，且，所以．因為的圖象關(guān)于直線對稱，所以，解得．因為，所以．故．（2）由，得．當，即時，取得最大值，最大值為2；當，即時，取得最小值，最小值為．故在上的值域為．18.已知函數(shù)在處取得極值.（1）求的值；（2）求在上的值域.解：（1）函數(shù)，求導得，由在處取得極值，得，解得，此時，當時，，當時，，即函數(shù)在處取得極值，所以.（2）由（1）知，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，而，即，所以函數(shù)在上的值域為.19.已知遞增的等比數(shù)列滿足，且，，成等差數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前20項和.解：（1）設(shè)公比為，因為，，成等差數(shù)列，所以，所以，解得或（舍去），所以.（2）根據(jù)題意得.20.在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且.（1）求角B；（2）設(shè)BD是AC邊上的高，且，，求的周長.解：（1）因為，所以，因為，所以，即.因，，所以，解得.（2）因為，，所以.又由，可得，所以.由余弦定理，可得，即，即，所以，所以的周長為.21.為了減少碳排放，某企業(yè)采用新工藝，將生產(chǎn)中產(chǎn)生二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種化工產(chǎn)品.已知該企業(yè)每月的處理量最少為30噸，最多為400噸.月處理成本（元）與月處理量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系近似地表示為.（1）該企業(yè)每月處理量為多少噸時，才能使月處理成本最低?月處理成本最低是多少元?（2）該企業(yè)每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低?每噸的平均處理成本最低是多少元?解：（1）該企業(yè)的月處理成本，因為，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以該企業(yè)每月處理量為300噸時，才能使月處理成本最低，月處理成本最低是19800元.（2）因為，所以每噸的平均處理成本.因為，當且僅當時，等號成立，所以，即該企業(yè)每月處理量為360噸時，每噸平均處理成本最低，為60元.22.已知函數(shù)，.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：.（1）解：的定義域