第18講三角形與全等

第18講三角形與全等三角形1．三角形的邊、角關(guān)系三角形的任意兩邊之和____第三邊；三角形的內(nèi)角和等于____．2．三角形的分類按角可分為____________和______________，按邊可分為____________和_______________．大于180°直角三角形斜三角形不等邊三角形等腰三角形3．三角形的主要線段4.全等三角形的性質(zhì)和判定(1)性質(zhì)：全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．注意：全等三角形對應(yīng)邊上的高、中線相等；對應(yīng)角的平分線相等；全等三角形的周長、面積也相等．(2)判定：①___________對應(yīng)相等的兩個三角形全等(SAS)；②____________對應(yīng)相等的兩個三角形全等(ASA)；③_______________________對應(yīng)相等的兩個三角形全等(AAS)；④____對應(yīng)相等的兩個三角形全等(SSS)；⑤__________________對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等(HL)．兩邊和夾角兩角和夾邊兩角和其中一角的對邊三邊斜邊和一條直角邊5．命題與定理(1)命題：判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由____和____兩部分組成，題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式．命題寫成“如果…，那么…”的形式，這時，“如果”后面接的部分是題設(shè)，“那么”后面接的部分是結(jié)論．(2)命題的證明：要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是_________，只需舉出一個反例即可．(3)定理：有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理．定理是真命題，但真命題不一定是定理．題設(shè)結(jié)論假命題1．證明三角形全等的三種基本思路(1)有兩邊對應(yīng)相等時，找夾角相等或第三邊對應(yīng)相等；(2)有一邊和一角對應(yīng)相等時，找另一角相等或夾等角的另一邊相等；(3)有兩個角對應(yīng)相等時，找一對邊對應(yīng)相等．另外，在尋求全等條件時，要善于挖掘圖形中公共邊、公共角、對頂角等隱含條件．2．證明幾何題的四種思考方法(1)順推分析：從已知條件出發(fā)，運用相應(yīng)的定理，分別或聯(lián)合幾個已知條件加以發(fā)展，一步一步地去靠近欲證目標(biāo)；(2)逆推分析：從欲證結(jié)論入手，分析達到欲證的可能途徑，逐步溝通它與已知條件的聯(lián)系，從而找到證明方法；(3)順推分析與逆推分析相結(jié)合；(4)聯(lián)想分析：對于一道與證明過的題目有類似之處的新題目，分析它們之間的相同點與不同點，嘗試把對前一道題的思考轉(zhuǎn)用于現(xiàn)在的題目中，從而找到它的解法．命題點1：與三角形有關(guān)的線段1．(2017·河池)三角形的下列線段中能將三角形的面積分成相等兩部分的是(

)A．中線B．角平分線C．高D．中位線命題點2：三角形三邊關(guān)系2．(2017·舟山)長度分別為2，7，x的三條線段能組成一個三角形，x的值可以是(

)A．4B．5C．6D．9AC3．(2017·株洲)如圖，在△ABC中，∠BAC＝x°，∠B＝2x°，∠C＝3x°，則∠BAD＝(

)A．145°B．150°C．155°D．160°B4．(2017·黑龍江)如圖，BC∥EF，AC∥DF，添加一個條件_____________________________，使得△ABC≌△DEF.命題點5：命題5．(2017·百色)下列四個命題中：①對頂角相等；②同旁內(nèi)角互補；③全等三角形的對應(yīng)角相等；④兩直線平行，同位角相等，其中是假命題的有____．(填序號)AB＝DE或BC＝EF或AC＝DF②三角形的三邊關(guān)系

【例1】

(1)(2017·金華)下列各組數(shù)中，不可能成為一個三角形三邊長的是(

)A．2，3，4B．5，7，7

C.5，6，12D．6，8，10(2)(2017·揚州)若一個三角形的兩邊長分別為2和4，則該三角形的周長可能是(

)A．6B．7C．11D．12CC【點評】

三角形三邊關(guān)系性質(zhì)的實質(zhì)是“兩點之間，線段最短”．根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，已知三角形的兩邊a，b，可確定三角形第三邊長c的取值范圍|a－b|＜c＜a＋b.[對應(yīng)訓(xùn)練]1．(1)(2017·白銀)已知a，b，c是△ABC的三條邊長，化簡|a＋b－c|－|c－a－b|的結(jié)果為(

)A．2a＋2b－2cB．2a＋2bC．2cD．0(2)(2017·達州)△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中線，設(shè)AD長為m，則m的取值范圍是_____________．D1＜m＜4三角形中重要線段的有關(guān)計算

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【點評】

對于三角形中求線段長度的問題：(1)若條件中涉及三角形的中位線，即利用三角形的中位線平行且等于第三邊的一半來計算；(2)若條件中涉及三角形的角平分線時，則應(yīng)聯(lián)想到角平分線上的點到角兩邊的距離相等；(3)若條件中涉及到三角形的中線時，則應(yīng)聯(lián)想到兩條線段相等；(4)若條件中涉及垂直平分線時，則應(yīng)聯(lián)想到垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等；(5)若條件中涉及到高線時，則應(yīng)聯(lián)想到勾股定理．[對應(yīng)訓(xùn)練]2．(1)(2017·常州)如圖，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分線，垂足為E，交AC于點D，若AB＝6，AC＝9，則△ABD的周長是____．(2)(2017·遵義)如圖，△ABC的面積是12，點D，E，F(xiàn)，G分別是BC，AD，BE，CE的中點，則△AFG的面積是(

)A．4.5

B．5C．5.5D．615A全等三角形的判定與性質(zhì)

【例3】

(1)(2017·懷化)如圖，AC＝DC，BC＝EC，請你添加一個適當(dāng)?shù)臈l件：_________，使得△ABC≌△DEC.AB＝DE(2)(2017·瀘州)如圖，點A，F(xiàn)，C，D在同一條直線上，已知AF＝DC，∠A＝∠D，BC∥EF，求證：AB＝DE.【點評】

判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，HL.注意：AAA，SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．[對應(yīng)訓(xùn)練]3．(2017·黃岡)已知：如圖，∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，AD＝AM，求證：∠B＝∠ANM.全等三角形判定和性質(zhì)的綜合運用

【例4】

(2017·常德)已知四邊形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，連接AC，過點A作AE⊥AC，且使AE＝AC，連接BE，過A作AH⊥CD于H交BE于F.(1)如圖①，當(dāng)E在CD的延長線上時，求證：①△ABC≌△ADE；②BF＝EF；(2)如圖②，當(dāng)E不在CD的延長線上時，BF＝EF還成立嗎？請證明你的結(jié)論．(2)結(jié)論仍然成立，理由是：如圖②所示，過E作MN∥AH，交BA，CD延長線于M，N，∵∠CAE＝90°，∠BAD＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠CAD＝90°，∴∠2＝∠CAD，∵MN∥AH，∴∠3＝∠HAE，∵∠ACH＋∠CAH＝90°，∠CAH＋∠HAE＝90°，

【點評】

本題的關(guān)鍵是能正確找出全等三角形；在幾何圖形中證明線段相等或已知線段相等的一般思路是：①證明相等線段所在的三角形全等；②利用相等線段的比值為1證相等．[對應(yīng)訓(xùn)練]4．(導(dǎo)學(xué)號：65244022)(2016·長春)感知：如圖①，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC.探究：如圖②，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，求證：DB＝DC.應(yīng)用：如圖③，四邊形ABCD中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC＝a，則AB－AC＝____．(用含a的代數(shù)式表示)應(yīng)用：解；如圖③連接AD、作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵∠B＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠FCD＝180°，∴∠B＝∠FCD，

18.留心“邊邊角”)

試題如圖，已知D是△ABC的邊BC上的一點，E是AD上的一點，EB＝EC，∠1＝∠2.求證：∠BAE＝∠CAE.錯解證明：在△AEB和△AEC中，∵AE＝AE，EB＝EC，∠1＝∠2，∴△AEB≌△AEC(SSA)，∴∠BAE＝∠CAE.剖析先看一個事實，如圖，將等腰△ABC的底邊BC延長線上的任一點和頂點A相連，所得的△DAB和△DAC無疑是不全等的，由此可知，有兩邊及其一邊的對角對應(yīng)相