夾逼準則在求極限中的應用

第4頁（共12頁）夾逼準則在求極限中的應用數學學院數學與應用數學（師范）專業(yè)2008級敖歡指導教師劉學文摘要：極限的思想方法貫穿于整個數學分析中，一些基本概念如微分、積分的定義都與極限有密不可分的聯(lián)系。極限是高等數學的理論基礎和重要工具。不同形式的極限求解的方式各不相同，解題思路不同所得到的效果也是不一樣的。本文主要舉例討論并分析夾逼準則的應用，特別是其在求極限中的應用。關鍵詞：極限；夾逼準則；函數；數列Abstract：Thethinkingmethodoflimitthroughoutthemathematicalanalysis,somebasicconceptssuchasdifferential,integralandlimitareinseparablelinks.Limitofhighermathematicsisthetheoreticalfoundationandimportanttool.Differentformsofthesolutiontothelimitthewayisalsodifferent,differentthoughtsofsolvingtheeffectisnotthesame.Thispapermainlydiscussedbyexamplesandanalysisofsqueezeruleapplications,especiallyinthelimitofapplication.Keywords：Limit;Squeezerule;Function;Series極限是從初等數學跨向高等數學的一座重要橋梁。在青少年階段或者更早吸收了解極限先進思想和概念，無疑對他們的人生發(fā)展有著不可估量的影響。極限理論是數學分析的入門和基礎，是人們把握無限的金鑰匙。不論是函數的連續(xù)性、導數、定積分還是無窮級數這些數學分析的核心內容，無一例外地都是通過極限來定義和推演的。鑒于其在高等數學中的特殊重要地位，極限亦成為數學考研的必考內容之一。極限概念最初產生于求曲邊形的面積與求曲線在某一點處的切線斜率這兩個基本問題。我國古代數學家劉徽利用圓的內接正多邊形來推算圓面積的方法—割圓術，就是用極限思想研究幾何問題。劉徽說：“割之彌細，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣。”他的這段話是對極限思想的生動描述。在我們高中階段初步認識了極限，同時也接觸了一些簡單的求極限的方法。與以前不同的是：高等數學中，我們是從變化的過程認識極限的；我們是從逼近認識極限的；我們又是從不等式認識極限的。另一要注意的是在趨向極限的過程中，既有同向趨近，也有雙向趨近的。而且面臨的極限不再是單一、簡單的運算，可能會涉及更多的知識，運用更多的理論支撐。極限概念是微積分最基本的概念，微積分的其他基本概念都用極限概念來表達。極限方法是微積分的最基本的方法，微分法與積分法都借助于極限方法來描述，所以掌握極限概念與極限運算便是非常重要的了。求極限或證明極限的方法眾多，靈活性強，題型也千變萬化。在求極限時一些常用的方法，像利用兩個重要極限，利用兩個重要準則，利用等價無窮小替換，利用洛必達法則等。不同形式的極限求解的方式各不相同，解題思路不同所得到的效果也是不一樣的。中心問題無外乎兩個：一是證明極限存在，二是求極限的值。人們在初學數學分析階段卻往往不易掌握各種解題方法的思想實質，而難以融會貫通地處理形形色色不同的問題。函數是高等數學的主要研究內容，而極限又是研究函數的方法。因此，極限是高等數學的基礎知識和主要內容。如何求數列極限、函數極限是教師和學生都共同關心的問題。本文通過舉例，本文主要舉例討論并分析夾逼準則的應用，特別是其在求極限中的應用。定理［1］如果存在＞0，使得當0＜︱0︳＜時，≤≤,并且=,=,則=。證明如果對任何n，n→0，n≠0，并且可不妨假設n（0，）－{0}，有(n)≤(n)≤(n)，以及(n)→,=0。例1.3計算分析記=，其自變量包含在冪指數、根指數中，其中自變量出現了兩次。此時可以用伯努利不等式放大、縮小，即：0≤︱︱≤＜=，于是：－＜＜。這樣放縮后左右兩端的極限均可以直接求出，并且它們的極限值相等，均等于0。滿足夾逼準則的應用條件。解由于0≤︱︱≤＜=，即是－＜＜，而且==0，所以由夾逼準則得：=0。已知或者容易求出雙向不等式的數列（或者函數），可以用夾逼準則求它的極限。例1.4求極限(++……+)。分析記=，易知{}關于單調遞增，即得＜＜當→+時，上式左、右兩端各趨于0和1，似乎無法利用迫斂性，原因在于放縮太過粗糙，應尋求更精致的放縮。解對各項的分母進行放縮，而同時分子保持不變。就得如下不等關系：=＜＜=令→+時，上式左、右兩端各趨于，由夾逼準則可得：(++……+)=例1.5證明（++……+）=1。分析記=，易知{}關于單調遞減，即得＜＜當→+時，上式左、右兩端均趨于1，滿足夾逼準則的應用條件。證明由于＜++……+＜，而且=1；=1；故由夾逼準則知：（++……+）=1。例1.6求極限（++……+）分析記=，易知{}關于單調遞減，即得＜＜當→+時，上式左、右兩端均趨于0，滿足夾逼準則的應用條件。解由于＜++……+＜而且=，又==0。于是由夾逼準則知：（++……+）=0。例1.7設=，求。分析因為==3，記=+1。由于對于任意的自然數有：0＜＜1，所以1＜＜3。兩邊同時乘以得：＜+1＜再兩邊分別求方根得：3＜＜3×當→+時，上式左、右兩端均趨于3，此時可以運用夾逼準則求解。解因為=3，對任意的有：1＜＜3所以：3＜＜3×；又因為3×=3，所以由夾逼準則知：=3。1.3對于含有較多乘除因子的數列，我們可以通過夾逼準則去分析。例1.7設=,=,……,=,……求。分析記=,顯然{}單調遞減且恒正。故的存在性毋庸置疑，但單調有界原理對于我們求收斂數列的極限沒有幫助?，F在采用放縮法證明。證明一因為：=＜，所以：2＜×=即得：－＜＜，并且（－）=0；=0；所以由夾逼準則得：=0證明二除了上述證法，我們若能聯(lián)想到公式=×再由=0（因為＞0，由于＜1，，使得當＞時，＜當＞時，=+＜()+＜+＜）便可取得要證結論。證明三我們也可以用數學歸納法證明當=1時，＜=，不等式成立。設=時，不等式成立，即是＜，則對=+1時，有：×＜×=×因為（2+1）(2+3)=＜=所以：＜=，根據數學歸納法，對任意的自然數，有＜。又由于0＜＜，并且=0，所以由夾逼準則知：=0。1.4極限號下函數含有取整函數，其極限可用夾逼準則求之。極限號下函數含有取整函數=[]時，常用該函數滿足的不等式：[]≤≤[]+1或－1≤[]≤,然后根據夾逼準則求其極限。例1.8計算極限。分析根據取整函數的性質可得：－1≤[]≤，再通過的取值范圍，分段討論。即：當＞0,＜＜,即是1－＜≤1；當＜0，＞≥，即是1－＞≥1；由于當→+時，（1－）=1，此時可以用夾逼準則求解。解因為－1≤[]≤，得到：（1）當＞0,＜＜,即是1－＜≤1；（2）當＜0，＞≥，即是1－＞≥1；因為當→+時，有（1－）=1，=1，=1所以由夾逼準則得到：故=1。例1.9計算[](＞0，＞0);分析根據取整函數的性質可得：－1＜[]≤（x≠0）,又由于＞0，各項乘以，得：－＜[]≤；又（－）=，滿足夾逼準則，此時可運用此準則。解因為－1＜[]≤（x≠0）,當＞0時，各項乘以，得：－＜[]≤；又（－）=，于是由夾逼準則得到：[]=。以上通過一些典型的例題探討了夾逼準則在極限計算中夾逼準則的應用。但是夾逼準則的運用遠不止于此，它的運用范圍非常廣。2夾逼準則的其他應用領域2.1用夾逼法求方程的近似解在解決實際問題時常常需要求一個方程的實根，但除了一些簡單的方程，大都很難求它的準確解。因此求方程的近似解在數學的應用上具有重大意義。下面介紹一種新的求方程近似解的方法，成為夾逼法。此法比已有的方法如二分法、切線法、弦位法具有逼近更快、更準的特點，并且能夠進行誤差估計。對函數給出兩個基本假設：(1)在閉區(qū)間[]上和都存在，且不變號；(2)在閉區(qū)間[]的兩端點處的函數值與異號，即是：·＜0。令=b，=a，用遞推公式：=－,=－，從而得到兩個數列{}和{}都以方程=0的根為極限，取數列{}，則有：=。如果取為方程解的近似值，其誤差小于。例2.1求方程=0在區(qū)間[3,4]上的近似解，并對其進行誤差估計。解設函數=在區(qū)間[3,4]上有：=＞0,=＞0,且=-10＜0，=9＞0。令=4，=3，則：=4－≈3.679，=3－≈3.357，=3.679－≈3.633,=3.357－≈3.592。若取==3.633為方程的解，與實際誤差小于=0.0205，若不滿足精確度的要求還可以繼續(xù)逼近。夾逼準則與微分方程的上下解方法夾逼準則的思想稍加變化就可以推廣到其他的數學分支，例如微分方程。我們引進微分方程上下解的概念，用上下解來夾逼，如果下解序列與上解序列都有相同的極限，則類似地可以夾逼出微分方程的解來，這里不再做詳細說明。綜上所述，計算極限的方法很多，需要學習者多做練習，多做總結，才能有針對性的得出計算極限的方法、技巧。當然計算極限并不是單一方法的應用，更多的是多種方法結合使用。而夾逼準則的應用也不只是應用于簡單的求極限，還應用于很廣泛的實際問題中，所以還需要我們進一步的探索、研究、實踐。參考文獻：[1]陳傳樟，金福臨，朱學炎，歐陽光中.數學分析[M].北京:高等教育出版社,1978.5.[2]姜長友，張武軍等.高等數學同步輔導教程[M].北京：北京航空航天大學出版社，2006.[3]同濟大學數學教研室.高等數學[M].北京：高等教育出版社，1988.4.[4]朱弘毅.高等數學[M].上海：上海科學技術出版社，2001.6.[5]廖玉麟等.高等數學試題精選題解[M].武漢:華中科技大學出版社,2001.10.[6]同濟大學數學教研室主編.高等數學（第三版）[M].北京：高等教育出版社，1989.224-229.[7]華東師范大學數學系編.數學分析（第三版）[M].北京