第18講三角形與全等

第18講三角形與全等三角形1．三角形的邊、角關(guān)系三角形的任意兩邊之和____第三邊；三角形的內(nèi)角和等于____．2．三角形的分類(lèi)按角可分為_(kāi)___________和______________，按邊可分為_(kāi)___________和_______________．大于180°直角三角形斜三角形不等邊三角形等腰三角形3．三角形的主要線(xiàn)段4.全等三角形的性質(zhì)和判定(1)性質(zhì)：全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．注意：全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高、中線(xiàn)相等；對(duì)應(yīng)角的平分線(xiàn)相等；全等三角形的周長(zhǎng)、面積也相等．(2)判定：①___________對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(SAS)；②____________對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(ASA)；③_______________________對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(AAS)；④____對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(SSS)；⑤__________________對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(HL)．兩邊和夾角兩角和夾邊兩角和其中一角的對(duì)邊三邊斜邊和一條直角邊5．命題與定理(1)命題：判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題．許多命題都是由____和____兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，一個(gè)命題可以寫(xiě)成“如果…那么…”形式．命題寫(xiě)成“如果…，那么…”的形式，這時(shí)，“如果”后面接的部分是題設(shè)，“那么”后面接的部分是結(jié)論．(2)命題的證明：要說(shuō)明一個(gè)命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個(gè)命題是_________，只需舉出一個(gè)反例即可．(3)定理：有些命題的正確性是用推理證實(shí)的，這樣的真命題叫做定理．定理是真命題，但真命題不一定是定理．題設(shè)結(jié)論假命題1．證明三角形全等的三種基本思路(1)有兩邊對(duì)應(yīng)相等時(shí)，找?jiàn)A角相等或第三邊對(duì)應(yīng)相等；(2)有一邊和一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，找另一角相等或夾等角的另一邊相等；(3)有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，找一對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等．另外，在尋求全等條件時(shí)，要善于挖掘圖形中公共邊、公共角、對(duì)頂角等隱含條件．2．證明幾何題的四種思考方法(1)順推分析：從已知條件出發(fā)，運(yùn)用相應(yīng)的定理，分別或聯(lián)合幾個(gè)已知條件加以發(fā)展，一步一步地去靠近欲證目標(biāo)；(2)逆推分析：從欲證結(jié)論入手，分析達(dá)到欲證的可能途徑，逐步溝通它與已知條件的聯(lián)系，從而找到證明方法；(3)順推分析與逆推分析相結(jié)合；(4)聯(lián)想分析：對(duì)于一道與證明過(guò)的題目有類(lèi)似之處的新題目，分析它們之間的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，嘗試把對(duì)前一道題的思考轉(zhuǎn)用于現(xiàn)在的題目中，從而找到它的解法．命題點(diǎn)1：與三角形有關(guān)的線(xiàn)段1．(2017·河池)三角形的下列線(xiàn)段中能將三角形的面積分成相等兩部分的是(

)A．中線(xiàn)B．角平分線(xiàn)C．高D．中位線(xiàn)命題點(diǎn)2：三角形三邊關(guān)系2．(2017·舟山)長(zhǎng)度分別為2，7，x的三條線(xiàn)段能組成一個(gè)三角形，x的值可以是(

)A．4B．5C．6D．9AC3．(2017·株洲)如圖，在△ABC中，∠BAC＝x°，∠B＝2x°，∠C＝3x°，則∠BAD＝(

)A．145°B．150°C．155°D．160°B4．(2017·黑龍江)如圖，BC∥EF，AC∥DF，添加一個(gè)條件_____________________________，使得△ABC≌△DEF.命題點(diǎn)5：命題5．(2017·百色)下列四個(gè)命題中：①對(duì)頂角相等；②同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)；③全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；④兩直線(xiàn)平行，同位角相等，其中是假命題的有____．(填序號(hào))AB＝DE或BC＝EF或AC＝DF②三角形的三邊關(guān)系

【例1】

(1)(2017·金華)下列各組數(shù)中，不可能成為一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)的是(

)A．2，3，4B．5，7，7

C.5，6，12D．6，8，10(2)(2017·揚(yáng)州)若一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2和4，則該三角形的周長(zhǎng)可能是(

)A．6B．7C．11D．12CC【點(diǎn)評(píng)】

三角形三邊關(guān)系性質(zhì)的實(shí)質(zhì)是“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”．根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，已知三角形的兩邊a，b，可確定三角形第三邊長(zhǎng)c的取值范圍|a－b|＜c＜a＋b.[對(duì)應(yīng)訓(xùn)練]1．(1)(2017·白銀)已知a，b，c是△ABC的三條邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn)|a＋b－c|－|c－a－b|的結(jié)果為(

)A．2a＋2b－2cB．2a＋2bC．2cD．0(2)(2017·達(dá)州)△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中線(xiàn)，設(shè)AD長(zhǎng)為m，則m的取值范圍是_____________．D1＜m＜4三角形中重要線(xiàn)段的有關(guān)計(jì)算

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【點(diǎn)評(píng)】

對(duì)于三角形中求線(xiàn)段長(zhǎng)度的問(wèn)題：(1)若條件中涉及三角形的中位線(xiàn)，即利用三角形的中位線(xiàn)平行且等于第三邊的一半來(lái)計(jì)算；(2)若條件中涉及三角形的角平分線(xiàn)時(shí)，則應(yīng)聯(lián)想到角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；(3)若條件中涉及到三角形的中線(xiàn)時(shí)，則應(yīng)聯(lián)想到兩條線(xiàn)段相等；(4)若條件中涉及垂直平分線(xiàn)時(shí)，則應(yīng)聯(lián)想到垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等；(5)若條件中涉及到高線(xiàn)時(shí)，則應(yīng)聯(lián)想到勾股定理．[對(duì)應(yīng)訓(xùn)練]2．(1)(2017·常州)如圖，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分線(xiàn)，垂足為E，交AC于點(diǎn)D，若AB＝6，AC＝9，則△ABD的周長(zhǎng)是____．(2)(2017·遵義)如圖，△ABC的面積是12，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G分別是BC，AD，BE，CE的中點(diǎn)，則△AFG的面積是(

)A．4.5

B．5C．5.5D．615A全等三角形的判定與性質(zhì)

【例3】

(1)(2017·懷化)如圖，AC＝DC，BC＝EC，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件：_________，使得△ABC≌△DEC.AB＝DE(2)(2017·瀘州)如圖，點(diǎn)A，F(xiàn)，C，D在同一條直線(xiàn)上，已知AF＝DC，∠A＝∠D，BC∥EF，求證：AB＝DE.【點(diǎn)評(píng)】

判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，HL.注意：AAA，SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．[對(duì)應(yīng)訓(xùn)練]3．(2017·黃岡)已知：如圖，∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，AD＝AM，求證：∠B＝∠ANM.全等三角形判定和性質(zhì)的綜合運(yùn)用

【例4】

(2017·常德)已知四邊形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，連接AC，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AC，且使AE＝AC，連接BE，過(guò)A作AH⊥CD于H交BE于F.(1)如圖①，當(dāng)E在CD的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，求證：①△ABC≌△ADE；②BF＝EF；(2)如圖②，當(dāng)E不在CD的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，BF＝EF還成立嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論．(2)結(jié)論仍然成立，理由是：如圖②所示，過(guò)E作MN∥AH，交BA，CD延長(zhǎng)線(xiàn)于M，N，∵∠CAE＝90°，∠BAD＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠CAD＝90°，∴∠2＝∠CAD，∵M(jìn)N∥AH，∴∠3＝∠HAE，∵∠ACH＋∠CAH＝90°，∠CAH＋∠HAE＝90°，

【點(diǎn)評(píng)】

本題的關(guān)鍵是能正確找出全等三角形；在幾何圖形中證明線(xiàn)段相等或已知線(xiàn)段相等的一般思路是：①證明相等線(xiàn)段所在的三角形全等；②利用相等線(xiàn)段的比值為1證相等．[對(duì)應(yīng)訓(xùn)練]4．(導(dǎo)學(xué)號(hào)：65244022)(2016·長(zhǎng)春)感知：如圖①，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC.探究：如圖②，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，求證：DB＝DC.應(yīng)用：如圖③，四邊形ABCD中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC＝a，則AB－AC＝____．(用含a的代數(shù)式表示)應(yīng)用：解；如圖③連接AD、作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵∠B＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠FCD＝180°，∴∠B＝∠FCD，

18.留心“邊邊角”)

試題如圖，已知D是△ABC的邊BC上的一點(diǎn)，E是AD上的一點(diǎn)，EB＝EC，∠1＝∠2.求證：∠BAE＝∠CAE.錯(cuò)解證明：在△AEB和△AEC中，∵AE＝AE，EB＝EC，∠1＝∠2，∴△AEB≌△AEC(SSA)，∴∠BAE＝∠CAE.剖析先看一個(gè)事實(shí)，如圖，將等腰△ABC的底邊BC延長(zhǎng)線(xiàn)上的任一點(diǎn)和頂點(diǎn)A相連，所得的△DAB和△DAC無(wú)疑是不全等的，由此可知，有兩邊及其一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相