八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)單元題型精練（基礎(chǔ)題型+強(qiáng)化題型）（北師大版）：實(shí)數(shù)的有理化（強(qiáng)化）（原卷版）

專題2.3實(shí)數(shù)的有理化【例題精講】在進(jìn)行二次根式簡(jiǎn)化時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如，，一樣的式子，其實(shí)我們還可將其進(jìn)一步簡(jiǎn)化：；（一；（二；（三以上這種化簡(jiǎn)的步驟叫做分母有理化還可以用以下方法化簡(jiǎn)：；（四（1）化簡(jiǎn)（2）請(qǐng)用不同的方法化簡(jiǎn)．①參照（三式得②步驟（四式得（3）化簡(jiǎn)：．閱讀材料：把根式進(jìn)行化簡(jiǎn)，若能找到兩個(gè)數(shù)，，使且，則把變成開方，從而使得化簡(jiǎn)．例如：化簡(jiǎn)．解：，．請(qǐng)你仿照上面的方法，化簡(jiǎn)下列各式：（1）；（2）．【題組訓(xùn)練】1．閱讀下列材料，然后回答問題：在進(jìn)行二次根式運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如、這樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)：；．以上這種化簡(jiǎn)過程叫做分母有理化．還可以用以下方法化簡(jiǎn)：．（1）請(qǐng)用其中一種方法化簡(jiǎn)；（2）化簡(jiǎn)：．2．閱讀下列解題過程：；．請(qǐng)回答下列問題：（1）觀察上面的解題過程，請(qǐng)直接寫出的結(jié)果為；（2）利用上面提供的解法，請(qǐng)化簡(jiǎn)：．3．閱讀下面計(jì)算過程：；請(qǐng)解決下列問題（1）根據(jù)上面的規(guī)律，請(qǐng)直接寫出．（2）利用上面的解法，請(qǐng)化簡(jiǎn)：．（3）你能根據(jù)上面的知識(shí)化簡(jiǎn)嗎？若能，請(qǐng)寫出化簡(jiǎn)過程．4．閱讀下面問題：；；．試求：（1）的值；（2）的值；（3）為正整數(shù)）的值．5．觀察下列分母有理化的計(jì)算：，，，，在計(jì)算結(jié)果中找出規(guī)律，用含有字母表示大于0的自然數(shù)）表示；再利用這一規(guī)律計(jì)算以下列式子的值：的值．6．觀察下列等式：①；②；③；回答下列問題：（1）利用你觀察到的規(guī)律，化簡(jiǎn)：；（2）計(jì)算：．7．閱讀下列解題過程：；．請(qǐng)回答下列問題：（1）觀察上面的解題過程，請(qǐng)直接寫出式子；（2）利用上面所提供的解法，請(qǐng)化簡(jiǎn)：的值．8．我們知道形如的數(shù)可以化簡(jiǎn)，其化簡(jiǎn)的目的主要先把原數(shù)分母中的無理數(shù)化為有理數(shù)，如：，這樣的化簡(jiǎn)過程叫做分母有理化．我們把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各題．（1）的有理化因式是，的有理化因式是；（2）化簡(jiǎn)：；（3）比較的大小，說明理由．9．閱讀下面問題：；；．試求：（1）的值；（2）為正整數(shù)）的值．（3）計(jì)算：．10．閱讀理解材料：把分母中的根號(hào)去掉叫做分母有理化，例如：①；②等運(yùn)算都是分母有理化．根據(jù)上述材料，（1）化簡(jiǎn)：（2）計(jì)算：（3）．11．閱讀下列材料，然后回答問題．在進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如，，一樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)：；（一（二（三以上這種化簡(jiǎn)的步驟叫做分母有理化．化簡(jiǎn)：．12．在進(jìn)行二次根式化簡(jiǎn)時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如，，一樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)：以上這種化簡(jiǎn)的步驟叫做分母有理化．還可以用以下方法化簡(jiǎn)：（1）請(qǐng)用不同的方法化簡(jiǎn)；（2）化簡(jiǎn)：．13．（一閱讀下面內(nèi)容：；；．（二計(jì)算：（1）；（2）為正整數(shù)）．（3）．15．閱讀下面的解答過程，然后作答：有這樣一類題目：將化簡(jiǎn)，若你能找到兩個(gè)數(shù)和，使且，則可變?yōu)?，即變成，從而使得．化?jiǎn)：．．．請(qǐng)你仿照上例將下列各式化簡(jiǎn)：（1）；（2）．16．有這樣一類題目：將化簡(jiǎn)，如果你能找到兩個(gè)數(shù)、，使且，則將將變成，即變成開方，從而使得化簡(jiǎn)．例如，，．請(qǐng)仿照上例解下列問題：（1）；（2）．17．先閱讀下列材料，再解決問題：閱讀材料：數(shù)學(xué)上有一種根號(hào)內(nèi)又帶根號(hào)的數(shù)，它們能通過完全平方公式及二次根式的性質(zhì)化去一層根號(hào)．例如：解決問題：①在括號(hào)內(nèi)填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：②根據(jù)上述思路，試將予以化簡(jiǎn)．18．一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如．設(shè)（其中、、、均為正整數(shù)），則有，，．這樣可以把部分的式子化為平方式的方法．請(qǐng)你仿照上述的方法探索并解決下列問題：（1）當(dāng)、、、均為正整數(shù)時(shí)，若，用含、的式子分別表示、，得：，．（2）利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)、、、填空：；（3）化簡(jiǎn)20．閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如，善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：設(shè)（其中、、、均為正整數(shù)），則有，，．這樣小明就找到了一種把部分的式子化為平方式的方法．請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問題：（1）當(dāng)、、、均為正整數(shù)時(shí)，若，用含、的式子分別表示、，得：，；（2）若，且、、均為正整數(shù)，求的值；（3）化簡(jiǎn)：．21．我們已經(jīng)學(xué)過完全平方公式，知道所有的非負(fù)數(shù)都可以看作是一個(gè)數(shù)的平方，如，，，，那么，我們可以利用這種思想方法和完全平方公式來計(jì)算下面的題：例：求的算術(shù)平方根．解：，．你看明白了嗎？請(qǐng)根據(jù)上面的方法化簡(jiǎn)：（1）（2）（3）．22．同學(xué)們，我們以前學(xué)過完全平方公式，你一定熟練掌握了吧！現(xiàn)在，我們又學(xué)習(xí)了二次根式，那么所有的非負(fù)數(shù)（以及都可以看作是一個(gè)數(shù)的平方，如，，下面我們觀察：反之，求：（1）；（2）；（3）若，則、與、的關(guān)系是什么？并說明理由．23．有這樣一類題目：將化簡(jiǎn)，如果你能找到兩個(gè)數(shù)、，使且，則將變成，即變成，從而使得以化簡(jiǎn)．例如，因?yàn)?，所以．?qǐng)仿照上面的例子化簡(jiǎn)下列根式：（1）；（2）．24．先閱讀下列材料，再解決問題：閱讀材料：數(shù)學(xué)上有一種根號(hào)內(nèi)又帶根號(hào)的數(shù)，它們能通過完全平方公式