二項(xiàng)式定理教案及反思 公開(kāi)課教學(xué)設(shè)計(jì)

二項(xiàng)式定理教學(xué)設(shè)計(jì)福州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校施佳林一、教材分析《1.3.1二項(xiàng)式定理》是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)-數(shù)學(xué)》選修2---3第一章第三部分第一節(jié)的內(nèi)容，這節(jié)課內(nèi)容上只有一個(gè)二項(xiàng)式定理但它卻是前面內(nèi)容的繼續(xù)，也是后面內(nèi)容的開(kāi)始。在計(jì)數(shù)原理之后學(xué)習(xí)二項(xiàng)式定理，一方面是因?yàn)樗淖C明要用到計(jì)數(shù)原理，可以把它看做為計(jì)數(shù)原理的一個(gè)應(yīng)用。另一方面也是為后面學(xué)習(xí)隨機(jī)變量及分布做準(zhǔn)備。同時(shí)二項(xiàng)式系數(shù)是一些特殊的組合數(shù)，有二項(xiàng)式定理可推導(dǎo)出一些組合數(shù)的恒等式，這對(duì)深化組合數(shù)的認(rèn)識(shí)起到了很好的促進(jìn)作用?？梢?jiàn)二項(xiàng)式定理是一個(gè)承上啟下的內(nèi)容，問(wèn)題類(lèi)型具有較強(qiáng)的綜合性，可以連接不同內(nèi)容的知識(shí)。二、教學(xué)目標(biāo)1、知識(shí)與技能目標(biāo)（1）、能利用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理（2）、理解掌握二項(xiàng)式定理，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用（3）、能夠區(qū)分二項(xiàng)式的系數(shù)與二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)2、過(guò)程與方法目標(biāo)通過(guò)學(xué)生參與和探究二項(xiàng)式定理的形成過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生觀察，分析，歸納的能力，以及轉(zhuǎn)化化歸的意識(shí)與知識(shí)遷移的能力，體會(huì)從特殊到一般的思維方式。并經(jīng)歷數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的一般思路：發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出假設(shè)，證明假設(shè)，3、情感與態(tài)度目標(biāo)通過(guò)探究問(wèn)題，歸納假設(shè)讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中養(yǎng)成獨(dú)立思考的好習(xí)慣，在自主學(xué)習(xí)中體驗(yàn)成功，在思索中感受數(shù)學(xué)的魅力，讓學(xué)生在體驗(yàn)知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程中找到樂(lè)趣。三、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)（1）教學(xué)重點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)及證明過(guò)程（2）教學(xué)難點(diǎn)：二項(xiàng)式定理中各項(xiàng)的系數(shù)如何確定（3）教學(xué)難點(diǎn)的突破：二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)問(wèn)題，通過(guò)問(wèn)題去考察計(jì)數(shù)原理在因式分解中的應(yīng)用，從而提出在猜想中的各因式的特點(diǎn)，降冪排列，或升冪排列，系數(shù)是看成取誰(shuí)的一個(gè)組合問(wèn)題，從而很容易的就突破了難點(diǎn)，使學(xué)生不感到突然，或是難以接受。四、教法學(xué)法為了突破難點(diǎn)，突出重點(diǎn)，我先采用翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)方法，在教學(xué)視頻中利用情景——二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)，將學(xué)生的興趣吸引到視頻中來(lái)，隨后應(yīng)用歸納猜想的方法得出本節(jié)課的重點(diǎn)，最后讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理，層次分明，起點(diǎn)低，落點(diǎn)高，達(dá)到了低步伐高效率。在課堂教學(xué)中我注意到我班學(xué)生的在學(xué)習(xí)微課視頻中暴露出的問(wèn)題，采用質(zhì)疑，探究，思考，課堂檢測(cè)等方式進(jìn)一步學(xué)習(xí)鞏固這節(jié)課。五、微課視頻教學(xué)過(guò)程1、情景引人：介紹二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)者，人類(lèi)歷史上最偉大的科學(xué)家之一，英國(guó)科學(xué)家艾薩克·牛頓Isaacnewton(1643-1727)進(jìn)而引人課題?！驹O(shè)計(jì)意圖】了解知識(shí)的由來(lái)，并將學(xué)生的興趣吸引到視頻中來(lái)。2、定理探究：?jiǎn)栴}請(qǐng)回顧什么是多項(xiàng)式的乘法法則？請(qǐng)利用多項(xiàng)式的乘法法則，寫(xiě)出下列多項(xiàng)式：、、，展開(kāi)后未合并同類(lèi)項(xiàng)前和合并后的式子問(wèn)題請(qǐng)觀察的展開(kāi)式并思考：（1）展開(kāi)式中這三種類(lèi)型的項(xiàng)是如何得到的？共有幾項(xiàng)？（2）展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)是如何確定的？通過(guò)觀察讓學(xué)生等得到結(jié)論：展開(kāi)式中的各項(xiàng)是從每個(gè)括號(hào)中各取一個(gè)字母乘積構(gòu)成的.問(wèn)題請(qǐng)觀察的展開(kāi)式并思考：（1）展開(kāi)式中這四種類(lèi)型的項(xiàng)是如何得到的？共有幾項(xiàng)？（2）展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)是如何確定的？學(xué)生根據(jù)乘法展開(kāi)式也很快得出結(jié)論啟發(fā)類(lèi)比：以為例，3個(gè)括號(hào)中有字母，各一個(gè)，每次從3個(gè)括號(hào)中各取一個(gè)字母，有什么樣的取法？各種取法有多少種？在3個(gè)括號(hào)中，若從選a的角度考慮：（1）若每個(gè)括號(hào)都不取，只有一種取法得到，即種（2）若只有一個(gè)括號(hào)取，共有種取法得到（3）若只有兩個(gè)括號(hào)取，共有種取法得到（4）若每個(gè)括號(hào)都取，共有種取法得到因此若從選b的角度考慮：（1）若每個(gè)括號(hào)都不取，只有一種取法得到，即種（2）若只有一個(gè)括號(hào)取，共有種取法得到（3）若只有兩個(gè)括號(hào)取，共有種取法得到（4）若每個(gè)括號(hào)都取，共有種取法得到因此由于習(xí)慣上按照組合數(shù)的上標(biāo)依次遞增的順序，因此我們用的展開(kāi)式是：【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)幾個(gè)問(wèn)題的層層遞進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生用計(jì)數(shù)原理對(duì)的展開(kāi)式進(jìn)行再思考，分析各項(xiàng)的形式、項(xiàng)的個(gè)數(shù)，這也為推導(dǎo)的展開(kāi)式提供了一種方法，使學(xué)生在后續(xù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中有“法”可依。引導(dǎo)學(xué)生觀察、的展開(kāi)式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律問(wèn)題，進(jìn)而讓學(xué)生猜想的展開(kāi)式學(xué)生們快速地說(shuō)出我們數(shù)學(xué)講究邏輯地嚴(yán)密性和知識(shí)的嚴(yán)謹(jǐn)性，大家猜想地很正確，那么我們?cè)趺磥?lái)證明呢？思路：證明中主要運(yùn)用了計(jì)數(shù)原理！展開(kāi)式中為什么會(huì)有那幾種類(lèi)型的項(xiàng)？是個(gè)相乘，展開(kāi)式中的每一項(xiàng)都是從這個(gè)中各任取一個(gè)字母相乘得到的，共有n各字母，所以每一項(xiàng)都是次的，進(jìn)而得到每一項(xiàng)都是的形式，展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)是怎么來(lái)的？是從個(gè)中取個(gè)，和余下個(gè)相乘得到的，有種情況可以得到，因此，該項(xiàng)的系數(shù)為定義：一般地，對(duì)于任意正整數(shù)，上面的關(guān)系式也成立，即有二項(xiàng)式定理的公式特征：1.項(xiàng)數(shù)：共有１項(xiàng).2.次數(shù)：字母a按降冪排列，次數(shù)由n遞減到0；字母b按升冪排列，次數(shù)由0遞增到n．各項(xiàng)的次數(shù)都等于n．3.二項(xiàng)式系數(shù):依次為，這里稱(chēng)為二項(xiàng)式系數(shù).4.二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng):式中的叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng).用表示.即通項(xiàng)為展開(kāi)式的第１項(xiàng):=【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)仿照、展開(kāi)式的探究方法，由學(xué)生類(lèi)比得出的展開(kāi)式．二項(xiàng)式定理的證明采用“說(shuō)理”的方法，從計(jì)數(shù)原理的角度對(duì)展開(kāi)過(guò)程進(jìn)行分析，概括出項(xiàng)的形式，用組合知識(shí)分析展開(kāi)式中具有同一形式的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，從而得出用組合數(shù)表示的展開(kāi)式。3、例題分析：

例、求的展開(kāi)式另求：1、展開(kāi)式中的第3項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)是多少？2、展開(kāi)式中的第3項(xiàng)是多少？3、展開(kāi)式中的第3項(xiàng)的系數(shù)是多少？注意：二項(xiàng)式系數(shù)和系數(shù)是兩個(gè)不同的概念，二項(xiàng)式系數(shù)就是一個(gè)組合數(shù)，與無(wú)關(guān)；系數(shù)與有關(guān)。用兩種方式解題，體現(xiàn)先化簡(jiǎn)后計(jì)算的簡(jiǎn)潔的特點(diǎn)?！驹O(shè)計(jì)意圖】熟悉二項(xiàng)展開(kāi)式，區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力。4、牛刀小試（1）求的展開(kāi)式，及展開(kāi)式的通項(xiàng)（2）求的展開(kāi)式，及展開(kāi)式的通項(xiàng)（3）求的展開(kāi)式，及展開(kāi)式的通項(xiàng)【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生鞏固二項(xiàng)式定理，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力。六、課堂教學(xué)過(guò)程1、學(xué)生回顧微課所學(xué)知識(shí)點(diǎn)：（1）二項(xiàng)式定理二項(xiàng)展開(kāi)式：=____________________________________（）叫做二項(xiàng)式定理，其中各項(xiàng)的系數(shù)_______（）叫做二項(xiàng)式系數(shù)（2）二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)的二項(xiàng)展開(kāi)式中的第k+1項(xiàng)___________叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，用_____表示，即_____=___________（其中）【設(shè)計(jì)意圖】在學(xué)生鞏固二項(xiàng)式定理的過(guò)程中，強(qiáng)調(diào)定理的證明過(guò)程，即組合知識(shí)在展開(kāi)式中的應(yīng)用。2、讓學(xué)生上臺(tái)講評(píng)微課視頻最后“牛刀小試”的題目?！驹O(shè)計(jì)意圖】能對(duì)他人的作業(yè)進(jìn)行糾錯(cuò)，進(jìn)一步鞏固二項(xiàng)式定理，為接下來(lái)的小組討論奠定基礎(chǔ)。3、開(kāi)展小組討論,學(xué)生利用實(shí)物投影儀展示討論成果已知的展開(kāi)式中，第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)求：（1）n（2）第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)（3）含的項(xiàng)的系數(shù)【設(shè)計(jì)意圖】能靈活運(yùn)用定理，并能結(jié)合組合知識(shí)理解定理的含義，區(qū)分清二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)。4、利用智慧課堂進(jìn)行課堂檢測(cè)，測(cè)試學(xué)生對(duì)二項(xiàng)式定理的掌握情況：搶答題：1、的二項(xiàng)展開(kāi)式中，第r項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為（）A、B、C、D、2、的展開(kāi)式的第6項(xiàng)的系數(shù)是（）A、B、C、D、必答題：1、的展開(kāi)式中的系數(shù)是()．A.

28B.

56C.

112D.

2242、展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為()．A.

80B.

－80C.

40D.

－40思考題：2003年是羊年，從2004年開(kāi)始：1)第13年出生的孩子的屬相是什么？2)第年出生的孩子的屬相是什么？【設(shè)計(jì)意圖】當(dāng)堂檢測(cè)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，通過(guò)智慧課堂軟件激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，掌握他們對(duì)定理的應(yīng)用情況，及時(shí)反饋，及時(shí)糾正。5、小結(jié)：讓學(xué)生自己談?wù)剬?duì)二項(xiàng)式定理的理解本節(jié)課你學(xué)習(xí)了什么知識(shí)，他是怎么得到的呢？在學(xué)習(xí)這部分知識(shí)時(shí)要注意什么呢？有哪些數(shù)學(xué)思想方法值得總結(jié)？【設(shè)計(jì)意圖】強(qiáng)調(diào)定理的證明過(guò)程，重視其中數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，注重學(xué)生對(duì)定理本質(zhì)的理解，讓學(xué)生明白不應(yīng)只會(huì)單純的背誦公式，只有理解了本質(zhì)才能解決近些年全國(guó)高考中出現(xiàn)的三項(xiàng)式等多項(xiàng)式相關(guān)問(wèn)題。七、教學(xué)反思《二項(xiàng)式定理》這節(jié)課我采用的是翻轉(zhuǎn)課堂的形式進(jìn)行教學(xué)的，先讓學(xué)生在家觀看微課教學(xué)視頻，進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，然后在課堂上對(duì)微課視頻中所學(xué)知識(shí)進(jìn)行鞏固，對(duì)本課重點(diǎn)題型進(jìn)行小組探究學(xué)習(xí)，最后利用HiTeach智慧課堂教學(xué)系統(tǒng)對(duì)學(xué)生進(jìn)行當(dāng)堂檢測(cè)，及時(shí)反饋學(xué)生學(xué)習(xí)情況，及時(shí)予以評(píng)價(jià)。在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中我特別注重定理的證明過(guò)程，注重學(xué)生對(duì)定理本質(zhì)的理解，讓學(xué)生明白不應(yīng)只會(huì)單純的背誦公式，只有理解了本質(zhì)才能解決近些年全國(guó)高考中出現(xiàn)的三項(xiàng)式等多項(xiàng)式相關(guān)問(wèn)題。本課亮點(diǎn)：1、翻轉(zhuǎn)課堂的形式讓學(xué)生對(duì)于課程中的重難點(diǎn)有更多的時(shí)間反復(fù)觀看研究，進(jìn)而把問(wèn)題帶到課堂上予以解決；而課堂上有了更多的時(shí)間能師生共同釋疑、糾錯(cuò)，學(xué)生能有充分的時(shí)間合作探究，展示自己。學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性被充分調(diào)動(dòng)，自主學(xué)習(xí)的能力、相互合作能力都得到了有效的鍛煉，課堂氛圍活躍，教學(xué)效果良好。2、微課視頻中我從“特殊出發(fā)、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、猜想結(jié)論、邏輯證明”的科學(xué)方法，帶給學(xué)生積極的情感體驗(yàn)和無(wú)盡的思考。證明過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用計(jì)數(shù)原理來(lái)解決，為后續(xù)學(xué)習(xí)作準(zhǔn)備。數(shù)學(xué)思想、方法和數(shù)學(xué)文化在微課教學(xué)中得到了較好的體現(xiàn)。3、HiTeach智慧課堂教學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)用讓學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)情況得到及時(shí)有效的反饋，在及時(shí)的糾正后學(xué)生在檢測(cè)中的錯(cuò)誤率明顯降低，既提高了學(xué)生參與課堂的積極性，又讓我能對(duì)全體學(xué)生的學(xué)習(xí)情況及時(shí)了解及時(shí)評(píng)價(jià)，學(xué)生熱情高漲，課堂效率明顯提高。本課不足之處：在時(shí)間的把控上要稍微調(diào)整，讓課堂小結(jié)的時(shí)間更充分些，此外在學(xué)生展示中錯(cuò)誤方法的展示不宜太多，雖然展示錯(cuò)誤讓學(xué)生糾正能讓學(xué)生更熟悉定理，但是也會(huì)使部分學(xué)生反而對(duì)錯(cuò)誤印象深刻，造成反效果?？偟膩?lái)說(shuō)，本節(jié)課遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，課程設(shè)計(jì)重視學(xué)生的參與，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、自學(xué)能力、合作探究能力，讓學(xué)生展示自己，增強(qiáng)學(xué)生的自信心。師生互動(dòng)頻繁，課堂效率高，教學(xué)效果良好。八、教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明二項(xiàng)式定理是初中乘法公式的推廣，是排列組合知識(shí)的具體運(yùn)用，是學(xué)習(xí)概率的重要基礎(chǔ)．本節(jié)課采用翻轉(zhuǎn)課堂的形式，先讓學(xué)生在家觀看微課教學(xué)視頻，進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，然后在課堂上對(duì)微課視頻中所學(xué)知識(shí)進(jìn)行鞏固，對(duì)本課重點(diǎn)題型進(jìn)行小組探究學(xué)習(xí)，最后利用HiTeach智慧課堂教學(xué)系統(tǒng)對(duì)學(xué)生進(jìn)行當(dāng)堂檢測(cè)，及時(shí)反饋學(xué)生學(xué)習(xí)情況，及時(shí)予以評(píng)價(jià)。本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是“使學(xué)生掌握二項(xiàng)式定理的形成過(guò)程”，在微課視頻中，采用“問(wèn)題――探究”的教學(xué)模式，把整個(gè)視頻分為情景引人、呈現(xiàn)問(wèn)題、探索規(guī)律、總結(jié)規(guī)律、應(yīng)用規(guī)律五個(gè)階段．讓學(xué)生體會(huì)研究問(wèn)題的方式方法，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、概括的能力，以及化歸意識(shí)與方法遷移的能力，體會(huì)從特殊到一般的思維方式，讓學(xué)生體驗(yàn)定理的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程。本節(jié)課的難點(diǎn)是用計(jì)數(shù)原理分析二項(xiàng)式的展開(kāi)過(guò)程，發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式展開(kāi)成單項(xiàng)式之和時(shí)各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律．在視頻教學(xué)中，設(shè)置了對(duì)多項(xiàng)式乘法的再認(rèn)識(shí)