矢量分析與場論講義課件

§1場的概念（Field）矢量分析與場論講義一、場的概念

場是用空間位置函數(shù)來表征的。若對全空間或其中某一區(qū)域V中每一點M,都有一個數(shù)量

(或矢量)與之對應(yīng),則稱在V上確定了一個

數(shù)量場

(或矢量場).場都是矢量場。例如:溫度場和密度場都是數(shù)量場,

重力場和速度若場中物理量在各點處的對應(yīng)值不隨時間變化，就稱為穩(wěn)定場，否則，稱為不穩(wěn)定場。

矢量分析與場論講義注

引入或選擇某種坐標系是為了便于通過數(shù)學(xué)方法來

進行計算和研究它的性質(zhì).

2.場的性質(zhì)是它本身的屬性,和坐標系的引進無關(guān).

場的特點：

①分布于整個空間，看不見，摸不著，只能借助儀器進行觀察測量，靠人腦去想像其分布情況；

②具有客觀物質(zhì)的一切特征，有質(zhì)量、動量和能量。矢量分析與場論講義3、描述方法

①函數(shù)表示法：借助一定坐標系下的函數(shù)來表示場的分布。對矢量場，用；數(shù)量場常用表述。

②幾何表示法，也叫圖示法：用能反映場性質(zhì)和分布的一族曲線或曲面表示場的分布特征，分別稱為矢量線（像電力線、磁力線）；等值面（像等溫面，等位面）。矢量分析與場論講義二、數(shù)量場、矢量場的描述方法

以下討論中總是設(shè)它對每個變量都有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。因此給定了某個數(shù)量場就等于給定了一個數(shù)性函數(shù)

在引進了直角坐標系后,點

M的位置可由坐標確定。同理,每個矢量場都與某個矢性函數(shù)并假定它們有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。相對應(yīng).

這里

為所定義區(qū)域上的數(shù)性函數(shù),矢量分析與場論講義數(shù)量場的等值面（線）：

是由場中使u取相同數(shù)值的點所組成的曲面。

（c值不同對應(yīng)不同等值面）

等值面其方程為等值線在某一高度上沿什么方向高度變化最快？直觀表示數(shù)量u在場中的分布。矢量分析與場論講義以溫度場為例：熱源等溫面等值面舉例可以看出：數(shù)量場的函數(shù)是單值函數(shù)，各等值面是互不相交的。矢量分析與場論講義

矢量場的矢量線：矢量線上每一點處曲線與對應(yīng)于該點的矢量相切。

直觀描述矢量在場中的分布情況。2.矢量線連續(xù)分布，一般互不相交。圖2矢量線ArMxyzol觀察：1.在曲線上的每一點M處，場的矢量都位于該點處的切線上（如圖所示），稱其為矢量線。例：靜電場電力線、磁場的磁力線、流速場中的流線等。矢量分析與場論講義MA(r)drrO

矢量線的微分方程：

M點位置矢量線l微分

場矢量l矢量分析與場論講義矢量線在這點的切線的方向余弦和矢量線上的

成比例，從而得到矢量線應(yīng)滿足的微分方程

在場矢量不為零的條件下，由線性微分方程組的理論可知所考慮的整個場被矢量線所填滿，而通過場中每一點有一條且只有一條這樣的曲線，且過不同的點的兩條矢量線沒有公共點。例2求矢量場的矢量線方程。矢量分析與場論講義【例1】

設(shè)點電荷q位于坐標原點，它在空間一點M(x,y,z)處所產(chǎn)生的電場強度矢量為式中，q、ε均為常數(shù)，r=xi+yj+zk為M點的位置矢量。求E的矢量線方程并畫出矢量線圖。解題過程：矢量分析與場論講義圖點電荷的電場矢量線(P27)矢量分析與場論講義2、方向?qū)?shù)

方向?qū)?shù)是數(shù)性函數(shù)

在一點處沿任意方向?qū)嚯x的變化率，它的數(shù)值與所取的方向有關(guān)，一般來說，在不同的方向上

的值是不同的，但它并不是矢量。如圖所示，為場中的任意方向，M0是這個方向線上給定的一點，M為同一線上鄰近的一點。M0M矢量分析與場論講義

為M0和M之間的距離，從M0沿

到M的增量為若下列極限存在，則該極限值記作，稱之為數(shù)量場

在M0處沿的方向?qū)?shù)。矢量分析與場論講義例題例1求函數(shù)方向的方向?qū)?shù)。例3設(shè)例4求數(shù)量場方向的方向?qū)?shù)。矢量分析與場論講義3、梯度

由于從一點出發(fā)，有無窮多個方向，即數(shù)量場沿某一確定方向取得

在該點的最大方向?qū)?shù)，則可引進梯度概念。在一點處的方向?qū)?shù)有無窮多個，其中，若過一點

梯度：（場在某點的梯度為一矢量）它的大小等于所有方向?qū)?shù)的最大值，它的方向為取得最大值的方向。梯度(Gradient)矢量分析與場論講義

梯度、方向?qū)?shù)與等值面當(dāng),即

與方向一致時,

為最大。矢量分析與場論講義方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系：

是等值面

上p1點法線方向單位矢量。它指向增長的方向。表示過p2

點的任一方向。易見，p1p0p2等值面等值面θ矢量分析與場論講義所以即p1p0p2等值面等值面θ矢量分析與場論講義該式表明：即沿某一方向的方向?qū)?shù)就是梯度在該方向上的投影。

梯度的概念重要性在于，它用來表征數(shù)量場在空間各點沿不同方向變化快慢的程度。4、算符（哈密頓算符）算符既具有微分性質(zhì)又具有方向性質(zhì)。在任意方向上移動線元距離dl，的增量稱為方向微矢量分析與場論講義分，即顯然，任意兩點值差為矢量分析與場論講義

總結(jié)：數(shù)量場梯度的性質(zhì)（1）數(shù)量場沿任一方向的方向?qū)?shù)等于梯度在該方向的投影。（2）數(shù)量場在任一點的梯度垂直于過該點的等值面，且指向場增大的一方。（注意：等值面的法向有兩個）（3）一個數(shù)量場的梯度（一旦）確定，則該數(shù)量場也隨之確定，最多相差一個任意常數(shù)

矢量分析與場論講義

標量場的梯度垂直于通過該點的等值面（或切平面）數(shù)量場沿任一方向的方向?qū)?shù)等于梯度在該方向的投影。例1

三維高度場的梯度圖三維高度場的梯度例2

電位場的梯度圖電位場的梯度

梯度、方向?qū)?shù)與等值面矢量分析與場論講義高度場的梯度

與過該點的等位線垂直；

數(shù)值等于該點的最大方向?qū)?shù)；補充：梯度的物理意義

數(shù)量場的梯度是一個矢量,是空間坐標點的函數(shù);

梯度的方向為該點最大方向?qū)?shù)的方向,即與等值線（面）相垂直的方向，它指向函數(shù)的增加方向.

梯度的大小為該點數(shù)量函數(shù)的最大變化率，即該點最大方向?qū)?shù);例1

三維高度場的梯度

與過該點的等高線垂直；

數(shù)值等于該點位移的最大變化率；

指向地勢升高的方向。圖三維高度場的梯度例2

電位場的梯度電位場的梯度

指向電位增加的方向。圖電位場的梯度矢量分析與場論講義§3矢量場的通量與散度矢量分析與場論講義1、通量

一個矢量場空間中，在單位時間內(nèi)，沿著矢量場方向通過的流量是dQ，而dQ是以ds為底，以vcosθ為高的斜柱體的體積，即稱為矢量通過面元的通量。對于有向曲面s，總可以將s分成許多足夠小的面元，于是θds矢量分析與場論講義通過曲面s的通量f即為每一面元通量之和對于閉合曲面s，通量f為向量場沿選定方向的曲面S的面積分定義稱為向曲面指定一側(cè)穿過曲面S的通量。矢量分析與場論講義例題例1設(shè)由矢徑圓錐面曲面S。P553.

求矢量場所圍成的封閉有一由矢量分析與場論講義如果曲面s是閉合的，并規(guī)定曲面法矢由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場對閉合曲面的通量是：

矢量分析與場論講義（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）表示有凈的矢量線流入，閉合面內(nèi)有吸收矢量線的負源；表示有凈的矢量線流出，閉合面內(nèi)有產(chǎn)生矢量線的正源；表示流入和流出閉合曲面的矢量線相等或沒有矢量線流入、流出閉合曲面矢量分析與場論講義閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場的源的關(guān)系

若S為閉合曲面，可根據(jù)凈通量

的大小判斷閉合面中源的性質(zhì):

>0(有正源)

<0(有負源)

=0

(無源)矢量分析與場論講義2、散度

設(shè)封閉曲面s所包圍的體積為，則

就是矢量場在中單位體積的平均通量，或者平均發(fā)散量。當(dāng)閉合曲面s及其所包圍的體積向其內(nèi)某點收縮時，若平均發(fā)散量的極限值存在，便記作稱為矢量場在該點的散度(div是divergence的縮寫)。矢量分析與場論講義

散度的重要性在于，可用表征空間各點矢量場發(fā)散的強弱程度，當(dāng)div

，表示該點有散發(fā)通量的正源；當(dāng)div，表示該點有吸收通量的負源；當(dāng)div，表示該點為無源場。的散度為定理

重點

散度(Divergence)的表達式矢量分析與場論講義

直接從散度的定義出發(fā)，不難得到矢量場在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場散度的積分。

上式稱為矢量場的Gauss定理。

積分的Gauss定理

注：它能把一個閉合曲面的面積分轉(zhuǎn)為對該曲面所包圍體積的體積分，反之亦然。矢量分析與場論講義推論2若處處散度為0，則通量為0.推論3若某些點（或區(qū)域）上有散度不為0或不存在，而在其他點上都有散度為0，則穿出包圍這些點（或區(qū)域）的任一封閉曲面的通量都相等，為一常數(shù)。電學(xué)上的高斯定理：穿出任一封閉曲面S的電通量，等于其內(nèi)各點電荷的代數(shù)和。高斯定理矢量分析與場論講義§4矢量場的環(huán)量及旋度(Rotation)矢量分析與場論講義1.矢量場的環(huán)量定義：①線矢量l:矢量場A中的一條封閉的有向曲線②環(huán)量Г：（圖2）性質(zhì)：①Г是標量

②Г≠0，l內(nèi)有旋渦源

③Г=0，l內(nèi)無旋渦源圖2矢量場的環(huán)量(P56)

矢量分析與場論講義定義線積分向量場沿空間有向閉曲線l

的稱為沿閉曲線l的環(huán)量。環(huán)量的表達式

圖3閉合曲線方向與面元的方向示意圖

(P59)定義：若存在，則稱此極限為矢量場

A沿l之正向的環(huán)量在點P處沿n方向的環(huán)量面密度。矢量分析與場論講義性質(zhì)：l圍成的面元法矢量旋渦面的方向矢量R①在任意面元方向上的投影就給出該方向的環(huán)量面密度②方向為環(huán)量面密度最大的方向；模為最大環(huán)量面密度的值⑵旋度的定義定義：固定矢量R為矢量A的旋度，記作：rotA=R重合，最大夾角，中間值垂直，0R旋度矢量矢量分析與場論講義圖4旋度及其投影

旋度矢量R在n方向的投影:矢量分析與場論講義②渦量（或環(huán)量面密度）矢量分析與場論講義③旋度矢量場在某點的旋度，其大小為該點渦量的最大值，方向為使得該點渦量取最大值的方向物理意義：是場在矢量方向上旋轉(zhuǎn)性的強弱矢量分析與場論講義定義

向量場的旋度定義為

旋度(Rotation

or

Curl)

簡單地說,旋度是個矢量，它的物理意義是場在該矢量方向上旋轉(zhuǎn)性的強弱。矢量分析與場論講義利用環(huán)量與旋度(它可以從整體上描述場旋轉(zhuǎn)的強度)，我們可以用向量的形式重寫Stokes公式。矢量分析與場論講義小結(jié)1、散度（流出的量）發(fā)散源

通量即該矢量(的垂直平面分量)穿過平面的大小

一般點的散度為0，散度不為0的點表示該點有提供源(source)

散度是標量，物理意義為通量源密度，可以從Gauss公式理解

散度為零，說明是無源場；散度不為零時，則說明是有源場（有正源或負源）矢量場矢量分析與場論講義2、旋度（沒有流出的量）旋渦源

旋度即該矢量(的平行平面分量)沿平面的大小密度(即大小/面積)

旋度不為0表示有量在該平面“逗留”

旋度是矢量；其物理意義為環(huán)量密度，可以從Stokes公式里理解

旋度為零，說明是無旋場；旋度不為零時，則說明是有旋場

矢量分析與場論講義一、無旋場§5幾種重要的矢量場矢量分析與場論講義無旋場有勢場保守場矢量分析與場論講義空心球體環(huán)面體矢量分析與場論講義二、無源場矢量管：矢量線構(gòu)成的管形曲線（矢量線與曲面重合）矢量分析與場論講義

矢量分析與場論講義矢量場的Helmholtz定理

空間區(qū)域V上的任意矢量場，如果它的散度、旋度和邊界條件為已知，則該矢量場唯一確定，并且可以表示為一無旋矢量場和一無源矢量場的疊加，即：矢量分析與場論講義三、管形場與有勢場

式知道,此時沿任何封閉曲面的曲面積分都等于零.

中作一矢量管

(圖2),即由矢量線圍成的管狀的

若一個矢量場的散度恒

為零,即我們曾

稱為無源場.從高斯公

我們又把稱作管形場.

這是因為,若在矢量場

曲面.用斷面去截它,以表示所截出的管矢量分析與場論講義的表面,這就得到了由所圍成的封閉曲面

S.于是由(1)式得出而矢量線與曲面的法線正交,所以矢量分析與場論講義這等式說明了流體通過矢量管的任意斷面的流量是

間單連通區(qū)域內(nèi)沿任何封閉曲線的曲線積分都等于

相同的,所以把場稱為管形場.

若一個矢量場的旋度恒為零,即我們在

前面稱

為無旋場.從斯托克斯公式知道,這時在空

零,這種場也稱為有勢場.這是因為當(dāng)時,矢量分析與場論講義由定理1推得空間曲線積分與路線無關(guān),且存在某函數(shù),使得即則必存在某個勢函數(shù)v,使得這也是一

個矢量場是某個數(shù)量場的梯度場的充要條件.通常稱v=-u為勢函數(shù).

因此若某矢量場的旋度為零,

矢量分析與場論講義若一個矢量場既是管量場,又是有勢場,則稱這個矢量場為調(diào)和場.

若是一個調(diào)和場,則必有即必有u滿足這時稱函數(shù)

u為調(diào)和函數(shù).也有v=-u

為調(diào)和函數(shù)。

顯然矢量分析與場論講義(1)若線積分的值在G內(nèi)與路徑無關(guān)，其中A,B為G內(nèi)任意兩點；則稱為保守場,(2)若在G內(nèi)恒有,則稱為無旋場;有勢場，并稱為的勢函數(shù).定義6設(shè)向量場(3)若存在G上的函數(shù)，使,則稱為矢量分析與場論講義定理4設(shè)G

是單連域，則以下四個命題等價：

是無旋場，即

沿G內(nèi)任意簡單閉曲線C

的環(huán)量與路徑無關(guān)；

是一保守場，即在G內(nèi)線積分矢量分析與場論講義

是一有勢場，即在G內(nèi)存在，作證明.它可以看作是Green

公式的推論.

以下我們只對定理4的2D空間的情況定理定理設(shè)區(qū)域則以下四個命題等價：

在內(nèi),處處成立矢量分析與場論講義

定理4(及定理)的重要性在于：

給出場論中的一個具有實際意義及數(shù)學(xué)意義的重要結(jié)論，即：無旋場有勢場保守場

給出了數(shù)學(xué)上判定保守場的多種方法；

特別還給出了求勢函數(shù)的方法：相當(dāng)于求某些二元函數(shù)的原函數(shù)的方法，同時為解全微分方程提供了一種有效的方法。矢量分析與場論講義例1驗證矢量場是有勢場，并求其勢函數(shù).解因所以，為有勢場。

以下介紹兩種求勢函數(shù)方法。在積分與路徑無關(guān)條件下，選擇特殊路徑，用線積分求勢函數(shù)法.方法1矢量分析與場論講義例4驗證向量場是有勢場，并求其勢函數(shù).解因所以，為有勢場。

以下介紹兩種求勢函數(shù)方法。在積分與路徑無關(guān)條件下，選擇特殊路徑，用線積分求勢函數(shù)法.方法1矢量分析與場論講義此例選積分路徑由yxo即：是

的一個原函數(shù)(力函數(shù))。矢量分析與場論講義勢函數(shù)一般表達式為：用偏積分求勢函數(shù).要求函數(shù)即亦即先對式，視為定數(shù)，兩邊對積分：方法2矢量分析與場論講義這個積分“常數(shù)”當(dāng)然可能是y的函數(shù)，故記作將(c)式兩端對y求導(dǎo),并與(b)式比較，得：代入(c)

式矢量分析與場論講義Stokes定理Stokes定理實際上將在任一點渦量或旋度定義所反映的與環(huán)量的關(guān)系推廣到任一曲面或閉合回路矢量分析與場論講義方向相反大小相等結(jié)果抵消矢量分析與場論講義4、若在空間某一區(qū)域內(nèi)，矢量場的散度和旋度都給定，則該矢量場確定，最多相差一個常數(shù)（由邊界條件所決定矢量分析與場論講義§0-3矢量場的旋度斯托克斯定理RotationofVectorField,Stoke’sTheorem矢量分析與場論講義1、矢量場的環(huán)流

在數(shù)學(xué)上，將矢量場沿一條有向閉合曲線L（即取定了正線方向的閉合曲線）的線積分稱為沿該曲線L的循環(huán)量或流量。2、旋度

設(shè)想將閉合曲線縮小到其內(nèi)某一點附近，那么矢量分析與場論講義以閉合曲線L為界的面積逐漸縮小，也將逐漸減小，一般說來，這兩者的比值有一極限值，記作即單位面積平均環(huán)流的極限。它與閉合曲線的形狀無關(guān)，但顯然依賴于以閉合曲線為界的面積法線方向，且通常L的正方向與規(guī)定要構(gòu)成右手螺旋法則，為此定義矢量分析與場論講義稱為矢量場的旋度（rot是rotation縮寫）。旋度的重要性在于，可用以表征矢量在某點附近各方向上環(huán)流強弱的程度，如果場中處處rot稱為無旋場。3、斯托克斯定理（Stoke’sTheorem）它能把對任意閉合曲線邊界的線積分轉(zhuǎn)換為該閉合曲線為界的任意曲面的面積分，反之亦然。

矢量分析與場論講義§0-4正交曲線坐標系中運算的表達式ExpressionofOperationonOrthogonalCurvilinearCo-OrdinatesSystem矢量分析與場論講義1、度量系數(shù)設(shè)x,y,z是某點的笛卡兒坐標，x1,x2,x3是這點的正交曲線坐標，長度元的平方表示為其中矢量分析與場論講義稱度量系數(shù)（或拉梅系數(shù)），正交坐標系完全由三個拉梅系數(shù)h1,h2,h3來描述。2、哈密頓算符、梯度、散度、旋度及拉普拉斯算符在正交曲線坐標系下的一般表達式矢量分析與場論講義

矢量分析與場論講義其中為正交曲線坐標系的基矢；是一個標量函數(shù)；是一個矢量函數(shù)，只有在笛卡兒坐標系中，，在其它正交坐標系中矢量分析與場論講義3、不同坐標系中的微分表達式

a)笛卡兒坐標

x1=x，

x2=y，

x3=zh1=1，h2=1，h3=1xyzZ為常數(shù)平面y為常數(shù)平面x為常數(shù)平面(x,y,z)p矢量分析與場論講義

矢量分析與場論講義b)圓柱坐標系坐標變量:x1=r

x2=φ

x3=z與笛卡兒坐標的關(guān)系：

x=rcosφ

y=rsinφz=z拉梅系數(shù):h1=1h2=rh3=1φzxyz為常數(shù)平面r為常數(shù)平面φ為常數(shù)平面r矢量分析與場論講義

矢量分析與場論講義將應(yīng)用于圓柱坐標可得：矢量分析與場論講義c)球坐標系zθrφy(r,θ,φ)xθ為常數(shù)平面r為常數(shù)平面φ為常數(shù)平面矢量分析與場論講義坐標變量：與笛卡兒坐標的關(guān)系：拉梅系數(shù)：矢量分析與場論講義

矢量分析與場論講義其中矢量分析與場論講義

矢量分析與場論講義§0-5二階微分算符格林定理Second-orderDifferentiationOperator,Green’sTheorem矢量分析與場論講義1、一階微分運算

將算符直接作用于標量場和矢量場，即分別得到梯度、散度和旋度，即這些都叫一階微分運算。舉例：

a)設(shè)為源點與場之間的距離，r的方向規(guī)定為源點指向場點，試分別對場點和源點求r的梯度。矢量分析與場論講義

第一步：源點固定，r

是場點的函數(shù)，對場點求梯度用r表示，則有而場點（觀察點）場源點坐標原點o矢量分析與場論講義同理可得：故得到：矢量分析與場論講義第二步：場點固定，r是源點的函數(shù)，對源點求梯度用表示。而同理可得：矢量分析與場論講義所以得到：

b)設(shè)u是空間坐標x,y,z的函數(shù)，證明矢量分析與場論講