2023-2024學(xué)年上海市普陀區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年上海市普陀區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共6小題，每題4分，滿分24分）.1．（4分）下列關(guān)于的函數(shù)解析式中，一定為二次函數(shù)的是A． B． C． D．2．（4分）校園里一片小小的樹葉也蘊(yùn)含著“黃金分割”．如圖，如果將看作一條線段，為的黃金分割點(diǎn)，，那么的長度為A． B． C． D．3．（4分）已知非零向量、和，下列條件中，不能判定的是A． B．， C．， D．4．（4分）二次函數(shù)的圖象如圖所示，下列結(jié)論中正確的是A．，， B．，， C．，， D．，，5．（4分）如圖，、相交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別在、上，且，如果，，，那么下列結(jié)論中正確的是A． B． C． D．6．（4分）四邊形的對角線與相交于點(diǎn)，下列條件中，不一定能推得與相似的是A． B． C． D．二、填空題（共12小題，每題4分，滿分48分）.7．（4分）已知，那么．8．（4分）已知點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，那么的值為．9．（4分）拋物線的對稱軸是直線，那么的值為．10．（4分）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，那么的值為．11．（4分）如果點(diǎn)，在拋物線，那么（填“”、“”或“”）12．（4分）如果向量與單位向量的方向相反，且長度為4，那么（用表示）13．（4分）在中，已知是中線，是重心，向量，向量，那么向量（用向量，表示）14．（4分）如圖，是等邊三角形，在中，點(diǎn)在邊上，以為邊作等邊，與交于點(diǎn)，如果，，那么．15．（4分）如圖，在中，、分別是、的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，的延長線交邊于點(diǎn)，那么的值為．16．（4分）如圖，正方形的邊在的邊上，頂點(diǎn)、分別在邊、上，如果，的面積是36，那么的長為．17．（4分）平行于梯形兩底的直線截梯形的兩腰，當(dāng)兩交點(diǎn)之間的線段長度是兩底的比例中項(xiàng)時(shí)，稱這條線段是梯形的“比例中線”．在梯形中，，，，點(diǎn)、分別在邊、上，如果是梯形的“比例中線”，那么的值為．18．（4分）如圖，在矩形中，已知，如果將矩形沿直線翻折后，點(diǎn)落在邊的中點(diǎn)處，直線分別與邊、交于點(diǎn)、，如果，那么的長為．三、解答題（共7小題，滿分73分）.19．（5分）如圖，已知兩個(gè)不平行的向量、．先化簡，再求作：．（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并指出所作圖中表示結(jié)論的向量）

20．已知二次函數(shù)（其中、、為常數(shù)，且的自變量的值與它對應(yīng)的函數(shù)值如下表所示：01300（1）該二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線．（2）如果，求此二次函數(shù)的解析式及其圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．

21．已知拋物線與軸交于點(diǎn)，其頂點(diǎn)記作點(diǎn)．（1）求此拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）將拋物線向左平移個(gè)單位，使其頂點(diǎn)落在直線上，求平移后新拋物線的表達(dá)式．

22．如圖，在四邊形中，對角線、相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線，分別交、于點(diǎn)、，且．（1）求證：；（2）如果，，求的長．

23．（12分）如圖，點(diǎn)、分別在的邊、上，延長、交于點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）聯(lián)結(jié)，如果，求證：．

24．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），已知拋物線過點(diǎn)、、，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，連接，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）求的面積；（3）如果點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

25．如圖，在梯形中，，，，，，點(diǎn)在線段的延長線上，連接，作，與交于點(diǎn)．（1）求的長；（2）設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（3）如果是等腰三角形，求的長．

參考答案一.選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）1．（4分）下列關(guān)于的函數(shù)解析式中，一定為二次函數(shù)的是A． B． C． D．解：．不是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；．當(dāng)時(shí)，不是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；．是一次函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；．是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；故選：．2．（4分）校園里一片小小的樹葉也蘊(yùn)含著“黃金分割”．如圖，如果將看作一條線段，為的黃金分割點(diǎn)，，那么的長度為A． B． C． D．解：為的黃金分割點(diǎn)，，，故選：．3．（4分）已知非零向量、和，下列條件中，不能判定的是A． B．， C．， D．解：、，兩個(gè)向量方向相反，互相平行，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、，，則，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、由已知條件知，，則，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、只知道兩向量模的數(shù)量關(guān)系，但是方向不一定相同或相反，與不一定平行，故本選項(xiàng)正確．故選：．4．（4分）二次函數(shù)的圖象如圖所示，下列結(jié)論中正確的是A．，， B．，， C．，， D．，，解：由函數(shù)圖象，可得函數(shù)開口向上，則，頂點(diǎn)在軸左側(cè)，則，圖象與軸交點(diǎn)在軸負(fù)半軸，則，故選：．5．（4分）如圖，、相交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別在、上，且，如果，，，那么下列結(jié)論中正確的是A． B． C． D．解：，，，，，，，，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；，，即①，，，，，即，將代入，得，②，①②，得，故選項(xiàng)正確，符合題意；，，，即，，故、選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．故選：．6．（4分）四邊形的對角線與相交于點(diǎn)，下列條件中，不一定能推得與相似的是A． B． C． D．解：若，，，若，，，若，，，，，又，，若，，無法證明與相似，故選：．二.填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）已知，那么．解：，，．故答案為：．8．（4分）已知點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，那么的值為0．解：點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，，即，故答案為：0．9．（4分）拋物線的對稱軸是直線，那么的值為．解：，拋物線對稱軸為，，解得，故答案為：．10．（4分）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，那么的值為8．解：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，，解得，故答案為：8．11．（4分）如果點(diǎn)，在拋物線，那么（填“”、“”或“”解：拋物線的對稱軸為直線，而拋物線開口向上，所以當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，因?yàn)辄c(diǎn)，在拋物線上，且，所以．故答案為：．12．（4分）如果向量與單位向量的方向相反，且長度為4，那么（用表示）解：向量與單位向量的方向相反，且長度為4，，故答案為：．13．（4分）在中，是中線，是重心，向量，向量，那么向量（用向量，表示）解：是中線，，，是的重心，，．故答案為：．14．（4分）如圖，是等邊三角形，在中，點(diǎn)在邊上，以為邊作等邊，與交于點(diǎn)，如果，，那么．解：和都是等邊三角形，，，，，，，，，，，，故答案為：．15．（4分）如圖，在中，、分別是、的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，的延長線交邊于點(diǎn)，那么的值為．解：、分別是、的中點(diǎn)，，，是的中點(diǎn)，，，，，，故答案為：．16．（4分）如圖，正方形的邊在的邊上，頂點(diǎn)、分別在邊、上，如果，的面積是36，那么的長為4．解：如圖：過點(diǎn)作于，交于，的面積是36，，，，，，，，，故答案為：4．17．（4分）平行于梯形兩底的直線截梯形的兩腰，當(dāng)兩交點(diǎn)之間的線段長度是兩底的比例中項(xiàng)時(shí)，稱這條線段是梯形的“比例中線”．在梯形中，，，，點(diǎn)、分別在邊、上，如果是梯形的“比例中線”，那么的值為．解：如圖過作的平行線交于，交于，是梯形的“比例中線”，，，，四邊形，四邊形為平行四邊形，，，，，，故答案為：．18．（4分）如圖，在矩形中，已知，如果將矩形沿直線翻折后，點(diǎn)落在邊的中點(diǎn)處，直線分別與邊、交于點(diǎn)、，如果，那么的長為．解：如圖，連接，四邊形為矩形，，，，為的中點(diǎn)，，將矩形沿直線翻折后，點(diǎn)落在邊的中點(diǎn)處，直線分別與邊、交于點(diǎn)、，，，在中，，，，，，又，，，即，，；故答案為：．二.解答題（本大題共7題，滿分73分）19．（5分）如圖，已知兩個(gè)不平行的向量、．先化簡，再求作：．（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并指出所作圖中表示結(jié)論的向量）解：，如圖所示，即為所求．20．已知二次函數(shù)（其中、、為常數(shù)，且的自變量的值與它對應(yīng)的函數(shù)值如下表所示：01300（1）該二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線．（2）如果，求此二次函數(shù)的解析式及其圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．解：（1）由表格可知，和時(shí)，都為0，二次函數(shù)的對稱軸是直線，故答案為：；（2）如果，則此二次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，，，設(shè)二次函數(shù)為，代入得，，解得，，此二次函數(shù)的解析式為，令，則，其圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是．21．已知拋物線與軸交于點(diǎn)，其頂點(diǎn)記作點(diǎn)．（1）求此拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）將拋物線向左平移個(gè)單位，使其頂點(diǎn)落在直線上，求平移后新拋物線的表達(dá)式．解：（1）由題意，將代入拋物線得，．．拋物線為．此拋物線的頂點(diǎn)．（2）由題意，拋物線向左平移個(gè)單位，新拋物線為．此時(shí)頂點(diǎn)為．又頂點(diǎn)落在直線上，．．新拋物線的表達(dá)式為，即．22．如圖，在四邊形中，對角線、相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線，分別交、于點(diǎn)、，且．（1）求證：；（2）如果，，求的長．【解答】（1）證明：，，，，；（2）解：，，，，，，，，，，，．23．（12分）如圖，點(diǎn)、分別在的邊、上，延長、交于點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）聯(lián)結(jié)，如果，求證：．【解答】證明：（1）．，又，，，又，；（2），，，，，，，，，，，又，，，，．24．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），已知拋物線過點(diǎn)、、，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，連接，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）求的面積；（3）如果點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．解：（1）由題意得：，解得：，則拋物線的表達(dá)式為：①；（2）過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，由點(diǎn)、的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：，由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則，則的面積；（3）由點(diǎn)、的坐標(biāo)知，，時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，設(shè)交軸于點(diǎn)，，則，則直線的表達(dá)式為：②，聯(lián)立①②得：，解得：（舍去）或，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：；當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，設(shè)交軸于點(diǎn)，同理可得：，則直線的表達(dá)式為：③，聯(lián)立①③得：，解得：；即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：；綜上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：或．25．如圖，在梯形中，，，，，，點(diǎn)在線段的延長線上，連接，作，與交于點(diǎn)．（1）求的長；（2）設(shè)，，求關(guān)