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期中檢測試卷(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共13小題,每小題4分,共52分.在每小題給出的四個選項中,第1~10題只有一項符合題目要求;第11~13題,有多項符合題目要求,全部選對的得4分,選對但不全的得2分,有選錯的不得分)1.已知向量a=(1,m),向量b=(-1,eq\r(3)),若a∥b,則m等于()A.eq\r(3)B.-eq\r(3)C.eq\f(\r(3),3)D.-eq\f(\r(3),3)2.已知i為虛數(shù)單位,z=eq\f(4,1+i),則復(fù)數(shù)z的虛部為()A.-2iB.2iC.2D.-23.已知邊長為2的正方形ABCD中,E為AD的中點,連接BE,則eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(EA,\s\up6(→))等于()A.-2B.-1C.1D.24.(2019·淮北、宿州模擬)已知i為虛數(shù)單位,在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)eq\f(1,1-i)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限5.在長方形ABCD中,E為CD的中點,F(xiàn)為AE的中點,設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))=a,eq\o(AD,\s\up6(→))=b,則eq\o(BF,\s\up6(→))等于()A.-eq\f(3,4)a+eq\f(1,2)b B.eq\f(3,4)a-eq\f(1,2)bC.eq\f(1,2)a-eq\f(3,4)b D.eq\f(1,2)a+eq\f(3,4)b6.在△ABC中,若lga-lgc=lgsinB=-lgeq\r(2)且B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))),則△ABC的形狀是()A.等邊三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.直角三角形7.在△ABC中,∠A=120°,eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))=-2,則|eq\o(BC,\s\up6(→))|的最小值是()A.2B.4C.2eq\r(3)D.128.已知向量a=(1,eq\r(3)),b=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),\f(\r(3),2))),則a+b在b上的投影為()A.2B.eq\r(3)C.1D.-19.已知向量a=(cosθ-2,sinθ),其中θ∈R,則|a|的最小值為()A.1B.2C.eq\r(5)D.310.已知點O是△ABC內(nèi)一點,滿足eq\o(OA,\s\up6(→))+2eq\o(OB,\s\up6(→))=meq\o(OC,\s\up6(→)),eq\f(S△AOB,S△ABC)=eq\f(4,7),則實數(shù)m為()11.在△ABC中,若sin2A+sin2B<sin2C,則△ABC的形狀不可能是()A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.等邊三角形12.設(shè)z是復(fù)數(shù),則下列命題中的真命題是()A.若z2≥0,則z是實數(shù)B.若z2<0,則z是虛數(shù)C.若z是虛數(shù),則z2≥0D.若z是純虛數(shù),則z2<013.定義兩個非零平面向量的一種新運算a*b=|a|·|b|sin〈a,b〉,其中〈a,b〉表示a,b的夾角,則對于兩個非零平面向量a,b,下列結(jié)論一定成立的有()A.a在b上的投影向量為asin〈a,b〉B.(a*b)2+(a·b)2=|a|2|b|2C.λ(a*b)=(λa)*bD.若a*b=0,則a與b平行二、填空題(本大題共4小題,每小題4分,共16分)14.i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)eq\f(3+i,1-3i)=________,其實部為________.15.已知向量a,b的夾角為θ,且|a|=2,|b|=eq\r(3),a·b=3,則θ=________.16.(2019·南寧模擬)在正方形ABCD中,E為線段AD的中點,若eq\o(EC,\s\up6(→))=λeq\o(AD,\s\up6(→))+μeq\o(AB,\s\up6(→)),則λ+μ=________.17.(2019·寧德質(zhì)檢)海洋藍洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象,被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”,我國擁有世界上最深的海洋藍洞,若要測量如圖所示的藍洞的口徑A,B兩點間的距離,現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點C,D,測得CD=80,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,則A,B兩點間的距離為___________.三、解答題(本大題共6小題,共82分)18.(12分)已知復(fù)數(shù)z=3+mi(m∈R),且(1+3i)z為純虛數(shù).(1)求復(fù)數(shù)z;(2)若z=(2-i)w,求復(fù)數(shù)w的模|w|.19.(12分)已知向量a=(1,2),b=(-3,4).(1)求a+b與a-b的夾角;(2)若c滿足c⊥(a+b),(c+a)∥b,求c的坐標(biāo).20.(14分)在△ABC中,設(shè)A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知C=eq\f(2π,3),c=eq\r(3),求△ABC周長的取值范圍.21.(14分)設(shè)復(fù)數(shù)z1=2-ai(a∈R),z2=4-3i.(1)若z1+z2是實數(shù),求z1·z2;(2)若eq\f(z1,z2)是純虛數(shù),求z1的共軛復(fù)數(shù).22.(15分)已知|a|=2,|b|=eq\r(3),(a+2b)·(b-3a)=9.(1)求a與b的夾角θ;(2)在△ABC中,若eq\o(AB,\s\up6(→))=a,eq\o(AC,\s\up6(→))=b,求BC邊的長度.23.(15分)在△ABC中,已知cosB+(cosA-2sinA)cosC=0.(1)求角C的余弦值;(2)若BC=eq\r(5),AB邊上的中線CD=eq\r(2),求△ABC的面積.

期中檢測試卷(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共13小題,每小題4分,共52分.在每小題給出的四個選項中,第1~10題只有一項符合題目要求;第11~13題,有多項符合題目要求,全部選對的得4分,選對但不全的得2分,有選錯的不得分)1.已知向量a=(1,m),向量b=(-1,eq\r(3)),若a∥b,則m等于()A.eq\r(3)B.-eq\r(3)C.eq\f(\r(3),3)D.-eq\f(\r(3),3)答案B解析由題意得1×eq\r(3)-m×(-1)=0,∴m=-eq\r(3).2.已知i為虛數(shù)單位,z=eq\f(4,1+i),則復(fù)數(shù)z的虛部為()A.-2iB.2iC.2D.-2答案D解析z=eq\f(4,1+i)=eq\f(41-i,1+i1-i)=eq\f(41-i,2)=2-2i,故虛部為-2.3.已知邊長為2的正方形ABCD中,E為AD的中點,連接BE,則eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(EA,\s\up6(→))等于()A.-2B.-1C.1D.2答案B解析以A為原點,AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,建立直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(2,0)E(0,1),eq\o(BE,\s\up6(→))=(-2,1),eq\o(EA,\s\up6(→))=(0,-1),eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(EA,\s\up6(→))=-1.4.(2019·淮北、宿州模擬)已知i為虛數(shù)單位,在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)eq\f(1,1-i)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案D解析由題意可得eq\f(1,1-i)=eq\f(1+i,1-i1+i)=eq\f(1,2)+eq\f(1,2)i,則其共軛復(fù)數(shù)為eq\f(1,2)-eq\f(1,2)i,對應(yīng)的點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),-\f(1,2)))位于第四象限.5.在長方形ABCD中,E為CD的中點,F(xiàn)為AE的中點,設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))=a,eq\o(AD,\s\up6(→))=b,則eq\o(BF,\s\up6(→))等于()A.-eq\f(3,4)a+eq\f(1,2)b B.eq\f(3,4)a-eq\f(1,2)bC.eq\f(1,2)a-eq\f(3,4)b D.eq\f(1,2)a+eq\f(3,4)b答案A解析如圖所示,由平面向量線性運算及平面向量基本定理可得eq\o(BF,\s\up6(→))=eq\o(AF,\s\up6(→))-eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(AE,\s\up6(→))-eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))+eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\f(1,2)b-eq\f(3,4)a.6.在△ABC中,若lga-lgc=lgsinB=-lgeq\r(2)且B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))),則△ABC的形狀是()A.等邊三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.直角三角形答案C解析∵lga-lgc=lgsinB=-lgeq\r(2),∴eq\f(a,c)=sinB=eq\f(\r(2),2),∵B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))),∴B=eq\f(π,4),∴cosB=eq\f(a2+c2-b2,2ac)=eq\f(a2+\r(2)a2-b2,2a·\r(2)a)=eq\f(\r(2),2),∴a2=b2,則a=b,∴A=B=eq\f(π,4),∴C=eq\f(π,2),∴△ABC為等腰直角三角形.7.在△ABC中,∠A=120°,eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))=-2,則|eq\o(BC,\s\up6(→))|的最小值是()A.2B.4C.2eq\r(3)D.12答案C解析eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))=|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|cosA=-eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|=-2?|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|=4,|eq\o(BC,\s\up6(→))|=|eq\o(AC,\s\up6(→))-eq\o(AB,\s\up6(→))|?|eq\o(BC,\s\up6(→))|2=|eq\o(AC,\s\up6(→))-eq\o(AB,\s\up6(→))|2=|eq\o(AC,\s\up6(→))|2+|eq\o(AB,\s\up6(→))|2+4≥2|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|+4=12,當(dāng)且僅當(dāng)|eq\o(AC,\s\up6(→))|=|eq\o(AB,\s\up6(→))|時取等號,所以|eq\o(BC,\s\up6(→))|≥2eq\r(3).8.已知向量a=(1,eq\r(3)),b=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),\f(\r(3),2))),則a+b在b上的投影為()A.2B.eq\r(3)C.1D.-1答案A解析a+b在b上的投影為eq\f(a+b·b,|b|)=eq\f(a·b+b2,|b|)=eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2)+\f(3,2)))+1,1)=2.9.已知向量a=(cosθ-2,sinθ),其中θ∈R,則|a|的最小值為()A.1B.2C.eq\r(5)D.3答案A解析因為a=(cosθ-2,sinθ),所以|a|=eq\r(cosθ-22+sin2θ)=eq\r(1-4cosθ+4)=eq\r(5-4cosθ),因為θ∈R,所以-1≤cosθ≤1,故|a|的最小值為eq\r(5-4)=1.10.已知點O是△ABC內(nèi)一點,滿足eq\o(OA,\s\up6(→))+2eq\o(OB,\s\up6(→))=meq\o(OC,\s\up6(→)),eq\f(S△AOB,S△ABC)=eq\f(4,7),則實數(shù)m為()A.2B.-2C.4D.-4答案D解析由eq\o(OA,\s\up6(→))+2eq\o(OB,\s\up6(→))=meq\o(OC,\s\up6(→))得eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))=eq\f(m,3)eq\o(OC,\s\up6(→)),設(shè)eq\f(m,3)eq\o(OC,\s\up6(→))=eq\o(OD,\s\up6(→)),則eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))=eq\o(OD,\s\up6(→)),∴A,B,D三點共線,如圖所示,∵eq\o(OC,\s\up6(→))與eq\o(OD,\s\up6(→))反向共線,∴eq\f(|\o(OD,\s\up6(→))|,|\o(CD,\s\up6(→))|)=eq\f(m,m-3),∴eq\f(S△AOB,S△ABC)=eq\f(|\o(OD,\s\up6(→))|,|\o(CD,\s\up6(→))|)=eq\f(m,m-3)=eq\f(4,7),解得m=-4.11.在△ABC中,若sin2A+sin2B<sin2C,則△ABC的形狀不可能是()A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.等邊三角形答案ABD解析由正弦定理知,sinA=eq\f(a,2R),sinB=eq\f(b,2R),sinC=eq\f(c,2R).∴sin2A+sin2B<sin2C可化為a2+b2<c2,a2+b2-c2<0.∴cosC=eq\f(a2+b2-c2,2ab)<0.∴角C為鈍角,△ABC為鈍角三角形.12.設(shè)z是復(fù)數(shù),則下列命題中的真命題是()A.若z2≥0,則z是實數(shù)B.若z2<0,則z是虛數(shù)C.若z是虛數(shù),則z2≥0D.若z是純虛數(shù),則z2<0答案ABD解析設(shè)z=a+bi,a,b∈R,z2=a2-b2+2abi,對于A:z2≥0,則b=0,所以z是實數(shù),真命題;對于B:z2<0,則a=0,且b≠0,可得z是虛數(shù),所以B為真命題;對于C:z是虛數(shù),則b≠0,所以z2也可能是虛數(shù),不能比較大小,所以C是假命題;對于D:z是純虛數(shù),則a=0,b≠0,所以z2<0,所以D是真命題.13.定義兩個非零平面向量的一種新運算a*b=|a|·|b|sin〈a,b〉,其中〈a,b〉表示a,b的夾角,則對于兩個非零平面向量a,b,下列結(jié)論一定成立的有()A.a在b上的投影向量為asin〈a,b〉B.(a*b)2+(a·b)2=|a|2|b|2C.λ(a*b)=(λa)*bD.若a*b=0,則a與b平行答案BD解析由投影向量的定義可知,A顯然不成立;(a*b)2+(a·b)2=|a|2|b|2sin2〈a,b〉+|a|2|b|2·cos2〈a,b〉=|a|2|b|2,故B成立;λ(a*b)=λ|a||b|sin〈a,b〉,(λa)*b=|λa||b|sin〈a,b〉,當(dāng)λ<0時不成立,故C不成立;由a*b=0,得sin〈a,b〉=0,即兩向量平行,故D成立.二、填空題(本大題共4小題,每小題4分,共16分)14.i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)eq\f(3+i,1-3i)=________,其實部為________.答案i0解析eq\f(3+i,1-3i)=eq\f(3+i1+3i,1-3i1+3i)=eq\f(3+9i+i+3i2,10)=i,其實部為0.15.已知向量a,b的夾角為θ,且|a|=2,|b|=eq\r(3),a·b=3,則θ=________.答案eq\f(π,6)解析由題意,利用向量的夾角公式,得cosθ=eq\f(a·b,|a||b|)=eq\f(\r(3),2),又由θ∈[0,π],∴θ=eq\f(π,6).16.(2019·南寧模擬)在正方形ABCD中,E為線段AD的中點,若eq\o(EC,\s\up6(→))=λeq\o(AD,\s\up6(→))+μeq\o(AB,\s\up6(→)),則λ+μ=________.答案eq\f(3,2)解析因為eq\o(EC,\s\up6(→))=eq\o(ED,\s\up6(→))+eq\o(DC,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))+eq\o(AB,\s\up6(→)),所以λ+μ=eq\f(1,2)+1=eq\f(3,2).17.(2019·寧德質(zhì)檢)海洋藍洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象,被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”,我國擁有世界上最深的海洋藍洞,若要測量如圖所示的藍洞的口徑A,B兩點間的距離,現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點C,D,測得CD=80,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,則A,B兩點間的距離為___________.答案80eq\r(5)解析由已知,在△ACD中,∠ACD=15°,∠ADC=150°,∴∠DAC=15°,由正弦定理,得AC=eq\f(80sin150°,sin15°)=eq\f(40,\f(\r(6)-\r(2),4))=40(eq\r(6)+eq\r(2)),在△BCD中,∠BDC=15°,∠BCD=135°,∴∠DBC=30°,由正弦定理,得eq\f(CD,sin∠CBD)=eq\f(BC,sin∠BDC),∴BC=eq\f(CD·sin∠BDC,sin∠CBD)=eq\f(80×sin15°,\f(1,2))=160sin15°=40(eq\r(6)-eq\r(2));在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=1600(8+4eq\r(3))+1600(8-4eq\r(3))+2×1600(eq\r(6)+eq\r(2))×(eq\r(6)-eq\r(2))×eq\f(1,2)=1600×16+1600×4=1600×20,解得AB=80eq\r(5),則兩目標(biāo)A,B間的距離為80eq\r(5).三、解答題(本大題共6小題,共82分)18.(12分)已知復(fù)數(shù)z=3+mi(m∈R),且(1+3i)z為純虛數(shù).(1)求復(fù)數(shù)z;(2)若z=(2-i)w,求復(fù)數(shù)w的模|w|.解(1)(1+3i)·(3+mi)=(3-3m)+(9+m)i,∵(1+3i)·z是純虛數(shù),∴3-3m=0,且9+m≠0,∴m=1,∴z=3+i.(2)w=eq\f(3+i,2-i)=eq\f(3+i·2+i,2-i·2+i)=eq\f(5+5i,5)=1+i.∴|w|=eq\r(12+12)=eq\r(2).19.(12分)已知向量a=(1,2),b=(-3,4).(1)求a+b與a-b的夾角;(2)若c滿足c⊥(a+b),(c+a)∥b,求c的坐標(biāo).解(1)∵a=(1,2),b=(-3,4).∴a+b=(-2,6),∴a-b=(4,-2),∴(a+b)·(a-b)=-20,∴|a+b|=eq\r(-22+62)=2eq\r(10),∴|a-b|=eq\r(42+-22)=2eq\r(5).設(shè)a+b與a-b的夾角為θ,則cosθ=eq\f(a+b·a-b,|a+b|·|a-b|)=eq\f(-20,2\r(10)×2\r(5))=-eq\f(\r(2),2),又∵θ∈[0,π],∴θ=eq\f(3π,4).(2)設(shè)c=(x,y),則c+a=(x+1,y+2),∵c⊥(a+b),(c+a)∥b,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-2x+6y=0,,-3y+2-4x+1=0,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=-2,,y=-\f(2,3),))即c=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-2,-\f(2,3))).20.(14分)在△ABC中,設(shè)A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知C=eq\f(2π,3),c=eq\r(3),求△ABC周長的取值范圍.解由正弦定理得eq\f(a,sinA)=eq\f(b,sinB)=eq\f(c,sinC)=2,∴a=2sinA,b=2sinB,則△ABC的周長為L=a+b+c=2(sinA+sinB)+eq\r(3)=2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sinA+sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)-A))))+eq\r(3)=2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinA+\f(\r(3),2)cosA-\f(1,2)sinA))+eq\r(3)=2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A+\f(π,3)))+eq\r(3).∵0<B=eq\f(π,3)-A<eq\f(π,3),∴0<A<eq\f(π,3),∴eq\f(π,3)<A+eq\f(π,3)<eq\f(2π,3),∴eq\f(\r(3),2)<sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A+\f(π,3)))≤1,∴△ABC周長的取值范圍是(2eq\r(3),2+eq\r(3)].21.(14分)設(shè)復(fù)數(shù)z1=2-ai(a∈R),z2=4-3i.(1)若z1+z2是實數(shù),求z1·z2;(2)若eq\f(z1,z2)是純虛數(shù),求z1的共軛復(fù)數(shù).解(1)∵z1+z2=6-(3+a)i是實數(shù),∴3+a=0,a=-3,z1=2+3i,∴z1·z2=(2+3i)(4-3i)=17+6i.(2)∵eq\f(z1,z2)=eq\f(2-ai,4-3i)=eq\f(2-ai4+3i,4-3i4+3i)=eq\f(8+3a+6-4ai,25)是純虛數(shù),∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8+3a=0,,6-4a≠0,))即a=-eq\f(8,3),z1=2+eq\f(8,3)i,故z1的共軛復(fù)數(shù)為2-eq\f(8,3)i.22.(15分)已知|a|=2,|b|=e

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