九年級(jí)數(shù)學(xué)全冊(cè)知識(shí)講解及鞏固練習(xí)：解直角三角形及其應(yīng)用-知識(shí)講解

PAGE解直角三角形及其應(yīng)用—知識(shí)講解責(zé)編：常春芳【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．了解解直角三角形的含義，會(huì)綜合運(yùn)用平面幾何中有關(guān)直角三角形的知識(shí)和銳角三角函數(shù)的定義解直角三角形；2．會(huì)運(yùn)用有關(guān)解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際生活中存在的解直角三角形問(wèn)題．

【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形.

在直角三角形中，除直角外，一共有5個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角.

設(shè)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，則有：

①三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2(勾股定理).

②銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°.

③邊角之間的關(guān)系：

，，，

，，.

④，h為斜邊上的高.

要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

(1)直角三角形中有一個(gè)元素為定值(直角為90°)，是已知值.

(2)這里講的直角三角形的邊角關(guān)系指的是等式，沒(méi)有包括其他關(guān)系(如不等關(guān)系).

(3)對(duì)這些式子的理解和記憶要結(jié)合圖形，可以更加清楚、直觀地理解.

要點(diǎn)二、解直角三角形的常見(jiàn)類(lèi)型及解法已知條件解法步驟Rt△ABC

兩

邊兩直角邊(a，b)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

斜邊，一直角邊(如c，a)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

一

邊

一

角一直角邊

和一銳角銳角、鄰邊

(如∠A，b)∠B=90°－∠A，

，銳角、對(duì)邊

(如∠A，a)∠B=90°－∠A，

，斜邊、銳角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，

，要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

1．在遇到解直角三角形的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，最好是先畫(huà)出一個(gè)直角三角形的草圖，按題意標(biāo)明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先確定銳角、再確定它的對(duì)邊和鄰邊的順序進(jìn)行計(jì)算.

2．若題中無(wú)特殊說(shuō)明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知條件中至少有一個(gè)條件為邊.

要點(diǎn)三、解直角三角形的應(yīng)用解直角三角形的知識(shí)應(yīng)用很廣泛，關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，善于將某些實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系化歸為直角三角形中的邊角關(guān)系是解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵.

解這類(lèi)問(wèn)題的一般過(guò)程是：

(1)弄清題中名詞、術(shù)語(yǔ)的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫(huà)出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型.

(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題.

(3)根據(jù)直角三角形(或通過(guò)作垂線構(gòu)造直角三角形)元素(邊、角)之間的關(guān)系解有關(guān)的直角三角形.

(4)得出數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，得出實(shí)際問(wèn)題的解.

拓展：

在用直角三角形知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常會(huì)用到以下概念：

(1)坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母表示.

坡度(坡比)：坡面的鉛直高度h和水平距離的比叫做坡度，用字母表示，則，如圖，坡度通常寫(xiě)成=∶的形式.

(2)仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角，如圖.

(3)方位角：從某點(diǎn)的指北方向線按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標(biāo)方向PA，PB，PC的方位角分別為是40°，135°，245°.

(4)方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標(biāo)方向線OA，OB，OC，OD的方向角分別表示北偏東30°，南偏東45°，南偏西80°，北偏西60°.特別如：東南方向指的是南偏東45°，東北方向指的是北偏東45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.

要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

1．解直角三角形實(shí)際是用三角知識(shí)，通過(guò)數(shù)值計(jì)算，去求出圖形中的某些邊的長(zhǎng)或角的大小，最好畫(huà)出它的示意圖.

2．非直接解直角三角形的問(wèn)題，要觀察圖形特點(diǎn)，恰當(dāng)引輔助線，使其轉(zhuǎn)化為直角三角形或矩形來(lái)解.

3．解直角三角形的應(yīng)用題時(shí)，首先弄清題意(關(guān)鍵弄清其中名詞術(shù)語(yǔ)的意義)，然后正確畫(huà)出示意圖，進(jìn)而根據(jù)條件選擇合適的方法求解.【典型例題】類(lèi)型一、解直角三角形1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，根據(jù)下列條件，解這個(gè)直角三角形．(1)∠B=60°，a＝4；(2)a＝1，．【答案與解析】(1)∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°．由知，．由知，．(2)由得∠B＝60°，∴∠A＝90°-60°＝30°．∵，∴．【總結(jié)升華】解直角三角形的兩種類(lèi)型是：(1)已知兩邊；(2)已知一銳角和一邊．解題關(guān)鍵是正確選擇邊角關(guān)系．常用口訣：有弦(斜邊)用弦(正弦、余弦)，無(wú)弦(斜邊)用切(正切)．(1)首先用兩銳角互余求銳角∠A，再利用∠B的正切、余弦求b、c的值；(2)首先用正切求出∠B的值，再求∠A的值，然后由正弦或余弦或勾股定理求c的值．舉一反三：【高清課程名稱：解直角三角形及其應(yīng)用高清ID號(hào)：395952關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：例1（1）-（3）】【變式】（1）已知∠C=90°，a=2，b=2，求∠A、∠B和c；（2）已知sinA=,c=6，求a和b；【答案】（1）c=4；∠A=60°、∠B=30°；（2）a=4；b=2．（2016?包頭）如圖，已知四邊形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延長(zhǎng)線與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．（1）若∠A=60°，求BC的長(zhǎng)；（2）若sinA=，求AD的長(zhǎng)．（注意：本題中的計(jì)算過(guò)程和結(jié)果均保留根號(hào)）【思路點(diǎn)撥】（1）要求BC的長(zhǎng)，只要求出BE和CE的長(zhǎng)即可，由題意可以得到BE和CE的長(zhǎng)，本題得以解決；（2）要求AD的長(zhǎng)，只要求出AE和DE的長(zhǎng)即可，根據(jù)題意可以得到AE、DE的長(zhǎng)，本題得以解決．【答案與解析】解：（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA=，∴∠E=30°，BE=tan60°?6=6，又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=，∠E=30°，∴CE==8，∴BC=BE﹣CE=6﹣8；（2））∵∠ABE=90°，AB=6，sinA==，∴設(shè)BE=4x，則AE=5x，得AB=3x，∴3x=6，得x=2，∴BE=8，AE=10，∴tanE====，解得，DE=，∴AD=AE﹣DE=10﹣=，即AD的長(zhǎng)是．【總結(jié)升華】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用銳角三角函數(shù)進(jìn)行解答．類(lèi)型二、解直角三角形在解決幾何圖形計(jì)算問(wèn)題中的應(yīng)用3．如圖所示，BC是半圓⊙O的直徑，D是的中點(diǎn)，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)E，(1)求證：△ABE∽△DBC；(2)已知BC＝，CD＝，求sin∠AEB的值；(3)在(2)的條件下，求弦AB的長(zhǎng)．【答案與解析】(1)∵，∴∠1＝∠2，又BC是⊙O的直徑，∴∠BAC＝∠BDC＝90°．∴△ABE∽△DBC．(2)由△ABE∽△DBC，∴∠AEB＝∠DCB．在Rt△BDC中，BC＝，CD＝，∴BD＝，∴sin∠AEB＝sin∠DCB＝．(3)在Rt△BDC中，BD＝，又∠1＝∠2＝∠3，∠ADE＝∠BDA，∴△AED∽△BAD．∴，∴．又∵，∴CD2＝(BD－BE)·BD，即，∴．在Rt△ABE中，AB＝BEsin∠AEB＝．【總結(jié)升華】本題綜合了三角函數(shù)、相似三角形、勾股定理、圓等方面知識(shí)，尤其涉及三角函數(shù)問(wèn)題，都是通過(guò)找出或構(gòu)造直角三角形來(lái)解決問(wèn)題．(1)根據(jù)圓周角定理易證△ABE∽△DBC．(2)利用(1)的結(jié)論，將∠AEB轉(zhuǎn)化為Rt△BCD中的．(3)在Rt△ABE中求AB．舉一反三：【高清課程名稱：解直角三角形及其應(yīng)用高清ID號(hào)：395952關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：例2】【變式】如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一點(diǎn)，若tan∠DBA=，則AD的長(zhǎng)為多少?【答案與解析】解：作DE⊥AB于E，如圖，∵∠C=90°，AC=BC=6，∴△ACB為等腰直角三角形，AB=AC=6，∴∠A=45°，在Rt△ADE中，設(shè)AE=x，則DE=x，AD=x，在Rt△BED中，tan∠DBE==，∴BE=5x，∴x+5x=6，解得x=，∴AD=×=2．類(lèi)型三、解直角三角形在解決實(shí)際生活、生產(chǎn)問(wèn)題中的應(yīng)用4．某過(guò)街天橋的截面圖為梯形，如圖所示，其中天橋斜面CD的坡度為（i＝1:是指鉛直高度DE與水平寬度CE的比)，CD的長(zhǎng)為10m，天橋另一斜面AB的坡角∠ABC＝45°．(1)寫(xiě)出過(guò)街天橋斜面AB的坡度；(2)求DE的長(zhǎng)；(3)若決定對(duì)該過(guò)街天橋進(jìn)行改建，使AB斜面的坡度變緩，將其45°坡角改為30°，方便過(guò)路群眾，改建后斜面為AF，試計(jì)算此改建需占路面的寬度FB的長(zhǎng)(結(jié)果精確到.0.01m)．【答案與解析】(1)作AG⊥BC于G，DE⊥BC于E，在Rt△AGB中，∠ABG＝45°，AG＝BG．∴AB的坡度．(2)在Rt△DEC中，∵，∴∠C＝30°．又∵CD＝10m．∴．(3)由(1)知AG＝BG＝5m，在Rt△AFG中，∠AFG＝30°，，即，解得．答：改建后需占路面的寬度FB的長(zhǎng)約為3.66m．【總結(jié)升華】（1）解梯形問(wèn)題常作出它的兩條高，構(gòu)造直角三角形求解．（2）坡度是坡面的鉛直高度與水平寬度的比，它等于坡角的正切值．5．騰飛中學(xué)在教學(xué)樓前新建了一座“騰飛”雕塑．為了測(cè)量雕塑的高度，小明在二樓找到一點(diǎn)C，利用三角板測(cè)得雕塑頂端A點(diǎn)的仰角為30°，底部B點(diǎn)的俯角為45°，小華在五樓找到一點(diǎn)D，利用三角板測(cè)得A點(diǎn)的俯角為60°(如圖所示)．若已知CD為10米，請(qǐng)求出雕塑AB的高度．(結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)＝1.73)．【答案與解析】過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于E．∵∠D＝90°－60°＝30°，∠ACD＝90°－30°＝60°，∴∠CAD＝180°－3