2021年全國高考數(shù)學浙江卷-壓軸題

絕密★啟用前

2021年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學試題

(浙江卷)

注意事項：1、答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2、請將答案正確填寫在

答題卡上

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.設集合4={x|x..l},B={x|-l<x<2),則)

A.{x|x>-l}B.{x|x..l}C.{x|-1<x<1}D.{x\\?x<2]

本題考查了集合交集的運算，解題的關鍵是掌握集合交集的定義，考查運算求解能力.

答案：D

解：因為集合4=國工.1},B={x\-l<x<2},

所以40|8={幻1,,》<2}.故選：D.

點評：進行集合運算時，首先看集合能否化簡，能化簡的先化簡，再研究其關系并進行運算.

2.已知aeR,(l+ai)i=3+i(/?為虛數(shù)單位)，貝lja=()

A.-1B.1C.-3D.3

本題考查了復數(shù)相等定義的理解和應用，考查運算求解，邏輯推理能力.

答案：C

解：因為(1+出》=3+，，B|J—a+i=3+i>

由復數(shù)相等的定義可得，-a=3,即。=-3.故選C.

3.已知非零向量b,c,則“々1=九萬"是"1=5”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

本題考查了充分條件與必要條件的判斷，解題的關鍵是掌握平面向量的基本概念和基本運算，考查邏輯推理能力

答案：B

解：當^=0時，ab=b-c=0,但1與5不一定相等，

故&?6=5-1不能推出a=方,

則"小;=51”是"a=6”的不充分條件；

由1=5,可得萬一5=0,

]H!j(a-b)c=0,&?ab-b-c,

所以方=5可以推出1-b=從不,

故uac=bc,＜是aa=b”的必要條件.

綜上所述，uac=b-c,'aa=b"的必要不充分條件.

故選：B.

4.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積（單位：。病）是（）

俯視圖

A.-B.3C.—D.30

22

本題考查由三視圖求面積、體積，關鍵是由三視圖還原原幾何體，考查空間想象能力

答案：A

解：由三視圖還原原幾何體如圖,

且AB=20,CD=^2,州=1,等腰梯形的高為0-立=變，

則該幾何體的體積V」x（0+20）x@xl=』.

222

故選：A.

【易錯防范】由三視圖計算幾何體的表面積與體積時，由于幾何體的還原不準確及幾何體的結構特征認

識不準易導致失誤.

X+1..0

5.若實數(shù)冗，y滿足約束條件,則z=x-'y的最小值是（）

2x+3y-l?0

本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結合思想.

答案：B

解：由約束條件作出可行域如圖,

x+l=0

聯(lián)立，解得

2x+3y-l=0

化目標函數(shù)z=x—gy為y=2x-2z,由圖可知，當直線y=2x-2z過A時，

直線在y軸上的截距最大，z有最小值為-1-Lxl=—3.故選3.

22

6.如圖，己知正方體AB8-A4GR,M,N分別是A。，的中點，貝4()

A.直線4。與直線08垂直，直線MN//平面

B.直線4Q與直線。田平行，直線MN_L平面8。口用

C.直線4)與直線。出相交，直線MV//平面

D.直線4。與直線異面，直線MN_L平面BORM

本題考查了線面平行的判定定理和線面垂直的判定定理與性質，考查了邏輯推理核心素養(yǎng).

答案：A

解：連接A2，如圖:

由正方體可知A。_LAR,A.DYAB,AO_L平面A3R,

.1A0_L"3,由題意知MN為△RAB的中位線，..MNIIAB,

又...43u平面MCD,MN<t平面ABC。，.?.例///平面4??！?.r.A對;

由正方體可知AD、AQ都與平面相交于點。，。8匚平面8。2，D生QB,

直線AD、AQ都與直線08是異面直線，.iB、C錯；

-,-MN//AB,A5不與平面B。力向垂直，.'MV不與平面80。百垂直，錯.故選：A.

7.已知函數(shù)/'(x)=x2+J_,g(x)=sinx,則圖象為如圖的函數(shù)可能是()

4

A.y=/(x)+g(x)-4B.y=/(x)_g(x)_：

44

C.y=/(x)g(x)D.)=等^

f(x)

本題考查了函數(shù)圖象的識別，解題的關鍵是掌握識別圖象的方法：可以從定義域、值域、函數(shù)值的正負、特殊點、特殊

值、函數(shù)的性質等方面進行判斷，考查了直觀想象能力與邏輯推理能力.

答案：D

解：由圖可知，圖象關于原點對稱，則所求函數(shù)為奇函數(shù)，

因為f(x)=f+_L為偶函數(shù)，g(x)=sinx為奇函數(shù)，

4

函數(shù)N=/(x)+g(x)+sinx為非奇非偶函數(shù)，故選項A錯誤；

4

函數(shù)y=/(x)-g(x)-;=f一sinx為非奇非偶函數(shù)，故選項8錯誤；

函數(shù)y=/(x)g(x)=(f+；)sinx,則y,=2xsinx+(x2+；)cosx>0對xc(0,?)恒成立，

則函數(shù)y=/(x)g(x)在(0二)上單調遞增，故選項。錯誤.故選Q.

4

8.已知a,尸,丁是三個銳角，則sinacosA,sin尸cossin/cosa中，大于g的數(shù)至多有()

A.0個B.1個

C.2個D.3個

本題考查了反證法，基本不等式，考查邏輯推理能力.

答案：C

即sinacos/?〉5，sin^cos/>—,sin/cosa>-

則(sincrcos夕)(sin/7cosy).(sin/cos<z)>-

8

而另一方面

(sinacos^)(sin^cos/)(sin/coscr)=(sinacostzXsin/?cos^)(sinycosy)

=—sinla?-sin2/7--sin2/=-sin2a?sin2/?sin2/<-矛盾

故sinacos民sin/ycosy,sinycosa不可能均大于;

_____K7t71._.61r.e

nc、\/61

而取"=—,?=—,/=—wsinacosp=——>—H.sinpcos/=——>—

4364242

大于g的數(shù)至多有2個，選C.

9.已知a,bwR,ab>0,函數(shù)/(x)=+6(xeR),若f(sT),/(s),/(s+f)成等比數(shù)列，則($")平面上的點的軌跡是

()

A.直線和圓B.直線和橢圓

C.直線和雙曲線D.直線和拋物線

本題考查等比數(shù)列，軌跡問題，考查數(shù)學抽象，邏輯推理能力.

答案：C

【解析】??,+。成等比數(shù)列

/./2(5)=f(s+0=>。仃一4+b][q(s+/)2+b]=(a/+b)?

=>a2(s2-t2)2+ab(2s2+2r)+b2=a2s4+2abs-+b2

=>a2(s4-2s2r+t4)+2abs2+2abt2+b2=a2s4+2abs2+b2

a2t4-2a2s2t24-2abr=0=>ar4-2as2t2+2bt2=0=>t2(atz-las'+2^)=0

當，=0時，(s,力的軌跡是直線；當“-2/+2/>=0時，2/-/=女>0,即

a

y-^-=l此時(.甲)的軌跡是雙曲線，綜上：選C.

8.已知數(shù)列滿足4=1,%M=T=(〃WN*).記數(shù)列｛a,,｝的前〃項和為S“，貝4()

1+A

199

3<<44<<a<<5

A.2-B.52-2-50

1(X)0010

本題主要考查數(shù)列的遞推關系式及其應用，數(shù)列求和與放縮的技巧等知識，考查數(shù)學抽象，運算求解能力.

答案：A

解：由題意可得:

4an+x

從而“"屋(〃+1)2'"'川%?-a

1+互\+—"+3"

77+1

6

=x>S?l+-+6(-?-+...)<l+-+-=3.

l1o0n024522

an〃+3(〃+1)(〃+2)

故選：A.

填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應位置.

11.我國古代數(shù)學家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明.弦圖是由四個全等的直角三角形和中間的一個小正方形拼成

的一個大正方形（如圖所示）.若直角三角形直角邊的長分別為3,4,記大正方形的面積為5「小正方形的面積為邑,

本題考查了三角形中的幾何計算和勾股定理，考查運算能力.

答案：25

解：?.?直角三角形直角邊的長分別為3,4,

.?.直角三角形斜邊的長為V32+42=5,

即大正方形的邊長為5,.?.￡=52=25,

則小正方形的面積S2=’—際膨=25-4x；x3x4=1,

1=25.

邑

12.已知aeR,函數(shù)/。）=卜-4，"2,若于（代扁=3,則。=2.

本題考查了函數(shù)的求值問題，主要考查的是分段函數(shù)求值，考查數(shù)學運算能力.

答案：2

解：因為函數(shù)/(x)=卜一4/>2,

所以，(6)=("尸一4=2,

則/(/(遙))=/(2)=|2-3|+a=3,解得a=2.

4

13.已知多項式(x-1)，+(x+1)=/+4》3+4必+/x+a4，則q=5；a2+a3+a4=.

本題考查了二項展開式的通項公式的運用以及賦值法求解系數(shù)問題，考查數(shù)據(jù)分析運算求解能力.

答案：5；10

解：勾即為展開式中V的系數(shù)，

所以q=1(-l)°+C：=5；

令x=l,則有1+q+%+%+4=(1-1)3+(1+1)4=16,

所以6+6+%=16-5-1=10.

【方法歸納】1.“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如(取+/"，(af+bx+c)"”。，

ACR)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法.

2.若.*%)=〃0+。1%+運~+…+aW,則./U)展開式中各項系數(shù)之和為/U),奇數(shù)項系數(shù)之和為“0+02+44

+…J⑴丫',偶數(shù)項系數(shù)之和為0+03+05+…@-14.在AM8c中，ZB=60*,

AS=2,例是BC的中點，AM=2y/3,則AC=_2屈_；cosNM4C=.

本題考查余弦定理應用，考查邏輯推理，數(shù)學運算能力.

答案：2萬；名畫.

13

解：在A4W中：AM2=BA2+BM2-2BA-BMcos60°,(2>73)2=22+BM2-2x2-BM--,BM2-2BM-8=0,

2

解得：8W=4或-2(舍去).

?.?點M是BC中點，:.MC=4,BC=S,在A/WC中：AC2=22+82-2x2x8cos60°=52,，4C=2萬；

在回空中：C°SNMAC=(2-+(2產-、返.

2X2A/3VX2>/1313

15.袋中有4個紅球，加個黃球，〃個綠球.現(xiàn)從中任取兩個球，記取出的紅球數(shù)為若取出的兩個球都是紅球的概

率為,，一紅一黃的概率為！，則"?-〃=1,E(J)=.

63---------

本題考查了古典概型的概率，組合數(shù)公式的應用，離散型隨機變量及其分布列和離散型隨機變量期望，考查了數(shù)學抽

象及運算求解能力.

答案：1;-

9

解：由題意，p?=2)=—，一=』=9，

Q,…636

又一紅一黃的概率為華，

C，4336

所以C，4=36,4=3，

解得〃z=3,n=2,故桃―〃=1；

由題意，J的可能取值為0,1,2,

所以「4=0)=與=竺=』，

C：3618

2010

P(J=I)=S^H

C；3618

13

尸C=2)=_=一,

618

所以E(J)=0x—+lx--i-2x—=—.

1818189

16.已知橢圓捺+￡=1(。>。>0),焦點耳(—c,0),F2(C,0)(C>0).若過大的直線和圓(x—gc)2+V=c2相切，與橢

圓的第一象限交于點尸，且。鳥，x軸，則該直線的斜率是—，橢圓的離心率是.

本題考查了橢圓、圓的簡單幾何性質，以及點到直線的距離公式，考查分類討論，邏輯推理，數(shù)學運算能力

答案:巫但

55

解：直線斜率不存在時，直線與圓不相切，不符合題意；

由直線過的，設直線的方程為y=k(x+c),

?.?直線和圓(x—L)2+y2=c2相切，

圓心(；c,0)到直線的距離與半徑相等,

\k'--0+kc\c,解得后=述

J—+15

22

將X=C代入^-+-^-=1,可得產點坐標為尸(c,Z),

a~b~a

￡

=也=旦=k=巫,

6月2c5

.a2-^2A/5.\-e2_2>/56

e=——

一Zac一行'2e~~T5

點評：求橢圓離心率的方法

(1)直接求出a,c的值，利用離心率公式直接求解.

(2)列出含有a,b,c的齊次方程(或不等式)，借助于〃=/一^消去兒轉化為含有e的方程(或不等式)

求解.

17.已知平面向量￡,員工("工6滿足|4=1m=2,￡石=0,(￡-分"=0記平面向量2在￡出方向上的投影分別為“”￡

在"方向上的投影為Z，則?+/+z2的最小值是

考查向量的投影，向量的數(shù)量積運算，均值不等式，考查分析問題，數(shù)學運算的能力

答案：-

5

【解析】設￡=(1,0),1=(0⑵,則U=(l,-2),由(H)?Z=0,可設

c=(2m,m)

而Z=(x,y),.?.Z-a=(x-l,y),丁Z-〃在〈上的投影為z

(d-a)-c_2m(x-\)^my_(2x^y-2)m

|c|\[5\m\后同

3+8”色守小小3

42、2

——x+—>—

335

2|2

當X=《,‘=彳時取故應填：-

注釋:中間有一步使用了權方和不等式，即a,"c,d>0,則生+土2,

aca+c

當且僅當2="時取.

ac

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考

生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

18.設函數(shù)/(x)=sinx+cosx(xGR).

(I)求函數(shù)y="(x+夕『的最小正周期；

(II)求函數(shù)y=f(x)/(x—；)在［0，上的最大值.

本題考查了三角函數(shù)的圖像性質，涉及求解函數(shù)的周期以及最值問題，考查了運算能力，邏輯推理能力.

解：函數(shù)f(x)=sinx+cosx=J5sin(x+C),

4

(I)函數(shù)y=[/(x+§]24血皿》+>卦=2COS2(X+?)

717V

-1+cos[2(x+—)]=1+cos(2x4■一)=1-sin2x,

42

則最小正周期為7=生="；

2

(II)函數(shù)y=/(x)/(%_￥)=&sin(x+2>0sin(x_代+馬

4444

=(V2(sinx+cosx)sinx=\/2(sin2x+sinxcosx)

rrj-COS2x1.c\./c)、&

—，2(--------1—sin2x)=sin(2x---)H-------,

2242

因為X€［0，］,所以2x-乙4一生,包］,

2444

所以當2工一巳=工，即》=至時，f(x)3=l+變.

4282

【19】體題滿分15分)如圖，在四棱錐PTBCO中，底面X8C0是平行四邊

形，48c=120,.45=1,BC=4,Rl=而，M,N分別為BC,PC的中點，

PDA.DC,PM1MD.

(I)證明：ABLPM；

(II)求直線AN與平面PDM所成角的正弦值.

P

本題考查線面垂直的位置關系，線面角，考查邏輯推理能力，空間想象能力

(I)證明：???“為8c的中點，BC=4,：.CM=2

在△COM中，Z.MCD=60°,CD=1,DM=V1+4-2-2-1-cos60°=G

：.CD2+DM2=4=CM2,AZCDAf=90°,CD!DM

又,；PD工DC,DMC\PD=D,;.CDL平面PDM,；.CDLPM

?：AB//CD,：.AB1PM

x

(H)

?:PM工MD,PM±CD,MDC\CD=D,A/O,CDu平面Z68

??.PM±平面ABCD,又CD±DM

過M作ME"CD交AD于點E.則例EJ_A/￡)

如圖分別以MD、ME,MP所在的直線為x,v,z軸建立空間直角坐標系

在中，AM=J1+4-2?I-2(-g)=",J.PM=V15-7=272

P(0,0.2V2),C(V3,-1,O),/(-X/5,2,0)

;N為FC的中點，「.N[卓T友),.?.而=(挈,-1?，句

而平面ADV/的一個法向量〃=(0,1,0)

設4V與平面PDW所成角為9,前與[所成角為。

[20](本題滿分15分)已知數(shù)列阮｝的前〃項和為S”，4=-?，且

4

4sM=3S,-9(〃wAr)

(I)求數(shù)列｛a」的通項公式；

(口)設數(shù)列也;滿足她+(〃-4)4=0(”“，記'｝的前〃項和為7；.若

7；4也對任意〃eM恒成立，求實數(shù)力的取值范圍.

本題等比數(shù)列的通項公式，數(shù)列錯位相減法求和，考查邏輯推理能力，運算求解能力

(I)4s..1=3S“-9①當〃N2時，4sL3SE-9②

①一②=>4勺.1=3a“(〃N2),在①式中令〃=1=4［一(+%)=一/一9

滿足&=3,.?.也=』對一切〃wN*恒成立

16a}4an4

a?

為等比數(shù)列，且首項為公比為j?5

(II)由3"=0=>"=(〃-4)?

.??。=(一3)，；+(-2),(5)

+(T)0+…+(〃-5)圖+(“-4)(?

①

%=(-3).圖+(-2).圖+...+(〃一6)圖+(〃-5)圖+(〃一4舊

<3?+，(3丫，

由1W獨1n—4〃,—<A-(n-4)-l—I=>(”-4)丸之一3〃

當IW〃<4時，(二也］=1;當〃=4時，不等式顯然成立;

當〃>4時，A>—

n-4

-3^=-3(?-4)-12=_3_12<_3<-3一口關于〃單調遞增

〃一4〃一4〃一4〃一4

12

n―>4-00時，-3------->—3tA—3綜上：-3W丸V1

〃一4

【21】如圖，已知/.是拋物線尸=2內(2>0)的焦點，例是拋物線的準線與x

軸的交點，且|MF|=2.

(I)求拋物線方程.

(U)設過點尸的直線交拋物線于48兩點，若斜率為2的直線/與直線

軸依次交于點,且滿足|RN「=|PN"0N|,求直線/

在K軸上截距的取值范圍.

本題拋物線的標準方程，直線與拋物線的位置關系，求范圍問題，考查邏輯推理能力，數(shù)學運算能力。

(I)由題意知p=2,拋物線方程為V2=4x

(H)設直線/I8的方程為x=(y+l

[x=ty+].

{2=>y-4ty-4=0,A(x^y^B(x2,y2),M(-\^)

y=4工

設直線/的方木黝：y=2x+m

尸+噢=口?"o]

[x=a+l1-2八2)11-2/1-2/J\2)

...NR2=仁+0+(目J0=二竺空

U-2/2)U-2/J|_2(l-2r)J11-244(1-2，)？

直線的方程為：y==J(x+l)

X)+1

y=-^-(x+i)

(2-⑼凹二(2一m)必

聯(lián)立'演+1=>y=

P2x,+2-y,2伏+4-乂

y=2x+m

(2-，")4

同理=

2ty2+4-y2

5______(2-/?)2yM

4[(2-1)必+4][(2-1)必+4]

5_________4(2-ml__________

I.(2,-1)2乂為+(&-4)(必+%)+16

_______5(2_m)2_________5(2-m)2

(2r-l)2(-4)+(8/-4)-4/+16-16/2+12

上厘=空工=如雪=支①，令一』

4(l-2z)216r+12(m-2)24t2+3

，0<(l-20;=r1a

4r+3S2-2S+4423

—y+1

SS

..J"i+2]4]4+g百或“414-8\/3且，“工-2

\m-2)3

故直線/在X軸上截距-y的取值范