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第3課時(shí)空間中直線、平面的垂直學(xué)習(xí)任務(wù)1.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系.(數(shù)學(xué)抽象)2.熟練掌握用方向向量、法向量證明線線、線面、面面間的垂直關(guān)系.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)由直線上一點(diǎn)及直線的方向向量可以刻畫直線的位置,由平面內(nèi)一點(diǎn)及平面的法向量可以刻畫平面的位置,那么就可以利用向量運(yùn)算來判定直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系.下面我們就利用向量來研究垂直問題.知識(shí)點(diǎn)空間中直線、平面垂直的向量表達(dá)式位置關(guān)系向量表達(dá)式線線垂直設(shè)直線l1,l2的方向向量分別為μ1,μ2,則l1⊥l2?μ1⊥μ2?μ1·μ2=0線面垂直設(shè)直線l的方向向量為μ,平面α的法向量為n,則l⊥α?μ∥n??λ∈R,使得μ=λn面面垂直設(shè)平面α,β的法向量分別為n1,n2,則α⊥β?n1⊥n2?n1·n2=0思考辨析(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)若兩條直線的方向向量的數(shù)量積為0,則這兩條直線一定垂直相交. ()(2)若一直線與平面垂直,則該直線的方向向量與平面內(nèi)的所有直線的方向向量的數(shù)量積為0. ()(3)兩個(gè)平面垂直,則其中一平面內(nèi)的直線的方向向量與另一平面內(nèi)的直線的方向向量垂直. ()(4)若兩平面α,β的法向量分別為μ1=(1,0,1),μ2=(0,2,0),則平面α,β互相垂直. ()類型1直線和直線垂直【例1】如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD是矩形,PA=AB=1,F(xiàn)是PB的中點(diǎn),點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng).求證:無論點(diǎn)E在邊BC上的何處,都有PE⊥AF.[嘗試解答]用向量法證明直線與直線垂直的方法和步驟(1)基底法:①選取三個(gè)不共面的已知向量(通常是它們的模及其兩兩夾角為已知)為空間的一個(gè)基底;②把兩直線的方向向量用基底表示;③利用向量的數(shù)量積運(yùn)算,計(jì)算出兩直線的方向向量的數(shù)量積為0;④由方向向量垂直得到兩直線垂直.(2)坐標(biāo)法:①根據(jù)已知條件和圖形特征,建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,正確地寫出各點(diǎn)的坐標(biāo);②根據(jù)所求出點(diǎn)的坐標(biāo)求出兩直線方向向量的坐標(biāo);③計(jì)算兩直線方向向量的數(shù)量積為0;④由方向向量垂直得到兩直線垂直.[跟進(jìn)訓(xùn)練]1.如圖,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F(xiàn)分別為AC,DC的中點(diǎn).求證:EF⊥BC.類型2直線和平面垂直【例2】如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=CC1=1,E是CD的中點(diǎn).求證:B1E⊥平面AED1.[思路導(dǎo)引]建立空間直角坐標(biāo)系要證B1E⊥平面AED1寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)→求平面AED1的一個(gè)法向量→證明B1E與平面AED1[嘗試解答]證明直線與平面垂直的方法(1)選基底,將相關(guān)向量用基底表示出來,然后利用向量的計(jì)算來證明.(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)將向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)(坐標(biāo))的運(yùn)算,以達(dá)到證明的目的.[跟進(jìn)訓(xùn)練]2.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別是BB1,D1B1的中點(diǎn).求證:EF⊥平面B1AC.類型3平面與平面垂直【例3】(源自湘教版教材)在四面體ABCD中,AB⊥平面BCD,BC=CD,∠BCD=90°,∠ADB=30°,E,F(xiàn)分別是AC,AD的中點(diǎn).求證:平面BEF⊥平面ABC.[嘗試解答]證明面面垂直的兩種方法(1)常規(guī)法:利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直去證明.(2)法向量法:證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直.[跟進(jìn)訓(xùn)練]3.如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,E為BB1的中點(diǎn),證明:平面AEC1⊥平面AA1C1C.1.已知直線l1的方向向量a=(1,2,-2),直線l2的方向向量b=(-2,3,m).若l1⊥l2,則m=()A.1B.2C.12D.2.若直線l的一個(gè)方向向量為a=(1,0,2),平面α的一個(gè)法向量為n=(-2,0,-4),則()A.l∥α B.l⊥αC.l?α D.l與α斜交3.如圖,在空間直角坐標(biāo)系中,正方體的棱長為2,點(diǎn)E是棱AB的中點(diǎn),點(diǎn)F(0,y,z)是正方
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