2022年高考數(shù)學(xué)考前基礎(chǔ)必備知識

專題一集合與常用邏輯用語

知識必備

一、集合

1.集合的相關(guān)概念

(1)集合元素的三個特性：確定性、互異性、無序性.

(2)元素與集合的關(guān)系：若。屬于集合4記作“W4若6不屬于集合N,記作照4

(3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法.

(4)五個特定的集合:

集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集

符號NN*或N+ZQR

2.集合間的基本關(guān)系

表示

文字語言記法

關(guān)

集合A中任意一個元素都是集合B

子集4U5或534

中的元素

集合

集合N是集合5的子集，并且8中4糙8或

間的真子集

至少有一個元素不屬于AB^A

基本

集合N中的每一個元素都是集合8

關(guān)系力QB且6c力

相等中的元素，集合8中的每一個元素

0A=B

也都是集合力中的元素

空集是任何集合的子集0QA

空集

空集是任何非空集合的真子集015且8W0

3.集合的三種基本運算

文字語言圖形表示符號語言

集合的所有屬于集合N或者屬于

1A\JB={x\x^A,或xG

并集集合5的元素構(gòu)成的集合3EB}

集合的所有屬于集合N且屬于集ACiB=\x\x^A,且xd

交集合B的元素構(gòu)成的集合€03B}

集合的全集u中不屬于集合Z的

C〃={x|xGU,且由}

補集所有元素構(gòu)成的集合1?

4.集合基本運算的常見性質(zhì)

(1)并集的性質(zhì)：AU0=A；A(JA=AiADB=BUAiAL)B=A^BQA.

(2)交集的性質(zhì)：4n0=0；AnA=A；ADB=BnA；ACiB=A^A^B.

(3)補集的性質(zhì)：4U“)=。：ZC5)=0；

C"[源)=4葭。n5)=([〃)u(Cu5)；C“NU8)=(C〃)n(CM).

二、充分條件與必要條件

1.命題的概念

用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題.其中判斷為真的語句叫做真命題，判

斷為假的語句叫做假命題.

2.四種命題及其關(guān)系

四種命題間的相互關(guān)系四種命題的真假關(guān)系

(1)兩個命題互為逆否命題，它們具有相同的

真假性；

＜否命題左—辿否命題、(2)兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的

起色夕，互逆.史*;

真假性沒有關(guān)系

3.充分條件與必要條件的相關(guān)概念

記P，夕對應(yīng)的集合分別為N,B,則

p是q的充分條件p0qA^B

P是夕的必要條件q0P

P是夕的充要條件p0q且q0PA=JB

今夕且夕

p是4的充分不必要條件pAp*

P是夕的必要不充分條件pAq且q=pAnB

p是4的既不充分條件也不

p#q且聲p且”如

必要條件

4.熟記常用結(jié)論

①.充分條件與必要條件的兩個特征

(1)對稱性：若p是夕的充分條件，則夕是p的必要條件，即“p=q”="gp”.

(2)傳遞性：若p是q的充分(必要)條件，夕是r的充分(必要)條件，則p是r的充分(必要)條件，即“p

nq且qnr”="p=r"("ptq且療r”="*r”).

0.利用互為逆否命題“同真、同假”的特點，可得:

(Dp=q等價于「夕=」p；

3q#p等價于㈱P#—1q.

三、全稱量詞與存在量詞

1.命題pAg,pVq,㈱p的真假判斷

Pqp/\aKVA

真真真真假

真假假真假

假真假真真

假假假假真

2.全稱量詞與存在量詞

量詞名稱常見量詞表示符號

全稱量詞所有、一切、任意、全部、每一個等V

存在量詞存在一個、至少有一個、有一個、某個、有些、某些等3

3.全稱命題與特稱命題

命題名稱命題結(jié)構(gòu)命題簡記

全稱命題對M中任意一個X,有p(x)成立Xfx^Mfp(x)

特稱命題存在M中的一個xo,使〃xo)成立IroWM,p(xo)

4.全稱命題'特稱命題及含一個量詞的命題的否定

命題

語言表示符號表示命題的否定

名稱

全稱對M中任意一個x,有p(x)WxGM,

M,—>p(xo)

命題成立P(x)

特稱存在中的一個使

Mxo,M9

—>p(x)

命題p(xo)成立P(xo)

專題二函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)

知識必備

一、函數(shù)的概念及其表示

1.函數(shù)

設(shè)45是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系力使對于集合N中的任意一個數(shù)x,在集合8

中都有唯一確定的數(shù)/(x)和它對應(yīng)，稱/：為從集合4到集合3的一個函數(shù)y=/(x),xeA

2.函數(shù)的有關(guān)概念

(1)函數(shù)的定義域、值域：在函數(shù)j，=/(x),x^A中，x叫做自變量，x的取值范圍N叫做函數(shù)的定義域;

與x的值相對應(yīng)的J值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合｛/(x)aez｝叫做函數(shù)的值域.顯然，值域是集合8的

子集.

(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系.

(3)相等函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等

的依據(jù).

(4)函數(shù)的表示法：解析法、圖象法、列表法.

3.分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)通常叫做分

段函數(shù).

(1)確定函數(shù)的定義域常從解析式本身有意義，或從實際出發(fā).

(2)如果函數(shù)j，=/(x)用表格給出，則表格中x的集合即為定義域.

(3)如果函數(shù)j，=/(x)用圖象給出，則圖象在X軸上的投影所覆蓋的x的集合即為定義域.。

值域是一個數(shù)集，由函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系共同確定.

(1)分段函數(shù)雖由幾個部分構(gòu)成，但它表示同一個函數(shù).

(2)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集.

(3)各段函數(shù)的定義域不可以相交.?

4.常用結(jié)論

⑴若/(x)為整式，則函數(shù)的定義域為R；

(2)若大幻為分式，則要求分母不為0；

(3)若/)為對數(shù)式，則要求真數(shù)大于0；

(4)若/(x)為根指數(shù)是偶數(shù)的根式，則要求被開方式非負；

(5)若/(x)描述實際問題，則要求使實際問題有意義.

如果瓜)是由幾個部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，求定義域常常等價于解不等式(組).

二、函數(shù)的單調(diào)性與最值

1.函數(shù)的單調(diào)性

（1）單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)外）的定義域為/,如果對于定義域/內(nèi)某個區(qū)間。上的任意兩

個自變量的值X”X2

當為今2時，都有

定義

當X1<X2時，都有/（XI）勺8）,那么就說函數(shù)/（X）在區(qū)間O火勺）的2）,那么就

上是增函數(shù)說函數(shù)."）在區(qū)間

D上是減函數(shù)

嚴）E（盟

。上看二

圖象描述

-ofe*2*

自左向右看圖象

自左向右看圖象是上升的

是下降的

（2）單調(diào)區(qū)間的定義

如果函數(shù)y=/（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=/（x）在這一區(qū)間上具有（嚴格的）單調(diào)

性，區(qū)間。叫做y=/（x）的單調(diào)區(qū)間.

2.函數(shù)的最值

前

設(shè)函數(shù)."）的定義域為/，如果存在實數(shù)M滿足

提

條對于任意XC/,都有/（x）WM；對于任意XG/,都有/

件存在XoW/,使得/0）=用存在XoG/,使得加；o）="

結(jié)

"為最大值M為最小值

論

三、函數(shù)的奇偶性、周期性與對稱性

1.函數(shù)的奇偶性

奇偶性定義圖象特點

如果對于函數(shù)外）的定義域內(nèi)任意一個X,都有H-x）=/（x）,

偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱

那么函數(shù)/（X）是偶函數(shù)

如果對于函數(shù)Hx）的定義域內(nèi)任意一個X,都有八-x）=—/（X），

奇函數(shù)關(guān)于原點對稱

那么函數(shù)/（X）是奇函數(shù)

2.函數(shù)的周期性

(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)［=/)，如果存在一個非零常數(shù)7,使得當x取定義域內(nèi)的任何值時，都有加

+7)=於)，那么就稱函數(shù)y=/(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)及)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做府)

的最小正周期.

3.函數(shù)的周期性

(1)如果一個奇函數(shù)八門在原點處有定義，即/(0)有意義，那么一定有/(0)=0.

(2)如果函數(shù)外)是偶函數(shù)，那么/(x)=A|x|).

(3)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.

(4)函數(shù)周期性常用結(jié)論

對./)定義域內(nèi)任一自變量的值X：

①若/(x+a)=-7(x),則r=2?(a>0).

②若於+a)=T^,則7=2a(a>0).

f(X)

③若/(x+a)=一—乂，則T=2a5>0).

/(X)

(5)對稱性的三個常用結(jié)論

①若函數(shù)j=/(x+a)是偶函數(shù)，則函數(shù)j，=H幻的圖象關(guān)于直線x=a對稱.

②若對于R上的任意x都有/(2“-x)=/(x)或八一無)=/(2a+x),則j，=/(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.

③若函數(shù)j=/(x+b)是奇函數(shù)，則函數(shù)j，=A2的圖象關(guān)于點("0)中心對稱.

四、二次函數(shù)與幕函數(shù)

1.幕函數(shù)

⑴幕函數(shù)的定義

一般地，形如y=x?(aGR)的函數(shù)稱為幕函數(shù)，其中x是自變量，a為常數(shù).

(2)5個常見幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1

函數(shù)尸Xy=x2y=xiy=x^y=x-i

定義域RRR{x|x>0}{x|x^0}

值域RWWe。}R（y—2s0}WLP#O}

非奇非偶

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)

函數(shù)

單調(diào)性在R上單調(diào)遞在（一8,0）±在R上單調(diào)遞在（0,+°°）±在（一8,0）

增單調(diào)遞減，在增單調(diào)遞增和(0,+°°)

(0,+8)上單上單調(diào)遞減

調(diào)遞增

圖象.A：一

\O\234x

3r

過定點(0,0),(1,1)(1,1)

2.二次函數(shù)

(1)二次函數(shù)解析式的三種形式

於)=ax2+bx+c(a#0),圖象的對稱軸是x=-2,頂點坐標是

2a

一般式

h4ac-b2

(一2?！?")

2

頂點式f(x)=a(x—m)+n(a^^9圖象的對稱軸是*=陽，頂點坐標是(〃】，〃)

./(x)=a(x—xi)(x—X2)(oW0),其中xi,也是方程〃x2+Ax+c=0的兩根，圖象的對

零點式

稱軸是x=紅也

2

(2)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

函數(shù)y=ax1+bx+c(a>0)y=ax2+Ax+c(a〈O)

圖象

/

(拋物線)二

定義域R

Aac-b2、4ac-b2

值域(—00

[44'向?.J

4a

b

對稱軸X=———

2a

h4ac-b2

頂點坐標(C，A)

2a4a

奇偶性當力=0時是偶函數(shù)，當〃wo時是非奇非偶函數(shù)

.b,日行-a"

在(r°,------］上是減函數(shù)；在(7孫----］1上是增函數(shù)；

2a2a

單調(diào)性

在［-g,+0。)上是增函數(shù)在］2,+oo)上是減函數(shù)

2a

3.常用結(jié)論

①.二次函數(shù)的單調(diào)性、最值與拋物線的開口方向和對稱軸及給定區(qū)間的范圍有關(guān).

<7>0,,a<0,—

②.若A6uaW+bx+cSWO）,則當時t恒有質(zhì)）>0,當《△<。時'恒有/）《.

A<0

五、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

1.根式

(1)概念：式子后叫做根式，其中〃叫做根指數(shù)，。叫做被開方數(shù).

(2)性質(zhì)：(折)"="("使心有意義)：當〃為奇數(shù)時，g=a,當〃為偶數(shù)時，V7=|?|

_a,a>0,

--V

-a,a<0

2.分數(shù)指數(shù)幕

(1)規(guī)定：正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)第的意義是』=行(?>0,m,〃￡N*,且〃>1)；正數(shù)的負

n1

分數(shù)指數(shù)塞的意義是jw(a>0,m,〃￡N*,且〃>1)；0的正分數(shù)指數(shù)寨等于0；0

行

的負分數(shù)指數(shù)用沒有意義.

(2)有理指數(shù)塞的運算性質(zhì)：W)s=空；(ahY=arhr,其中a>0,Z?0,r,s《Q.

3.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(1)概念：函數(shù)7=不(心0且”#1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，函數(shù)的定義域是

R,4是底數(shù).

(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>\0<?<1

圖象2上

定義域R

值域(0,+8)

過定點(0,1),即*=0時，y=\

當x>0時,y>l；當x<0時，y>l；

性質(zhì)

當x<0時，當x>0時，0*1

在(一8,+8)上是增函數(shù)在(-8,+8)上是減函數(shù)

4.常用結(jié)論

(1)畫指數(shù)函數(shù)y=a，(a>0,且aWl)的圖象，應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點：(1,a),(0,1),

(2)在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)產(chǎn)=0'(QO且"71)的圖象越高，底數(shù)越大.

六、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

1.對數(shù)的概念

如果廠=N(a>。，且〃#1)，那么*叫做以a為底N的對數(shù)，記作x=log〃N,其中“叫做對數(shù)的底數(shù),

N叫做真數(shù).

2.對數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運算性質(zhì)

⑴對數(shù)的性質(zhì)：①aSg，=N；②log/f(a>0,且aWl).

(2)對數(shù)的運算法則

如果。>0且aWLM>0,N>0,那么

①10ga(MN)=log涼W+logJV；

-M

②log。——=log〃M—k)g“N；

N

③log3/"=n\ogaM(neR)；

Yl

④log/哂/〃=—￡R,且，〃W0).

m

(3)換底公式：logN=log4LN(m力均大于零且不等于1).

log“b

3.對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(1)概念：函數(shù)y=l。8ax(。>0,且a#l)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0,+~).

(2)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>\0<a<l

y

1尸）=lo&A尸

圖象41。)

oM（i,o）o

1

產(chǎn)10gtA

定義域：(0,+8)

值域：R

當x=l時，y=0,即過定點(1,0)

性質(zhì)

當x>\時，j>0；當x>l時，y<0；

當0<￥<1時，尸0當0<x<l時,戶0

在(0,+8)上是增函數(shù)在(0,+8)上是減函數(shù)

4.反函數(shù)

指數(shù)函數(shù)y=“'(a>0,且“W1)與對數(shù)函數(shù)y=logd(a>0,且arl)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線j，

—~x對稱.

5.常用結(jié)論

①.換底公式的兩個重要結(jié)論

1n

(l)log<,Z>=--------；(2)log“"6"=—log/,

log/,am

其中。>0,且“Wl,Z?0,且bWl,tn,"GR.

②.在第一象限內(nèi)，不同底的對數(shù)函數(shù)的圖象從左到右底數(shù)逐漸增大.

③.對數(shù)函數(shù)y=logMa>0,且。W1)的圖象過定點(1,0),且過點(a,1),函數(shù)圖象只在第

一、四象限.

七、函數(shù)的圖象

1.利用描點法作函數(shù)圖象

其基本步驟是列表、描點、連線.

首先：(1)確定函數(shù)的定義域；

(2)化簡函數(shù)解析式；

(3)討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性等)；其次，列表，描點，連線.

2.函數(shù)圖象的變換

(1)平移變換

①尸府)的圖象-篙莪昔瑟一尸危一，)的圖象；

②jfx)的圖象一篙輕送”=/㈤+6的圖象.

“左加右減，上加下減”，左加右減只針對X本身，與X的系數(shù)，無關(guān)，上加下減指的是在火刈整

體上加減.

(2)對稱變換

①y=/(x)的圖象關(guān)于一聞1對稱>尸一作)的圖象;

②y=/(x)的圖象關(guān)于削對稱>j=A—x)的圖象;

③y=/(x)的圖象女工觸迪>j=~/(-x)的圖象;

關(guān)于直線片》對稱>

④y=*a>0且”#1)的圖象y=l0gMx(a>0且”W1)的圖象.

(3)伸縮變換

心1,橫坐標縮短為原來的,蟻坐標不變c、川國1缶

①y=/(x)的圖象套熱熱訴聰7家正就=八依)的圖象.

a

②的圖象，上處料也出處些一尸如)的圖象

y=/(x)0<?<1,縱坐標縮短為原來的“倍，橫坐標不變y4V⑺口」0豕?

(4)翻折變換

①尸/W的圖象2塞鬻其=m)|的圖象；

②尸危)的圖象黑罌fM不變尸心I)的圖象?

3.常用結(jié)論

(1).函數(shù)圖象自身的軸對稱

①A—x)=小)0函數(shù)了=.於)的圖象關(guān)于>軸對稱；

②函數(shù)y=/3的圖象關(guān)于x=a對稱3/(a+x)=/(〃-x)e/a)=/(2〃一x)氣外一幻=/(2〃+刈；

③若函數(shù)j，=/(x)的定義域為R,且有/(a+x)=/S—x),則函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線對稱.

(2)函數(shù)圖象自身的中心對稱

①/(一x)=一/(x)O函數(shù)7=42的圖象關(guān)于原點對稱；

②函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于(。,0)對稱佳/(〃+工)=—x)隹/㈤=一/(2q—x)=—/(2a+x)；

③函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(。，〃)成中心對稱”/(a+x)=2A—/(a—x)q/(x)=2〃一/(2〃-x).

(3)兩個函數(shù)圖象之間的對稱關(guān)系

h—a

①函數(shù)y=/(a+x)與X)的圖象關(guān)于直線*=三一對稱(由?+x=Z?-x得對稱軸方程)；

②函數(shù)y=/(x)與x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱；

③函數(shù)y=/(x)與、=2。一/(一x)的圖象關(guān)于點(0,方)對稱；

④函數(shù)y=/(x)與y=2Z?-/(2“一x)的圖象關(guān)于點(“，加對稱.

八、函數(shù)與方程

1.函數(shù)的零點

(1)函數(shù)零點的定義

對于函數(shù)y=/(x),我們把使於三史的實數(shù)x叫做函數(shù)y=/(x)的零點.

(2)幾個等價關(guān)系

方程W2=0有實數(shù)根臺函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸有交點0函數(shù)p=Ax)有零點.

(3)函數(shù)零點的判定(零點存在性定理)

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［a,b］上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有皿他四，那么函數(shù)y=/(x)

在區(qū)間(“，6)內(nèi)有零點,即存在cW(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程於)=0的根.

2.二次函數(shù)圖象與零點的關(guān)系

/=加一4acJ>04=0J<0

y

二次函數(shù)y=a%2+Az

Z>x+c(a>0)的圖象

航=劭*

與X軸的交點(xl,0)，(*2,0)戊期u無

零點個數(shù)210

九、函數(shù)的模型及其應(yīng)用

1.幾類函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型f(x)=ax+b(a9b為常數(shù),qWO)

2

二次函數(shù)模型f(x)=ax+bx+c(a,b9c為常數(shù)，〃W0)

x

指數(shù)函數(shù)模型f(x)=ha+c(a9b9c為常數(shù)，b#0,a>0且〃#1)

對數(shù)函數(shù)模型外)=〃0筮+，“，b,c為常數(shù)，力#0,”>0且aWl)

幕函數(shù)模型f(x)=ax"+b(a,b為常數(shù)，a=#0)

,a

“對勾”函數(shù)模型y=x-\—(a>0)

X

2.三種函數(shù)模型的性質(zhì)

函數(shù)

y=ax(a>l)y=\Q^x(a>\)7=亡(〃>0)

性質(zhì)

在（0,+8）

單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增

上的單調(diào)性

增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)

隨X的增大，逐漸表隨X的增大，逐漸表隨n值變化而各有不

圖象的變化

現(xiàn)為與P軸平行現(xiàn)為與逐平行同

值的比較存在一個X0,當X>Xo時，有10幽

專題三導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

知識必備

一、導(dǎo)數(shù)的概念及運算

1.導(dǎo)數(shù)的概念

一般地，函數(shù)y=/（x）在x=x°處的瞬時變化率lim包=lim仆。十八。->%）為函數(shù)尸八萬）在*=

A30AxACT。Ar

X0處的導(dǎo)數(shù)，記作，（X。）或，|x=x0即r（X0）=lim包=lim“七二）二”比.

&g0Ar&3。Ar

稱函數(shù)f（x）=lim/（%.*）二〃*）為府）的導(dǎo)函數(shù).

心~>。Ax

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)?。┰邳cxo處的導(dǎo)數(shù)，（xo）的幾何意義是在曲線y=/（x）上點尸（xo,/（xo））處的切線的斜率.相應(yīng)地,

切線方程為p—/（xo）=為（xo）（x—X。）.

3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

y（x）=c（c為常數(shù)）f(x)=0

f(x)=sinxf(x)=cos_x

加0=^f(x)=e"

川1

y(x)=lnxf(x)=—

X

/（X）=X?（?GQ*）f(x)=ax￡l

/(x)=cosxf(x)=-sinx

/(x)=av(?>0?aWl)f(x)=<r'lna

-F

/(x)=l0gx(“>0，”W1)f(x)=——

lixlnx

4.導(dǎo)數(shù)的運算法則

⑴U(x)±g(x)]‘=f(x)士*'(x)；

(2)[f(x>g(x)]'=f'(x)g(x)+lx)g'(x)；

(3)|7M]，=/?)gO)-g，)g'(x)a。).

]g(x)」[g(x)]2選

5.常用結(jié)論

1/(X0)代表函數(shù)及)在X=XO處的導(dǎo)數(shù)值；(A'o))'是函數(shù)值/(xo)的導(dǎo)數(shù)，且(T(xo))，=O.

J1/'(X)

1/?J"(X)??

3.曲線的切線與曲線的公共點的個數(shù)不一定只有一個，而直線與二次曲線相切只有一個公共點.

4.函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)數(shù)/(X)反映了函數(shù)九X)的瞬時變化趨勢，其正負號反映了變化的方向，其大小|f(x)|

反映了變化的快慢，[f(x)|越大，曲線在這點處的切線越“陡”.

二、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

函數(shù)在區(qū)間(“，6)內(nèi)可導(dǎo)，

(1)若/，(幻>0,則於)在區(qū)間(a,。)內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；

(2)若，(x)<0,則於)在區(qū)間(a,分)內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)；

(3)若恒有/，(x)=0,則/(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是常數(shù)函數(shù).

…~看荔荔羲訪南詞桂友豪曲袤而至誦應(yīng)而盛宴/瓦淳元茅元一親屏彳「冥更P送4或及冕丁束嬴]

/櫓角緒航庶二姐便至二者................................................................

(1)在某區(qū)間內(nèi)/，(x)>0(/(x)<0)是函數(shù)/(x)在此區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分不必要條件.

(2)可導(dǎo)函數(shù)於)在(°,〃)上是增(減)函數(shù)的充要條件是對Vxe(a"),都有/(x)^O(f(x)<0)且，(x)

在(a,3上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零.

三、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值最值

1.函數(shù)的極值

(1)函數(shù)的極小值：

函數(shù)y=/U)在點x=a的函數(shù)值八。)比它在點x=a附近其他點的函數(shù)值都小，，(4)=0;而且在點x

=。附近的左側(cè)，(x)<0,右側(cè)/(x)>0,則點。叫做函數(shù)y=/(x)的極小值點，八。)叫做函數(shù))=兒0

的極小值.

(2)函數(shù)的極大值：

函數(shù)J=/(x)在點x=b的函數(shù)值人仍比它在點x=b附近其他點的函數(shù)值都大，，(6)=0；而且在點x

=8附近的左側(cè)，(x)>0,右側(cè)/，(x)<0,則點b叫做函數(shù)y=/(x)的極大值點，/S)叫做函數(shù)y=/(x)

的極大值.

極小值盡一極大值點統(tǒng)稱為極值點,一極大值和極小值統(tǒng)稱為極值，

①函數(shù)及)在X0處有極值的必要不充分條件是，30=0,極值點是，(x)=0的根，但，(x)=0

的根不都是極值點(例如人龍)=9,/(0)=0,但尤=0不是極值點).

②極值反映了函數(shù)在某一點附近的大小情況，刻畫的是函數(shù)的局部性質(zhì).極值點是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部

的點，不會是端點.

三函數(shù)曲息值

(1)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)的函數(shù).如)在［a,句上必有最大值與最小值.

(2)若函數(shù)作)在［a,b］上單調(diào)遞增，則/(“)為函數(shù)的最小值，/S)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)人幻在［a,

b］上單調(diào)遞減，則八。)為函數(shù)的最大值，為函數(shù)的最小值.

3常用結(jié)論

L對于可導(dǎo)函數(shù)/)，“/(次)=0”是“函數(shù)於)在x=xo處有極值”的必要不充分條件.

2.求最值時，應(yīng)注意極值點和所給區(qū)間的關(guān)系，關(guān)系不確定時，需要分類討論，不可想當然認為極值

就是最值.

3.函數(shù)最值是“整體”概念，而函數(shù)極值是“局部”概念，極大值與極小值之間沒有必然的大小關(guān)系.

四、利用導(dǎo)數(shù)研究生活中的優(yōu)化問題

1.生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題.

2.利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的實質(zhì)是求函數(shù)最值.

3.解決優(yōu)化問題的基本思路是什么？

答案

|優(yōu)化問題?I用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題|

|優(yōu)化問題的答案卜用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題

上述解決優(yōu)化問題的過程是一個典型的數(shù)學(xué)建模過程.

4.對于優(yōu)化問題，建立模型之后需要對模型進行最大值最小值的求解，從而轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)求極值最值問

題.

專庵四立體幾何與空間向■

知識必備

一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、三視圖和直觀圖

1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征

名稱棱柱棱錐棱臺

D'D'

S

圖形

ABSAB

AAB

底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似

相交于一點，但不

側(cè)棱平行且相等延長線交于一點

一定相等

側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形

(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

名稱圓柱圓錐圓臺球

?S

二金

圖形1a

互相平行且相

母線相交于一點延長線交于一點

等，垂直于底面

全等的等腰三角

軸截面全等的矩形全等的等腰梯形圓

形

側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)

2.直觀圖

空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，其規(guī)則是：(1)原圖形中x軸、j軸、z軸兩兩垂直，直觀圖

中，共軸、J，，軸的夾角為45°(或135。)，z'軸與郭軸、V軸所在平面垂直.

(2)原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標軸.平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中

保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?

3.空間幾何體的表面積與體積公式

名稱

表面積體積

幾何體

柱體

V=S底h

S表面積=S他+2S底

（棱柱和圓柱）

錐體V=ls底A

s表面積=s惻+S底

（棱錐和圓錐）3

臺體

y（s上+S下+出上S下）/,

s表面積=s側(cè)+s上+s下

（棱臺和圓臺）

4

球S=4itR2V=-nR3

3

3.空間幾何體的三視圖

空間幾何體的三視圖是用正投影得到，這種投影下與投影面平行的平面圖形留下的影子與平面圖

形的形狀和大小是完全相同的,三視圖包括主視圖、左視圖、俯視圖.

［難點正本疑點清源］

1.正棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫作正棱柱.反之，正棱柱

的底面是