專題01 直線與橢圓的位置關(guān)系(解析版)2024年新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線專項(xiàng)重難點(diǎn)突破練（新高考專用）

第第頁(yè)專題01直線與橢圓的位置關(guān)系測(cè)試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、單選題：本大題共8小題，每個(gè)小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．橢圓與直線的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相交 C．相切 D．無法確定【解析】直線過定點(diǎn)在橢圓內(nèi)，故直線與橢圓相交.故選:B.2．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，在橢圓上，且直線，的斜率之積為，則（

）A．1 B．3 C．2 D．【解析】因?yàn)辄c(diǎn)，在橢圓上，所以，因?yàn)橹本€，的斜率之積為，所以，可得，化簡(jiǎn)得，則.故選：A.3．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若面積是面積的2倍，則（

）．A． B． C． D．【解析】將直線與橢圓聯(lián)立，消去可得，因?yàn)橹本€與橢圓相交于點(diǎn)，則，解得，設(shè)到的距離到距離，易知，則，，，解得或（舍去），故選：C.4．已知實(shí)數(shù)x，y滿足：，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．5【解析】令，則直線與有交點(diǎn)情況下，直線在x軸上截距最大，假設(shè)直線與橢圓相切，則，即，所以，可得，即，要使在x軸上截距最大，即.故選：B.5．已知橢圓方程為，過平面內(nèi)的點(diǎn)作橢圓的兩條互相垂直的切線，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【解析】設(shè)點(diǎn)，當(dāng)切線斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)切線方程為，聯(lián)立，消去得，則，即，兩切線垂直故其斜率之積為-1，則由根與系數(shù)關(guān)系知，即.當(dāng)切線斜率不存在或?yàn)?時(shí)，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，滿足方程，故所求軌跡方程為.故選：A.6．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為，過坐標(biāo)原點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，若，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【解析】由橢圓離心率為，知，由題意可設(shè)，則，由可得，即，結(jié)合可得，故，則，所以直線的方程為，故選：B7．若直線被圓所截的弦長(zhǎng)不小于2，則l與下列曲線一定有公共點(diǎn)的是（

）A． B．C． D．【解析】由題意，圓的圓心為，半徑為.設(shè)直線方程為，直線到圓心的距離為，由弦長(zhǎng)公式得，所以.由點(diǎn)到直線的距離公式得，，即.對(duì)于選項(xiàng)A，直線到該圓圓心的距離為，取，滿足條件，而，直線與圓沒有公共點(diǎn)，故A排除；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，對(duì)于直線有，，，聯(lián)立橢圓方程得，所以必有公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，聯(lián)立直線與橢圓方程得，，所以必有公共點(diǎn)；故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，聯(lián)立直線與拋物線方程得，若時(shí)，則，有解；若時(shí)，，取，則，方程無解，此時(shí)無公共點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，對(duì)于直線有，，，聯(lián)立雙曲線方程得，取，則直線：，與雙曲線不存在公共點(diǎn)，故D排除.故選：B.8．在橢圓上求一點(diǎn)，使點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【解析】如下圖所示：

根據(jù)題意可知，當(dāng)點(diǎn)在第三象限且橢圓在點(diǎn)處的切線與直線平行時(shí)，點(diǎn)到直線的距離取得最大值，可設(shè)切線方程為，聯(lián)立，消去整理可得，，因?yàn)?，解得，所以，橢圓在點(diǎn)處的切線方程為，因此，點(diǎn)到直線的距離的最大值為,聯(lián)立，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：B.二、多選題：本大題共4小題，每個(gè)小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)或者多項(xiàng)是符合題目要求的.9．在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線：，橢圓：，則下列說法正確的有（

）A．恒過點(diǎn)B．若恒過的焦點(diǎn)，則C．對(duì)任意實(shí)數(shù)，與總有兩個(gè)互異公共點(diǎn)，則D．若，則一定存在實(shí)數(shù)，使得與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)【解析】方程可化為，所以直線恒過點(diǎn)，A正確；設(shè)橢圓的半焦距為，則點(diǎn)的坐標(biāo)可能為或，若直線恒過點(diǎn)，則，故，矛盾，直線恒過點(diǎn)，則，故，所以，B錯(cuò)誤；聯(lián)立，消可得，，由對(duì)任意實(shí)數(shù)，與總有兩個(gè)互異公共點(diǎn)，可得方程有個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，所以，所以，所以，C正確；因?yàn)?，所以時(shí)，則，即時(shí)，可得，此時(shí)方程組有且只有一組解，故與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，D正確.故選：ACD.10．直線，與橢圓共有四個(gè)交點(diǎn)，它們逆時(shí)針方向依次為，則（

）A．B．當(dāng)時(shí)，四邊形為正方形C．四邊形面積的最大值為D．若四邊形為菱形，則【解析】A選項(xiàng)，可以看出，由橢圓的對(duì)稱性知四邊形是平行四邊形，設(shè)，，聯(lián)立與得，，其中，解得，A正確.B選項(xiàng)，由韋達(dá)定理得，，，平行四邊形的高即為兩平行線之間的距離，當(dāng)時(shí)，，，故，B錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，，設(shè)，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，C正確.D選項(xiàng)，若四邊形是菱形，則，即故，解得，，D正確.故選：ACD11．為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則的內(nèi)切圓半徑的r值可以為（

）A． B． C． D．【解析】由已知可得，，，如圖，根據(jù)橢圓的定義可得，的周長(zhǎng)為，所以.設(shè)，，設(shè)，，則.由已知可得，直線與軸不重合，，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程可得，.，且，所以，.令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，，所以，所以，，所以，，解得.故選：BCD.12．已知，是橢圓：的左右頂點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率不為零的直線與交于，兩點(diǎn)，，，，分別表示直線，，，的斜率，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．直線與的交點(diǎn)的軌跡方程是【解析】對(duì)于A：設(shè)交點(diǎn)，因?yàn)樵跈E圓上，故，所以.選項(xiàng)正確；對(duì)于B：設(shè)，，直線：，聯(lián)立，消去，得，則①，②，所以，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：聯(lián)立和，相除得，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D：設(shè)直線方程：③，直線方程：④，聯(lián)立③④，消得，，結(jié)合選項(xiàng)B中①②得，所以.D正確；故選：ABD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13．設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線與線段AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．若，則實(shí)數(shù)k的值為.【解析】依題意得橢圓的方程為，直線AB，EF的方程分別為，.如圖，

設(shè)D，E，F(xiàn)三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，其中，由得，則滿足方程，故，由知，得，由點(diǎn)D在直線AB上，知，即，所以，化簡(jiǎn)得，解得或.14．已知橢圓，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（點(diǎn)位于軸上方），若，則直線的斜率的值為．【解析】依題意，點(diǎn)位于軸上方且，則直線的斜率存在且不為，設(shè)（），則，，則可得，設(shè)直線l方程為，聯(lián)立直線與橢圓可得，顯然，，，，，解得，則直線的斜率為.15．已知橢圓C:，過右焦點(diǎn)的直線交橢圓于A，B，若原點(diǎn)O在以AB為直徑的圓上，則a的取值范圍為．【解析】已知橢圓，則其右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則，且，過右焦點(diǎn)的直線交橢圓于A，B，滿足原點(diǎn)O在以AB為直徑的圓上，所以，則設(shè)直線AB方程為，則，所以，顯然恒成立，所以，則整理得，所以，又，在單調(diào)遞增，所以，所以，解得．故答案為：16．已知橢圓C：，圓O：，直線l與圓O相切于第一象限的點(diǎn)A，與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)B．若，則直線l的方程為．【解析】取中點(diǎn)，連接,由于,所以,進(jìn)而,設(shè)，設(shè)直線上任意一點(diǎn)，由于是圓的切線，所以,所以，令則，所以，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，設(shè),則，兩式相減可得，所以,又，,所以，解得，進(jìn)而故直線l的方程為，即四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，，離心率為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求直線的方程．【解析】（1）由題意，可得，且，所以，則，所以橢圓的方程為.（2）由直線的方程為，則點(diǎn)到直線的距離為，聯(lián)立方程組，整理可得，由判別式，解得，設(shè)，則，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以所求直線的方程為或．

18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，且，橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為6.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)的直線交橢圓于另一點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，且以為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，求直線的方程.【解析】（1）由題意得，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）由題意得直線不垂直軸，設(shè)直線，聯(lián)立，可得，且.設(shè)，則，則，易知.聯(lián)立，可得.以為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，，解得.直線方程為：或.

19．以橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)所圍成的四邊形的面積為，一個(gè)焦點(diǎn)(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)過F的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，是否存在一條定直線：，使得上的任何一點(diǎn)P都滿足PA，PF，PB的斜率成等差數(shù)列？若存在，求出直線的方程，若不存在說明理由【解析】（1）橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)所圍成的四邊形的面積為，，∴

∴，，∴橢圓方程（2）假設(shè)存在一條定直線，使得上的任何一點(diǎn)P都滿足PA，PF，PB的斜率成等差數(shù)列，（Ⅰ）當(dāng)AB斜率k不存在時(shí)，，

，，，故當(dāng)斜率不存在時(shí)成立.（Ⅱ）當(dāng)AB斜率k存在時(shí)，設(shè)AB直線方程，，,

聯(lián)立，可得，由韋達(dá)定理可知，,又,,,,,,,,∴時(shí)，k，t任意值都成立,∴存在直線成立,綜上，存在一條定直線，使得上的任何一點(diǎn)P都滿足PA，PF，PB的斜率成等差數(shù)列.20．已知圓：，點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線和半徑相交于(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)和的圓與直線：交于，，已知點(diǎn)，且、分別與交于、.試探究直線是否經(jīng)過定點(diǎn).如果有，請(qǐng)求出定點(diǎn)；如果沒有，請(qǐng)說明理由.【解析】（1）如圖所示，

∵，且，∴點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)橢圓方程，則，，∴，.所以點(diǎn)的軌跡方程為：.（2）設(shè)直線的方程為：，由，得設(shè)，，則，.所以，，因?yàn)橹本€的方程為：，令，得，所以，，同理可得，以為直徑的圓的方程為：，即，因?yàn)閳A過點(diǎn)，所以，，得，代入得，化簡(jiǎn)得，，解得或（舍去），所以直線經(jīng)過定點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，此時(shí)直線與軸重合，直線經(jīng)過點(diǎn)，綜上所述，直線經(jīng)過定點(diǎn).21．已知橢圓C：的離心率，短軸長(zhǎng)為．(1)求橢圓C的方程；(2)已知經(jīng)過定點(diǎn)的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn)Q，如果，，那么是否為定值？若是，請(qǐng)求出具體數(shù)值；若不是，請(qǐng)說明理由．【解析】（1）由題意得，解得，，故橢圓C的方程為；（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，，，，,則，，，，此時(shí)，，；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，則直線l的方程為，聯(lián)立可得，