新教材2023年秋高中數(shù)學(xué)第1章空間向量與立體幾何1.4空間向量的應(yīng)用1.4.2用空間向量研究距離夾角問題第1課時用空間向量研究距離問題學(xué)生用書無答案新人教A版選擇性必修第一冊

1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題第1課時用空間向量研究距離問題學(xué)習(xí)任務(wù)能用向量方法解決點到直線、點到平面、互相平行的直線、互相平行的平面的距離問題．(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)空間中的距離問題包括兩點間的距離、點到直線的距離、平行線之間的距離、點到平面的距離、與平面平行的直線到平面的距離、平行平面之間的距離、異面直線的距離等．空間兩點間的距離即為以這兩點為起點和終點的向量的模長．本節(jié)主要研究點到直線、點到平面、平行線之間、平行平面之間的距離，這些距離都可以通過求向量的投影長得到．知識點1點P到直線l的距離如圖，直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點，P是直線l外一點．設(shè)AP＝a，則向量AP在直線l上的投影向量AQ＝(a·u)u．在Rt△APQ中，由勾股定理，得點P到直線l的距離為PQ＝________________．點到直線的距離與兩條平行直線之間的距離有什么關(guān)系？知識點2點P到平面α的距離如圖，已知平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)的定點，P是平面α外一點．過點P作平面α的垂線l，交平面α于點Q，則n是直線l的方向向量，且點P到平面α的距離就是AP在直線l上的投影向量QP的長度．因此PQ＝AP·nn＝AP1．已知直線l過定點A(2，3，1)，且方向向量為s＝(0，1，1)，則點P(4，3，2)到l的距離d為()A．322B．22C．1022．已知平面α的一個法向量為n＝(－2，－2，1)，點A(－1，3，0)在平面α內(nèi)，則點P(－2，1，4)到平面α的距離為________．類型1點到直線的距離【例1】如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為平面A1ABB1的中心，E為BC的中點，求點O到直線A1E的距離．[嘗試解答]用向量法求點到直線的距離的一般步驟(1)求直線的方向向量．(2)計算所求點與直線上某一點所構(gòu)成的向量在直線的方向向量上的投影向量的長度．(3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直線間的距離與點到直線的距離之間的轉(zhuǎn)化．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(源自湘教版教材)已知棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱B1C1和C1D1的中點，求點E到直線AF的距離．類型2點、直線、平面到平面的距離【例2】如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點．(1)求點D到平面PEF的距離；(2)求直線AC到平面PEF的距離．[思路導(dǎo)引](1)建系寫出求出相關(guān)點的坐標(biāo)P，A，C，E，F(xiàn)求出相關(guān)向量的坐標(biāo)EF，PE，DE→設(shè)平面PEF的法向量為n→求(2)易知AC∥EF轉(zhuǎn)化點A到平面PEF的距離即為AC到平面PEF的距離→求AE→利用AE·nn求A到平面[嘗試解答]1．用向量法求點面距離的步驟(1)建系：建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系．(2)求點坐標(biāo)：寫出(求出)相關(guān)點的坐標(biāo)．(3)求向量：求出相關(guān)向量的坐標(biāo)(AP，α內(nèi)兩不共線向量，平面α的法向量n)．(4)求距離d＝AP·2．線面距、面面距實質(zhì)上都是點面距，求直線到平面、平面到平面的距離的前提是線面、面面平行．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，點O為A1B的中點，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AA1＝23．(1)證明：BC∥平面AOC1；(2)求點B到平面AOC1的距離．1．已知直線l上一點A(2，3，1)，直線l與平面α平行，平面α上有一點P(4，3，2)且平面α的法向量為s＝(0，1，1)，則直線l到平面α的距離為()A．322B．22C．1022．若三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且滿足PA＝PB＝PC＝1，則點P到平面ABC的距離是()A．66B．63C．363．兩平行平面α，β分別經(jīng)過坐標(biāo)原點O和點A(2，1，1)，且兩平面的一個法向量n＝(－1，0，1)，則兩平面間的距離是()A．32B．22C．3D．4．如圖所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱AA1＝3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，則點B1到平面A1BC的距離為________．回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：1．用空間向量求點到直線的距離的方法是什么？2．用空間向量求點到平面的距離的方法是什么？3．如何用空間向量求直線和平面、平面和平面的距離？異面直線間的距離設(shè)直線a，b異面，向量a，b分別為它們的一個方向向量，如何求出這兩條異面直線間的距離呢？如圖1所示，過直線a上任意一點A作b′∥b，過直線b上任意一點B作a′∥a，則a∩b′＝A，a′∩b＝B，于是a與b′，a′與b均可確定一個平面，依次記作α，β．由立體幾何的知識可以證明：平面α，β均由直線a，b唯一確定，與點A，B的位置無關(guān)，且α∥β．于是，異面直線a，b的距離就轉(zhuǎn)化為平行平面α，β的距離，故只需先求出這兩個平行平面的法向量，